44 фізичні додатки певного інтеграла inurl livre. Геометричні застосування визначеного інтеграла. Обсяг тіла обертання

41.1. Схеми застосування інтеграла

Нехай потрібно знайти значення будь-якої геометричної або фізичної величини А (площа фігури, об'єм тіла, тиск рідини на вертикальну пластину і т. Д.), Пов'язаної з відрізком зміни незалежної змінної х. Передбачається, що ця величина А аддитивна, т. Е. Така, що при розбитті відрізка [а; b] точкою з є (а; b) на частини [а; з] і [с; b] значення величини А, відповідне всьому відрізку [а; b], дорівнює сумі її значень, що відповідають [а; з] і [с; b].

Для знаходження цієї величини А можна керуватися однією з двох схем: I схема (або метод інтегральних сум) і II схема (або метод диференціала).

Перша схема базується на визначенні певного інтеграла.

1. Точками х 0 = а, x 1, ..., x n = b розбити відрізок [а; b] на n частин. Відповідно до цього, що цікавить нас величина А розіб'ється на n «елементарних доданків» ΔAi (i = 1, ..., n): А = ΔA 1 + ΔА 2 + ... + ΔА n.

2. Уявити кожне «елементарне доданок» у вигляді твору деякої функції (яка визначається з умови задачі), обчисленої в довільній точці відповідного відрізка на його довжину: ΔA i ≈ ƒ (c i) Δx i.

При знаходженні наближеного значення ΔА i припустимі деякі спрощення: дугу на малій ділянці можна замінити хордою, що стягує її кінці; змінну швидкість на малій ділянці можна наближено вважати постійною і т. д.

Отримаємо наближене значення величини А в вигляді інтегральної суми:

3. Шукана величина А дорівнює межі інтегральної суми, т. Е.

Зазначений «метод сум», як бачимо, заснований на представленні інтеграла як про суму нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.

Схема I була застосована для з'ясування геометричного і фізичного змісту певного інтеграла.

Друга схема являє собою кілька видозмінену схему I і називається «метод диференціала» або «метод відкидання нескінченно малих вищих порядків»:

1) на відрізку [а; b] вибираємо довільне значення х і розглядаємо змінний відрізок [а; х]. На цьому відрізку величина А стає функцією х: А = А (х), т. Е. Вважаємо, що частина шуканої величини А є невідома функція А (х), де х є - один з параметрів величини А;

2) знаходимо головну частину приросту ΔА при зміні х на малу величину Δх = dx, т. Е. Знаходимо диференціал dA функції А = А (х): dA = ƒ (х) dx, де ƒ (х), що визначається з умови задачі , функція змінної х (тут також можливі різні спрощення);

3) вважаючи, що dA ≈ ΔА при Δх → 0, знаходимо шукану величину шляхом інтегрування dA в межах від а до b:

41.2. Обчислення площ плоских фігур

прямокутні координати

Як вже було встановлено (див. «Геометричний сенс певного інтеграла»), площа криволінійної трапеції, розташованої «вище» осі абсцис (ƒ (х) ≥ 0), дорівнює відповідному певному інтегралу:

Формула (41.1) отримана шляхом застосування схеми I - методу сум. Обґрунтуємо формулу (41.1), використовуючи схему II. Нехай криволінійна трапеція обмежена лініями у = ƒ (х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (див. Рис. 174).

Для знаходження площі S цієї трапеції виконаємо наступні операції:

1. Візьмемо довільне х Î [а; b] і будемо вважати, що S = S (x).

2. Дамо аргументу х приріст Δх = dx (х + Δх є [а; b]). Функція S = S (x) одержить збільшення ΔS, що представляє собою площа «елементарної криволінійної трапеції» (на малюнку вона виділена).

Диференціал площі dS є головна частина приросту ΔS при Δх → 0, і, очевидно, він дорівнює площі прямокутника з основою dx і висотою у: dS = у dx.

3. Інтегруючи отримане рівність в межах від х = а до х = b, одержуємо

Відзначимо, що якщо криволинейная трапеція розташована «нижче» осі Ох (ƒ (х)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формули (41.1) і (41.2) можна об'єднати в одну:

Площа фігури, обмеженої кривими у = = fι (x) і у = ƒг (х), прямими х = а і х = b (за умови ƒ 2 (х) ≥ ƒ 1 (х)) (див. Рис. 175) , можна знайти за формулою

Якщо плоска фігура має «складну» форму (див. Рис. 176), то прямими, паралельними осі Оу, її слід розбити на частини так, щоб можна було б застосувати вже відомі формули.

Якщо криволінійна трапеція обмежена прямими у = з і у = d, віссю Оу і безперервної кривої х = φ (у) ≥ 0 (див. Рис. 177), то її площадьнаходітся за формулою

І, нарешті, якщо криволинейная трапеція обмежена кривою, заданої параметрично

прямими х = аих = bі віссю Ох, то площа її знаходиться за формулою

де а і β определяютсяіз рівності х (а) = а і х (β) = b.

Приклад 41.1. Знайти площу фігури, обмеженою віссю Ох і графіком функції у = х 2 - 2х при х є.

Рішення: Фігура має вигляд, зображений на малюнку 178. Знаходимо її площа S:

Приклад 41.2. Обчислити площу фігури, обмеженою еліпсом х = а cos t, y = b sin t.

Рішення: Знайдемо спочатку 1/4 площі S. Тут х змінюється від 0 до а, отже, t змінюється від до 0 (див. Рис. 179). знаходимо:

Таким чином . Значить, S = π аВ.

полярні координати

Знайдемо площу S криволінійного сектора, т. Е. Плоскої фігури, обмеженої безперервної лінією r = r (φ) і двома променями φ = а і φ = β (а< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - метод диференціала.

1. Будемо вважати частину шуканої площі S як функцію кута φ, т. Е. S = S (φ), де а ≤ φ ≤ β (якщо φ = а, то S (a) = 0, якщо φ = β, то S (β) = S).

2. Якщо поточний полярний кут φ одержить збільшення Δφ = dφ, то приріст площі AS дорівнює площі «елементарного криволінійного сектора» OAB.

Диференціал dS є головну частину приросту ΔS при dφ → 0 і дорівнює площі кругового сектора Про АС (на малюнку вона заштрихована) радіуса r з центральним кутом dφ. Тому

3. Інтегруючи отримане рівність в межах від φ = а до φ = β, отримаємо шукану площу

Приклад 41.3. Знайти площу фігури, обмеженою «трехлепесткoвой трояндою» r = acos3φ (див. Рис. 181).

Рішення: Знайдемо спочатку площа половини одного пелюстки «троянди», т. Е.1 / 6 частина всієї площі фігури:

т. е .. Отже,

Якщо плоска фігура має «складну» форму, то променями, що виходять з полюса, її слід розбити на криволінійні сектори, до яких застосувати отриману формулу для знаходження площі. Так, для фігури, зображеної на малюнку 182, маємо:

41.3. Обчислення довжини дуги плоскої кривої

прямокутні координати

Нехай в прямокутних координатах дана плоска крива АВ, рівняння якої в = ƒ (х), де а≤х≤ b.

Під довжиною дуги АВ розуміється межа, до якого прагне довжина ламаної лінії, вписаної в цю дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшого ланки її прагне до нуля. Покажемо, що якщо функція у = ƒ (х) і її похідна у "= ƒ" (х) неперервні на відрізку [а; b], то крива АВ має довжину, рівну

Застосуємо схему I (метод сум).

1. Точками х 0 = а, х 1 ..., х n = b (х 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Довжину хорди (або ланки ламаної) ΔL 1 можна знайти за теоремою Піфагора з трикутника з катетами Δx i і Δу i:

По теоремі Лагранжа про кінцевий збільшенні функції Δу i = ƒ "(з i) Δх i, де ci є (x i-1; x i). Тому

а довжина всієї ламаної M 0 M 1 ... М n дорівнює

3.Дліна lкривої АВ, за визначенням, дорівнює

Зауважимо, що при ΔL i → 0 також і Δx i → 0 ΔLi = і, отже, | Δx i |<ΔL i).

функція неперервна на відрізку [а; b], так як, за умовою, неперервна функція ƒ "(х). Отже, існує межа інтегральної суми (41.4), коли max Δx i → 0 :

Таким чином, або в скороченій записи l =

Есліуравненіе кривої АВ задано в параметричної формі

де x (t) і y (t) - непреривниефункціі з безперервними похідними і х (а) = а, х (β) = b, то довжина lкривої АВ знаходиться за формулою

Формула (41.5) може бути отримана з формули (41.3) підстановкою x = x (t), dx = x "(t) dt,

Приклад 41.4. Знайти довжину кола радіуса R.

Рішення: Знайдемо 1/4 частина її довжини від точки (0; R) до точки (R; 0) (див. Рис. 184). Так як то

значить, l= 2π R. Якщо рівняння кола записати в параметричному вигляді х = Rcost, у = Rsint (0≤t≤2π), то

Обчислення довжини дуги може бути засноване на застосуванні методу диференціала. Покажемо, як можна отримати формулу (41.3), застосувавши схему II (метод диференціала).

1. Візьмемо довільне значення х є [а; b] і розглянемо змінний відрізок [а; х]. На ньому величина lстає функцією від х, тобто l = l(Х) ( l(А) = 0 і l(B) = l).

2. Знаходимо диференціал dlфункції l = l(Х) при зміні х на малу величину Δх = dx: dl = l"(X) dx. Знайдемо l"(X), замінюючи бесконечномалую дугу MN хордою Δ l, Стягивающей цю дугу (див. Рис. 185):

3. Інтегруючи dl в межах від а до b, одержуємо

рівність називаетсяформулой диференціала дуги в прямокутних координатах.

Так як у "х = -dy / dx, то

Остання формула є теорему Піфагора для нескінченно малого трикутника МСТ (див. Рис. 186).

полярні координати

Нехай крива АВ задана рівнянням в полярних координатах r = r (φ), а≤φ≤β. Припустимо, що r (φ) і r "(φ) неперервні на відрізку [а; β].

Якщо в равенствах х = rcosφ, у = rsinφ, що зв'язують полярні і декартові координати, параметром вважати кут φ, то криву АВ можнозадать параметрически

Застосовуючи формулу (41.5), отримуємо

Приклад 41.5. Знайти довжину кардіоїди r = = а (1 + cosφ).

Рішення: Кардіоїда r = а (1 + cosφ) має вигляд, зображений на малюнку 187. Вона симетрична щодо полярної осі. Знайдемо половину довжини кардіоїди:

Таким чином, 1 / 2l = 4а. Значить, l = 8а.

41.4. Обчислення обсягу тіла

Обчислення обсягу тіла за відомими площами паралельних перерізів

Нехай потрібно знайти об'єм V тіла, причому відомі площі S перетинів цього тіла площинами, перпендикулярними деякої осі, наприклад осі Ох: S = S (x), а ≤ х ≤ b.

1. Через довільну точку х є проведемо площину Π, перпендикулярну осі Ох (див. Рис. 188). Позначимо через S (x) площа перерізу тіла цією площиною; S (x) вважаємо відомою і безперервно змінюється при зміні х. Через v (x) позначимо обсяг частини тіла, що лежить лівіше площині П. Будемо вважати, що на відрізку [а; х] величина v є функція від х, т. е. v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V).

2. Знаходимо диференціал dV функції v = v (x). Він являє собою «елементарний шар» тіла, укладений між паралельними площинами, що перетинають вісь Ох в точках х і х + Δх, який приблизно може бути прийнятий за циліндр з основою S (x) і висотою dx. Тому диференціал об'єму dV = S (x) dx.

3. Знаходимо шукану величину V шляхом інтегрування dA в межах від а до В:

Отримана формула називається формулою обсягу тіла по площі паралельних перетинів.

Приклад 41 .6. Знайти обсяг еліпсоїда

Рішення: Розсікаючи еліпсоїд площиною, паралельній площині Oyz і на відстані х від неї (-а ≤х≤ a), отримаємо еліпс (див. рис. 189):

Площа цього еліпса дорівнює

Тому, поформуле (41.6), маємо

Обсяг тіла обертання

Нехай навколо осі Ох обертається криволінійна трапеція, обмежена безперервної лінією у = ƒ (х) 0, відрізком а ≤ x ≤ bі прямими х = а і х = b (див. Рис. 190). Отримана від обертання фігура називається тілом обертання. Перетин цього тіла площиною, перпендикулярній осі Ох, проведеної через довільну точку х осі Ох (х Î [А; b]), є коло з радіусом у = ƒ (х). Отже, S (x) = π y 2.

Застосовуючи формулу (41.6) обсягу тіла по площі паралельних перетинів, отримуємо

Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком не безперервно функції = φ (у) ≥ 0 і прямими х = 0, у = с,

у = d (з< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Приклад 41.7. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженою лініямівокруг осі Оу (див. Рис. 191).

Рішення: За формулою (41.8) знаходимо:

41.5. Обчислення площі поверхні обертання

Нехай крива АВ є графіком функції у = ƒ (х) ≥ 0, де х є [а; b], а функція у = ƒ (х) і її похідна у "= ƒ" (х) неперервні на цьому відрізку.

Знайдемо площу S поверхні, утвореної обертанням кривої АВ навколо осі Ох.

Застосуємо схему II (метод диференціала).

1. Через довільну точку х є [а; b] проведемо площину Π, перпендикулярну осі Ох. Площина Π перетинає поверхню обертання по колу з радіусом у = ƒ (х) (див. Рис. 192). Величина S поверхні частини фігури обертання, що лежить лівіше площині, є функцією від х, т. Е. S = s (x) (s (a) = 0 і s (b) = S).

2. Дамо аргументу х приріст Δх = dx. Через точку х + dx є [а; b] також проведемо площину, перпендикулярну осі Ох. Функція s = s (x) одержить збільшення Аз, зображеного на малюнку у вигляді «паска».

Знайдемо диференціал площі ds, замінюючи утворену між перетинами фігуру усіченим конусом, утворює якого дорівнює dl, А радіуси підстав рав ни у та у + dy. Площа його бічної поверхні дорівнює ds = π (У + у + dy) dl=2π у dl + π dydl. Відкидаючи твір dydl як нескінченно малу вищого порядку, ніж ds, отримуємо ds = 2 π у dl, Або, так як

3. Інтегруючи отримане рівність в межах від х = а до х = b, одержуємо

Якщо крива АВ задана параметричними рівняннями х = x (t), y = y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, то формула (41.9) для площі поверхні обертання набирає вигляду

Приклад 41.8. Знайти площу поверхні кулі радіуса R.

Приклад 41.9. дана циклоїда

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням її навколо осі Ох.

Рішення: При обертанні половини дуги циклоїди навколо осі Ох площа поверхні обертання дорівнює

41.6. Механічні додатки певного інтеграла

Робота змінної сили

Нехай матеріальна точка М переміщається уздовж осі Ох під дією змінної сили F = F (x), спрямованої паралельно цій осі. Робота, вироблена силою при переміщенні точки М з положення х = а в положення х = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Приклад 41.10 Яку роботу потрібно затратити, щоб розтягнути пружину на 0,05 м, якщо сила 100 Н розтягує пружину на 0,01 м?

Рішення: За законом Гука пружна сила, що розтягує пружину, пропорційна цій розтягування х, т. Е. F = KХ, де k - коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою задачі, сила F = 100 Н розтягує пружину на х = 0,01 м; отже, 100 = k * 0,01, звідки k = 10000; отже, F = 10000х.

Шукана робота на підставі формули (41.10) дорівнює

Приклад 41.11. Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати через край рідина з вертикального циліндричного резервуара висоти Н м і радіусом основи R м.

Рішення: Робота, що витрачається на підняття тіла вагою р на висоту h, дорівнює р h. Але різні шари рідини в резервуарі знаходяться на різних глибинах і висота підняття (до краю резервуара) різних шарів не однакова.

Для вирішення поставленого завдання застосуємо схему II (метод диференціала). Введемо систему координат так, як вказано на малюнку 193.

1. Робота, що витрачається на викачування з резервуара шару рідини товщиною x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Знаходимо головну частину приросту ΔА при зміні х на величину Δх = dx, т. Е. Знаходимо диференціал dA функції А (х).

Зважаючи на крихту dx вважаємо, що «елементарний» шар рідини знаходиться на одній глибині х (від краю резервуара) (див. Рис. 193). Тоді dA = dp * x, де dp - вага цього шару; він дорівнює g * g dv, де g - прискорення вільного падіння, g - щільність рідини, dv - обсяг «елементарного» шару рідини (на малюнку він виділений), т. е. dp = gg dv. Обсяг зазначеного шару рідини, очевидно, дорівнює π R 2 dx, де dx - висота циліндра (шару), π R 2 - площа його заснування, тобто. Е. Dv = π R 2 dx.

Таким чином, dp = gg π R 2 dx і dA = gg π R 2 dx * x.

3) Інтегруючи отримане рівність в межах від х = 0 до х = Н, знаходимо

Шлях, пройдений тілом

Нехай матеріальна точка переміщується по прямій зі змінною швидкістю v = v (t). Знайдемо шлях S, пройдений нею за проміжок часу від t 1 до t 2.

Рішення: З фізичного змісту похідної відомо, що під час руху точки в одному напрямку «швидкість прямолінійного руху дорівнює похідною від шляху за часом», т. Е .. Звідси випливає, що dS = v (t) dt. Інтегруючи отримане рівність в межах від t 1 до t 2, отримуємо

Відзначимо, що цю ж формулу можна отримати, користуючись схемою I або II застосування певного інтеграла.

Приклад 41.12. Знайти шлях, пройдений тілом за 4 секунди від початку руху, якщо швидкість тіла v (t) = 10t + 2 (м / с).

Рішення: Якщо v (t) = 10t + 2 (м / с), то шлях, пройдений тілом від початку руху (t = 0) до кінця 4-ї секунди, дорівнює

Тиск рідини на вертикальну пластинку

Згідно із законом Паскаля тиск рідини на горизонтальну пластину дорівнює вазі стовпа цієї рідини, що має підставою платівку, а висотою - глибину її занурення від вільної поверхні рідини, т. Е. Р = g * g * S * h, де g - прискорення вільного падіння, g - щільність рідини, S - площа пластинки, h - глибина її занурення.

За цією формулою можна шукати тиск рідини на вертикально занурену платівку, так як її різні точки лежать на різних глибинах.

Нехай в рідину занурена вертикально пластина, обмежена лініями х = а, х = b, у 1 = f 1 (x) і у 2 = ƒ 2 (х); система координат вибрана так, як вказано на малюнку 194. Для знаходження тиску Р рідини на цю пластину застосуємо схему II (метод диференціала).

1. Нехай частина шуканої величини Р є функція від х: р = р (х), т. Е. Р = р (х) - тиск на частину пластини, відповідне відрізку [а; х] значень змінної х, де х є [а; b] (р (а) = 0, р (b) = Р).

2. Дамо аргументу х приріст Δх = dx. Функція р (х) одержить збільшення? Р (на малюнку - смужка-шар товщини dx). Знайдемо диференціал dp цієї функції. Зважаючи на крихту dx будемо наближено вважати смужку прямокутником, всі крапки якого знаходяться на одній глибині х, т. Е. Платівка ця - горизонтальна.

Тоді за законом Паскаля

3. Інтегруючи отримане рівність в межах від х = а до х = В, отримаємо

Приклад 41.13. Визначити величину тиску води на півколо, вертикально занурений в рідину, якщо його радіус R, а центр Про знаходиться на вільної поверхні води (див. Рис. 195).

Аналогічно визначається статичний момент S y цієї системи щодо осі

Якщо маси розподілені безперервним чином уздовж деякої кривої, то для вираження статичного моменту знадобиться інтегрування.

Нехай у = ƒ (х) (a≤ x≤ b) - це рівняння матеріальної кривої АВ. Будемо вважати її однорідною з постійною лінійною щільністю g (g = const).

Для довільного х є [а; b] на кривій АВ знайдеться точка з координатами (х; у). Виділимо на кривій елементарний ділянку довжини dl, що містить точку (х; у). Тоді маса цієї ділянки дорівнює g dl. Приймемо цю ділянку dl наближено за точку, віддалену від осі Ох на відстані у. Тоді диференціал статичного моменту dS x ( «елементарний момент») буде дорівнює g dly, т. Е. DS x = g dlу (див. Рис. 196).

Звідси випливає, що статичний момент S x кривої АВ щодо осі Ох дорівнює

Аналогічно знаходимо S y:

Статичні моменти S x і S y кривої дозволяють легко встановити положення її центра ваги (центру мас).

Центром тяжіння матеріальної плоскої кривої у = ƒ (х), х Î називається точка площині, що володіє наступною властивістю: якщо в цій точці зосередити всю масу m заданої кривої, то статичний момент цієї точки відносно будь-якої координатної осі буде дорівнює статичному моменту всієї кривої у = ƒ (х) щодо тієї ж осі. Позначимо через С (х с; у с) центр ваги кривої АВ.

З визначення центру ваги слідують рівності Звідси

Обчислення статичних моментів і координат центра ваги плоскої фігури

Нехай дана матеріальна плоска фігура (пластинка), обмежена кривою у = ƒ (х) 0 і прямими у = 0, х = a, x = b (див. Рис. 198).

Будемо вважати, що поверхнева щільність платівки постійна (g = const). Тоді маса «всієї пластинки дорівнює g * S, т. Е Виділимо елементарний ділянку пластинки у вигляді нескінченно вузької вертикальної смуги і будемо наближено вважати його прямокутником.

Тоді маса його дорівнює g ydx. Центр тяжкості З пря моугольніка лежить на перетині діагоналей прямокутника. Ця точка С відстоїть від осі Ох на 1/2 * у, а від осі Оу на х (наближено; точніше на відстані х + 1/2 Δх). Тоді для елементарних статичних моментів щодо осей Ох і Оу виконані співвідношення

Отже, центр ваги має координати

Визначений інтеграл (ОІ) широко використовується в практичних додатках математики і фізики.

Зокрема, в геометрії за допомогою ОІ знаходять площі простих фігур і складних поверхонь, об'ємів тіл обертання і тіл довільної форми, довжин кривих на площині і в просторі.

У фізиці і теоретичної механіки ОІ застосовують для обчислення статичних моментів, мас і центрів мас матеріальних кривих і поверхонь, для обчислення роботи змінної сили по криволінійному шляху і ін.

Площа плоскої фігури

Нехай деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $ xOy $ зверху обмежена кривою $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, знизу - кривою $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $ , а зліва і справа вертикальними прямими $ x = a $ і $ x = b $ відповідно. У загальному випадку площа такої фігури виражається за допомогою ОІ $ S = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) \ left (x \ right) -y_ (2) \ left (x \ right ) \ right) \ cdot dx $.

Якщо ж деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $ xOy $ справа обмежена кривою $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $, зліва - кривий $ x = x_ (2) \ left (y \ right) $, а знизу і зверху горизонтальними прямими $ y = c $ і $ y = d $ відповідно, то площа такої фігури виражається за допомогою ОІ $ S = \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1 ) \ left (y \ right) -x_ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

Нехай плоска фігура (вигнутий сектор), що розглядається в полярній системі координат, утворена графіком неперервної функції $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $, а також двома променями, що проходять під кутами $ \ phi = \ alpha $ і $ \ phi = \ beta $ відповідно. Формула для обчислення площі такого криволінійного сектора має вигляд: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right ) \ cdot d \ phi $.

Довжина дуги кривої

Якщо на відрізку $ \ left [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ крива задана рівнянням $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $ в полярній системі координат, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $ L = \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) + \ rho "^ (2) \ left (\ phi \ right)) \ cdot d \ phi $.

Якщо на відрізку $ \ left $ крива задана рівнянням $ y = y \ left (x \ right) $, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $ L = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

Якщо на відрізку $ \ left [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ крива задана параметрично, тобто $ x = x \ left (t \ right) $, $ y = y \ left (t \ right) $, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $ L = \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x "^ (2) \ left (t \ right) + y" ^ (2) \ left (t \ right)) \ cdot dt $.

Обчислення обсягу тіла за площами паралельних перерізів

Нехай необхідно знайти об'єм просторового тіла, координати точок якого задовольняють умовам $ a \ le x \ le b $, і для якого відомі площі перетинів $ S \ left (x \ right) $ площинами, перпендикулярними осі $ Ox $.

Формула для обчислення обсягу такого тіла має вигляд $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Обсяг тіла обертання

Нехай на відрізку $ \ left $ задана неотрицательная безперервна функція $ y = y \ left (x \ right) $, що утворює криволінійну трапецію (КРТ). Якщо обертати цю КРТ навколо осі $ Ox $, то утворюється тіло, зване тілом обертання.

Обчислення обсягу тіла обертання є окремим випадком обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перерізів. Відповідна формула має вигляд $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ ( 2) \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Нехай деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $ xOy $ зверху обмежена кривою $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, знизу - кривою $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $ , де $ y_ (1) \ left (x \ right) $ і $ y_ (2) \ left (x \ right) $ - невід'ємні безперервні функції, а зліва і справа вертикальними прямими $ x = a $ і $ x = b $ відповідно. Тоді обсяг тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо осі $ Ox $, виражається ОІ $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) ^ (2) \ left (x \ right) -y_ (2) ^ (2) \ left (x \ right) \ right) \ cdot dx $.

Нехай деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $ xOy $ справа обмежена кривою $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $, зліва - кривий $ x = x_ (2) \ left (y \ right) $ , де $ x_ (1) \ left (y \ right) $ і $ x_ (2) \ left (y \ right) $ - невід'ємні безперервні функції, а знизу і зверху горизонтальними прямими $ y = c $ і $ y = d $ відповідно. Тоді обсяг тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо осі $ Oy $, виражається ОІ $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) ^ (2) \ left (y \ right) -x_ (2) ^ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

Площа поверхні тіла обертання

Нехай на відрізку $ \ left $ задана неотрицательная функція $ y = y \ left (x \ right) $ з безперервною похідною $ y "\ left (x \ right) $. Ця функція утворює КРТ. Якщо обертати цю КРТ навколо осі $ Ox $, то вона сама утворює тіло обертання, а дуга КРТ - його поверхню. Площа поверхні такого тіла обертання виражається формулою $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left ( x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

Припустимо, що криву $ x = \ phi \ left (y \ right) $, де $ \ phi \ left (y \ right) $ - задана на відрізку $ c \ le y \ le d $ неотрицательна функція, обертають навколо осі $ Oy $. У цьому випадку площа поверхні утвореного тіла обертання виражається ОІ $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ phi \ left (y \ right) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ left (y \ right)) \ cdot dy $.

Фізичні додатки ОІ

Для лічильник дистанції, в момент часу $ t = T $ при змінної швидкості руху $ v = v \ left (t \ right) $ матеріальної точки, яка почала рух в момент часу $ t = t_ (0) $, використовують ОІ $ S = \ int \ limits _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
Для обчислення роботи змінної сили $ F = F \ left (x \ right) $, яка додається до матеріальної точці, яка переміщується за прямолінійним шляху вздовж осі $ Ox $ від точки $ x = a $ до точки $ x = b $ (напрямок дії сили збігається з напрямком руху) використовують ОІ $ A = \ int \ limits _ (a) ^ (b) F \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Статичні моменти щодо координатних осей матеріальної кривої $ y = y \ left (x \ right) $ на проміжку $ \ left $ виражаються формулами $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a ) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $, де лінійна щільність $ \ rho $ цієї кривої вважається постійною.
Центр мас матеріальної кривої - це точка, в якій умовно зосереджена вся її маса таким чином, що статичні моменти точки щодо координатних осей дорівнюють відповідним статичним моментам всієї кривої в цілому.

Формули для обчислення координат центру мас плоскої кривої мають вигляд $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $ і $ y_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) ( \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $.

Статичні моменти матеріальної плоскої фігури у вигляді КРТ щодо координатних осей виражаються формулами $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Координати центру мас матеріальної плоскої фігури у вигляді КРТ, утвореної кривою $ y = y \ left (x \ right) $ на проміжку $ \ left $, обчислюють за формулами $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a ) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot dx) $ і $ y_ ( C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot dx) $.

Тема 6.10. Геометричні і фізичні додатки певного інтеграла

1. Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f (x) (f (x)> 0), прямими x = a, x = b і відрізком [a, b] осі Ох, обчислюється за формулою

2. Площа фігури, обмеженої кривими y = f (x) і y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Якщо крива задана параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t), то площа криволінійної трапеції, що обмежена цією кривою і прямими х = a, x = b, знаходиться за формулою

4. Нехай S (x) - площа перетину тіла площиною, перпендикулярній осі Ох, тоді обсяг частини тіла, укладеної між перпендикулярними осі площинами х = а і х = b, знаходиться за формулою

5. Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою y = f (x) і прямими y = 0, х = а і х = b, обертається навколо осі Ох, тоді обсяг тіла обертання обчислюється за формулою

6. Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою х = g (y) і

прямими x = 0, y = c і y = d, обертається навколо осі О y, тоді обсяг тіла обертання обчислюється за формулою

7. Якщо плоска крива віднесена до прямокутної системі координат і задана рівнянням y = f (x) (або x = F (y)), то довжина дуги визначається формулою

Головна> Лекція

Лекція 18. Додатки певного інтеграла.

18.1. Обчислення площ плоских фігур.

Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f (x). Якщо графік розташований нижче осі Ох, тобто f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, то площа має знак "+".

Для знаходження сумарної площі використовується формула.

Площа фігури, обмеженої деякими лініями може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Приклад.Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x, y = x 2, x = 2.

Шукана площа (заштрихована на рисунку) може бути знайдена за формулою:

18.2. Знаходження площі криволінійного сектора.

Для знаходження площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор в цій системі координат, має вигляд  = f (), де  - довжина радіус - вектора, що з'єднує полюс з довільною точкою кривої, а  - кут нахилу цього радіус - вектора до полярної осі.

Площа криволінійного сектора може бути знайдена за формулою

18.3. Обчислення довжини дуги кривої.

y y = f (x)

S i y i

Довжина ламаної лінії, яка відповідає дузі, може бути знайдена як
.

Тоді довжина дуги дорівнює
.

З геометричних міркувань:

В той же час

Тоді можна показати, що

Тобто

Якщо рівняння кривої задано параметрично, то з урахуванням правил обчислення похідної параметрически заданої, отримуємо

де х =  (t) і у =  (t).

якщо задана просторова крива, І х =  (t), у =  (t) і z = Z (t), то

Якщо крива задана в полярних координатах, то

,  = f ().

приклад:Знайти довжину кола, заданої рівнянням x 2 + y 2 = r 2.

1 спосіб.Висловимо з рівняння змінну у.

знайдемо похідну

Тоді S = 2r. Отримали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб.Якщо уявити задане рівняння в полярній системі координат, то одержимо: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, тобто функція  = f () = r,
тоді

18.4. Обчислення об'ємів тіл.

Обчислення обсягу тіла за відомими площами його паралельних перерізів.

Нехай є тіло обсягу V. Площа будь-якого поперечного перерізу тіла Q, відома як безперервна функція Q = Q (x). Розіб'ємо тіло на "шари" поперечними перетинами, що проходять через точки х i розбиття відрізка. Оскільки на якому-небудь проміжному відрізку розбиття функція Q (x) неперервна, то приймає на ньому найбільше та найменше значення. Позначимо їх відповідно M i і m i.

Якщо на цих найбільшому і найменшому перетинах побудувати циліндри з утворюючими, паралельними осі х, то обсяги цих циліндрів будуть відповідно рівні M i x i і m i x i тут x i = x i - x i -1.

Провівши такі побудови для всіх відрізків розбиття, отримаємо циліндри, обсяги яких дорівнюють відповідно
і
.

При прагненні до нуля кроку розбиття , ці суми мають загальний межа:

Таким чином, обсяг тіла може бути знайдений за формулою:

Недоліком цієї формули є те, що для знаходження об'єму необхідно знати функцію Q (x), що вельми проблематично для складних тел.

приклад:Знайти об'єм кулі радіуса R.

У поперечних перетинах кулі виходять кола змінного радіусу у. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається за формулою
.

Тоді функція площ перетинів має вигляд: Q (x) =
.

Отримуємо об'єм кулі:

приклад:Знайти обсяг довільної піраміди з висотою Н і площею підстави S.

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, в перерізі отримуємо фігури, подібні підстави. Коефіцієнт подібності цих фігур дорівнює відношенню x / H, де х - відстань від площини перерізу до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності в квадраті, тобто

Звідси отримуємо функцію площ перетинів:

Знаходимо обсяг піраміди:

18.5. Обсяг тіл обертання.

Розглянемо криву, задану рівнянням y = f (x). Припустимо, що функція f (x) неперервна на відрізку. Якщо відповідну їй криволинейную трапецію з основами а і b обертати навколо осі Ох, то отримаємо так зване тіло обертання.

y = f (x)

Оскільки кожне перетин тіла площиною x = const є коло радіуса
, То обсяг тіла обертання може бути легко знайдений за отриманою вище формулою:

18.6. Площа поверхні тіла обертання.

М i B

визначення: Площею поверхні обертаннякривої АВ навколо даної осі називають межа, до якого прагнуть площі поверхонь обертання ламаних, вписаних в криву АВ, при прагненні до нуля найбільших з довжин ланок цих ламаних.

Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M 0, M 1, M 2, ..., M n. Координати вершин отриманої ламаної мають координати x i і y i. При обертанні ламаної навколо осі отримаємо поверхню, що складається з бічних поверхонь усічених конусів, площа яких дорівнює P i. Ця площа може бути знайдена за формулою:

Тут S i - довжина кожної хорди.

Застосовуємо теорему Лагранжа (див. теорема Лагранжа) До відношення
.

1. Площа плоскої фігури.

Площа криволінійної трапеції, обмеженою неотрицательной функцією f (x), Віссю абсцис і прямими x = a, x = b, Визначається як S = ∫ a b f x d x.

Площа криволінійної трапеції

Площа фігури, обмеженої функцією f (x), Що перетинає вісь абсцис, визначається формулою S = Σ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - Σ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i- нулі функції. Іншими словами, щоб обчислити площу цієї фігури, потрібно розбити відрізок нулями функції f (x)на частини, проинтегрировать функцію fпо кожному з вийшов проміжків знакопостоянства, скласти окремо інтеграли по відрізках, на яких функція fприймає різні знаки, і відняти від першого друге.

2. Площа криволінійного сектора.

Площа криволінійного сектора Розглянемо криву ρ = ρ (φ) в полярній системі координат, де ρ (φ) - безперервна і неотрицательная на [α; β] функція. Фігура, обмежена кривою ρ (φ) і променями φ = α , φ = β , Називається криволінійним сектором. Площа криволінійного сектора дорівнює S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.

3. Обсяг тіла обертання.

Обсяг тіла обертання

Нехай тіло утворено обертанням навколо осі OX криволінійної трапеції, обмеженою безперервної на відрізку функцією f (x). Його обсяг виражається формулою V = π ∫ a b f 2 x d x.

До задачі про знаходження об'єму тіла за площею поперечного перерізу

Нехай тіло укладено між площинами x = aі x = b, А площа його перерізу площиною, що проходить через точку x, - безперервна на відрізку функція σ (x). Тоді його обсяг дорівнює V = ∫ a b σ x d x.

4. Довжина дуги кривої.

Нехай задана крива r → t = x t, y t, z t Тоді довжина її ділянки, обмеженої значеннями t = αі t = βвиражається формулою S = ∫ α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Довжина дуги плоскої кривої Зокрема, довжина плоскої кривої, що задається на координатної площині OXYрівнянням y = f (x), a ≤ x ≤ b, Виражається формулою S = ∫ a b 1 + f 'x 2 dx.

5. Площа поверхні обертання.

Площа поверхні обертання Нехай поверхня задається обертанням щодо осі OX графіка функції y = f (x), a ≤ x ≤ b, І функція fмає безперервну похідну на цьому відрізку. Тоді площа поверхні обертання визначається формулою Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f 'x 2 d x.