44 физически допълнения към певческата интегрална inurl livre. Геометрично определение на стойността на интеграла. Obsyag tila опаковане

41.1. Интегрални схеми за съхранение

Не е необходимо да знаете значението на геометричен или физически размер А (площ на фигурата, обем на тил, захват на линия върху вертикална плоча и т.н.), обвързан с общата змия на независима зима. За да се прехвърли, добре, стойността на A е адитивна, тоест E. Така че, когато rozbittі vídrіzka [a; b] от точката h е (a; b) върху частта [a; h] i [s; б] стойността на стойността А, във всички случаи като [а; b], dorіvnyu sumі й значение, scho иdpovіdaut [a; h] i [s; б].

За да се знае стойността на A, е възможно да се керувира една от двете схеми: Схема I (или методът на интегрални суми) и II схема (или диференциалният метод).

Първата схема се основава на обозначаването на певческия интеграл.

1. Точки x 0 = a, x 1, ..., x n = b за разбиване на [a; b] на n части. Всъщност стойността на A ще се повиши до n "елементарни добавки" ΔAi (i = 1, ..., n): А = ΔA 1 + ΔА 2 + ... + ΔА n.

2. Демонстрирайте кожата „елементарен добанок“ с оглед на създаването на deyakoi funktsii (както трябва да започне от съзнанието на задачите), изчислено в най -важната точка от общия резултат за издръжливостта на йогите: ΔA i ≈ ci (ci) Δx i.

С известна близка стойност на ΔA i, нека приемем, че дъгата е простена: дъга с малко закъснение може да бъде заменена с хорда, която се дърпа заедно; Промяната в скоростта на малка дата може да се направи много бързо и т.н.

Otrimamo близо до стойността на A в интегралната сума:

3. Shukan е стойността на A преди границата на интегралната сума, т.е. E.

Значенията „метод на суми“, подобно на bacimo, се използват при представянето на интеграла, подобно на сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки числа.

Схема I на топката е залепена за настройка на геометричния и физически интегрален пеещ zmisty.

Друга схема е просто модификация на схема I и се нарича "диференциален метод" или "метод за виждане на неограничено малки различни поръчки":

1) на vidrizka [a; б] вибрационно консервативни стойности на x и показване на промените в дисплея [a; NS]. Като цяло стойността на A става функция на x: A = A (x), т.е. E. Vvazhamo, която е част от стойността на шукан на A е, не е функция на A (x), de x е един от параметрите на стойността на A;

2) ние знаем главната част на нарастването ΔA при промяна на x с малка стойност Δx = dx, т.е.известен е диференциалният dA на функцията A = A (x): dA = ƒ (x) dx, de задачи, функции на промяна (тук също можете да поискате помощ);

3) vazayuchi, scho dA ≈ ΔА при Δх → 0, шуканът знае стойността на интеграцията dA в интервалите от a до b:

41.2. Изчисляване на площта на плоски фигури

правоъгълни координати

Както вече е установено (раздел. "Геометричен сензорен интеграл"), площта на извития трапец, изпеченото "вище" на оста на абсцисата (ƒ (x) ≥ 0), обратно към общия певчески интеграл:

Формула (41.1) е оградена чрез съхраняване на схема I - метода на сумата. Формула (41.1), виктористка схема II. Нека извитият трапец да бъде заобиколен от линии y = ƒ (x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (раздел. Фиг. 174).

За добре познатата област на S трапеция на викон на началото на операцията:

1. Vzzmemo dovіlne x Î [a; b] и ще приемем, че S = S (x).

2. Дамо аргумента x pririst Δx = dx (x + Δx е [a; b]). Функцията S = S (x) е да получи увеличение на ΔS, което е площ на "елементарен извит трапец" (на малка картинка).

Диференциална площ dS е главата част на нарастването ΔS при Δх → 0, и, очевидно, в областта на пътя на правоъгълника с основата dx и височината y: dS = y dx.

3. Интегриране на диференциацията на равенството в границите от x = a до x = b, обсебен

Очевидно криволинейният трапец е изпечен "под" оста Ox (ƒ (x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулите (41.1) и (41.2) могат да бъдат комбинирани в една:

Площта на фигурата, заобиколена от криви y = = fι (x) і u = ƒg (x), с линии x = a и х = b (зад ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) ( отр. Фиг. 175), можете да знаете зад формулата

Ако фигурата е плоска, имам "сгъваема" форма (раздел. Фиг. 176), след това права, успоредна на оста Oy и след това нарязана на парчета, така че да можете да използвате същите формули.

Тъй като извитият трапец е заобиколен от прави линии y = s і y = d, vіssu Oy и непрекъснато извит х = φ (y) ≥ 0 (раздел. Фиг. 177), тогава нейната област е зад формулата

I, nareshty, като криволинеен трапец, заобиколен от крива, зададен параметрично

прави линии x = aih = bіssu О, тогава площта й е зад формулата

de a и β се определят от еквивалентността x (a) = a i x (β) = b.

Приклад 41.1. Да се знае площта на фигурата, заобиколена от vissu Oh и от графиката на функцията y = x 2 - 2x при x.

Решение: Figura maê viglyad, изображения на бебе 178. Известно е в областта S:

Приклад 41.2. Пребройте площта на фигурката, заобиколена от елипса x = a cos t, y = b sin t.

Решение: Известно е от група с 1/4 площ S. Тук x се променя от 0 на a, от същото, t се променя от 0 на 0 (разд. Фиг. 179). знае се:

В такъв ранг. Следователно, S = π аВ.

полярни координати

Познаваме площта S на извития сектор, т.е. плоска фигура, преплетена с непрекъсната линия r = r (φ) и две разменяния φ = a и φ = β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - диференциален метод.

1. Нека вземем част от областта Shukan S като функция на kut φ, тоест S = S (φ), ако a ≤ φ ≤ β (ако φ = a, тогава S (a) = 0, ако φ = β, тогава S (β) = S).

2. Ако текущият полярен разрез φ има увеличение на Δφ = dφ, тогава площта на AS ще се увеличи до площта на „елементарния извит сектор“ OAB.

Диференциалният dS е главата на нарастването ΔS при dφ → 0 и пътни зони на кръговия сектор Около AC (засенчен в минута) на радиуса r с централния ръб dφ. Том

3. Интегриране на подравняването между границите от φ = a до φ = β,

Приклад 41.3. Познайте площта на фигурата, заобиколена от „трояк с три венчелистчета“ r = acos3φ (раздел. Фиг. 181).

Решение: Известно е, че е известна площта на половината от една кора от "Trojandi", тоест 1/6 от цялата площ на фигурката:

тоест. Отже,

Тъй като фигурата е плоска, "сгъвам" формата, след това на свой ред, като отивам от полюсите и отивам към извитите сектори, докато засуша, ще направя формула за известната област. И така, за фигурка, изображение на бебе 182, маемо:

41.3. Изчисляване на дъгата на плоска крива

правоъгълни координати

Нека в права линия е дадена плоска крива AB, равна на v = ƒ (x), de a≤x≤ b.

От линията на дъгата AB границата расте, докато стане прагматична, докато линията на ламана не бъде вписана в дъгата, ако броят на лентите на ламана не е между растежа, а броят на лентите на най -ланката е прагне до нула. Ще бъде показано, че ако функцията y = ƒ (x) и й е наследена от "= ƒ" (x), не се прекъсва по начина [a; b], тогава кривата AV е maê dovzhinu, rívnu

Застосуем схема I (метод на сумата).

1. Точки x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Довжин джорди (Аболанка Ламано) ΔL 1 може да бъде известен с теоремата на Питагор с трико с крака Δx i і Δу i:

Според теоремата на Лагранж за допълнителните функции за издръжливост Δu i = ƒ "(z i) Δх i, de ci е (x i-1; x i).

и всички ламани могат да ядат M 0 M 1 ... M n dorivnyu

3. Лина лкрив AB, за viznachennyam, път

Забележително, когато ΔL i → 0 също и Δx i → 0 ΔLi = аз също, | Δx i |<ΔL i).

функция не се прекъсва въз основа на [a; b], така че зад мивката функцията ƒ "(x) да не се прекъсва. Отже, иnuê между интегралната сума (41.4), ако max Δx i → 0 :

В такъв ранг, но в бърз запис л =

Ако уравнението на кривата AB е дадено в параметричен вид

de x (t) і y (t) - непрекъснати функции с непрекъснати функции и х (а) = а, х (β) = b, след това довжина лкривата AV стои зад формулата

Формула (41.5) може да бъде изрязана от формула (41.3), като зададете x = x (t), dx = x "(t) dt,

Приклад 41.4. Знайте вечерята на залог на Радиус Р.

Решение: Ние знаем 1/4 част от нейните дожини от точка (0; R) до точка (R; 0) (раздел. Фиг. 184). Така че яко тогава

да означава, л= 2π R. Ако напишете залог в параметричния изглед x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π), тогава

Изчисляването на дъгата може да се основава на диференциалния метод. Ще бъде показано, че е възможно да се отхвърли формула (41.3), като има застой на схема II (диференциален метод).

1. Стойността на x е [a; b] и ясно видим дисплей [a; NS]. Нова стойност лнова функция от x, tobto л = л(NS) ( л(А) = 0 и л(В) = л).

2. Знаем диференциала длфункции л = л(X) при промяна на x с малка стойност Δx = dx: дл = л"(X) dx. Знаем л"(X), заменете безкрайно малката дъга MN с хордата Δ л, Свиване на qiu дъга (разд. Фиг. 185):

3. Интегрира dl между a до b, обсебен

паритет се нарича диференциална формула на дъгата в правоъгълни координати.

Така че y y "x = -dy / dx, тогава

Оставащата формула е теоремата на Питагор за безкрайно малка триколка MST (раздел. Фиг. 186).

полярни координати

Нека кривата АВ бъде зададена равна в полярни координати r = r (φ), и≤φ≤β. Допуска се, че r (φ) і r "(φ) не се прекъсва от посоката [a; β].

Ако при равенствата x = rcosφ, y = rsinφ, където се използват полярните и декартовите координати, параметърът е равен на φ, тогава кривата AB може да бъде зададена параметрично

Формула на Застосовучи (41.5),

Приклад 41,5. Знайте количеството кардиоиди r = = a (1 + cosφ).

Решение: Кардиоид r = a (1 + cosφ) ma viglyad, изображения на бебе 187. Вона е симетрична на полярната ос. Знаем половината от общото количество кардиоиди:

В този ранг 1 / 2l = 4a. Следователно, l = 8а.

41.4. Изчислено обсягу тила

Изчисляването на сумата на парите за всяка област на паралелен perereziv

Не е необходимо да знаете обема на V етажа, освен това в областта S на напречното сечение на пода, площите, перпендикулярни на главната ос, например оста Ox: S = S (x), a ≤ x ≤ b.

1. През достатъчна точка x е начертайте равнина Π, перпендикулярна на оста Ox (разд. Фиг. 188). По отношение на S (x), площта е запълнена от цяла област; S (x) може да вижда и променя без прекъсване при смяна. Чрез v (x) има смисъл да се размени част от тялото, как да лежи повече от областта P. x] стойността v е функцията на x, тоест v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V).

2. Знаем диференциала dV на функцията v = v (x). Win е "елементарна топка" на пода, разположена между успоредни области, която прелива от Oh в точките x і х + Δх, която може приблизително да бъде взета над цилиндъра с основата S (x) і височина dx. Към това диференциалният обем dV = S (x) dx.

3. На Шукан е известна стойността на V чрез интегриране dA в границите от a до B:

Формулата на Отриман се нарича формулата obsyagu tila в областта на успоредните пресичания.

Приклад 41 .6. Знайте obsyag elipsoyda

Решение: Rossіkayuchi elípsoїd област, паралелна зона Oyz и на първо място ≤х≤а), otrimaєmo elips (div. fig. 189):

Площта на елипсата

Том, по формула (41.6),

Obsyag tila опаковане

Не се приближавайте до оста Oh, за да увиете извит трапец, заобиколен от непрекъсната линия y = ƒ (x) 0, с дълга a ≤ x ≤ bі прави линии x = a í x = b (раздел. Фиг. 190) . Отримана от опаковката на фигурата се нарича опаковане. Peretin ts'go til с площ, перпендикулярна на оста Ox, изтеглена през определена точка x на оста Ox (x Î [А; b]), е коло с радиус у = ƒ (x). От същото, S (x) = π y 2.

Формулата на Zastosovyuchi (41.6) obsyagu til в областта на успоредните пресичания, може да бъде разпозната

Като извит трапец, графиката не е без прекъсване с функция = φ (y) ≥ 0 и прави линии x = 0, y = c,

y = d (s< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Приклад 41.7. За да знаете обема на til, поставете в обвивките на фигурата, заобиколен от линиите около оста Oy (разд. Фиг. 191).

Решение: За формулата (41.8) знаем:

41.5. Прогнозна повърхностна обвивка

Нека кривата AB е графична функция y = ƒ (x) ≥ 0, de x е [a; b], а функцията y = ƒ (x) і й е наследена от "= ƒ" (x) не се прекъсва по никакъв начин.

Познаваме площта S на повърхността, настроена към обвивките на извитата AB близо до оста Ox.

Застосуем схема II (диференциален метод).

1. Чрез определена точка x е [a; b] начертайте област Π, перпендикулярна на оста Ox. Областта Π прелива повърхността на обвивката около залога с радиус y = ƒ (x) (раздел. Фиг. 192). Стойността S на повърхностната част на фигурата е опакована, но да лежи повече от площта, е функция на x, т.е. S = s (x) (s (a) = 0 í s (b) = S).

2. Аргумент на Damo x pririst Δx = dx. Чрез точката x + dx е [a; b] също се изчертава равнина, перпендикулярна на оста Ox. Функцията s = s (x) е да получи увеличението на Az, което е изобразено на малкия от визуализатора "Pask".

Знаем диференциала на площта ds, ще го поправя с хватките на фигурата, ще увеличим конуса, аз ще го поправя. дл, Радиусът е равен на y + dy. Площта на другата страна на пътя ds = π (Y + y + dy) дл=2π при дл + π dydl... Отворете телевизионния dydl като безкрайно малка поръчка, по -ниски ds, приемливи ds = 2 π при дл, Або, така яко

3. Интегриране на диференциацията на равенството в границите от x = a до x = b, обсебен

Ако кривата АВ е дадена с параметрични еквиваленти x = x (t), y = y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, тогава формулата (41.9) за площта на обгръщащата повърхност

Приклад 41,8. Познайте площта на повърхността на охладителя с радиус R.

Приклад 41.9. даден циклоид

За да знаете площта на повърхността, задайте обвивките около оста Oh.

Решение: Когато половината от дъгата е обвита, циклоидът е около оста Ox, повърхността е обвита.

41.6. Механични допълнения на певческия интеграл

Робот със зимни сили

Не премествайте материалната точка M, за да преместите оста на оста Oh преди промяната на силата F = F (x), подравнена успоредно на оста. Робот, вибриран със сила, когато точката M се измести от позиция x = a в позиция x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Приклад 41.10 Як роботът трябва да похарчи, за да опъне пружината с 0,05 м, ако силата е 100 Н, за да опъне пружината с 0,01 м?

Решение: Зад закона на Хук, пружинната сила, която разтяга пружината, е пропорционална на разтягането x, т.е.F = KX, de k е коефициентът на пропорция. В края на задачата за измиване, силата F = 100 N дърпа пружината до x = 0.01 m; същото, 100 = k * 0,01, звезди k = 10000; същото, F = 10000x.

Шукана на робота въз основа на формулата (41.10)

Приклад 41.11. За да знаете на робота, ако е необходимо да го похарчите, да уикачите над ръба на жлеба от вертикалния цилиндричен резервоар с височина H m и радиус на основата R m.

Решение: Робот, който е в състояние да включи височината на височината на височината на h, път към височината на h. Всички растителни топки в резервоарите са разположени по долните склонове и височината на асансьора (до ръба на резервоара) на малките топки не е еднаква.

Схема II (диференциален метод) се използва за проверка на обозначението на комплекта. Координатната система е въведена, както е посочено на малко 193.

1. Роботът, който ще види викачуването от резервоара на топката от ридини товщиную x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Известна е главната част на приращението ΔA при промяна на x със стойността Δx = dx, т.е. Диференциалът dA на функцията A (x) е известен.

Zvazhayuchi на krykhta dx vazhaêmo, така че "елементарната" топка на линията е на една и съща дължина (към ръба на резервоара) (диви. Фиг. 193). Todi dA \ u003d dp * x, de dp - wha ts'go топката; vín dorіvnyuê g * g dv, de g - ускорено vínnogo fadіnnya, g - владеене на rídini, dv - obsyag "елементарна" топка на ridini (за малко wín визии), тоест dp = gg dv. Obyaz към определената топка ridini, очевидно, dorіvnyuê π R 2 dx, de dx - височината на цилиндъра (топката), π R 2 - зоната на съня ви, tobto. E. Dv = π R 2 dx.

В такъв ранг dp = gg π R 2 dx и dA = gg π R 2 dx * x.

3) интегриране на разликата между ръбовете от x = 0 до x = H, е известно

Шлях, пасажи по тил

Нека материалната точка се движи по права линия през променящата се скорост v = v (t). Знаем пътя S, той преминава за час от t 1 до t 2.

Решение: От физическата промяна на простодушния изглед, от часа до точката в една права линия, „скоростта на правата линия на пътя до простосмисления маршрут по час“, т.е. Интегриране на разликата между границите от t 1 до t 2, тя се признава

Очевидно формулата може да бъде елиминирана чрез използване на схема I или II, съхраняваща пеещия интеграл.

Приклад 41.12. Познайте пътя, преминавайки през 4 секунди до колоса на царевицата, тъй като скоростта на пода е v (t) = 10t + 2 (m / s).

Решение: Ако v (t) = 10t + 2 (m / s), тогава една разходка преминава само през колоса на царевица (t = 0) до края на четвъртата секунда, път

Ridini менгеме на вертикална плоча

Очевидно, поради закона на Паскал, захващането на една линия върху хоризонтална плоча е скъпа линия от линия на линия, когато плащам такса, а по тегло - дълбочина на линията от вертикалната повърхност на Сидин, че е, E. P * = h * de g * под, g - дебелина на линията, S - площ на плочата, h - площ.

За тази формула можете да шукатирате захвата на линията върху вертикално пробитата плоча, така че точката да лежи върху малките склонове.

Нека плочата да бъде пробита вертикално в пътя, заобиколена от линии x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) і y 2 = ƒ 2 (x); координатната система на вибра е такава, както е посочено на малката 194. За знанието за захващането на Ридини върху плочата се използва схемата II (диференциалният метод).

1. Нека частта от стойността на шукано P е функция от x: p = p (x), тоест P = p (x) е порок на част от плочата, която е подобна на [a; x] стойността на бръчката x, de x е [a; b] (p (a) = 0, p (b) = P).

2. Аргумент на Damo x pririst Δx = dx. Функция p (x) за победа? P (за бебе - малка топка от dx). Знаем диференциалния dp на функцията. Дрънкайки върху dx krykhta, ще бъдем близо до квадрата с правоъгълник, всички петна от който се намират на същия глибин, тоест плочата е хоризонтална.

Тоди зад закона на Паскал

3. Интегриране на изрязването на паритета в границите от x = a до x = B,

Приклад 41.13. Viznachit величината на сцеплението на задвижването върху колелото, вертикално по пътеката, където радиусът е R, а центърът е върху повърхността на задвижването (разд. Фиг. 195).

Статичният момент S y на системата на оста

Тъй като масовият rozpodіlenі bezperervnim ранг на сдържане deyakoi криво, след това за въртене на статичния момент, интегриране.

Nekhai y = ƒ (x) (a≤ x≤ b) - стойността на кривата на материала AB. Ще я vvvat едностранно с пост-линейна линия g (g = const).

За превилен x е [a; b] на кривата АВ има точка с координати (x; y). Видимо на кривата на елементарния dl, за да отмъсти на точката (x; y). Тоди маса на тази дилянка доривню г дл. Допустимият dl е близо до точката, от разстоянието от оста Oh до гърба. Диференциалът на статичния момент dS x ("елементарен момент") ще бъде подходящ за g dly, т.е. DS x = g dlу (раздел. Фиг. 196).

Svidsy vyplyaє, но статичният момент S x извит AB от оста Oh dorivnyu

По същия начин знаем S y:

Статичните моменти S x и S y криви позволяват лесно позициониране на центъра на ваги (център на масата).

Центърът на плоската крива на тежки материали y = ƒ (x), x Î се нарича точката на зоната, когато Володя е нападателната сила: ако в цялата точка на средата цялата маса m е дадена криво, тогава статичната моментът на пътя на точката е както винаги координата крива y = u (x) е много подобна на оста. Нека обозначим с C (x c; y c) центъра на вагите на кривата AB.

Центърът на колата трябва да е равен Звидси

Изчисляване на статични моменти и координати на центъра на вагина на плоска фигура

Нека дадем материална плоска фигура (плоча), заобиколена от крива y = ƒ (x) 0 и прави линии y = 0, x = a, x = b (раздел. Фиг. 198).

Ще вземем предвид, че повърхността на плочата е постоянна (g = const). Todi masa "всички плочи са врати g * S, т.е.E Видим елементарен делинк на плочата в близост до виглиада, неопределено висок вертикален смог и ще бъде приближен от право напред.

Todi masa yogo dorivnyuê g ydx. Центърът на тежестта на правоъгълника Z лежи върху напречното сечение на диагоналите на правоъгълника. Точката C отива от оста Ox до 1/2 * y, а от оста Oy до x (затваряне; по -точно, в точката x + 1/2 Δx). Тоди за елементарните статични моменти на осите Oh и Oy

Otzhe, центърът на wagi maê координати

Стойностите на интеграла (OI) се използват широко в практическите допълнения към математиката и физиката.

След деня, в геометриите зад другия OI има области с прости фигури и сгъваеми повърхности, обемна обвивка и модерна форма, повече криви в областта и в пространството.

Физиката и теоретичната механика на OI се използват за изчисляване на статични моменти, маса и центрове на маси от материални криви и повърхности, за изчисляване на роботизирана сила по извит път и в.

Площта на плоската фигура

Нямате плоска фигура в декартовата правоъгълна координатна система $ xOy $ в горната част, заобиколена от крива $ y = y_ (1) \ вляво (x \ вдясно) $, в долната част - с крива $ y = y_ ( 2) \ наляво (x \ надясно) $, а от дясната страна с вертикални линии $ x = a $ і $ x = b $ очевидно. В ревностна зона на vipad на такава фигура се обърнете за допълнително OI $ S = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) \ left (x \ right) -y_ ( 2) \ наляво (x \ надясно) \ надясно) \ cdot dx $.

Също така плоска фигура в декартовата правоъгълна координатна система $ xOy $ е заобиколена от крива $ x = x_ (1) \ наляво (y \ надясно) $ отдясно, крива $ x = x_ (2) \ наляво ( y \ вдясно) $, а отдолу и отгоре чрез хоризонтални прави линии $ y = c $ і $ y = d $ сякаш, тогава площта на такава фигура ще се обърне зад другите OI $ S = \ int \ лимити _ (c) ^ (d) \ вляво (x_ (1) \ вляво (y \ вдясно) -x_ (2) \ вляво (y \ вдясно) \ вдясно) \ cdot dy $

Нямате плоска фигура (вигнен сектор), която може да се разглежда в полярни координатни системи, се задава от графиката на непрекъсната функция $ \ rho = \ rho \ наляво (\ phi \ надясно) $, както и две обмени към преминете през $ \ phi = \ alpha $ i $ \ phi = \ beta $ е правилно. Формулата за изчисляване на площта на такъв извит сектор на ma viglyad: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2 ) \ наляво (\ phi \ надясно) \ cdot d \ phi $.

Довжина дъга крива

$ \ Наляво [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ кривата е зададена равна на $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $ в полярни координатни системи, след това дъгата на дъгата се изчислява според допълнителните OI $ L = \ int \ limit _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) + \ rho " ^ (2) \ left (\ phi \ right)) \ cdot d \ фи $.

Ако кривата е дадена равна на $ y = y \ наляво (x \ надясно) $ на $ \ лявата $ линия, тогава дъгата на дъгата се изчислява за допълнителните OI $ L = \ int \ лимити _ (а) ^ (б) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ наляво (x \ надясно)) \ cdot dx $.

$ \ Наляво [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ кривата е зададена параметрично, така че $ x = x \ left (t \ right) $, $ y = y \ left (t \ right) $, тогава дъгата й се изчислява за допълнителния OI $ L = \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x " ^ (2) \ left (t \ right) + y" ^ (2) \ left (t \ right)) \ cdot dt $.

Изброяване на obsyagu tila зад областите на паралелни perereziv

Не е необходимо да знаете обема на просторния под, координатите на точките на който сме доволни от $ a \ le x \ le b $ и за който във всяка област има кръст в $ S \ вляво (x \ вдясно) $ с площи, перпендикулярни на оста $ Ox $.

Формулата за изчисляване на такъв tila maê viglyad е $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ наляво (x \ надясно) \ cdot dx $.

Obsyag tila опаковане

Отидете до края на $ \ left $, е дадена неотрицателна непрекъсната функция $ y = y \ left (x \ right) $, която създава извит трапец (CRT). Ако увиете MCT около оста $ Ox $, тогава се преструвате на справедлив, извикан от опаковката.

Числовото обсягу тила обвивка е ние ще ограничим броя на номерираното количество тяло зад дадените области на паралелни преходи. Подобно на формулата на maverick $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ наляво (x \ надясно) \ cdot dx $.

Нямате плоска фигура в декартовата правоъгълна координатна система $ xOy $ отгоре, тя е заобиколена от крива $ y = y_ (1) \ наляво (x \ надясно) $, в долната част - с крива $ y = y_ (2) \ наляво (x \ надясно) $, de $ y_ (1) \ наляво (x \ надясно) $ і $ y_ (2) \ наляво (x \ надясно) $ - няма функция без прекъсване, и грешно и десни вертикални линии $ x = a $ і $ x = b $ със сигурност. Todi obsyag til, настроен на обвивки около оста $ Ox $, завъртете OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ наляво (y_ (1) ^ (2) \ наляво (x \ вдясно) -y_ (2) ^ (2) \ вляво (x \ вдясно) \ вдясно) \ cdot dx $.

Нямате плоска фигура в декартовата правоъгълна координатна система $ xOy $ вдясно е заобиколена от крива $ x = x_ (1) \ наляво (y \ надясно) $, в грешната - крива $ x = x_ ( 2) \ left (y \ right) $, de $ x_ (1) \ left (y \ right) $ і $ x_ (2) \ left (y \ right) $ - няма функция без прекъсване, а отдолу и отгоре от хоризонтални линии $ y = c $ і $ y = d $ със сигурност. Todi obsyag til, прието от обвивките на фигурата около оста $ Oy $, завъртете OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ наляво (x_ (1) ^ (2) \ ляво (y \ дясно) -x_ (2) ^ (2) \ ляво (y \ дясно) \ дясно) \ cdot dy $.

Областта на повърхността е обвита

Нека да отидем на $ \ left $ неотрицателна функция $ y = y \ left (x \ right) $ с непрекъсната проста $ y "\ left (x \ right) $ е дадена. $, След това самата тя е настроена само на обвивка , а дъгата на MCT е към нейната повърхност. \ вдясно) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ вляво (x \ вдясно)) \ cdot dx $.

Допуска се, че кривата $ x = \ phi \ наляво (y \ надясно) $, de $ \ phi \ наляво (y \ надясно) $ - е дадена на $ c \ le y \ le d $ е неотрицателна функция, увийте около оста $ Oy $. В края на обхвата на площта на повърхността на зададеното тяло, обвивката е усукана OI $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ phi \ вляво (y \ вдясно) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ вляво (y \ вдясно)) \ cdot dy $.

Физически добавки OI

За детектора за разстояние, по време на часа $ t = T $ с промяна в течливостта на материалната точка $ v = v \ наляво (t \ надясно) $ на материалната точка, когато падането започва в момента на часа $ t = t_ (0) $, победителят е OI $ S = \ int \ limits _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
За да изчислим роботизираната сила, $ F = F \ наляво (x \ надясно) $, за да достигнем материалната точка, да се движим по права линия от оста $ Ox $ от точката $ x = a $ до точката $ x = b $ (директно díї власт да се махне от пътя) vikoristovuyu OI $ A = \ int \ limits _ (a) ^ (b) F \ наляво (x \ надясно) \ cdot dx $.
Статичните моменти от координатните оси на материалната крива $ y = y \ наляво (x \ надясно) $ до интервала $ \ наляво $ се въртят по формулите $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a ) ^ (б) y \ наляво (x \ надясно) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ наляво (x \ надясно)) \ cdot dx $ и $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ лимити _ (а) ^ (б) x \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ наляво (x \ надясно)) \ cdot dx $.
Центърът на изкривен материал е точка, в която целият свят е умело сортиран в такъв ранг, че статичните моменти на точката по координатните оси се приспособяват към общите статични моменти на всички криви като цяло .

Формули за изчисляване на координати до центъра на плоска извита маса $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ вляво ( x \ вдясно)) \ cdot dx) (\ int \ ограничения _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ вляво (x \ вдясно)) \ cdot dx) $ і $ y_ ( C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx ) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ вляво (x \ вдясно)) \ cdot dx) $.

Статични моменти на материална плоска фигура в CMT визуализатора с редица координатни оси се въртят по формулите $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (б) y ^ (2) \ наляво (x \ надясно) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ лимити _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ наляво (x \ вдясно) \ cdot dx $.
Координирайте центъра на масивна плоска фигура в зрителя на MCT, зададена от кривата $ y = y \ наляво (x \ надясно) $ с интервала $ \ наляво $, изчислено по формулите $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right ) \ cdot dx) $ і $ y_ (C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ вляво (x \ вдясно) \ cdot dx) (\ int \ ограничения _ (a) ^ (b) y \ наляво (x \ надясно) \ cdot dx) $.

Тема 6.10. Геометрични и физически допълнения към певческия интеграл

1. Площта на извития трапец, преплетена от кривата y = f (x) (f (x)> 0), от правите линии x = a, x = b и успоредната ос [a, b] Ox, изчислено по формулата

2. Площта на фигурата, заобиколена от криви y = f (x) и y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Ако кривата е дадена от параметрично равни параметри x = x (t), y = y (t), тогава площта на извития трапец, която е заобиколена от права крива и от правите линии x = a , x = b, се намира зад формулата

4. Nekhai S (x) - площта на пода е перпендикулярна на оста Ox, само частта от пода, разположена между зоните на перпендикулярната ос x = a і x = b, се намира зад формулата

5. Не отивайте на извит трапец, заобиколен от крива y = f (x) и прави линии y = 0, x = a и х = b, увийте около оста Oh, направете обкръжението да се изчисли по формулата

6. Не отивайте на извит трапец, заобиколен от крива х = g (y) і

прави линии x = 0, y = c і y = d, увийте около оста O y, todі увийте около обвивката, за да се изчисли по формулата

7. Ако плоска крива е доведена до правоъгълна координатна система и е дадена равна на y = f (x) (или x = F (y)), тогава усилването на дъгата се определя по формулата

Начало> Лекции

Лекция 18. Допълнения на певческия интеграл.

18.1. Изброяване на области с плоски фигури.

Изглежда, пеещ интеграл на ръба на областта на извит трапец, заобиколен от графика на функцията f (x). Ако графиката на зашиване е по -ниска от оста Ox, tobto f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, тогава областта е маркирана със знак "+".

За познаване на общата площ формулата е победителна.

Районът на фигурките, заобиколен от линии на деяким, може да бъде известен зад помощта на пеещи интеграли, както и от общите линии.

Задник.Познайте площта на фигурките, заобиколени от линии y = x, y = x 2, x = 2.

Зоната на Шукана (засенчена на фигурата) може да се намери зад формулата:

18.2. Познаване на областта на кривия сектор.

За известната област на извития сектор е въведена полярна координатна система. Rivnyannya криво, scho преплитащо сектора в цялата координатна система, ma viglyad  = f (), de - dovzhyna radius - вектори, scho един полюс от кривата точка, и  - kut nahila радиус - вектора към полярния ...

Площта на извития сектор може да се намери зад формулата

18.3. Изчисляването на кривата е криво.

y y = f (x)

IS i y i

Dovzhina lamanoi linea, yaka vidpovidak duzi, може би познавате Як
.

Todi dovzhina дъга dorivnyu
.

Три геометрични миркувана:

В същия час

Тоди може да се покаже

Тобто

Ако кривата е дадена параметрично, тогава, въз основа на правилата за изчисляване на старото параметрично, тя е

de x =  (t) и у =  (t).

какво е дадено просторна крива, І х =  (t), у =  (t) и z = Z (t), тогава

Кривата на Якшо е зададена полярни координати, тогава

,  = f ().

задник:Знайте размера на залога, даден на семейството x 2 + y 2 = r 2.

1 начин Vislovimo от rívnyannya zminnu.

Знам, че ще отида

Todi S = 2r. Отрималновидом формула дожини кола.

2 начинАко ви е дадена права в полярни координатни системи, тя е обсебена: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, така че функцията  = f () = r,
Тоди

18.4. Изчислен обем

Изчисляването на obsyagu tila зад дадените области на паралелния perereziv.

Не се притеснявайте за това V. Областта на всяка напречна рецесия на тялото Q, под формата на непрекъсната функция Q = Q (x). Розиб'ємо тило на "шари" с напречни пресичания, които преминават през точките x и rozbittya vídrizka. Трептенията за някакъв междинен тип функция Q (x) не се прекъсват, тогава се приема за най -новата за най -малката стойност. Показателно е, че те са получени от M i i m i.

Ако на чич най -голямото и най -малкото преобръщане, ако цилиндрите са изградени с успоредни оси, тогава люлките на цилиндрите ще бъдат подобни помежду си M i x i i m i x i тук i - x i = x.

Ако сте предоставили такова насърчение за всички видове розита, свалете цилиндри, искания за такава информация
і
.

Когато прагматичен до нула, crocus rosbitta , tsi sumi може да причини загална граница:

В такъв ранг obsyag tila може да се намери в знанията зад формулата:

В малък брой формули тези, които са необходими за познаването на функцията Q (x), са необходими за познаването на функцията, но това е проблематично за сгъваемите тела.

задник:Знайте за радиуса „um kuli R.

При напречните напречни клапи на боула има кол с променлив радиус. В същото време от координатите на потока x tsei радиус, следвайте формулата
.

Тоди функция на зоната на свръхрегулиране на виглията: Q (x) =
.

Отримуемо обем кули:

задник:За да знаете за големия размер на квадрата на пространството S.

Когато се преобърнат от области, перпендикулярни на височината, в течение на определен период от време можем да видим фигури, някои от тях. Коефициентите за нуждите на тези цифри за транспортиране x / H, de x - преминават от областта до върха на пирамидата.

Геометрия на изгледа, показваща площта на допълнителни фигури за транспортиране на съоръженията на площада, tobto

Ще можем да разпознаем функцията на областите на свитата:

Известно е за обсягните пирамиди:

18.5. Obsyag до опаковане.

Кривата е видима, дадена равна на y = f (x). Допуска се, че функцията f (x) е непрекъсната. Докато рисувам криволинейния трапец с основите a и b, увити около оста опаковане на тило.

y = f (x)

Oskílki дермални peretin tila област x = const е коло радиус
Тогава опаковката от obsyag tila може лесно да се намери зад формулата на отриман више:

18.6. Областта на повърхността е обвита.

M i B

стойност: Увиване на плоска повърхностИзкривената АВ близо до дадената ос се нарича граница, докато площта на повърхността на обвивката на ламаничите, вписана в кривата АВ, се изтласка надолу до нулата, най -често срещаните зини на ламаничите.

Издигнете дъга AB на n части от точки M 0, M 1, M 2, ..., M n. Координатите на върховете са от римано ламано, координатите x i y y i. Когато ламината е обвита около оста, е възможно да се постави върху повърхността, която може да се сгъне от страничните повърхности на пресечените конуси, чиято площ е пътят P i. Qia на областта може да бъде известна с формулата:

Тук iS i е кожата jordi.

Теорема на Лагранж на Застосов (разд. Теорема на Лагранж) Преди обявяването
.

1. Площта на плоската фигура.

Районът на извития трапец, заобиколен от неотрицателна функция f (x), Vissy абсцис и прав x = a, x = b, Старт yak S = ∫ a b f x d x.

Районът на кривия трапец

Област Фигури, свързана помежду си по функция f (x),, Започнете с формулата S = Σ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - Σ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i- нулеви функции. С други думи, трябва да преброите площта на центъра на фигурата, трябва да я разбиете нули на функции f (x)отчасти интегрирайте функцията евърху кожата на viyshov на изтъкнатостта на постоянството на знака, областта около ръбовете на интеграла по посока, върху някои функции еполучават знаци и разпознават от първия приятел.

2. Площта на извития сектор.

Районът на кривия сектор Разгленемо крив ρ = ρ (φ) в полярни координатни системи, де ρ (φ) - без прекъсване и неотрицателно на [α; β] функция. Фигура, заобиколена от извивка ρ (φ) и обмен φ = α , φ = β , Да се нарече извит сектор. Площта на извития участък на пътя S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.

3. Obsyag tila опаковане.

Obsyag tila опаковане

Нека бъде увит около оста OX извит трапец, преплетен без прекъсване във формата функция f (x)... Yogo obsyag обърнете формулата V = π ∫ a b f 2 x d x.

Преди задачите за познаване на обема на тялото зад зоната на напречното надвишаване

Nehay tilo е положен между областите x = aі x = b, И зоната е изрязана от областта, така че преминете през точката х, - без прекъсване на функция σ (x)... Todi yogo obsyag път V = ∫ a b σ x d x.

4. Дъга Довжина крива.

Не давайте крива r → t = x t, y t, z t t = αі t = βзавъртете по формулата S = ∫ α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Dovzhina дъга на плосък крив Zokrem, dovzhina плосък крив, как да се постави върху координатната област ОКСИ rivnyannyam y = f (x), a ≤ x ≤ b, Залюляйте се по формулата S = ∫ a b 1 + f 'x 2 dx.

5. Площта на повърхността на опаковката.

Площта на повърхността е увита Нека повърхността е настроена на обвивките от оста OX графика на функцията y = f (x), a ≤ x ≤ b, Аз функционирам еЩе отида без прекъсване за цяла поредица от съобщения. Действителната площ на повърхността е обвита с формулата Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f 'x 2 d x.