adsby.ru → фізика Землі

Що таке діагональ паралелепіпеда. Діагональ паралелепіпеда. Формула. Як знайти діагональ паралелепіпеда? - Корисна інформація для всіх. Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

На цьому уроці всі бажаючі зможуть вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний і прямий паралелепіпеди, згадаємо властивості їх протилежних граней і діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, і обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих і площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1, ВСС 1 В 1, СDD 1 С 1, DАА 1 D 1, називається параллелепипедом(Рис. 1).

Мал. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівних паралелограма АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 (підстави), вони лежать в паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1, ВВ 1, DD 1, СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхню називається параллелепипедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, у тому числі складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

наприклад:

АВСD = А 1 В 1 С 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (так як АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 С 1 С (так як АА 1 D 1 D і ВВ 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1, В 1 D, А 1 С, D 1 В перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і поділяються точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - АА 1, ВВ 1, СС 1, DD 1.

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні підставах.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярно основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна прямим АD і АВ, які лежать в площині підстави. А, значить, в бічних гранях лежать прямокутники. А в підставах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні підставах паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Підстави є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDЕ 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині підстави, тобто паралелепіпед прямий).

2. ∠ВАD = 90 °, т. Е. В основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, які виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні основі. Підстава прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні основі. Значить, все бічні межі прямокутного паралелепіпеда - прямокутники.

3. Всі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, т. Е. Двогранний кут між площинами АВВ 1 і АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - в площині АВВ 1, а точка D в інший - в площині А 1 В 1 С 1 D 1. Тоді розглянутий двогранний кут можна ще визначити таким чином: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребрі АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребру АВ в площині АВВ- 1, AD перпендикуляр до ребру АВ в площині АВС. Значить, ∠А 1 АD - лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90 °, значить, двогранний кут при ребрі АВ дорівнює 90 °.

∠ (АВВ 1, АВС) = ∠ (АВ) = ∠А 1 АВD = ∠А 1 АD = 90 °.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСD 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести:.

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доведення:

Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, а значить, і прямий АС. Значить, трикутник СС 1 А - прямокутний. По теоремі Піфагора:

Розглянемо прямокутний трикутник АВС. По теоремі Піфагора:

Але ВС і AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, ВС = AD. тоді:

Так як , а , То. Оскільки СС 1 = АА 1, то що й потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо вимірювання паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. Рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = D В 1 =

Теорема. У всякому параллелепипеде протилежні грані рівні і паралельні.

Так, межі (рис.) BB 1 С 1 С і AA 1 D 1 D паралельні, тому, що дві пересічні прямі BB 1 і B 1 З 1 однієї грані паралельні двом пересічним прямим AA 1 і A 1 D 1 інший. Ці межі та є рівними, так як B 1 З 1 = A 1 D 1, B 1 B = A 1 A (як протилежні сторони паралелограма) і ∠BB 1 С 1 = ∠AA 1 D 1.

Теорема. У всякому параллелепипеде всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

Візьмемо (рис.) В паралелепіпеді якісь дві діагоналі, наприклад, AС 1 і DB 1, і проведемо прямі AB 1 і DС 1.

Так як ребра AD і B 1 З 1 відповідно рівні і паралельні ребру BС, то вони рівні і паралельні між собою.

Внаслідок цього фігура ADС 1 B 1 є паралелограм, в якому З 1 A і DB 1 - діагоналі, а в параллелограмме діагоналі перетинаються навпіл.

Це доказ можна повторити про кожних двох діагоналях.

Тому діагональ AC 1 перетинається з BD 1 навпіл, діагональ BD 1 з A 1 С навпіл.

Таким чином, всі діагоналі перетинаються навпіл і, отже, в одній точці.

Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Нехай (рис.) AC 1 є якась діагональ прямокутного паралелепіпеда.

Провівши AC, отримаємо два трикутника: AC 1 С і ACB. Обидва вони прямокутні:

перший тому, що паралелепіпед прямий, і отже, ребро СС 1 перпендикулярно до основи,

другий тому, що паралелепіпед прямокутний, значить в підставі його лежить прямокутник.

З цих трикутників знаходимо:

AC 2 +1 = AC 2 + СС 2 1 і AC 2 = AB 2 + BC 2

Отже, AC 2 +1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 +1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Слідство. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні.

Учням старших класів буде корисно навчитися вирішувати завдання ЄДІ на знаходження об'єму і інших невідомих параметрів прямокутного паралелепіпеда. Досвід попередніх років підтверджує той факт, що подібні завдання є для багатьох випускників досить складними.

При цьому розуміти, як знайти об'єм або площа прямокутного паралелепіпеда, повинні старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками здачі єдиного держіспиту з математики.

Основні нюанси, які варто запам'ятати

Паралелограми, з яких складається паралелепіпед, є його гранями, їх сторони - ребрами. Вершини цих фігур вважаються вершинами самого багатогранника.
Все діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Так як це прямий багатогранник, то бічні грані являють собою прямокутники.
Так як паралелепіпед - це призма, в основі якої знаходиться паралелограм, ця фігура має всі властивості призми.
Бічні ребра прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні основі. Отже, вони є його висотами.

Готуйтеся до ЄДІ разом зі «Школково»!

Щоб заняття проходили легко і максимально ефективно, вибирайте наш математичний портал. Тут ви знайдете весь необхідний матеріал, який буде потрібно на етапі підготовки до єдиного державного іспиту.

Фахівці освітнього проекту «Школково» пропонують піти від простого до складного: спочатку ми даємо теорію, основні формули і елементарні завдання з рішенням, а потім поступово переходимо до завдань експертного рівня. Ви можете потренуватися, наприклад, с.

Потрібну базову інформацію ви знайдете в розділі «Теоретична довідка». Ви також можете відразу приступити до вирішення завдань по темі «Прямокутний паралелепіпед» в онлайн-режимі. У розділі «Каталог» представлена велика добірка вправ різного ступеня складності. База завдань регулярно поповнюється.

Перевірте, чи легко ви зможете знайти об'єм прямокутного паралелепіпеда, прямо зараз. Розберіть будь-яке завдання. Якщо вправа дається вам легко, переходите до більш складним завданням. А якщо виникли певні складнощі, рекомендуємо вам планувати свій день таким чином, щоб ваш розклад включало заняття з дистанційним порталом «Школково».

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.