Що таке правильний шестикутник та які завдання з ним можуть бути пов'язані? Правильний шестикутник: чим він цікавий і як його побудувати Коли в шестикутник можна вписати коло

Математичні властивості

Особливість правильного шестикутника - рівність його боку і радіусу описаного кола, оскільки

Усі кути дорівнюють 120°.

Радіус вписаного кола дорівнює:

Периметр правильного шестикутника дорівнює:

Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:

Шестикутники замощують площину, тобто можуть заповнювати площину без пробілів та накладень, утворюючи так званий паркет.

Шестикутний паркет.- Замощення площини рівними правильними шестикутниками, розташованими сторона до сторони.

Шестикутний паркет є двояким трикутним паркетом: якщо з'єднати центри суміжних шестикутників, то проведені відрізки дадуть трикутний паркетаж. Символ Шлефлі шестикутного паркету - (6,3), що означає, що в кожній вершині паркету сходяться три шестикутники.

Шестикутний паркет є найбільш щільною упаковкою кіл на площині. У двовимірному евклідовому просторі найкращим заповненням є розміщення центрів кіл у вершинах паркету, утвореного правильними шестикутниками, у якому кожне коло оточене шістьма іншими. Щільність цієї упаковки дорівнює. У 1940 році було доведено, що ця упаковка є найбільш щільною.

Правильний шестикутник зі стороною є універсальною покришкою, тобто будь-яку множину діаметра можна покрити правильним шестикутником зі стороною (лема Пала).

Правильний шестикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Нижче наведено метод побудови, запропонований Евклідом у «Початках», книга IV, теорема 15.

Правильний шестикутник у природі, техніці та культурі

показують розбиття площини на правильні шестикутники. Шестикутна форма більше за інших дозволяє заощадити на стінках, тобто на стільники з такими осередками піде менше воску.

Деякі складні кристали та молекулинаприклад, графіт, мають гексагональну кристалічну решітку.

Утворюється, коли мікроскопічні краплі води у хмарах притягуються до пилових частинок і замерзають. Кристали льоду, що з'являються при цьому, не перевищують спочатку 0,1 мм в діаметрі, падають вниз і ростуть в результаті конденсації на них вологи з повітря. При цьому утворюються шестикінцеві кристалічні форми. Через структуру молекул води між променями кристала можливі кути лише 60° і 120°. Основний кристал води має у площині форму правильного шестикутника. На вершинах такого шестикутника потім осідають нові кристали, на них - нові, і так виходять різноманітні форми зірочок-сніжинок.

Вчені з Оксфордського університету змогли в лабораторних умовах змоделювати подібний гексагон. Щоб з'ясувати, як виникає така освіта, дослідники поставили на стіл, що обертається, 30-літровий балон з водою. Вона моделювала атмосферу Сатурна та її звичайне обертання. Усередині вчені помістили маленькі кільця, що обертаються швидше за ємність. Це генерувало мініатюрні вихори та струмені, які експериментатори візуалізували за допомогою зеленої фарби. Чим швидше оберталося кільце, тим більше вихори ставали, змушуючи прилеглий потік відхилятися від кругової форми. Таким чином, авторам досвіду вдалося отримати різні фігури - овали, трикутники, квадрати і, звичайно, шуканий шестикутник.

Пам'ятник природи приблизно з 40 000 з'єднаних між собою базальтових (рідше андезитових) колон, що утворилися в результаті древнього виверження вулкана. Розташований на північному сході Північної Ірландії за 3 км на північ від міста Бушмілса.

Верхівки колон утворюють подобу трампліну, який починається біля підніжжя скелі та зникає під поверхнею моря. Більшість колон шестикутні, хоча в деяких чотири, п'ять, сім та вісім кутів. Найвища колона заввишки близько 12 м-коду.

Близько 50-60 мільйонів років тому, під час палеогенового періоду, місце розташування Антрім зазнавало інтенсивної вулканічної активності, коли розплавлений базальт проникав через відкладення, формуючи великі лавові плато. У міру швидкого охолодження відбувалося скорочення обсягу речовини (подібне спостерігається при висиханні бруду). Горизонтальне стиск приводило до характерної структури шестигранних стовпів.

Перетин гайки має вигляд правильного шестикутника.

Побудова вписаного в коло правильного шестикутника.Побудова шестикутника полягає в тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити коло на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою (фіг. 60 а).

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною та косинцем 30X60°. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр кола за бісектрису кутів 1 і 4 (фіг. 60 б), будуємо сторони 1 -6, 4-3, 4-5 і 7-2, після чого проводимо сторони 5-6 і 3- 2.

Побудова вписаного в коло рівностороннього трикутника. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля та косинця з кутами 30 і 60° або тільки одного циркуля.

Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.

Перший спосіб(фіг. 61,a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60°, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0-1- 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони

1-2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0-1 кут 30°. Для цього встановлюємо рейсшину та косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1-2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати бік 2-3, встановлюємо рейсшину в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.

Другий спосібзаснований на тому, що якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, а потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.

Для побудови трикутника (фіг. 61 б) намічаємо на діаметрі вершину-точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1-4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D/2, описуємо дугу до перетину з колом у точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.

Побудова квадрата, вписаного в коло. Цю будову можна виконати за допомогою косинця та циркуля.

Перший спосіб заснований на тому, що квадрати діагоналі перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45°. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшину та косинець з кутами 45° так, як це показано на фіг. 62 а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4-1 і 3-2. Потім за допомогою рейсшини по катету косинця проводимо вертикальні сторони квадрата 1-2 та 4-3.

Другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги кола, укладені між кінцями діаметра (фіг. 62 б). Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом описуємо дуги до взаємного їх перетину.

Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відзначені на фігурі суцільними лініями. Крапки їх перетину з колом визначать вершини 1 та 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини квадрата, що шукається, з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.

Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник (фіг. 63), робимо такі побудови.

Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом у точках M і В. З'єднавши ці точки прямий, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральною лінією АТ у точці H. З'єднавши точку 1 з точкою H, отримаємо бік п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим самим розчином циркуля засічки з вершин 2 і 5, отримаємо решту вершин 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.

Побудова правильного п'ятикутника з цієї стороні.

Для побудови правильного п'ятикутника з даної стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму.

Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, що дорівнює АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного семикутника.

Нехай дано коло діаметра D; потрібно вписати до неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр кола на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, що дорівнює діаметру кола D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні поділки вертикального діаметра промені, перетин яких з колом визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин / - // - /// З точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини послідовно з'єднуємо між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів із полюса F і через непарні поділки вертикального діаметра.

Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників із будь-яким числом сторін.

Розподіл кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведені коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних багатокутників вписаних.

Тему багатокутників проходять у шкільній програмі, але не приділяють їй достатньої уваги. А тим часом вона цікава, і особливо це стосується правильного шестикутника чи гексагону – адже цю форму мають багато природних об'єктів. До них відносяться бджолині стільники та багато іншого. Ця форма дуже добре застосовується практично.

Визначення та побудова

Правильним шестикутником називається площинна фігура, що має шість рівних по довжині сторін і стільки ж рівних кутів.

Якщо згадати формулу суми кутів багатокутника

то виходить, що у цій фігурі вона дорівнює 720 °. Ну а оскільки всі кути фігури рівні, неважко порахувати, що кожен із них дорівнює 120°.

Накреслити шестикутник дуже просто, для цього достатньо циркуля та лінійки.

Покрокова інструкція виглядатиме так:

За бажання можна обійтися і без лінії, накресливши п'ять рівних за радіусом кіл.

Отримана таким чином фігура буде правильним шестикутником і це можна довести нижче.

Властивості прості та цікаві

Щоб зрозуміти властивості правильного шестикутника, його має сенс розбити на шість трикутників:

Це допоможе надалі наочніше відобразити його властивості, головні з яких:

1. діаметр описаного кола;
2. діаметр вписаного кола;
3. площа;
4. периметр.

Описане коло та можливість побудови

Навколо гексагону можна описати коло, і до того ж лише одну. Оскільки фігура ця правильна, можна поступити досить просто: від двох сусідніх кутів провести всередину бісектриси. Вони перетнуться в точці О, і утворюють разом із стороною між ними трикутник.

Кути між стороною гексагону і бісектрисами будуть по 60 °, тому можна точно сказати, що трикутник, наприклад, АОВ - рівнобедрений. А оскільки третій кут теж дорівнюватиме 60°, то він ще й рівносторонній. Звідси випливає, що відрізки ОА і ВВ рівні, отже, можуть бути радіусом кола.

Після цього можна перейти до наступної сторони, і з кута при точці С також вивести бісектрису. Вийде черговий рівносторонній трикутник, причому сторона АВ буде спільною відразу для двох, а ОС - черговим радіусом, через який йде те ж коло. Всього таких трикутників вийде шість, і у них буде загальна вершина в точці О. Виходить, що описати коло буде можна, і вона всього одна, а її радіус дорівнює стороні гексагону:

Саме тому і можливе побудова цієї фігури за допомогою циркуля та лінійки.

Ну а площа цього кола буде стандартна:

Вписане коло

Центр описаного кола збігається з центром вписаного. Щоб переконатися, можна провести з точки Про перпендикуляри до сторін шестикутника. Вони будуть висотами тих трикутників, у тому числі складений гексагон. А в рівнобедреному трикутнику висота є медіаною по відношенню до сторони, на яку вона спирається. Таким чином, ця висота не що інше, як серединний перпендикуляр, що є радіусом вписаного кола.

Висота рівностороннього трикутника обчислюється просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А оскільки R=a та r=h, то виходить, що

r=R(√3)/2.

Таким чином, вписане коло проходить через центри сторін правильного шестикутника.

Її площа складатиме:

S=3πa²/4,

тобто три чверті від описаної.

Периметр та площа

З периметром все ясно, це сума довжин сторін:

P=6а, або P=6R

А ось площа дорівнюватиме сумі всіх шести трикутників, на які можна розбити гексагон. Оскільки площа трикутника обчислюється як половина добутку основи на висоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2або

S=3R²(√3)/2

Бажаючим обчислювати цю площу через радіус вписаного кола можна зробити і так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Цікаві побудови

У гексагон можна вписати трикутник, сторони якого з'єднують вершини через одну:

Усього їх вийде два, і їхнє накладання один на одного дасть зірку Давида. Кожен із цих трикутників - рівносторонній. У цьому неважко переконатись. Якщо подивитися на бік АС, вона належить відразу двом трикутникам - ВАС і АЕС. Якщо в першому з них АВ = ВС, а кут між ними 120 °, то кожен з решти буде 30 °. Звідси можна зробити закономірні висновки:

1. Висота АВС з вершини буде дорівнювати половині сторони шестикутника, оскільки sin30°=1/2. Бажаючим переконатися в цьому можна порадити перерахувати за теоремою Піфагора, вона тут підходить якнайкраще.
2. Сторона АС дорівнюватиме двом радіусам вписаного кола, що знову-таки обчислюється за тією самою теоремою. Тобто АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Трикутники АВС, СДЕ та АЕF рівні по двох сторонах і куті між ними, і звідси випливає рівність сторін АС, РЄ та ЕА.

Перетинаючи один з одним, трикутники утворюють новий гексагон, і він також правильний. Доводиться це просто:

Таким чином, фігура відповідає ознакам правильного шестикутника – у неї шість рівних сторін та кутів. З рівності трикутників при вершинах легко вивести довжину сторони нового гексагону:

d=а(√3)/3

Вона ж буде радіусом описаного навколо нього кола. Радіус вписаної буде вдвічі меншим від сторони великого шестикутника, що було доведено при розгляді трикутника АВС. Його висота становить якраз половину сторони, отже, друга половина - це радіус вписаного в маленький гексагон колу:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Виходить, що площа гексагону всередині зірки Давида втричі менша, ніж у великого, в який вписано зірку.

Від теорії до практики

Властивості шестикутника дуже активно використовуються як у природі, так і в різних сферах діяльності людини. У першу чергу це стосується болтів і гайок - капелюшки перших і другі є ніщо інше, як правильний шестигранник, якщо не брати до уваги фаски. Розмір гайкових ключів відповідає діаметру вписаного кола - тобто відстані між протилежними гранями.

Знайшла своє застосування та гексагональна плитка. Вона поширена набагато менше чотирикутної, але класти її зручніше: в одній точці замикаються три плитки, а не чотири. Композиції можуть бути дуже цікаві:

Випускається бетонна плитка для мощення.

Поширеність гексагону у природі пояснюється просто. Таким чином, найпростіше щільно вмістити кола та кулі на площині, якщо у них однаковий діаметр. Через це у бджолиних сот така форма.

Правильний шестикутник Шестикутник багатокутник із шістьма кутами. Також шестикутником називають будь-який предмет такої форми. Сума внутрішніх кутів опуклого шестикутника р… Вікіпедія

Шестикутник Сатурна- стійка Гексагональна атмосферна освіта на північному полюсі Сатурна, відкрита апаратом Вояджер 1 і спостерігається знову в 2006 році а … Вікіпедія

Правильний багатокутник- Правильний семикутник Правильний багатокутник - це опуклий багатокутник, у якого всі сторони і кути рівні. Визначення правильного багатокутника може залежати від … Вікіпедія

Правильний семикутник- Правильний семикутник це правильний багатокутник із сімома сторонами. Зміст … Вікіпедія

Правильний трикутник- правильний трикутник. Правильний (або рівносторонній) трикутник це правильний багатокутник із трьома сторонами, перший із правильних багатокутників. Усі сторони … Вікіпедія

Правильний дев'ятикутник- це правильний багатокутник із дев'ятьма сторонами. Властивості Правиль … Вікіпедія

Правильний 17-кутник- Правильний сімнадцятикутник геометрична фігура, що належить до групи правильних багатокутників. Він має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів, всі його кути та сторони рівні між собою, всі вершини лежать на одному колі. Зміст 1… … Вікіпедія

Правильний сімнадцятикутник- Геометрична фігура, що належить до групи правильних багатокутників. Він має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів, всі його кути та сторони рівні між собою, всі вершини лежать на одному колі. Зміст … Вікіпедія

Правильний восьмикутник- (Октагон) геометрична фігура з групи правильних багатокутників. У нього вісім сторін і вісім кутів і всі кути та сторони рівні між собою… Вікіпедія

Правильний 65537-кутник- 65537 косинець чи коло? Правильний 65537 косинець (шістдесятип'ятитисячп'ятисоттридцятисемикутник) геометрична фігура з групи правильних багатокутників, що складається з 65537 … Вікіпедія

Книги

• Набори "Чарівні грані" № 25, . Набір для збирання 3-х кубів з перерізами. Кожен куб має рухомі частини у місці проходження перерізу. Це дозволяє побачити куб повністю та в розрізі. Зібрані три куби дозволяють вирішувати завдання.