Дати визначення утворює конуса. Конус і його елементи. Способи отримання конічних поверхонь на токарному верстаті

Розглянемо будь-яку лінію l (криву або ламану), що лежить в деякій площині (рис. 386, а, б), і довільну точку М, що не лежить у цій площині. Всілякі прямі, що з'єднують точку М з усіма точками лінії утворюють поверхню а; така поверхня називається конічною поверхнею, точка вершиною, лінія - направляючої, прямі утворюють. На рис. 386 ми не обмежуємо поверхню а її вершиною, але розуміємо її тягнеться необмежено в обидві сторони від вершини.

Якщо конічну поверхню розітнути будь-якої площиною, паралельній площині напрямної, то в перерізі отримаємо лінію (криву або ламану, в залежності від того, чи була кривої або ламаної лінія), гомотетічную лінії l, з центром гомотетии в вершині конічної поверхні. Дійсно, ставлення будь-яких відповідних відрізків утворюють буде постійним:

Отже, перетину коніческоі поверхні площинами, паралельними площині напрямної, подібні і подібно розташовані, з центром подібності в вершині конічної поверхні; це ж вірно для будь-яких паралельних площин, що не проходять через вершину поверхні.

Нехай тепер напрямна - замкнута опукла лінія (крива на рис. 387, а, ламана на рис. 387, б). Тіло, обмежене з боків конічної поверхнею, взятої між її вершиною і площиною направляючої, і плоским підставою в площині напрямної, називається конусом (якщо -Кривий лінія) або пірамідою (якщо -ломаная).

Піраміди класифікуються за кількістю сторін багатокутника, що лежить в їх основі. Кажуть про трикутної, чотирикутної і взагалі -угольной пірамідах. Зауважимо, що -угольная піраміда має межу: бічних граней і підстава. При вершині піраміди ми маємо -гранная кут з плоскими і двогранними кутами.

Вони відповідно називаються плоскими кутами при вершині і двогранними кутами при бічних ребрах. При вершинах підстави ми маємо тригранних кутів; їх плоскі кути, утворені бічними, ребрами і сторонами підстави, називаються плоскими кутами при підставі, двогранні кути між бічними гранями і площиною основи - двогранними кутами при підставі.

Трикутна піраміда інакше називається тетраедром (т. Е. Четирехграннікамі). Будь-яка з її граней може бути прийнята за основу.

Піраміда називається правильною при виконанні двох умов: 1) в основі піраміди лежить правильний багатокутник,

2) висота, опущена з вершини піраміди на підставу, перетинає його в центрі цього багатокутника (інакше кажучи, вершина піраміди проектується в центр підстави).

Зауважимо, що правильна піраміда не є, взагалі кажучи, правильним многогранником!

Відзначимо деякі властивості правильної -угольной піраміди. Проведемо через вершину такої піраміди висоту SO (рис. 388).

Повернемо всю піраміду як ціле навколо цієї висоти на кут При такому повороті багатокутник підстави перейде сам в себе: кожна з його вершин займе положення сусідній. Вершина піраміди і її висота (вісь обертання!) Залишаться на місці, і тому піраміда як ціле суміститься сама з собою: кожне бічне ребро перейде в сусіднє, кожна бічна грань сполучиться з сусідньої, кожен двогранний кут при бічному ребрі також суміститься з сусіднім.

Звідси висновок: всі бічні ребра рівні між собою, всі бічні грані суть рівні трикутник, всі двогранні кути при основі рівні, всі плоскі кути при вершині рівні, всі плоскі кути при основі рівні.

З числа конусів в курсі елементарної геометрії ми вивчаємо прямий круговий конус, т. Е. Такий конус, основа якого коло, а вершина проектується в центр цього кола.

Прямий круговий конус показаний на рис. 389. Якщо проведемо через вершину конуса висоту SO і повернемо конус навколо цієї висоти на довільний кут, то окружність підстави буде ковзати сама по собі; висота і вершина залишаться на місці, тому при повороті на будь-який кут конус суміститься сам з собою. Звідси видно, зокрема, що все що утворюють конуса рівні між собою і однаково нахилені до площини основи. Перетину конуса площинами, що проходять через його висоту, будуть рівнобокими трикутниками, рівними між собою. Весь конус виходить від обертання прямокутного трикутника SOA навколо його катета (який стає висотою конуса). Тому прямий круговий конус є тілом обертання і також називається конусом обертання. Якщо не визначено інше, ми для стислості надалі говоримо просто «конус», розуміючи під цим конус обертання.

Перетину конуса площинами, паралельними площині його заснування, суть кола (хоча б тому, що вони гомотетічни колі підстави).

Завдання. Двогранні кути при підставі правильної трикутної піраміди рівні а. Знайти двогранні кути при бічних ребрах.

Рішення. Позначимо тимчасово сторону основи піраміди через а. Проведемо переріз піраміди площиною, що містить її висоту SO і медіану підстави AM (рис. 390).

) - тіло в евклідовому просторі, отримане об'єднанням всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) і проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, що має обмежений обсяг і отриману об'єднанням всіх відрізків, що з'єднують вершину і точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають підставоюконуса, а конус називають спираєтьсяна дане підставу). Якщо основа конуса являє собою багатокутник, такий конус є пірамідою.

енциклопедичний YouTube

1 / 4

✪ Як зробити конус з паперу.

• субтитри

пов'язані визначення

• Відрізок, що з'єднує вершину і кордон підстави, називається утворює конуса.
• Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворює поверхню конуса є конічною поверхнею.
• Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
• Кут розчину конуса- кут між двома протилежними утворюють (кут при вершині конуса, всередині конуса).
• Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) і ортогональна проекція вершини конуса на площину підстави збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину і центр підстави, називається віссю конуса.
• косий (похилий) Конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на підставу не збігається з його центром симетрії.
• круговий конус- конус, основа якого є колом.
• Прямий круговий конус(Часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
• Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичних, параболічнихі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний об'єм).
• Частина конуса, що лежить між підставою і площиною, паралельної підставі і знаходиться між вершиною і підставою, називається усіченим конусом, або конічним шаром.

властивості

• Якщо площа основи кінцева, то обсяг конуса також кінцевий і дорівнює третині добутку висоти на площу основи.

V = 1 3 S H, (\ displaystyle V = (1 \ over 3) SH,)

де S- площа підстави, H- висота. Таким чином, всі конуси, які спираються на дане підставу (кінцевої площі) і мають вершину, що знаходиться на цій площині, паралельної підставі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти рівні.

• Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від підстави.
• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

2 π (1 - cos ⁡ α 2), (\ displaystyle 2 \ pi \ left (1 \ cos (\ alpha \ over 2) \ right),)де α - кут розчину конуса.

• Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

S = π R l, (\ displaystyle S = \ pi Rl,)

а повна площа поверхні (тобто сума площ бічної поверхні і підстави)

S = π R (l + R), (\ displaystyle S = \ pi R (l + R),)де R- радіус підстави, l = R 2 + H 2 (\ displaystyle l = (\ sqrt (R ^ (2) + H ^ (2))))- довжина твірної.

• Обсяг кругового (не обов'язково прямого) конуса дорівнює

V = 1 3 π R 2 H. (\ Displaystyle V = (1 \ over 3) \ pi R ^ (2) H.)

• Для усіченого конуса (не обов'язково прямого і кругового) обсяг дорівнює:

V = 1 3 (H S 2 - h S 1), (\ displaystyle V = (1 \ over 3) (HS_ (2) -hS_ (1)),)

де S 1 і S 2 - площі відповідно верхнього (ближнього до вершини) і нижнього підстав, hі H- відстані від площини відповідно верхнього та нижнього підстави до вершини.

• Перетин площини з прямим круговим конусом є одним з конічних перетинів (в невироджених випадках - еліпсом, параболою або гіперболою, в залежності від положення січної площини).

рівняння конуса

Рівняння, що задають бічну поверхню прямого кругового конуса з кутом розчину 2Θ, вершиною на початку координат і віссю, що збігається з віссю Oz :

• У сферичній системі координат з координатами ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\ Displaystyle \ theta = \ Theta.)

• В циліндричній системі координат з координатами ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\ displaystyle z = r \ cdot \ operatorname (ctg) \ Theta)або r = z ⋅ tg ⁡ Θ. (\ Displaystyle r = z \ cdot \ operatorname (tg) \ Theta.)

• У декартовій системі координат з координатами (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ ctg ⁡ Θ. (\ Displaystyle z = \ pm (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2))) \ cdot \ operatorname (ctg) \ Theta.)Це рівняння в канонічному вигляді записується як

де константи a, звизначаються пропорцією c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ. (\ Displaystyle c / a = \ cos \ Theta / \ sin \ Theta.)Звідси видно, що бокова поверхня прямого кругового конуса являє собою поверхню другого порядку (вона носить назву конічна поверхня). У загальному вигляді конічна поверхню другого порядку спирається на еліпс; у відповідній декартовій системі координат (осі Охі Оупаралельні осях еліпса, вершина конуса збігається з початком координат, центр еліпса лежить на осі Oz) Її рівняння має вигляд

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 0, (\ displaystyle (\ frac (x ^ (2)) (a ^ (2))) + (\ frac (y ^ (2)) ( b ^ (2))) - (\ frac (z ^ (2)) (c ^ (2))) = 0,)

причому a / cі b / cрівні полуосям еліпса. У найбільш загальному випадку, коли конус спирається на довільну плоску поверхню, можна показати, що рівняння бічної поверхні конуса (з вершиною на початку координат) задається рівнянням f (x, y, z) = 0, (\ displaystyle f (x, y, z) = 0,)де функція f (x, y, z) (\ displaystyle f (x, y, z))є однорідною, тобто задовольняє умові f (α x, α y, α z) = α nf (x, y, z) (\ displaystyle f (\ alpha x, \ alpha y, \ alpha z) = \ alpha ^ (n) f (x, y , z))для будь-якого дійсного числа α.

розгортка

Прямий круговий конус як тіло обертання утворенийпрямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів, де h- висота конуса від центру підстави до вершини - є катетом прямокутного трикутника, навколо якого відбувається обертання. Другий катет прямокутного трикутника r- радіус в основі конуса. Гіпотенузою прямокутного трикутника є l- утворює конуса.

У створенні розгортки конуса можуть використовуватися лише дві величини rі l. радіус підстави rвизначає в розгортці коло підстави конуса, а сектор бічній поверхні конуса визначає утворює бічній поверхні l, Що є радіусом сектора бічній поверхні. кут сектора φ (\ displaystyle \ varphi)в розгортці бічній поверхні конуса визначається за формулою:

φ = 360 ° · ( r/l) .

Тема уроку: Конус і його елементи

Мета уроку:ввести поняття конуса, що утворює, висотою і підстави; ввести поняття площі бічної поверхні конуса як площі її розгортки; сформувати навик рішення задач на знаходження елементів конуса.

Тип уроку:комбінований.

устаткування:ПК, мультимедійний проектор, інтерактивна дошка, моделі конусів.

Хід уроку:

1. 
   Перевірка домашнього завдання у дошки.
2. 
   Самостійна робота (Додаток 1.)
3. 
   Пояснення нового матеріалу.

• 
  Поняття конуса, його елементів (вершина, вісь, що утворюють, підстава, бокова поверхня). Зображення конуса.

конусом(Точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга - основи конуса, точки, що не лежить в площині цього кола, - вершини конуса і всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи (рис. 1).

Відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називаються утворюютьконуса. Поверхня конуса складається з основи і бічної поверхні.

конус називається прямим, Якщо пряма, що з'єднує вершину конуса з центром підстави, перпендикулярна площині підстави. Надалі ми будемо розглядати тільки прямий конус, називаючи його для стислості просто конусом. Наочно прямий круговий конус можна уявляти собі як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо його катета як осі (рис.2).

висотоюконуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром підстави. Віссю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту.

• 
  ^ Перетин конуса різними площинами.

  Перетин конуса площиною, що проходить через його вершину, являє собою трикутник, у якого бічні сторони є утворюють конуса (рис. 3). Зокрема, рівнобедреним трикутником є ​​осьовий переріз конуса. Це перетин, що проходить через вісь конуса (рис. 4).

Теорема.Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню - по колу з центром на осі конуса.

Доведення.нехай - площина, паралельна площині основи конуса і перетинає конус (рис.5). Перетворення гомотетии щодо вершини конуса, що сполучає площину

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:

• освітня: Ввести поняття конуса, його елементів; розглянути побудову прямого конуса; розглянути знаходження повної поверхні конуса; формувати вміння розв'язувати задачі на знаходження елементів конуса.
• розвиваюча: Розвивати грамотну математичну мова, логічне мислення.
• Виховна: Виховувати пізнавальну активність, культуру спілкування, культури діалогу.

Форма уроку:урок формування нових знань і умінь.

Форма навчальної діяльності:колективна форма роботи.

Методи, які використовуються на уроці:пояснювально-ілюстративний, продуктивний.

Дидактичний матеріал:зошит, підручник, ручка, олівець, лінійка, дошка, крейда та кольорову крейду, проектор і презентація «Конус. Основні поняття. Площа поверхні конуса ».

План уроку:

1. Організаційний момент (1 хв).
2. Підготовчий етап (мотивація) (5 хв).
3. Вивчення нового матеріалу (15 хв).
4. Рішення задач на знаходження елементів конуса (15 хв).
5. Підведення підсумків уроку (2 хв).
6. Завдання на будинок (2 хв).

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Мета: підготувати до засвоєння нового матеріалу.

2. Підготовчий етап

Форма: усна робота.

Мета: знайомство з новим тілом обертання.

Конус в перекладі з грецького "konos" означає "соснова шишка".

Зустрічаються тіла в формі конуса. Їх можна розглянути в різних предметах, починаючи зі звичайного морозива і закінчуючи технікою, так само в дитячих іграшках (пірамідка, хлопавка і ін.), В природі (ялина, гори, вулкани, смерчі).

(Використовуються Слайди 1-7)

діяльність учителя	діяльність учня
3. Пояснення нового матеріалу Мета: ввести нові поняття і властивості конуса.
1. Конус можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. (Слайд 8) Тепер розглянемо, як будується конус. Спочатку зображуємо окружність з центром O і пряму OP, перпендикулярну до площини цієї окружності. Кожну точку кола з'єднаємо відрізком з точкою P (вчитель поетапно будує конус). Поверхня, утворена цими відрізками, називається конічною поверхнею, А самі відрізки - утворюють конічної поверхні.	У зошитах будують конус.
(Диктує визначення) (Слайд 9) Тіло, обмеженою конічної поверхнею і кругом з кордоном L, називається конусом.	Записують визначення.
Конічна поверхня називається бічною поверхнею конуса, А коло - підставою конуса. Пряма OP, що проходить через центр підстави і вершину, називається віссю конуса. Ось конуса перпендикулярна площині підстави. Відрізок OP називається висотою конуса. Точка P називається вершиною конуса, А утворюють конічної поверхні - утворюють конуса.	На кресленні підписують елементи конуса.
Назвіть дві твірні конуса і порівняйте їх?	PA і PB, вони рівні.
Чому утворюють рівні?	Проекції похилих рівні як радіуси кола, значить і самі утворюють рівні.
Запишіть в зошити: властивості конуса:	(Слайд 10)
1. Усі що утворюють конуса дорівнюють. Назвіть кути нахилу утворюють до основи? Порівняйте їх. Чому, доведіть це?	Кути: PСО, PDO. Вони рівні. Так як трикутник PAB - рівнобедрений.
2. Кути нахилу утворюють до основи рівні. Назвіть кути між віссю і утворюють? Що можна сказати про ці кутах?	СРО і DPO Вони рівні.
3. Кути між віссю і утворюють рівні. Назвіть кути між віссю і підставою? Чому рівні ці кути?	POC і POD. 90 про
4. Кути між віссю і підставою прямі. Ми будемо розглядати тільки прямий конус.
2. Розглянемо перетин конуса різними площинами. Що являє собою січна площина, що проходить через вісь конуса?	Трикутник.
Який це трикутник?	Він рівнобедрений.
Чому?	Дві його боку є утворюють, а вони рівні.
Що являє собою підставу даного трикутника?	Діаметр основи конуса.
Такий перетин називається осьовим. (Слайд 11) Накресліть в зошитах і підпишіть це перетин. Що являє собою січна площина, перпендикулярна осі OP конуса?	Коло.
Де розташований центр цього кола?	На осі конуса.
Це перетин називається круговим перерізом. (Сдайл 12) Накресліть в зошитах і підпишіть це перетин. Існують і інші види перетинів конуса, які не є осьовими і не паралельні основи конуса. Розглянемо їх на прикладах. (Слайд 13)	Креслять в зошитах.
3. Тепер виведемо формулу повної поверхні конуса. (Слайд 14) Для цього бічну поверхню конуса, як і бічну поверхню циліндра, можна розгорнути на площину, розрізавши її по одній з утворюючих.
Що є розгорткою бічної поверхні конуса? (Креслить на дошці)	Круговий сектор.
Що є радіусом цього сектора?	Утворює конуса.
А довжина дуги сектора?	Довжина окружності.
За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки. (Слайд 15)	, Де - градусна міра дуги.
Чому дорівнює площа кругового сектора?
Значить, чому дорівнює площа бічної поверхні конуса? Висловимо через та. (Слайд 16) Чому дорівнює довжина дуги?
З іншого боку ця ж дуга являє собою довжину кола основи конуса. Чому вона дорівнює?
Підставляючи в формулу бічної поверхні конуса отримаємо,. Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні і підстави. . Запишіть ці формули.	Записують:, .h	(Слайд 21) L = 5

6. Домашнє завдання.П.55, 56, № 548 (б), 549 (б). (Слайд 22)

Визначення. вершина конуса- це точка (K), з якої виходять промені.

Визначення. підстава конуса- це площина, утворена в результаті перетину плоскої поверхні і всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі основи, як коло, еліпс, гіпербола і парабола.

Визначення. утворює конуса(L) називається будь-який відрізок, який з'єднує вершину конуса з кордоном підстави конуса. Утворює є відрізок променя, що виходить з вершини конуса.

Формула. довжина утворює(L) прямого кругового конуса через радіус R і висоту H (через теорему Піфагора):

Визначення. направляючаконуса - це крива, яка описує контур підстави конуса.

Визначення. бічна поверхняконуса - це сукупність всіх утворюючих конуса. Тобто, поверхня, яка утворюється рухом утворює по направляючої конуса.

Визначення. поверхняконуса складається з бічної поверхні і підстави конуса.

Визначення. Висотаконуса (H) - це відрізок, який виходить з вершини конуса і перпендикулярний до його основи.

Визначення. оськонуса (a) - це пряма, що проходить через вершину конуса і центр основи конуса.

Визначення. Конусность (С)конуса - це відношення діаметра підстави конуса до його висоти. У разі усіченого конуса - це відношення різниці діаметрів поперечних перерізів D і d усіченого конуса до відстані між ними: де R - радіус основи, а H - висота конуса.