Дія над векторами складання. Операції над векторами та їх властивості: додавання і множення. Знаходження кута між прямою і площиною

визначення Впорядковану сукупність (x 1, x 2, ..., x n) n дійсних чисел називають n-мірним вектором, А числа x i (i =) - компонентами,або координатами,

Приклад. Якщо, наприклад, деякий автомобільний завод повинен випустити в зміну 50 легкових автомобілів, 100 вантажних, 10 автобусів, 50 комплектів запчастин для легкових автомобілів і 150 комплектів для вантажних автомобілів і автобусів, то виробничу програму цього заводу можна записати у вигляді вектора (50, 100 , 10, 50, 150), що має п'ять компонент.

Позначення. Вектори позначають жирними маленькими літерами або буквами з межею або стрілкою нагорі, наприклад, aабо. Два вектора називаються рівними, Якщо вони мають однакове число компонент і їх відповідні компоненти рівні.

Компоненти вектора можна міняти місцями, наприклад, (3, 2, 5, 0, 1)і (2, 3, 5, 0, 1) різні вектора.
Операції над векторами.твором x= (X 1, x 2, ..., x n) на дійсне числоλ називається векторλ x= (Λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

сумоюx= (X 1, x 2, ..., x n) і y= (Y 1, y 2, ..., y n) називається вектор x + y= (X 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Простір векторів. N -мірне векторний простір R n визначається як безліч всіх n-мірних векторів, для яких визначені операції множення на дійсні числа і складання.

Економічна ілюстрація. Економічна ілюстрація n-мірного векторного простору: простір благ (товарів). під товаромми будемо розуміти деякий благо або послугу, що надійшли в продаж в певний час в певному місці. Припустимо, що існує кінцеве число наявних товарів n; кількості кожного з них, придбані споживачем, характеризуються набором товарів

x= (X 1, x 2, ..., x n),

де через x i позначається кількість i-го блага, набутого споживачем. Будемо вважати, що всі товари мають властивість довільної подільності, так що може бути куплено будь невід'ємне кількість кожного з них. Тоді всі можливі набори товарів є векторами простору товарів C = ( x= (X 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i =).

Лінійна незалежність. система e 1 , e 2 , ... , e m n-мірних векторів називається лінійно залежною, Якщо знайдуться такі числаλ 1, λ 2, ..., λ m , З яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівністьλ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... + λ m e m = 0; в іншому випадку дана система векторів називається лінійно незалежної, Тобто вказане рівність можливе лише в разі, коли всі . Геометричний сенс лінійної залежності векторів в R 3, інтерпретованих як спрямовані відтинки, пояснюють такі теореми.

Теорема 1. Система, що складається з одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульової.

Теорема 2. Для того, щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні (паралельні).

теорема 3 . Для того, щоб три вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарність (лежали в одній площині).

Права та ліва трійки векторів. Трійка некомпланарних векторів a, b, cназивається правою, Якщо спостерігачу з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, cв зазначеному порядку здається совершающимся за годинниковою стрілкою. B іншому випадку a, b, c -ліва трійка. Всі праві (чи ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

Базис і координати. Трійка e 1, e 2 , e 3 некомпланарних векторів в R 3 називається базисом, А самі вектори e 1, e 2 , e 3 - базисними. будь-вектор aможе бути єдиним чином розкладений по базисних векторах, тобто представлений у вигляді

а= X 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

числа x 1, x 2, x 3 в розкладанні (1.1) називаються координатамиaв базисі e 1, e 2 , e 3 і позначаються a(X 1, x 2, x 3).

Ортонормованій базис. якщо вектори e 1, e 2 , e 3 попарно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює одиниці, то базис називається ортонормованим, А координати x 1, x 2, x 3 - прямокутними.Базисні вектори ортонормированного базису будемо позначати i, j, k.

Будемо припускати, що в просторі R 3 вибрано права система декартових прямокутних координат (0, i, j, k}.

Векторний витвір. векторним твором ана вектор bназивається вектор c, Який визначається наступними трьома умовами:

1. Довжина вектора cчисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах aі b,т. е.
c= | A || b | sin ( a^b).

2. Вектор cперпендикулярний до кожного з векторів aі b.

3. Вектори a, bі c, Взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку.

Для векторного твори cвводиться позначення c =[ab] або
c = a × b.

якщо вектори aі bколінеарні, то sin ( a ^ b) = 0 і [ ab] = 0, зокрема, [ aa] = 0. Векторні твори ортов: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

якщо вектори aі bзадані в базисі i, j, kкоординатами a(A 1, a 2, a 3), b(B 1, b 2, b 3), то

Змішане твір. Якщо векторний добуток двох векторів аі bскалярноумножается на третій вектор c,то такий твір трьох векторів називається змішаним творомі позначається символом a b c.

якщо вектори a, bі cв базисі i, j, kзадані своїми координатами
a(A 1, a 2, a 3), b(B 1, b 2, b 3), c(C 1, c 2, c 3), то

.

Змішане твір має просте геометричне тлумачення - це скаляр, по абсолютній величині дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на трьох даних векторах.

Якщо вектори утворюють праву трійку, то їх змішане твір є число позитивне, рівне вказаного об'єму; якщо ж трійка a, b, c -ліва, то a b c<0 и V = - a b c, Отже V =| A b c |.

Координати векторів, що зустрічаються в задачах першого розділу, передбачаються заданими щодо правого ортонормированного базису. Одиничний вектор, сонаправленнимі вектору а,позначається символом ао. символом r=ОМпозначається радіус-вектор точки М, символами а, АВ або| А |, | АВ |позначаються модулі векторів аі АВ.

приклад 1.2. Знайдіть кут між векторами a= 2m+4nі b= m-n, де mі n -одиничні вектори і кут між mі nдорівнює 120 о.

Рішення. Маємо: cos φ = ab/ Ab, ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4 + 16 (-0.5) + 16 = 12, значить a =. b = ; b 2 =
= (M-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2 (-0.5) +1 = 3, отже b =. Остаточно маємо: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Приклад 1.3.знаючи вектори AB(-3, -2,6) і BC(-2,4,4), обчисліть довжину висоти AD трикутника ABC.

Рішення. Позначаючи площа трикутника ABC через S, отримаємо:
S = 1/2 BC AD. тоді AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB ×AC |. AC = AB + BC, Значить, вектор ACмає координати
. .

приклад 1.4 . Дано два вектора a(11,10,2) і b(4,0,3). Знайдіть одиничний вектор c,ортогональний векторам aі bі спрямований так, щоб впорядкована трійка векторів a, b, cбула правою.

Рішення.Позначимо координати вектора cщодо даного правого ортонормированного базису через x, y, z.

оскільки c ⊥ a, c ⊥b, то ca= 0, cb= 0. За умовами задачі потрібно, щоб c = 1 і a b c >0.

Маємо систему рівнянь для знаходження x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

З першого і другого рівнянь системи отримаємо z = -4/3 x, y = -5/6 x. Підставляючи y і z в третє рівняння, матимемо: x 2 = 36/125, звідки
x =± . використовуючи умову a b c> 0, отримаємо нерівність

З урахуванням виразів для z і y перепишемо отримане нерівність у вигляді: 625/6 x> 0, звідки випливає, що x> 0. Отже, x =, y = -, z = -.

Геометричним вектором називають спрямований відрізок. Для опису векторів використовують позначення; .

Довжиною вектора називають відстань між початковою точкою і точкою кінця вектора. Довжину вектора будемо позначати, чи просто АВ, а.

Вектор називають нульовим, якщо його початок і кінець збігаються. Такий вектор не має напрямку, його довжина дорівнює нулю, позначають його як.

Вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Позначають це як.

Вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній площині.

Два вектора називають рівними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину і напрямок.

Вільним називають вектор, який можна переміщати в просторі паралельно його напрямку.

Відзначимо, що для вільного вектора його початок можна поєднувати з будь-якою точкою простору.

Надалі будемо мати справу лише з вільними векторами.

Лінійні операції над векторами та їх властивості

Лінійними операціями над векторами є складання векторів і множення вектора на число.

Сумою двох геометричних векторів і називається вектор, який можна побудувати або за правилом трикутника або за правилом паралелограма.

1.За правилом трикутника

Паралельним переносом сумісний кінець вектора з початком вектора. Тоді сумою + називатимемо вектор , Початок якого збігається з початком вектора, а кінець з кінцем вектора.

2. За загальним правилом паралелограма

Паралельним переносом сумісний початок вектора і початок вектора. Добудуємо паралелограм на кінцях векторів. Сумою векторів і будемо називати вектор, який є діагоналлю паралелограма, початок якого збігається з початком векторів і.

Властивості додавання векторів.

1. Комутативність

2.Ассоціатівность

3.Существованіе нульового вектора такого, що

4. Для будь-якого вектора існує протилежний вектор () такий, що

За допомогою властивостей додавання векторів також можна довести, що для будь-яких векторів і існує такий вектор, який, будучи складний с, дасть вектор.

Такий вектор називають геометричною різницею векторів і:

Твором вектора на дійсне число називається вектор, який має довжину, що дорівнює добутку чисел і напрямок, що збігається з напрямком вектора, якщо, і протилежне, якщо.

Властивості добутку вектора на число.

5. Асоціативність сомножителей

6. Дистрибутивність суми векторів щодо множення на дійсне число

7. Дистрибутивність щодо суми чисел

8. Існування числа 1, що не змінює вектора при множенні

Всі вісім властивостей лінійних операцій отримані з геометричних властивостей векторів.

Можна вчинити інакше. Покласти ці вісім властивостей в основу визначення векторів.

Визначення.

Будь-яка сукупність об'єктів, для яких введено співвідношення рівності, а також операції додавання і множення на число, що задовольняють властивостям 1-8, називається лінійним векторним простором.

Елементи такого простору називають векторами або точками цього простору.

Приклади лінійних векторних просторів

1. Безліч всіх геометричних векторів.

2. Безліч всіх дійсних чисел. Позначимо його або.

3. Безліч всіляких пар дійсних чисел. Позначимо його.

Нехай = і = - елементи цієї множини. Будемо називати числа і координатами векторів і. Вектори і вважаються рівними, якщо рівні їх координати, тобто і

Сумою векторів і будемо називати вектор, який має координати і.

При такому введенні лінійних операцій виконуються всі властивості 1-8 і простір можна вважати лінійним векторним простором.

4. Безліч всіляких наборів з n дійсних чисел. Будемо позначати це безліч. Елементами цієї множини є набори з чисел.

10.Скалярний добуток векторів і його властивості

Як нелінійних операцій над векторами розглянемо скалярний твір і векторний добуток, найбільш часто зустрічаються в додатках.

Кутом між двома векторами будемо називати кут, який не перевищує p.

Кут між векторами будемо позначати

Скалярним добутком двох геометричних векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Якщо, то, т.к. ,

якщо, то, т.к. ,

якщо, то, т.к. .

а) ортогональні проекції вектора на напрямок, що задається вектором, будемо називати число

б) Аналогічно число = є ортогональною проекцією вектора на напрямок.

З визначення скалярного твори слід, що

Слідство.

Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні (кут між ними дорівнює).

Властивості скалярного твори.

комутативність

1) Асоціативність

2) Дистрибутивність щодо суми векторів

4), якщо і, якщо

Властивості 1-4 доводяться виходячи з геометричних властивостей векторів.

Кут між векторами.

Знаючи довжини векторів і їх скалярний добуток можна знайти кут між векторами. Дійсно, тому що , то

11. Векторний добуток і його властивості, Обчислення через координати

Векторним твором вектора на вектор називається вектор (позначимо його), що задовольняє наступним умовами.

визначення: векторним творомвпорядкованої пари векторів a і b називається вектор, такий що

Властивості векторного твори:

Затвердження 2: В декартовій системі координат (базис i, j, k), A = ( x 1, y 1, z 1), B = ( x 2, y 2, z 2}

=> [a,b] =

=

12. Змішане твір векторів.

визначення: змішаним творомвпорядкованої трійки векторів a, b і c називається число , Т.ч. = (, C).

затвердження: = V a , b , c, Якщо a, b, c - права трійка, або = -V a , b , c, Якщо a, b, c - ліва трійка. тут V a , b , c- обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b і c. (Якщо a, b і c компланарність, то V a, b, c = 0.)

Затвердження: В декартовій системі координат, якщо a = ( x 1, y 1, z 1), B = ( x 2, y 2, z 2},

з = ( x 3, y 3, z 3}, => = .

У цій статті ми розглянемо операції, які можна виробляти з векторами на площині і в просторі. Далі ми перерахуємо властивості операцій над векторами і обгрунтуємо їх за допомогою геометричних побудованим. Також покажемо застосування властивостей операцій над векторами при спрощення виразів, що містять вектори.

Для більш якісного засвоєння матеріалу рекомендуємо освіжити в пам'яті поняття, дані в статті вектори - основні визначення.

Навігація по сторінці.

Операція складання двох векторів - правило трикутника.

Покажемо як відбувається складання двох векторів.

Сума векторів та відбувається так: від довільної точки A відкладається вектор, рівний, далі від точки B откладиваеься вектор, рівний, і вектор являє собою суму векторів і. Такий спосіб складання двох векторів називається правилом трикутника.

Проілюструємо складання втрачає колінеарних векторів на площині за правилом трикутника.

А на кресленні нижче показано додавання сонаправленнимі і протилежно спрямованих векторів.

Додавання кількох векторів - правило багатокутника.

Грунтуючись на розглянутій операції додавання двох векторів, ми можемо скласти три вектора і більш. У цьому випадку складаються перші два вектора, до отриманого результату додається третій вектор, до одержали додається четвертий і так далі.

Додавання кількох векторів виконується наступним побудовою. Від довільної точки А площини або простору відкладається вектор, рівний першому доданку, від його кінця відкладається вектор, рівний другого доданку, від його кінця відкладається третій доданок, і так далі. Нехай точка B - це кінець останнього відкладеного вектора. Сумою всіх цих векторів буде вектор.

Додавання кількох векторів на площині таким способом називається правилом багатокутника. Наведемо ілюстрацію правила багатокутника.

Абсолютно аналогічно проводиться складання кількох векторів в просторі.

Операція множення вектора на число.

Зараз розберемося як відбувається множення вектора на число.

Множення вектора на число kвідповідає розтягування вектора в k раз при k> 1 або стиску в раз при 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

Наприклад, при множенні вектора на число 2 нам слід вдвічі збільшити його довжину і зберегти напрямок, а при множенні вектора на мінус одну третину слід зменшити його довжину втричі і змінити напрям на протилежний. Наведемо для наочності ілюстрацію цього випадку.

Властивості операцій над векторами.

Отже, ми визначили операцію додавання векторів і операцію множення вектора на число. При цьому для будь-яких векторів і довільних дійсних чисел можна за допомогою геометричних побудов обгрунтувати наступні властивості операцій над векторами. Деякі з них очевидні.

Розглянуті властивості дають нам можливість перетворювати векторні вирази.

Властивості коммутативности і асоціативності операції додавання векторів дозволяють складати вектори в довільному порядку.

Операції вирахування векторів як такої немає, так як різниця векторів і є сума векторів і.

З огляду на розглянуті властивості операцій над векторами, ми можемо в виразах, що містять суми, різниці векторів і твори векторів на числа, виконувати перетворення так само як і в числових виразах.

Розберемо на прикладі.

Вектор - це відрізок, який має напрямок. Кінець вектора збігається зі стрілкою, початок - точка. Модуль вектора (абсолютна величина)- довжина цього спрямованого відрізка.

Якщо початок вектора збігається з його кінцем, отримаємо нульовий вектор.

Два вектора є рівними, Якщо їх довжина однакова і вони мають однаковий напрямок. Вони поєднуються при перенесенні.

На малюнку тільки вектор aдорівнює вектору b. вектор cїм не дорівнює, так як спрямований у протилежний бік

вектор -c- це вектор c, Але протилежного напрямку. тоді

проекція вектора

Проекція вектора на вісь має позитивне значення в тому випадку, коли напрямок вектора збігається з напрямком осі. Негативне значення - в протилежному випадку.

Спроектуємо вектор переміщення на вісь Oxі на вісь Oy. Для того, щоб отримати проекцію необхідно з координати кінця вектора відняти координату початку. На вісь ОХ: s x = x-x 0, на вісь ОУ: s y = y-y 0.

Розглянемо приклади

Окремі випадки, коли проекція на вісь Oxабо Oyнульова.

Сума складових вектора по осях дорівнює даному вектору, тобто

Сума векторів

Правило паралелограма:діагональ паралелограма - сума двох векторів із загальним початком.

Правило трикутника:від кінця першого вектора відкласти другий вектор, тоді їх сумою буде вектор, початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого вектора.

Розглянемо правила на прикладах.

віднімання векторів

Віднімання векторів - це сума позитивного і негативного вектора.

Вектором називається спрямований відрізок прямої евклідового простору, у якого один кінець (точка A) називається початком вектора, а інший кінець (точка B) кінцем вектора (Рис. 1). Вектори позначаються:

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називається нульовим векторомі позначається 0 .

Приклад. Нехай в двомірному просторі початок вектора має координати A(12,6), а кінець вектора - координати B(12,6). Тоді вектор є нульовим вектором.

довжина відрізка ABназивається модулем (довжиною, нормою) Вектора і позначається | a|. Вектор довжини, що дорівнює одиниці, називається одиничним вектором. Крім модуля вектор характеризується напрямком: вектор має напрямок від Aдо B. Вектор називається вектором, протилежнимвектору.

Два вектора називаються колінеарними, Якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. На малюнку Рис. 3 червоні вектори колінеарні, тому що вони лажат на одній прямій, а сині вектори колінеарні, тому що вони лежать на паралельних прямих. Два колінеарних вектора називаються однаково спрямованими, Якщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, що з'єднує їх початку. Два колінеарних вектора називаються протилежно спрямованими, Якщо їх кінці лежать по різні боки від прямої, що з'єднує їх початку. Якщо два колінеарних вектора лежать на одній прямій, то вони називаються однаково спрямованими, якщо один з променів, утвореним одним вектором повністю містить промінь, утвореним іншим вектором. В іншому випадку вектори називаються протилежно спрямованими. На малюнку Рис.3 сині вектори однаково спрямовані, а червоні вектори протилежно спрямовані.

Два вектора називаються рівнимиякщо вони мають рівні модулі та однаково спрямовані. На малюнку Рис.2 вектори рівні тому їх модулі рівні і мають однаковий напрямок.

вектори називаються компланарними, Якщо вони лежать на одній площині або в паралельних площинах.

В nвимірному векторному просторі розглянемо безліч всіх векторів, початкова точка яких збігається з початком координат. Тоді вектор можна записати в наступному вигляді:

(1)

де x 1, x 2, ..., x nкоординати кінцевої точки вектора x.

Вектор, записаний у вигляді (1) називається вектор-рядком, А вектор, записаний у вигляді

(2)

називається вектор-стовпцем.

число nназивається розмірністю (порядком) Вектора. якщо то вектор називається нульовим вектором(Тому що початкова точка вектора ). два вектора xі yрівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні елементи.