Діагональ паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його. Визначення паралелепіпеда. Основні властивості і формули. Паралелепіпед і його види
На цьому уроці всі бажаючі зможуть вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний і прямий паралелепіпеди, згадаємо властивості їх протилежних граней і діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, і обговоримо його основні властивості.
Тема: Перпендикулярність прямих і площин
Урок: Прямокутний паралелепіпед
Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1, ВСС 1 В 1, СDD 1 С 1, DАА 1 D 1, називається параллелепипедом(Рис. 1).
Мал. 1 Паралелепіпед
Тобто: маємо два рівних паралелограма АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 (підстави), вони лежать в паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1, ВВ 1, DD 1, СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхню називається параллелепипедом.
Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, у тому числі складено паралелепіпед.
1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.
(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)
наприклад:
АВСD = А 1 В 1 С 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),
АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (так як АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),
АА 1 D 1 D = ВВ 1 С 1 С (так як АА 1 D 1 D і ВВ 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда).
2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.
Діагоналі паралелепіпеда АС 1, В 1 D, А 1 С, D 1 В перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).
Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і поділяються точкою перетину навпіл.
3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - АА 1, ВВ 1, СС 1, DD 1.
Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні підставах.
Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярно основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна прямим АD і АВ, які лежать в площині підстави. А, значить, в бічних гранях лежать прямокутники. А в підставах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.
Мал. 3 Прямий паралелепіпед
Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні підставах паралелепіпеда.
Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Підстави є прямокутниками.
Паралелепіпед АВСDЕ 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:
1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині підстави, тобто паралелепіпед прямий).
2. ∠ВАD = 90 °, т. Е. В основі лежить прямокутник.
Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед
Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, які виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.
Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні основі. Підстава прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.
1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.
АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутники за визначенням.
2. Бічні ребра перпендикулярні основі. Значить, все бічні межі прямокутного паралелепіпеда - прямокутники.
3. Всі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.
Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, т. Е. Двогранний кут між площинами АВВ 1 і АВС.
АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - в площині АВВ 1, а точка D в інший - в площині А 1 В 1 С 1 D 1. Тоді розглянутий двогранний кут можна ще визначити таким чином: ∠А 1 АВD.
Візьмемо точку А на ребрі АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребру АВ в площині АВВ- 1, AD перпендикуляр до ребру АВ в площині АВС. Значить, ∠А 1 АD - лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90 °, значить, двогранний кут при ребрі АВ дорівнює 90 °.
∠ (АВВ 1, АВС) = ∠ (АВ) = ∠А 1 АВD = ∠А 1 АD = 90 °.
Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.
Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.
Дано: АВСD 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).
Довести:.
Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед
Доведення:
Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, а значить, і прямий АС. Значить, трикутник СС 1 А - прямокутний. По теоремі Піфагора:
Розглянемо прямокутний трикутник АВС. По теоремі Піфагора:
Але ВС і AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, ВС = AD. тоді:
Так як , а , То. Оскільки СС 1 = АА 1, то що й потрібно було довести.
Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.
Позначимо вимірювання паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. Рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = D В 1 =
Теорема. У всякому параллелепипеде протилежні грані рівні і паралельні.
Так, межі (рис.) BB 1 С 1 С і AA 1 D 1 D паралельні, тому, що дві пересічні прямі BB 1 і B 1 З 1 однієї грані паралельні двом пересічним прямим AA 1 і A 1 D 1 інший. Ці межі та є рівними, так як B 1 З 1 = A 1 D 1, B 1 B = A 1 A (як протилежні сторони паралелограма) і ∠BB 1 С 1 = ∠AA 1 D 1.
Теорема. У всякому параллелепипеде всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.
Візьмемо (рис.) В паралелепіпеді якісь дві діагоналі, наприклад, AС 1 і DB 1, і проведемо прямі AB 1 і DС 1.
Так як ребра AD і B 1 З 1 відповідно рівні і паралельні ребру BС, то вони рівні і паралельні між собою.
Внаслідок цього фігура ADС 1 B 1 є паралелограм, в якому З 1 A і DB 1 - діагоналі, а в параллелограмме діагоналі перетинаються навпіл.
Це доказ можна повторити про кожних двох діагоналях.
Тому діагональ AC 1 перетинається з BD 1 навпіл, діагональ BD 1 з A 1 С навпіл.
Таким чином, всі діагоналі перетинаються навпіл і, отже, в одній точці.
Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.
Нехай (рис.) AC 1 є якась діагональ прямокутного паралелепіпеда.
Провівши AC, отримаємо два трикутника: AC 1 С і ACB. Обидва вони прямокутні:
перший тому, що паралелепіпед прямий, і отже, ребро СС 1 перпендикулярно до основи,
другий тому, що паралелепіпед прямокутний, значить в підставі його лежить прямокутник.
З цих трикутників знаходимо:
AC 2 +1 = AC 2 + СС 2 1 і AC 2 = AB 2 + BC 2
Отже, AC 2 +1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 +1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1
Слідство. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні.
Паралелепіпед - це геометрична фігура, все 6 граней якої є паралелограми.
Залежно від виду цих паралелограмів розрізняють наступні види паралелепіпеда:
- прямий;
- похилий;
- прямокутний.
Прямим параллелепипедом називають чотирикутну призму, ребра якої складають з площиною основи кут 90 °.
Прямокутним параллелепипедом називають чотирикутну призму, всі грані якої є прямокутниками. Куб є різновид чотирикутної призми, у якої всі грані і ребра рівні між собою.
Особливості фігури зумовлюють її властивості. До них відносять 4 наступних тверджень:
Запам'ятати всі наведені властивості просто, вони легкі для розуміння і виводяться логічно виходячи з виду і особливостей геометричного тіла. Однак, нехитрі твердження можуть бути неймовірно корисні при вирішенні типових завдань ЄДІ і дозволять заощадити час, необхідний для проходження тесту.
формули паралелепіпеда
Для пошуку відповідей на поставлене завдання недостатньо знати тільки властивості фігури. Також можуть знадобитися і деякі формули для знаходження площі і обсягу геометричного тіла.
Площа підстав знаходиться також як і відповідний показник паралелограма або прямокутника. Вибирати підставу паралелограма можна самостійно. Як правило, при вирішенні задач простіше працювати з призмою, в основі якої лежить прямокутник.
Формула знаходження бічної поверхні паралелепіпеда, також може знадобитися в тестових завданнях.
Приклади розв'язання типових завдань ЄДІ
Завдання 1.
дано: Прямокутний паралелепіпед з вимірами 3, 4 і 12 см.
необхіднознайти довжину однієї з головних діагоналей фігури.
Рішення: Будь-яке рішення геометричній завдання повинно починатися з побудови правильного і чіткого креслення, на якому буде позначено «дано» і шукана величина. На малюнку нижче наведений приклад правильного оформлення умов завдання.
Розглянувши зроблений малюнок і згадавши все властивості геометричного тіла, приходимо до єдино вірного способу вирішення. Застосувавши 4 властивість паралелепіпеда, отримаємо такий вираз:
Після нескладних обчислень отримаємо вираз b2 = 169, отже, b = 13. Відповідь завдання знайдений, на його пошук і креслення необхідно витратити не більше 5 хвилин.
Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір і використання персональної інформації
Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.
Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
- Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
винятки:
- У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.
Захист особистих даних
Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.
а, в сторони підстави ПП;
з його висота.
- що потрібно дізнатися, якими даними ми маємо?
- які властивості має прямокутний паралелепіпед?
- застосовна тут Теорема Піфагора? Як?
- достатня даних для застосування теореми Піфагора, або потрібні ще якісь розрахунки?
квадрат діагоналі, Квадратного параллілепіпеда (дивіться властивості квадратного параллепіпед) дорівнює сумі квадратів ТРХ його різних сторін (ширині, висоті, товщині), а відповідно діагоналі квадратного параллепіпед дорівнює кореню з цієї суми.
Пригадую шкільну програму по геометрії, можна сказати так: діагональ паралелепіпеда дорівнює кореню квадратному отриманого з суми його всіх трьох сторін (позначаються вони маленькими літерами a, b, c).
Довжина діагоналі прямокутного параллепіпед дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його сторін.
Наскільки мені відомо ще зі шкільної програми, клас 9 якщо не помиляюся, і якщо не зраджує пам'ять, то діагональ прямокутного паралелепіпеда рівна кореню квадратному суми квадратів його всіх трьох сторін.
квадрат діагоналі дорівнює, сумі квадратів ширини, висоти і довжини, виходячи з цієї формули отримуємо відповідь, діагональ дорівнює кореню квадратному з суми його трьох різних вимірів, буквами вони позначаюnсz abc
Прямокутним параллелепипедом (ПП) є ні що інше, як призма, підставою у якій прямокутник. У ПП все діагоналі рівні, значить будь-яка його діагональ розраховується за формулою:
Можна дати і інше визначення, розглядаючи декартову прямокутну систему координат:
Діагональ ПП це радіус-вектор будь-якої точки простору, заданої координатами x, y і z в декартовій системі координат. Цей радіус вектор до точки проводиться з початку координат. А координатами точки будуть проекції радіус-вектора (діагоналі ПП) на координатні осі. Проекції збігаються з вершинами даного паралелепіпеда.
Прямокутний паралелепіпед - це різновид багатогранника, що складається з 6 граней, в основі якого прямокутник. Діагональ - це відрізок, який з'єднує протилежні вершини паралелограма.
Формула знаходження довжини діагоналі - квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів паралелограма.
Знайшлася в інтернеті непогана схема-таблиця з повним перерахуванням за все, що є в параллепіпед. Є формула, щоб знайти діагональ, яка позначається d.
Є зображення межі, вершини і інших важливих для параллепіпед речей.
Якщо у прямокутного паралелепіпеда відомі довжина, висота і ширина (a, b, c) то формула для розрахунку діагоналі буде виглядати таким чином:
Зазвичай вчителі не пропонують своїм учням голую формулу, а докладають зусиль, щоб ті могли самостійно її вивести, задаючи навідні запитання:
Зазвичай після відповіді на поставлені питання, учні без праці самостійно виводять дану формулу.
Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Також як і діагоналі його протилежних граней. Довжину діагоналі можна обчислити, знаючи довжину рбер паралелограма, що виходять з однієї вершини. Ця довжина дорівнює кореню квадратному із суми квадратів довжин його рбер.
Прямокутний паралелепіпед це один з так званих багатогранників, який складається з 6 граней, кожна з яких є прямокутником. А діагональ - це відрізок, який з'єднує протилежні вершини паралелограма. Якщо довжину, ширину і висоту прямокутного паралелепіпеда прийняти за a, b, c відповідно, то формула його діагоналі (D) буде виглядати наступним чином: D ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2.
Діагональ прямокутного паралелепіпеда- це відрізок, що з'єднує його протилежні вершини. Отже, у нас є прямокутний паралелепіпедз діагоналлю d і зі сторонами a, b, c. Одне з властивостей паралелепіпеда говорить, що квадрат довжини діагоналі d дорівнює сумі квадратів ТРХ його вимірювань a, b, c. Звідси висновок, що довжина діагоналіможе бути легко розрахована за наступною формулою:
