44 adiciones físicas al canto integral inurl livre. Definición geométrica del valor de la integral. Envoltura de tila Obsyag

41,1. Esquemas de almacenamiento integral

No es necesario conocer el significado de un tamaño A geométrico o físico (área de un figuri, volumen de til, un agarre de una línea en una placa vertical, etc.), atado con la serpiente general de un invierno independiente. Transferido, bueno, el valor de A es aditivo, es decir, E. Tal, cuando rozbittі vіdrіzka [a; b] por el punto h є (a; b) en la parte [a; su; b] el valor del valor A, en todos los casos como [a; b], dorіvnyu sumі її es decir, scho іdpovіdaut [a; su; B].

Para el conocimiento del valor de A, es posible keruvatizar uno de dos esquemas: Esquema I (o el método de sumas integrales) y esquema II (o el método diferencial).

El primer esquema se basa en la designación de la integral de canto.

1. Puntos x 0 = a, x 1, ..., x n = b para romper en [a; b] en n partes. De hecho, el valor de A aumenta an "suplementos elementales" ΔAi (i = 1, ..., n): А = ΔA 1 + ΔА 2 + ... + ΔА n.

2. Demostrar la piel "dodanok elemental" en vista de la creación del deyakoi funktsii (ya que debe partir de la mente de las tareas), calculada en el punto más importante del resultado general para la resistencia yogui: ΔA i ≈ ƒ (ci) Δx i.

Con un valor cercano conocido de ΔA i, supongamos que se perdona un arco: el arco con un pequeño retraso puede ser reemplazado por una cuerda, que se junta; El cambio de velocidad en una cita pequeña se puede realizar muy rápidamente, etc.

Otrimamo está cerca del valor de A en el sumi integral:

3. Shukan es el valor de A antes del límite del sumi integral, es decir, E.

Los significados "método de sumas", como bacimo, se utilizan en la presentación de la integral, como la suma de un número infinitamente grande de números infinitamente pequeños.

El esquema I de la pelota está atascado para la configuración de una integral de canto zmisty geométrica y física.

Otro esquema es solo una modificación del esquema I y se llama el "método diferencial" o el "método de ver indefinidamente pequeños órdenes diferentes":

1) en vidrizka [a; b] valores vibramalmente conservadores de x y visualización de cambios en la visualización [a; NS]. En general, el valor de A se convierte en función de x: A = A (x), es decir, Vvazhamo, una parte del valor shukan de A no es función de A (x), de x є es uno de los parámetros del valor de A;

2) conocemos la parte superior del incremento ΔA al cambiar x en un valor pequeño Δx = dx, es decir, se conoce el diferencial dA de la función A = A (x): dA = ƒ (x) dx, de tasks, funciones de cambio (aquí también puedes pedir ayuda);

3) vvazayuchi, scho dA ≈ ΔA en Δх → 0, el shukan conoce el valor de la integración dA en los intervalos de a a b:

41.2. Calcular el área de figuras planas

coordenadas rectangulares

Como ya está establecido (div. "Integral sensorial geométrica"), el área del trapecio curvo, el "vishche" roscado del eje de abscisas (ƒ (x) ≥ 0), volviendo a la integral común de canto:

La fórmula (41.1) se bordea mediante el esquema de almacenamiento I, el método de la suma. Fórmula (41.1), esquema vicorista II. Sea el trapecio curvo rodeado por líneas y = ƒ (x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (div. Fig. 174).

Para el área conocida del trapecio S de la víctima del inicio de la operación:

1. Vіzmemo dovіlne x Î [a; b] y asumiremos que S = S (x).

2. Damo el argumento x pririst Δx = dx (x + Δx є [a; b]). La función S = S (x) es obtener un aumento de ΔS, que es un área de un "trapecio curvo elemental" (una pequeña imagen del mismo).

Área diferencial dS є parte de la cabeza del incremento ΔS en Δх → 0, і, obviamente, en el área de la carretera del rectángulo con la base dx y la altura y: dS = y dx.

3.Integrando la diferenciación de la igualdad en los límites de x = a hasta x = b, obsesionado

Obviamente, el trapezoide curvilíneo se redondea "debajo" del eje Ox (ƒ (x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Las fórmulas (41.1) y (41.2) se pueden combinar en una:

El área de la figuri, rodeada por curvas y = = fι (x) і у = ƒг (x), por líneas x = a і х = b (detrás de ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) ( div. Fig.175), puede saber detrás de la fórmula

Si la figura es plana, tengo una forma "plegable" (div. Fig. 176), luego recta, paralela al eje Oy, y luego cortada en pedazos, de modo que es posible usar las mismas fórmulas.

Como el trapecio curvo está rodeado por líneas rectas y = s і y = d, vіssu Oy está ininterrumpidamente curvado х = φ (y) ≥ 0 (div. Fig. 177), entonces її área está detrás de la fórmula

Yo, nareshty, como un trapezoide curvilíneo rodeado por una curva, dado paramétricamente

líneas rectas x = aih = bі vіssu Oh, entonces el área її está detrás de la fórmula

de a y β se determinan a partir de la equivalencia x (a) = a і x (β) = b.

Trasero 41.1. Conoce el área de la figura, rodeada por el vissu Oh y la gráfica de la función y = x 2 - 2x en x.

Solución: Figura maє viglyad, imágenes del bebé 178. Se conoce en el área S:

Trasero 41.2. Cuenta el área de la figura, rodeada por una elipse x = a cos t, y = b sin t.

Decisión: Se conoce a partir de un grupo de 1/4 de área S. Aquí x cambia de 0 a a, de lo mismo, t cambia de 0 a 0 (div. Fig. 179). Es sabido:

En tal rango. Por tanto, S = π аВ.

coordenadas polares

Conocemos el área S del sector curvo, es decir, una figura plana, entrelazada con una línea ininterrumpida r = r (φ) y dos intercambios φ = a і φ = β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - método diferencial.

1. Tomemos una parte del área de Shukan S como función del kut φ, es decir, S = S (φ), si un ≤ φ ≤ β (si φ = a, entonces S (a) = 0, si φ = β, entonces S (β) = S).

2. Si el corte polar actual φ gana un aumento de Δφ = dφ, entonces el área AS aumentará al área del “sector curvo elemental” OAB.

Diferencial dS є la parte de la cabeza del incremento ΔS en dφ → 0 en las áreas de carreteras del sector circular Acerca de la AU (en el won más pequeño está sombreado) del radio r con el borde central dφ. Tomás

3.Integrando la alineación entre los límites de φ = a a φ = β,

Trasero 41,3. Conozca el área del figuri, rodeado por un "troyano de tres pétalos" r = acos3φ (div. Fig. 181).

Decisión: Se sabe que se conoce el área de la mitad de una cáscara "Trojandi", es decir, 1/6 del área total de la figurilla:

es decir. Otzhe,

Como la figura es plana, "doblo" la forma, luego por turnos, saliendo de los polos y yendo a los sectores curvos, hasta que estoy fijando la fórmula para el área conocida. Entonces, para un figuri, una imagen de un bebé 182, maєmo:

41,3. Cálculo del arco de un plano torcido.

coordenadas rectangulares

Sea en coordenadas de línea recta se da una curva plana AB, igual a (x), de a≤x≤ b.

Desde la línea del arco AB, el límite crece, hasta que es pragmático hasta que la línea de laman se inscribe en el arco, si el número de carriles del laman no está entre el crecimiento, y el número de carriles de la mayoría de lanka es pragne a cero. Se mostrará que si la función y = ƒ (x) і її se hereda de "= ƒ" (x) no se interrumpe por la forma [a; b], entonces la curva AV es maє dovzhinu, rіvnu

Esquema de Zastosuєmo I (método de suma).

1.Puntos x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Dovzhin jordi (Abolanka Lamano) ΔL 1 puede ser conocido por el teorema de Pitágoras con un tricot con patas Δx i і Δу i:

De acuerdo con el teorema de Lagrange sobre las funciones extra de kintsevy Δу i = ƒ "(з i) Δх i, de ci є (x i-1; x i).

y al fin y al cabo los lamanos M 0 M 1 ... M n carretera

3.Lina l AB torcido, para viznachennyam, camino

Notable, cuando ΔL i → 0 también і Δx i → 0 ΔLi = yo, también, | Δx i |<ΔL i).

función ininterrumpido por la duración de [a; b], de modo que, detrás del fregadero, la función ƒ "(x) no se interrumpe. Otzhe, іnuє entre la integral sumi (41.4), si max Δx i → 0 :

En tal rango, pero en una grabacion rapida l =

Si la ecuación de la curva AB se da en forma paramétrica

de x (t) і y (t) - funciones continuas con funciones ininterrumpidas і х (a) = a, х (β) = b, luego dovzhina l AV torcido está detrás de la fórmula

La fórmula (41.5) se puede recortar de la fórmula (41.3) estableciendo x = x (t), dx = x "(t) dt,

Trasero 41,4. Conoce la cena de una estaca de Radius R.

Solución: Conocemos 1/4 de parte de її dozhini desde el punto (0; R) al punto (R; 0) (div. Fig. 184). Entonces yak luego

significar, l= 2π R. Si escribe una apuesta en la vista paramétrica x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π), entonces

El cálculo del arco se puede basar en el método diferencial. Se mostrará que es posible rechazar la fórmula (41.3), habiendo estancado el esquema II (método diferencial).

1. El valor de x є [a; b] en pantalla claramente visible [a; NS]. Nuevo valor l una nueva función de x, tobto l = l(NS) ( l(A) = 0 і l(B) = l).

2. Conocemos el diferencial dl funciones l = l(X) al cambiar x por un valor pequeño Δx = dx: dl = l"(X) dx. Sabemos l"(X), reemplace el arco infinito pequeño MN con la cuerda Δ l, Arco qiu contratante (div. Fig.185):

3.Integra dl entre la a y la b, obsesionado

paridad se llama fórmula diferencial de arco en coordenadas rectangulares.

Entonces yak y "x = -dy / dx, entonces

Quedando la fórmula є Teorema de Pitágoras para triciclo MST indefinidamente pequeño (div. Fig. 186).

coordenadas polares

Deje que la curva AB se iguale en coordenadas polares r = r (φ), y≤φ≤β. Es cierto que r (φ) і r "(φ) no se interrumpe por la dirección [a; β].

Si en las igualdades x = rcosφ, y = rsinφ, donde se utilizan las coordenadas polares y cartesianas, el parámetro es igual a φ, entonces la curva AB se puede configurar paramétricamente

Fórmula de Zastosovuchi (41,5),

Trasero 41,5. Conoce la cantidad de cardioide r = = a (1 + cosφ).

Solución: cardioide r = a (1 + cosφ) ma viglyad, imágenes de un bebé 187. Vona es simétrica al eje polar. Conocemos la mitad de la cantidad total de cardioidi:

En este rango, 1 / 2l = 4a. Por tanto, l = 8а.

41,4. Obyagu tila calculada

El cálculo de la cantidad de dinero para cada área de perereziv paralelo

No es necesario conocer el volumen del piso V, además, en el área S de la sección transversal del piso, las áreas perpendiculares al eje principal, por ejemplo, el eje Ox: S = S (x), a ≤ x ≤ b.

1. A través de un punto suficiente x є dibuje un plano Π, perpendicular al eje Ox (div. Fig. 188). En términos de S (x), el área está invadida por un área completa; S (x) es genial en casa y cambia sin interrupciones al cambiar. A través de v (x), es significativo intercambiar una parte del cuerpo, cómo acostarse más que el área P. x] el valor v es la función de x, es decir, v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V).

2. Conocemos el diferencial dV de la función v = v (x). Win es una "bola elemental" del piso, colocada entre áreas paralelas, que eclipsa a Ox en los puntos x і х + Δх, que se puede tomar aproximadamente sobre el cilindro con la base S (x) en altura dx. A eso el volumen diferencial dV = S (x) dx.

3. Conocido por el shukan el valor de V por la ruta de integración dA en los límites de a a B:

La fórmula de Otriman se llama fórmula obsyagu tila en el área de cruces paralelos.

Culata 41 .6. Conozca obsyag elipsoyda

Solución: Rozsіkayuchi elіpsoїd área, área paralela Oyz y en primer lugar ≤х≤ a), otrimaєmo elips (div. fig. 189):

El área de la elipse

Tom, por fórmula (41.6),

Envoltura de tila Obsyag

No se acerque al eje Oh para envolver un trapecio curvo, rodeado por una línea ininterrumpida y = ƒ (x) 0, con una larga a ≤ x ≤ bі por líneas rectas x = a і x = b (div. Fig. 190 ). Otrimana de la envoltura de la figura se llama envoltura. Peretin ts'go til con un área perpendicular al eje del Buey, dibujada a través de un cierto punto x del eje del Buey (x Î [A; b]), є colo con radio у = ƒ (x). Del mismo, S (x) = π y 2.

Fórmula de Zastosovyuchi (41.6) obsyagu til en el área de cruces paralelos, se puede reconocer

Como un trapecio curvo está rodeado por un gráfico no sin interrupción de la función = φ (y) ≥ 0 y líneas rectas x = 0, y = c,

y = d (s< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Trasero 41,7. Para conocer el volumen de la til, fije las vueltas de la figuri, rodeadas por las líneas alrededor del eje Oy (div. Fig. 191).

Decisión: Para la fórmula (41.8) sabemos:

41,5. Envoltura de superficie estimada

Sea la función gráfica de la curva AB є y = ƒ (x) ≥ 0, de x є [a; b], y la función y = ƒ (x) і її se hereda de "= ƒ" (x) no se interrumpe de ninguna manera.

Conocemos el área S de la superficie, ajustada a las vueltas de la curva AB cerca del eje Ox.

Esquema de Zastosuєmo II (método diferencial).

1. A través de un cierto punto x є [a; b] dibuja un área Π perpendicular al eje Ox. El área Π desborda la superficie de la envoltura alrededor de la estaca con radio y = ƒ (x) (div. Fig. 192). El valor S de la parte de la superficie de la figura está envuelto, pero para estar más que el área, es una función de x, es decir, S = s (x) (s (a) = 0 і s (b) = S).

2. Argumento Damo x pririst Δx = dx. A través del punto x + dx є [a; b] también se dibuja un plano perpendicular al eje Ox. La función s = s (x) es obtener el aumento de Az, que el visor "Pask" muestra en el pequeño.

Conocemos el diferencial del área ds, lo arreglaré con la peretina de la figura, aumentaremos el cono, lo arreglaré. dl, Un radioi es igual ay + dy. El área de la segunda superficie de la carretera ds = π (Y + y + dy) dl=2π a dl + π dydl... Open TV dydl como un orden infinitamente pequeño, ds más bajo, ds aceptable = 2 π a dl, Abo, entonces yak

3.Integrando la diferenciación de la igualdad en los límites de x = a hasta x = b, obsesionado

Si la curva AB está dada por equivalentes paramétricos x = x (t), y = y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, entonces la fórmula (41.9) para el área de la superficie envolvente

Trasero 41,8. Conoce el área de la superficie del enfriador del radio R.

Trasero 41,9. dado cicloide

Para conocer el área de la superficie, establezca las envolturas alrededor del eje Oh.

Solución: cuando se envuelve la mitad del arco, la cicloide está alrededor del eje Ox, el área de la superficie se envuelve.

41,6. Adiciones mecánicas de la integral de canto

Robot de fuerza invernal

Deje que el punto material M se mueva puenteando el eje Oh antes del cambio de fuerza F = F (x), alineado paralelo al eje. Un robot, vibra por la fuerza cuando el punto M se desplaza de la posición x = a en la posición x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Butt 41.10 Yaku robot necesita gastar, schob para estirar el resorte en 0.05 m, si la fuerza es de 100 N para estirar el resorte en 0.01 m?

Decisión: Detrás de la ley de Hooke, la fuerza del resorte, que estira el resorte, es proporcional al estiramiento x, es decir, F = KX, de k es el coeficiente de proporción. Al final de la tarea de lavado, la fuerza F = 100 N tira del resorte ax = 0.01 m; lo mismo, 100 = k * 0.01, estrellas k = 10000; lo mismo, F = 10000x.

Shukana del robot sobre la base de la fórmula (41.10)

Trasero 41.11. Saber al robot, si es necesario gastarlo, wickachati sobre el borde de la ranura del depósito cilíndrico vertical con la altura H my el radio de la base R m.

Decisión: Un robot que es capaz de girar sobre la altura de la altura de la altura de la h, camino a la altura de la h. Todas las bolas de crecimiento en los tanques están ubicadas en las pendientes más bajas y la altura del elevador (hasta el borde del depósito) de las bolas pequeñas no es la misma.

El esquema II (método diferencial) se utiliza para la verificación de la designación del conjunto. El sistema de coordenadas se introduce como se indica en el pequeño 193.

1. Robot, scho para ver el vikachuvannya de la bola del tanque ridini tovshchinoyu x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Se conoce la parte superior del incremento ΔA cuando se cambia x por el valor Δx = dx, es decir, se conoce el diferencial dA de la función A (x).

Zvazhayuchi en krykhta dx vazhaєmo, por lo que la bola "elemental" de la línea está ubicada en un indicador (hacia el borde del depósito) (div. Fig. 193). Todi dA \ u003d dp * x, de dp - cuál es la pelota; en dorіvnyu g * g dv, de g - acelerado vіnnogo fadіnnya, g - competencia de rіdini, dv - obsyag de la bola "elemental" de rіdini (por un poco de visiones), es decir, dp = gg dv. Obshy a la bola designada rіdini, obviamente, dorіvnyuє π R 2 dx, de dx - la altura del cilindro (bola), π R 2 - el área de su sueño, tobto. E. Dv = π R 2 dx.

En tal rango, dp = gg π R 2 dx і dA = gg π R 2 dx * x.

3) integrando la diferencia entre las aristas de x = 0 ax = H, se conoce

Shlyakh, pasajes por til

Deje que el punto material se mueva a lo largo de la línea recta a través de la velocidad variable v = v (t). Conocemos el camino S, pasa durante una hora de t 1 a t 2.

Decisión: Desde el cambio físico de la vista simple, de la hora al punto en línea recta, “la velocidad de la línea recta de la carretera a la ruta simple por horas”, es decir. Integración de la diferencia entre los límites de t 1 a t 2, se reconoce

Obviamente, la fórmula se puede eliminar utilizando el esquema I o II almacenando la integral de canto.

Trasero 41.12. Conoce el camino, pasando en 4 segundos hasta la mazorca del maíz, ya que la velocidad del piso es v (t) = 10t + 2 (m / s).

Decisión: Si v (t) = 10t + 2 (m / s), entonces una caminata, solo pasa por la mazorca de un maíz (t = 0) hasta el final del cuarto segundo, camino

Tornillo de banco Ridini sobre placa vertical

Obviamente, debido a la ley de Pascal, el agarre de una línea en una placa horizontal es una línea costosa de una línea de una línea, cuando pago una tarifa, y por peso, una profundidad de línea desde la superficie vertical de un Sidin, que es, E. P * = h * de g * piso, g - espesor de la línea, S - área de la placa, h - profundidad del suelo.

Para esta fórmula, puede shukati el agarre de la línea en la placa perforada verticalmente, de modo que el punto se encuentre en las pequeñas pendientes.

Permita que la placa esté perforada verticalmente en la carretera, rodeada por líneas x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) і y 2 = ƒ 2 (x); el sistema de coordenadas vibran es así, como se indica en el pequeño 194. Para el conocimiento del agarre del Ridini sobre el plato se utiliza el esquema II (el método diferencial).

1. Deje que la parte del valor shukanoi P є funcione de x: p = p (x), es decir, P = p (x) - el tornillo de banco en la parte del plato, como el [a; x] el valor de la arruga x, de x є [a; b] (p (a) = 0, p (b) = P).

2. Argumento Damo x pririst Δx = dx. ¿Función p (x) para ganar? P (para un bebé, una pequeña bola de dx). Conocemos el dp diferencial de la función. Traqueteando en el dx krykhta, estaremos cerca del cuadrado con un rectángulo, todas las motas de las cuales se encuentran en la misma glibina, es decir, la placa es horizontal.

Todi detrás de la ley de Pascal

3.Integrando el recorte de la paridad en los límites desde x = a hasta x = B,

Trasero 41.13. Viznachit el tamaño del agarre de la unidad en la rueda, verticalmente en el camino, donde el radio es R, y el centro Pass en la superficie de la unidad (div. Fig. 195).

El momento estático S y del sistema del eje

A medida que el rango masi rozpodіlenі bezperervnim de la brida deyakoi está torcido, luego para la rotación del momento estático, integre.

Nekhai y = ƒ (x) (a≤ x≤ b) - el valor de la curva de material AB. Vamos a vvvat її unilateral con una línea post-lineal g (g = constante).

Para un previlny x є [a; b] en la curva AB hay un punto con coordenadas (x; y). Visible en la curva de la elemental dl, para vengar el punto (x; y). Todi masa tsієї dіlyanka dorіvnyu g dl. Aceptable dl está cerca del punto, desde la distancia desde el eje Oh hasta la parte posterior. El diferencial del momento estático dS x ("momento elemental") será adecuado para g dly, es decir, DS x = g dlу (div. Fig. 196).

Svidsy vyplyaє, pero el momento estático S x curvó AB desde el eje Oh dorivnyu

De manera similar, conocemos S y:

Los momentos estáticos S x і S y torcidos permiten un fácil posicionamiento del centro del vagi (centro de la masa).

El centro de la curva plana de material pesado y = ƒ (x), x Î se llama el punto del área, cuando Volodia es el poder ofensivo: si en todo el punto del medio toda la masa m está torcida, entonces la estática El momento de la carretera del punto es, como siempre, la coordenada torcida y \ u003d ƒ (x) es muy similar al eje. Denotemos por C (x c; y c) el centro de la vagi de la curva AB.

El centro de la vagina debe ser igual Zvidsi

Cálculo de momentos estáticos y coordenadas del centro del wagi de una figura plana.

Supongamos que se da una figura plana material (placa), rodeada por una curva y = ƒ (x) 0 y líneas rectas y = 0, x = a, x = b (div. Fig. 198).

Tendremos en cuenta que la superficie de la placa es permanente (g = constante). Todi masa "todas las placas son puertas g * S, es decir, E Desvinculación elemental visible de la placa cerca del viglyad, smog vertical indefinidamente alto, y se abordará de forma directa.

Todi masa yogo dorivnyuє g ydx. El centro de gravedad del rectángulo Z se encuentra en la sección transversal de las diagonales del rectángulo. El punto C va desde el eje Ox hasta 1/2 * y, y desde el eje Oy hasta x (cerca; más precisamente, en el punto de x + 1/2 Δx). Todi para los momentos estáticos elementales de los ejes Oh y Oy

Otzhe, centro de coordenadas wagi maє

Los valores de integral (OI) se utilizan ampliamente en adiciones prácticas a matemáticas y física.

En la estela del día, en geometría, más allá de la OI, hay áreas de figuras simples y superficies plegables, volúmenes de formas envolventes y de gran escala, más curvas en el área y en el espacio.

La física y la mecánica teórica de OI se utilizan para calcular momentos estáticos, masas y centros de masas de curvas y superficies de materiales, para calcular la fuerza robótica a lo largo de una trayectoria curva y hacia adentro.

El área de la figuri plana

No tenga una figura plana en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas $ xOy $ en la parte superior está rodeada por una curva $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, en la parte inferior - por una curva $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $, y en el lado derecho por líneas verticales $ x = a $ і $ x = b $ aparentemente. En un área de vipad entusiasta de tal figurilla, date la vuelta para obtener un OI adicional $ S = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) \ left (x \ right) -y_ ( 2) \ izquierda (x \ derecha) \ derecha) \ cdot dx $.

Además, una figura plana en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas $ xOy $ está rodeada por una curva $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $ a la derecha, una curva $ x = x_ (2) \ left ( y \ right) $, y por debajo y por encima de las líneas rectas horizontales $ y = c $ і $ y = d $ como si, entonces el área de tal figura se volverá detrás de los otros OI $ S = \ int \ límites _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) \ left (y \ right) -x_ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

No tiene una figura plana (sector vignute), que se puede ver en sistemas de coordenadas polares, se establece mediante la gráfica de la función continua $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $, así como dos intercambios a pasar por $ \ phi = \ alpha $ i $ \ phi = \ beta $ es correcto. La fórmula para calcular el área de tal sector curvo de la ma viglyad: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2 ) \ izquierda (\ phi \ derecha) \ cdot d \ phi $.

Arco de Dovzhina torcido

$ \ Izquierda [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ la curva se establece igual a $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $ en sistemas de coordenadas polares, luego el arco del arco se calcula de acuerdo con el OI adicional $ L = \ int \ límites _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) + \ rho "^ (2) \ left (\ phi \ right)) \ cdot d \ phi $.

Si la curva es igual a $ y = y \ left (x \ right) $ en la línea $ \ left $, entonces el arco del arco se calcula para los OI $ L = \ int \ limits _ (a) adicionales ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

$ \ Izquierda [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ la curva se da paramétricamente, de modo que $ x = x \ left (t \ right) $, $ y = y \ left (t \ right) $, entonces el arco її se calcula para el OI adicional $ L = \ int \ límites _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x "^ (2) \ left (t \ right) + y" ^ (2) \ left (t \ right)) \ cdot dt $.

Enumeración del obsyagu tila detrás de las áreas del paralelo perereziv

No es necesario conocer el volumen del piso espacioso, las coordenadas de los puntos de los cuales estamos satisfechos con $ a \ le x \ le b $, y para los cuales en cada área hay una cruz en $ S \ left (x \ right) $ con áreas perpendiculares al eje $ Ox $.

La fórmula para calcular tal tila maє viglyad es $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Envoltura de tila Obsyag

Vayamos a $ \ left $, se da una función no negativa no intermitente $ y = y \ left (x \ right) $, que crea un trapezoide curvo (CRT). Si envuelve el MCT alrededor del eje $ Ox $, entonces finge ser solo, llamado por el ajuste.

Envoltura numérica de obsyagu tila: limitaremos el número de volúmenes numerados de cuerpo detrás de las áreas dadas de transiciones paralelas. Como la fórmula del inconformista $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx $.

No tenga una figura plana en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas $ xOy $ en la parte superior está rodeada por una curva $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, en la parte inferior - por una curva $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $, de $ y_ (1) \ left (x \ right) $ і $ y_ (2) \ left (x \ right) $ - sin función sin interrupción, y mal y líneas verticales derechas $ x = a $ і $ x = b $ seguro. Todi obsyag til, configurado para envolver alrededor del eje $ Ox $, girar OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) ^ (2) \ left (x \ derecha) -y_ (2) ^ (2) \ izquierda (x \ derecha) \ derecha) \ cdot dx $.

No tiene una figura plana en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas $ xOy $ a la derecha está rodeado por una curva $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $, en el incorrecto - una curva $ x = x_ ( 2) \ left (y \ right) $, de $ x_ (1) \ left (y \ right) $ і $ x_ (2) \ left (y \ right) $ - sin función sin interrupción, y arriba y abajo por líneas horizontales $ y = c $ і $ y = d $ seguro. Todi obsyag til, dotado con las envolturas de la figura alrededor del eje $ Oy $, gire OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) ^ (2) \ izquierda (y \ derecha) -x_ (2) ^ (2) \ izquierda (y \ derecha) \ derecha) \ cdot dy $.

El área de la superficie está envuelta.

Vayamos a $ \ left $ se da una función no negativa $ y = y \ left (x \ right) $ con un $ y "\ left (x \ right) $ ininterrumpido. , y el arco del MCT está hacia su superficie. \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

Se admite que la curva $ x = \ phi \ left (y \ right) $, de $ \ phi \ left (y \ right) $ - se da en el borde $ c \ le y \ le d $ no -función negativa, envuelve el eje $ Oy $. Al final del rango del área de superficie del cuerpo del conjunto, la envoltura se retuerce OI $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ phi \ left (y \ right) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ left (y \ right)) \ cdot dy $.

Suplementos físicos OI

Para el detector de distancia, en el momento de la hora $ t = T $ con un cambio en la fluidez del punto material $ v = v \ left (t \ right) $ del punto material, cuando la caída comienza en el momento de la hora $ t = t_ (0) $, el vicorista es OI $ S = \ int \ limits _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
Para calcular la fuerza robótica, $ F = F \ left (x \ right) $, para alcanzar el punto material, para moverse a lo largo de la línea recta desde el eje $ Ox $ desde el punto $ x = a $ hasta el punto $ x = b $ (directamente dії poder para salir del camino) vikoristovuyu OI $ A = \ int \ limits _ (a) ^ (b) F \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Momentos estáticos desde los ejes de coordenadas de la curva del material $ y = y \ left (x \ right) $ al intervalo $ \ left $ rotar por las fórmulas $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a ) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ límites _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.
El centro de un material torcido es un punto en el que todo el mundo está inteligentemente ordenado en tal rango que los momentos estáticos del punto a lo largo de los ejes de coordenadas se ajustan a los momentos estáticos generales de todos los torcidos en su conjunto. .

Fórmulas para calcular las coordenadas del centro de una masa plana curva $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $ і $ y_ (C) = \ frac (\ int \ límites _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $.

Momentos estáticos de una figura plana material en el visor CMT con varios ejes de coordenadas rotan según las fórmulas $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ derecha) \ cdot dx $.
Coordine el centro de una figura plana masiva en el visor del MCT, establecido por la curva $ y = y \ left (x \ right) $ al intervalo $ \ left $, calculado de acuerdo con las fórmulas $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right ) \ cdot dx) $ і $ y_ (C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ límites _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot dx) $.

Tema 6.10. Adiciones geométricas y físicas a la integral de canto

1. El área de un trapecio curvo, entrelazado por una curva y = f (x) (f (x)> 0), por líneas rectas x = a, x = b і bordes [a, b] ejes Ox, calculado por la fórmula

2. El área de la figuri, rodeada por curvas y = f (x) і y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Si la curva está dada por parámetros paramétricos iguales x = x (t), y = y (t), entonces el área del trapezoide curvo, que está rodeado por una curva recta y líneas rectas x = a, x = b, se encuentra detrás de la fórmula

4. Nekhai S (x): el área del piso es perpendicular al eje Ox, solo la parte del piso, colocada entre las áreas del eje perpendicular x = a і x = b, se encuentra detrás de la fórmula

5. No vaya en trapecio curvo, rodeado por una curva y = f (x) en líneas rectas y = 0, x = a і х = b, envuelva alrededor del eje Oh, así es como se calcula el envolvente de acuerdo con la fórmula

6. No vaya en trapecio curvo, rodeado por una curva х = g (y) і

líneas rectas x = 0, y = c і y = d, envolver alrededor del eje O y, para envolver alrededor del envolvente que se calculará de acuerdo con la fórmula

7. Si una curva plana se lleva a un sistema de coordenadas rectangular y se da igual a y = f (x) (o x = F (y)), entonces la ganancia del arco se establece mediante la fórmula

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Tema 18. Complementos de la integral de canto.

18.1. Enumeración de áreas de figuras planas.

Aparentemente, una integral vocal en el borde del área del trapecio curvo, rodeada por una gráfica de la función f (x). Si la gráfica de costura es más baja que el eje del Buey, tobto f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, entonces el área está marcada con "+".

Para el conocimiento del área total, la fórmula sale victoriosa.

El área de las figurillas, rodeada por líneas deyakim, se puede conocer detrás de la ayuda de integrales cantadas, así como de las líneas comunes.

Extremo. Conoce el área de las figuras, rodeadas por líneas y = x, y = x 2, x = 2.

El área de Shukana (sombreada en la figura) se puede encontrar detrás de la fórmula:

18.2. Conocimiento del área del sector torcido.

Para el área conocida del sector curvo, se introduce un sistema de coordenadas polares. Rivnyannya torcida, que entrelazará el sector en todo el sistema de coordenadas, ma viglyad  = f (), de  - radio dovzhyna - vectores, pero un polo desde el siguiente punto de la curva, y  - radio kut nahila - el vector a la polar ...

El área del sector curvo se puede encontrar detrás de la fórmula

18.3. El cálculo de la curva está torcido.

y y = f (x)

S i y i

Dovzhina lamanoi linea, yaka vidpovidak duzi, tal vez conozcas a yak
.

Todi dovzhina arco dorivnyu
.

Tres mirkuvan geométricos:

A la misma hora

Todi se puede mostrar

Tobto

Si la curva se da paramétricamente, entonces, según las reglas para calcular el antiguo paramétricamente, es

de x =  (t) і у =  (t).

lo que se da curva espaciosa, І х =  (t), у =  (t) і z = Z (t), entonces

La curva de Yaksho se establece en coordenadas polares, luego

,  = f ().

extremo: Conoce la cantidad de participación que se le da a la familia x 2 + y 2 = r 2.

1 vía Vislovimo de rіvnyannya zminnu.

Yo se que iré

Todi S = 2r. Otrimalnovydom fórmula dozhini cola.

2 vías Si te dan una línea en sistemas de coordenadas polares, entonces está obsesionada: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, de modo que la función  = f () = r,
Todi

18.4. Volumen calculado

El cálculo del obsyagu tila detrás de las diversas áreas del paralelo perereziv.

No se preocupe por un problema V. El área de cualquier superposición transversal del cuerpo Q, en la forma de una función ininterrumpida Q = Q (x). Rozib'єmo tilo en el "shari" con curvas transversales, que pasan por los puntos x i rozbittya vіdrizka. Las oscilaciones para algún tipo intermedio de función Q (x) no se interrumpen, luego se acepta para la más nueva por el menor valor. Significativamente, їх se deriva de M i і m i.

Si en la cich se vuelca más y más pequeña si los cilindros están construidos con ejes paralelos, entonces los movimientos de los cilindros serán similares entre sí M i x i i m i x i aquí i - x i = x.

Si ha brindado tal estímulo para todos los tipos de rositta, saque los cilindros, solicite dicha información
і
.

Cuando es pragmático a cero crocus rosbitta , tsi sumi puede causar un borde zagalny:

En tal rango, obsyag tila se puede encontrar en el conocimiento detrás de la fórmula:

En un número reducido de fórmulas, las necesarias para el conocimiento de la función Q (x) son necesarias para el conocimiento de la función, pero es problemático para las carrocerías plegables.

extremo: Conozca el radio R. de 'um kuli.

En las solapas transversales transversales del coul, hay una cola de radio variable. Al mismo tiempo, a partir de las coordenadas de la corriente x radio tsei, siga la fórmula
.

Función de Todi del área de overretin el ma viglyad: Q (x) =
.

Otrimuєmo ob'єm kuli:

extremo: Conocer el gran tamaño del cuadrado del espacio S.

Al volcarse por áreas perpendiculares a la altura, en el transcurso de un período de tiempo, podemos ver figurillas, algunas de ellas. Coeficientes para las necesidades de transporte de estas figuras x / H, de x - van desde el área hasta la cima de la pirámide.

Geometría de la casa, donde se tiene en cuenta el área de figuras similares para la comodidad de la plaza, tobto

Podremos reconocer la función de las áreas de reticulación:

Se sabe sobre el obsyag pіramidi:

18,5. Obsyag til wrap.

La curva es visible, dada igual ay = f (x). Se admite que la función f (x) no es intermitente durante mucho tiempo. Mientras dibujo un trapezoide curvilíneo con lo básico a y b envuelven el eje envoltura de tilo.

y = f (x)

Fragmentos de peretina de piel con un área x = const є colo de radio
Entonces, la envoltura de obsyag tila se puede encontrar fácilmente detrás de la fórmula de otriman vische:

18.6. El área de la superficie está envuelta.

M i B

valor: Envoltura de superficie plana Los AB torcidos cerca del eje dado llaman el límite, hasta que el área de la superficie de la envoltura de lamanichs, inscrita en la curva AB, se reduce a cero, las fanzines más comunes de lamanichs.

Levante un arco AB en n partes por los puntos M 0, M 1, M 2, ..., M n. Las coordenadas de los vértices son del rimano lamano, las coordenadas x i і y i. Cuando se envuelve alrededor del eje lamano, la superficie es visible, que se puede plegar desde las superficies bichy de los conos truncados, cuyo área es la carretera P i. La qia del área se puede conocer por la fórmula:

Aquí S i es la piel de jordi.

El teorema de Lagrange de Zastosov (div. Teorema de lagrange) Antes del anuncio
.

1. El área de la figura plana.

El área del trapecio curvo, rodeada por una función no negativa. f (x), Vissy abscis y recto x = a, x = b, Comienza yak S = ∫ a b f x d x.

El área del trapecio torcido

Área de Figuri, interconectada por función f (x),, Empiece por la fórmula S = Σ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - Σ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x yo- funciones cero. En otras palabras, es necesario contar el área del centro de las figurillas, es necesario romper ceros de función f (x) en parte, integrar la función F en la piel del viyshov de la prominencia de la constancia del signo, el área alrededor de los bordes de la integral en la dirección, en algunas funciones F recibir señales y reconocer del primer amigo.

2. El área del sector curvo.

El área del sector torcido ρ = ρ (φ) en sistemas de coordenadas polares, de ρ (φ) - sin interrupción y no negativo en [α; β] función. Figura, rodeada de una curva ρ (φ) en intercambios φ = α , φ = β , Ser llamado sector curvo. El área del sector curvo de la carretera S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.

3. Envoltura de tila Obsyag.

Envoltura de tila Obsyag

Déjelo envolver alrededor del eje trapecio curvo OX, entrelazado sin interrupción en la forma función f (x)... Yogo obsyag gira la fórmula V = π ∫ a b f 2 x d x.

Antes de las tareas sobre el conocimiento del volumen del cuerpo detrás del área de la anulación transversal.

Nehay tilo se coloca entre áreas x = aі x = b, Y el área está cortada por el área, así que pase por el punto X, - sin interrupción del función σ (x)... Todi yogo obsyag road V = ∫ a b σ x d x.

4. Dovzhina arco torcido.

No dé una curva r → t = x t, y t, z t t = αі t = β gire por la fórmula S = ∫ α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Arco de Dovzhina de un Zokrem plano torcido, dovzhina plano torcido, cómo configurar el área de coordenadas OXY rivnyannyam y = f (x), a ≤ x ≤ b, Oscilación según la fórmula S = ∫ a b 1 + f 'x 2 dx.

5. El área de la superficie del envoltorio.

El área de la superficie de la envoltura Deje que la superficie de la envoltura se establezca en el eje OX gráfico de la función y = f (x), a ≤ x ≤ b Yo funciono F Iré sin interrupciones hasta el final. El área real de la superficie está envuelta por la fórmula Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f 'x 2 d x.