Графік криволінійної трапеції. Площа криволінійної трапеції. Етап перевірки домашнього завдання

Визначення. Фігура, обмежена графіком безперервної, знакопостоянного функції f (x), віссю абцісс і прямими x = a, x = b, називається криволінійної трапецією.

Способи знаходження площі криволінійної трапеції

Теорема. Якщо f (x) безперервна і неотрицательная функція на відрізку, то площа відповідної криволінійної трапеції дорівнює приросту первісних.

Дано: f (x) - безперервна неопр. функція, Xо.

Довести: S = F (b) - F (a), де F (x) - первісна f (x).

Доведення:

1) Розглянемо допоміжну функцію S (x). Кожному Xо поставимо у відповідність ту частину криволінійної трапеції, яка лежить лівіше прямої (рис. 2), що проходить через точку з цієї абцісс і паралельно осі ординат.

Отже S (a) = 0 і S (b) = Sтр

Доведемо, що S (a) - первісна f (x).

D (f) = D (S) =

S "(x0) = lim (S (x0 + Dx) - S (x0) / Dx), при Dx®0 DS - прямокутник

Dx®0 зі сторонами Dx і f (x0)

S "(x0) = lim (Dx f (x0) / Dx) = lim f (x0) = f (x0): тому що x0 точка, то S (x) -

Dx®0 Dx®0 первісна f (x).

Отже за теоремою про загальний вигляд первісної S (x) = F (x) + C.

Оскільки S (a) = 0, то S (a) = F (a) + C

S = S (b) = F (b) + C = F (b) -F (a)

1). Розіб'ємо відрізок на n рівних частин. Крок розбиття (рис. 3)

Dx = (b-a) / n. При цьому Sтр = lim (f (x0) Dx + f (x1) Dx + ... + f (xn)) Dx = n®Ґ = lim Dx (f (x0) + f (x1) + ... + f (xn))

При n®Ґ отримаємо, що Sтр = Dx (f (x0) + f (x1) + ... + f (xn))

Межа цієї суми називають визначеним інтегралом.

Сума стоїть під межею, називається інтегральною сумою.

Певний інтеграл це межа інтегральної суми на відрізку при n®Ґ. Інтегральна сума виходить як межа суми творів довжини відрізка, отриманого при розбитті області визначення функції в будь-якої точці цього інтервалу.

a - нижня межа інтегрування;

b - верхній.

Формула Ньютона-Лейбніца.

Порівнюючи формули площі криволінійної трапеції робимо висновок:

якщо F - первісна для b на, то

т f (x) dx = F (b) -F (a)

т f (x) dx = F (x) ф = F (b) - F (a)

Властивості визначеного інтеграла.

т f (x) dx = т f (z) dz

т f (x) dx = F (a) - F (a) = 0

т f (x) dx = - т f (x) dx

т f (x) dx = F (a) - F (b) т f (x) dx = F (b) - F (a) = - (F (a) - F (b))

Якщо a, b і c будь-які точки проміжку I, на якому безперервна функція f (x) має первісну, то

т f (x) dx = т f (x) dx + т f (x) dx

F (b) - F (a) = F (c) - F (a) + F (b) - F (c) = F (b) - F (a)

(Це властивість адитивності певного інтеграла)

Якщо l і m постійні величини, то

т (lf (x) + m j (x)) dx = l т f (x) dx + m Тj (x)) dx -

Це властивість лінійності певного інтеграла.

т (f (x) + g (x) + ... + h (x)) dx = т f (x) dx + т g (x) dx + ... + т h (x) dx

т (f (x) + g (x) + ... + h (x)) dx = (F (b) + G (b) + ... + H (b)) - (F (a) + G (a) + ... + H (a)) + C = F (b) -F (a) + C1 + G (b) -G (a) + C2 + ... + H (b) -H (a) + Cn = bbb = т f (x) dx + т g (x) dx + ... + т h (x) dx

Набір стандартних картинок (рис. 4, 5, 6, 7, 8)

Мал. 4

Мал. 6 Мал. 7

Оскільки f (x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

Треба: розглянути симетрію функції щодо осі OX. ABCD®A "B" CD b

S (ABCD) = S (A "B" CD) = т -f (x) dx

S = т f (x) dx = т g (x) dx

S = т (f (x) -g (x)) dx + т (g (x) -f (x)) dx

S = т (f (x) + m-g (x) -m) dx =

т (f (x) - g (x)) dx

т ((f (x) -g (x)) dx

S = т (f (x) + m-g (x) -m) dx =

Т (f (x) - g (x)) dx

Якщо на відрізку f (x) Іg (x), то площа між цими графіками дорівнює

т ((f (x) -g (x)) dx

Функції f (x) і g (x) довільні і невід'ємні

S = т f (x) dx - т g (x) dx = т (f (x) -g (x)) dx

У будь-якого певного інтеграла (який існує) є дуже хороший геометричний сенс. На уроці я говорив, що визначений інтеграл - це число. А зараз прийшла пора констатувати ще один корисний факт. З точки зору геометрії визначений інтеграл - це ПЛОЩА.

Тобто, певного інтеграла (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині деяку криву (її можна завжди при бажанні накреслити), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

приклад 1

Це типова формулювання завдання. Перший і найважливіший момент рішення - побудова креслення. Причому, креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім- параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати поточечно, З технікою поточечного побудови можна ознайомитися в довідковому матеріалі.

Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал - як швидко побудувати параболу.

У цьому завданню рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

Штрихована криволинейную трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площі йдеться. Рішення триває так:

На відрізку графік функції розташований над віссю, Тому:

відповідь:

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтеграла і застосуванням формули Ньютона-Лейбніца , Зверніться до лекції Визначений інтеграл. приклади рішень.

Після того, як завдання виконано, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальний вийшов відповідь. В даному випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок в кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби у нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь допущена помилка - в розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшов негативним, то завдання теж вирішено некоректно.

приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,, і віссю

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Що робити, якщо криволинейная трапеція розташована під віссю?

приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю, То її площа можна знайти за формулою:
В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без всякого геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому в тільки що розглянутої формулою фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і в верхній і в нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних задачок переходимо до більш змістовним прикладів.

приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженої лініями,.

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. Взагалі кажучи, при побудові креслення в задачах на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи і прямої. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб - аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, по можливості, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, при цьому межі інтегрування з'ясовуються як би «самі собою». Техніка поточечного побудови для різних графіків докладно розглянута в довідці Графіки і властивості елементарних функцій. Проте, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточені побудова не виявило меж інтегрування (вони можуть бути дробовими або ірраціональними). І такий приклад, ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і тільки потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторюся, що при поточечной побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматом».

А тепер робоча формула:Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої неперервної функції, то площа відповідної фігури можна знайти за формулою:

Тут вже не треба думати, де розташована фігура - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік ВИЩЕ(Щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У розглянутому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому з необхідно відняти

Завершення рішення може виглядати так:

Шукана фігура обмежена параболою зверху і прямий знизу.
На відрізку, за відповідною формулою:

відповідь:

Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції в нижній півплощині (див. Простенький приклад №3) - окремий випадок формули . Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований нижче осі, то

А зараз кілька прикладів для самостійного рішення

приклад 5

приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженої лініями,.

В ході вирішення задач на обчислення площі за допомогою визначеного інтеграла іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки - правильно, але через неуважність ... знайдена площа не тієї фігури, Саме так кілька разів лажа ваш покірний слуга. Ось реальний випадок з життя:

приклад 7

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,,,.

Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площа якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умова - чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає, що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площу фігури вважається за допомогою двох визначених інтегралів. дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямої;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

відповідь:

приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,
Уявімо рівняння в «шкільному» вигляді, і виконаємо поточечной креслення:

З креслення видно, що верхня межа у нас «хороший»:.
Але чому дорівнює нижня межа ?! Зрозуміло, що це не ціле число, але яке? Може бути ? Але де гарантія, що креслення виконаний з ідеальною точністю, цілком може виявитися що. Або корінь. А якщо ми взагалі неправильно побудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час і уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину прямої і параболи.
Для цього вирішуємо рівняння:

Отже,.

Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися в підстановках і знаках, обчислення тут не найпростіші.

на відрізку , За відповідною формулою:

відповідь:

Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,,

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні.

Для поточечного побудови креслення необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), А також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як в цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки і межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони йдуть прямо з умови: - «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції розташований над віссю, тому:

(1) Як інтегруються синуси і косинуси в непарних ступенях можна подивитися на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій. Це типовий прийом, відщипуємо один синус.

(2) Використовуємо основне тригонометричну тотожність у вигляді

(3) Проведемо заміну змінної, тоді:

Нові переділи інтегрування:

У кого зовсім погані справи з замінами, прошу пройти на урок Метод заміни в невизначеному інтегралі. Кому не дуже зрозумілий алгоритм заміни в певному інтегралі, відвідайте сторінку Визначений інтеграл. приклади рішень.

Приклад 1 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: х + 2у - 4 = 0, у = 0, х = -3, і х = 2

Виконаємо побудову фігури (див. Рис.) Будуємо пряму х + 2у - 4 = 0 по двох точках А (4; 0) і В (0; 2). Висловивши у через х, отримаємо у = -0,5х + 2. За формулою (1), де f (x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, знаходимо

S = = [-0,25 = 11,25 кв. од

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: х - 2у + 4 = 0, х + у - 5 = 0 і у = 0.

Рішення. Виконаємо побудову фігури.

Побудуємо пряму х - 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А (-4; 0); х = 0, у = 2, В (0; 2).

Побудуємо пряму х + у - 5 = 0: у = 0, х = 5, С (5; 0), х = 0, у = 5, D (0; 5).

Знайдемо точку перетину прямих, вирішивши систему рівнянь:

х = 2, у = 3; М (2; 3).

Для обчислення шуканої площі розіб'ємо трикутник АМС на два трикутника АМN і NМС, так як при зміні х від А до N площа обмежена прямий, а при зміні х від N до С - прямий

Для трикутника АМN маємо:; у = 0,5х + 2, т. е. f (x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.

Для трикутника NМС маємо: y = - x + 5, т. Е. F (x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Обчисливши площу кожного з трикутників і склавши результати, знаходимо:

кв. од.

кв. од.

9 + 4, 5 = 13,5 кв. од. Перевірка: = 0,5АС = 0,5 кв. од.

Приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = x 2 , Y = 0, x = 2, x = 3.

В даному випадку потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженою параболою y = x 2 , Прямими x = 2 і x = 3і віссю Ох (див. Рис.) За формулою (1) знаходимо площу криволінійної трапеції

= = 6кВ. од.

Приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: у = - x 2 + 4 і у = 0

Виконаємо побудову фігури. Шукана площа укладена між параболою у = - x 2 + 4 і віссю Ох.

Знайдемо точки перетину параболи з віссю Ох. Вважаючи у = 0, знайдемо х = Так як дана фігура симетрична щодо осі Оу, то обчислимо площу фігури, розташованої праворуч від осі Оу, і отриманий результат подвоїмо: = + 4x] кв. од. 2 = 2 кв. од.

Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y 2 = X, yx = 1, x = 4

Тут потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженою верхньою гілкою параболиy 2 = X, віссю Ох і прямими x = 1іx = 4 (див. Рис.)

За формулою (1), де f (x) = a = 1 і b = 4 маємо = (= кв. Од.

приклад 6 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = sinx, y = 0, x = 0, x =.

Шукана площа обмежена півхвилею синусоїди і віссю Ох (див. Рис.).

Маємо - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. од.

Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = - 6х, у = 0 і х = 4.

Фігура розташована під віссю Ох (див. Рис.).

Отже, її площа знаходимо за формулою (3)

= =

Приклад 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = і х = 2. Криву y = побудуємо по точках (див. Рис.). Таким чином, площа фігури знаходимо за формулою (4)

приклад 9 .

х 2 + у 2 = r 2 .

Тут потрібно обчислити площу, обмежену колом х 2 + у 2 = r 2 , Т. Е. Площа кола радіуса r з центром на початку координат. Знайдемо четверту частину цієї площі, взявши межі інтегрування від 0

доr; маємо: 1 = = [

отже, 1 =

Приклад 10. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: у = х 2 і у = 2х

Дана фігура обмежена параболою у = х 2 і прямий у = 2х (див. рис.) Для визначення точок перетину заданих ліній вирішимо систему рівнянь: х 2 - 2х = 0 х = 0 і х = 2

Використовуючи для знаходження площі формулу (5), отримаємо

= І нехай F (x)- деяка її Первісна. тоді число F (b) -F (a)називається інтегралом від адо bфункції f (x)і позначається

.

рівність
називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Ця формула пов'язує завдання знаходження площі плоскої фігури з інтегралом.

У загальному випадку, якщо фігура обмежена графіками функцій y = f (x);y = g (x) (f (x)> g (x)) І прямими x = a;x = b, То її площа дорівнює:

.

Приклад 2.В якій точці графіка функції y = x 2 + 1 треба провести дотичну, щоб вона відтинала від фігури, утвореної графіком цієї функції і прямими y = 0, X = 0, X = 1 трапецію найбільшої площі?

Рішення.нехай M 0 (x 0 , y 0 ) - точка графіка функції y = x 2 + 1, в якій проведена шукана дотична.

Знайдемо рівняння дотичної y = y 0 + f (x 0 ) (X-x 0 ) .

маємо:

Тому

.

Знайдемо площу трапеції ОАВС.

.

B- точка перетину дотичної з прямою x = 1 

Завдання звелася до знаходження найбільшого значення функції

S(x)= -x 2 + X + 1 на відрізку. знайдемо S (x)=– 2x + 1. Знайдемо критичну точку з умови S (x)= 0  x =.

Бачимо, що функція досягає найбільшого значення при x =. знайдемо
.

відповідь:дотичну треба провести в точці
.

Відзначимо, що часто зустрічається завдання знаходження інтеграла, виходячи з його геометричного сенсу. Покажемо на прикладі, як вирішується таке завдання.

Приклад 4.Використовуючи геометричний сенс інтеграла обчислити

а )
; б)
.

Рішення.

а)
- дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою лініями.

П реобразуем

- верхня половина окружності з центром Р(1; 0) і радіусом R = 1.

Тому
.

відповідь:
.

б) Розмірковуючи аналогічно, побудуємо область, обмежену графіками .2 – 2x + 2, дотичними до неї в точках A
, B(4;2)

y =–9x- 59, параболою y = 3x 2 + Ax + 1, якщо відомо, що дотична до параболи в точці x = - 2 становить з віссю Oxкут величиною arctg 6.

знайти а, Якщо відомо, що площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y = 3x 3 + 2x, x = a, y = 0, дорівнює одиниці.

Знайти найменше значення площі фігури, обмеженої параболою y = x 2 + 2x- 3 і прямий y = kx + 1.

6.Етап інформації про домашнє завдання.

Завдання: Забезпечити розуміння учнями мети, змісту і способів виконання домашнього заданія.№18, 19,20,21 непарні

7.Подведеніе підсумків уроку.

Завдання: Дати якісну оцінку роботи класу і окремих учнів.

готові роботи

ДИПЛОМНІ РОБОТИ

Багато що вже позаду і тепер ти - випускник, якщо, звичайно, вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя - така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш все студентські радості, багато з яких, ти так і не спробував, все відкладаючи і відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати згаяне, ти корп над дипломною роботою? Є чудовий вихід: скачати потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться маса вільного часу!
Дипломні роботи успішно захищені в провідних ВУЗах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге

КУРСОВІ РОБОТИ

Курсовий проект - це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової починається підготовка до розробки дипломних проектів. Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті і грамотно його оформляти, то в подальшому у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складанням дипломних робіт, ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити виникають по ходу її складання питання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2 500 тенге

Магістерська дисертація

В даний час у вищих навчальних закладах Казахстану і країн СНД дуже поширена ступінь вищої професійної освіти, яка йде після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з метою отримання диплома магістра, яке визнається в більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, а також визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання в магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний і текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті та автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге

ЗВІТИ З ПРАКТИКИ

Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботи студента і основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт по практиці, потрібно зібрати і проаналізувати інформацію про підприємство, розглянути структуру і розпорядок роботи організації, в якій проходиться практика, скласти календарний план і описати свою практичну діяльність.
Ми допоможе написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.