44 penambahan fisik pada singing integral inurl livre. Definisi geometris dari nilai integral. Pembungkus obsyag tila

41.1. Skema penyimpanan integral

Tidak perlu tahu arti ukuran geometris atau fisik A (luas figuri, volume til, pegangan garis pada pelat vertikal, dll.), diikat dengan ular umum musim dingin yang independen. Untuk mentransfer, nah, nilai A adalah aditif, yaitu E. Jadi, ketika rozbittі vіdrіzka [a; b] dengan titik h (a; b) pada bagian [a; miliknya; b] nilai nilai A, dalam semua kasus sebagai [a; b], dorіvnyu sumі artinya, scho dpovіdaut [a; miliknya; B].

Untuk mengetahui nilai A, dimungkinkan untuk membuat salah satu dari dua skema: Skema I (atau metode penjumlahan integral) dan skema II (atau metode diferensial).

Skema pertama didasarkan pada penunjukan integral bernyanyi.

1. Titik x 0 = a, x 1, ..., x n = b pecah menjadi [a; b] menjadi n bagian. Faktanya, nilai A akan naik menjadi n "suplemen dasar" Ai (i = 1, ..., n): = A 1 + 2 + ... + n.

2. Peragakan kulit "dodanok dasar" dalam pandangan penciptaan funktsii deyakoi (sebagaimana seharusnya dimulai dari pikiran tugas), dihitung dalam poin terpenting dari hasil umum untuk daya tahan yogi: A i (ci) x i.

Dengan nilai dekat yang diketahui dari A i, mari kita asumsikan bahwa busur dimaafkan: busur pada penundaan kecil dapat diganti dengan akord, yang ditarik bersama-sama; Perubahan kecepatan pada kencan kecil dapat dilakukan dengan sangat cepat, dll.

Otrimamo mendekati nilai A dalam integral sumi:

3. Shukan adalah nilai A sebelum batas integral sumi, yaitu E.

Arti "metode penjumlahan", seperti bacimo, digunakan dalam penyajian integral, seperti tentang jumlah banyak bilangan kecil tak berhingga.

Skema I bola macet untuk pengaturan integral bernyanyi zmisty geometris dan fisik.

Skema lain hanyalah modifikasi dari skema I dan disebut "metode diferensial" atau "metode melihat orde-ordo kecil yang tak terbatas":

1) pada vidrizka [a; b] nilai-nilai konservatif vibram dari x dan tampilan perubahan pada tampilan [a; NS]. Secara keseluruhan, nilai A menjadi fungsi dari x: A = A (x), yaitu E. Vvazhomo, yang merupakan bagian dari nilai shukan dari A bukan fungsi dari A (x), de x adalah salah satu parameter dari nilai A;

2) kita tahu bagian kepala dari kenaikan A ketika mengubah x dengan nilai kecil x = dx, yaitu, diferensial dA dari fungsi A = A (x) diketahui: dA = (x) dx, de tugas, fungsi perubahan (di sini Anda juga dapat meminta bantuan);

3) vazayuchi, scho dA pada → 0, shukan mengetahui nilai integrasi dA dalam interval dari a ke b:

41.2. Menghitung luas bangun datar

koordinat persegi panjang

Seperti yang sudah ditetapkan (div. "Integral sensorik geometris"), luas trapesium melengkung, "vishche" rosted dari sumbu absis (ƒ (x) 0), kembali ke integral bernyanyi umum:

Rumus (41.1) dibingkai dengan cara menyimpan skema I - metode penjumlahan. Formula (41.1), skema vicorist II. Biarkan trapesium lengkung dikelilingi oleh garis y = (x) 0, x = a, x = b, y = 0 (div. Gbr. 174).

Untuk area trapesium S yang terkenal dari vicon dari permulaan operasi:

1. Vіzmemo dovіlne x [a; b] dan kita akan menganggap bahwa S = S (x).

2. Damo argumen x pririst x = dx (x + x [a; b]). Fungsi S = S (x) adalah untuk mendapatkan kenaikan S, yang merupakan luas dari "trapezium lengkung dasar" (pada gambar kecil).

Area diferensial dS bagian kepala dari kenaikan S pada → 0, , jelas, di area jalan persegi panjang dengan alas dx dan tinggi y: dS = y dx.

3. Mengintegrasikan diferensiasi persamaan pada batas-batas dari x = a ke x = b, terobsesi

Jelas, trapesium lengkung berada di "di bawah" sumbu Ox (ƒ (x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Rumus (41.1) dan (41.2) dapat digabungkan menjadi satu:

Luas gambar yang dikelilingi oleh kurva y = = fι (x) у = (x), oleh garis x = a = b (di belakang ƒ 2 (x) 1 (x)) ( div. Gbr. 175), Anda dapat mengetahui di balik rumusnya

Jika gambarnya datar, saya memiliki bentuk "melipat" (div. Gbr. 176), lalu lurus, sejajar dengan sumbu Oy, dan kemudian dipotong-potong, sehingga Anda dapat menggunakan rumus yang sama.

Karena trapesium lengkung dikelilingi oleh garis lurus y = s y = d, vіssu Oy lengkung tak terputus = (y) 0 (div. Gbr. 177), maka luas berada di belakang rumus

Saya, nareshty, seperti trapesium lengkung yang dikelilingi oleh kurva, diberikan secara parametrik

garis lurus x = aih = bі vіssu Oh, maka luas berada di belakang rumus

de a dan ditentukan dari ekivalensi x (a) = a x (β) = b.

Bokong 41.1. Untuk mengetahui luas bangun yang dikelilingi oleh vissu Oh dan grafik fungsi y = x 2 - 2x di x.

Solusi: Figura maє viglyad, gambar pada bayi 178. Diketahui di daerah S:

Bokong 41.2. Hitung luas patung yang dikelilingi oleh elips x = a cos t, y = b sin t.

Keputusan: Diketahui dari grup 1/4 area S. Di sini x berubah dari 0 menjadi a, dari yang sama, t berubah dari 0 menjadi 0 (div. Gbr. 179). yang diketahui:

Dalam peringkat seperti itu. Oleh karena itu, S = аВ.

koordinat kutub

Kita mengetahui luas S dari sektor lengkung, yaitu suatu bangun datar, yang dihubungkan dengan garis tak terputus r = r (φ) dan dua persimpangan = a = (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - metode diferensial.

1. Mari kita ambil bagian dari daerah Shukan S sebagai fungsi dari kut , yaitu, S = S (φ), jika a ≤ φ ≤ (jika = a, maka S (a) = 0, jika = , maka S (β) = S).

2. Jika arus potong kutub mengalami kenaikan sebesar = dφ, maka luas AS akan bertambah menjadi luas “sektor lengkung dasar” OAB.

Diferensial dS bagian kepala dari kenaikan S pada dφ → 0 area jalan dari sektor melingkar Tentang AC (diarsir per menit) dari jari-jari r dengan tepi tengah dφ. tom

3. Mengintegrasikan alinyemen antar batas dari = a sampai = ,

Pantat 41.3. Ketahui luas gambar yang dikelilingi oleh "trojan tiga kelopak" r = acos3φ (div. Gbr. 181).

Keputusan: Diketahui bahwa luas setengah dari satu kulit "Trojandi" diketahui, yaitu 1/6 dari seluruh luas patung:

yaitu Otzhe,

Karena gambarnya datar, saya "melipat" bentuknya, lalu secara bergiliran, dari kutub, dan pergi ke sektor melengkung, sampai saya zasosuvati saya akan membuat formula untuk area yang diketahui. Jadi, untuk figuri, gambar pada bayi 182, maєmo:

41.3. Perhitungan busur datar bengkok

koordinat persegi panjang

Misalkan dalam koordinat garis lurus diberikan kurva datar AB, sama dengan v = (x), de a≤x≤ b.

Dari garis busur AB, batas itu tumbuh, sampai pragmatis sampai garis laman tertulis di busur, jika jumlah lajur laman tidak di antara pertumbuhan, dan jumlah lajur lanka paling banyak adalah pragne ke nol. Akan ditunjukkan bahwa jika fungsi y = (x) diwarisi dari "= " (x) tidak diinterupsi dengan cara [a; b], maka kurva AV adalah maє dovzhinu, rіvnu

Skema Zastosuєmo I (metode penjumlahan).

1.Titik x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Dovzhin jordi (Abolanka Lamano) L 1 dapat diketahui teorema Pythagoras dengan triko berkaki x i і Δу i:

Menurut teorema Lagrange tentang fungsi ekstra daya tahan i = "(з i) i, de ci (x i-1; x i).

dan semua lamanos diperbolehkan makan M 0 M 1 ... M n dorivnyu

3. Lina aku AB bengkok, untuk viznachennyam, jalan

.

Luar biasa, ketika L i → 0 juga x i → 0 Li = saya, juga, | x saya |<ΔL i).

fungsi tidak terputus atas dasar [a; b], sehingga, di belakang wastafel, fungsi "(x) tidak terputus. Otzhe, nuє antara integral sumi (41,4), jika maks x i → 0 :

Dalam peringkat seperti itu, tapi dalam rekaman cepat aku =

Jika persamaan kurva AB diberikan dalam bentuk parametrik

de x (t) y (t) - fungsi kontinu dengan fungsi tak terputus (а) = а, (β) = b, lalu dovzhina aku AV bengkok ada di belakang formula

Rumus (41,5) dapat dipangkas dari rumus (41,3) dengan menetapkan x = x (t), dx = x "(t) dt,

Pantat 41.4. Tahu makan malam pasak Radius R.

Solusi: Kita mengetahui 1/4 bagian dozhini dari titik (0; R) ke titik (R; 0) (div. Gbr. 184). Jadi ya kemudian

berarti, aku= 2π R. Jika Anda menulis pasak pada tampilan parametrik x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π), maka

Perhitungan busur dapat didasarkan pada metode diferensial. Akan ditunjukkan bahwa adalah mungkin untuk menolak formula (41,3), memiliki skema stagnasi II (metode diferensial).

1. Nilai x [a; b] tampilan yang terlihat jelas [a; NS]. Nilai baru aku fungsi baru dari x, tobto aku = aku(NS) ( aku(A) = 0 aku(B) = aku).

2. Kita tahu perbedaannya dl fungsi aku = aku(X) ketika mengubah x dengan nilai kecil x = dx: dl = aku"(X) dx. Kita tahu aku"(X), ganti busur MN yang sangat kecil dengan akord aku, Mengontrak busur qiu (div. Gbr. 185):

3. Mengintegrasikan dl antara dari a ke b, terobsesi

keseimbangan disebut rumus diferensial busur dalam koordinat persegi panjang.

Jadi yak y "x = -dy / dx, maka

Sisa rumus Teorema Pythagoras untuk MST roda tiga kecil tak terhingga (div. Gbr. 186).

koordinat kutub

Biarkan kurva AB diatur sama dalam koordinat kutub r = r (φ), dan≤φ≤β. Diakui bahwa r (φ) r "(φ) tidak terputus oleh arah [a; ].

Jika, dalam persamaan x = rcosφ, y = rsinφ, di mana koordinat polar dan Cartesian digunakan, parameternya sama dengan , maka kurva AB dapat diatur secara parametrik

Rumus Zastosovichi (41,5),

pantat 41.5. Ketahui jumlah cardioid r = = a (1 + cosφ).

Solusi: Cardioid r = a (1 + cosφ) ma viglyad, gambar pada bayi 187. Vona simetris dengan sumbu kutub. Kita tahu setengah dari jumlah total cardioidi:

Dalam peringkat ini, 1/2l = 4a. Jadi, l = 8a.

41.4. Dihitung obsyagu tila

Perhitungan jumlah uang untuk setiap area paralel perereziv

Tidak perlu diketahui volume lantai V, apalagi pada luas S luas penampang lantai yang tegak lurus sumbu utama, misalnya sumbu Ox : S = S (x), a x b.

1. Melalui titik yang cukup x gambarlah sebuah bidang , tegak lurus terhadap sumbu Ox (div. Gbr. 188). Dalam hal S (x), area tersebut dikuasai oleh seluruh area; S (x) vazhaєmo melihat dan berubah tanpa gangguan saat berubah. Melalui v(x), artinya bertukar bagian tubuh, cara berbaring lebih dari area P. x] nilai v adalah fungsi dari x, yaitu v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V).

2. Kita mengetahui diferensial dV dari fungsi v = v (x). Menang adalah "bola dasar" dari lantai, terletak di antara area paralel, yang meluap Oh pada titik x + , yang kira-kira dapat diambil alih silinder dengan alas S (x) tinggi dx. Untuk itu volume diferensial dV = S (x) dx.

3. Diketahui Shukan nilai V dengan cara integrasi dA dalam batas-batas dari a ke B:

Rumus otriman disebut rumus obsyagu tila pada bidang perlintasan sejajar.

Bokong 41.6. Tahu obsyag elipsoyda

Solusi: Area elіpsoїd Rozsіkayuchi, area paralel Oyz dan di tempat pertama ≤х≤ a), otrimaєmo elips (div. gbr. 189):

Luas elips

Tom, dengan rumus (41.6),

Pembungkus obsyag tila

Jangan mendekati sumbu Oh untuk membungkus trapesium lengkung, dikelilingi oleh garis tak terputus y = (x) 0, dengan panjang a x ≤ bі garis lurus x = a x = b (div. Gbr. 190) . Otrimana dari pembungkus gambar disebut pembungkus. Peretin ts'go til dengan luas yang tegak lurus terhadap sumbu Ox, ditarik melalui titik x tertentu dari sumbu Ox (x Î [A; b]), colo dengan jari-jari = (x). Dari yang sama, S (x) = π tahun 2.

Rumus Zastosovyuchi (41.6) obsyagu til pada area perlintasan paralel, dapat dikenali

Sebagai trapesium lengkung, grafiknya bukannya tanpa interupsi dengan fungsi = (y) 0 dan garis lurus x = 0, y = c,

y = d (s< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Bokong 41.7. Untuk mengetahui volume til, atur di dalam sampul figuri, dikelilingi oleh garis-garis di sekitar sumbu Oy (div. Gbr. 191).

Keputusan: Untuk rumus (41.8) kita tahu:

41.5. Perkiraan luas permukaan pembungkus

Misalkan kurva AB grafik fungsi y = (x) 0, de x [a; b], dan fungsi y = (x) yang diwarisi dari "= " (x) tidak diinterupsi dengan cara apa pun.

Kita mengetahui luas S dari permukaan, diatur ke lilitan AB melengkung di dekat sumbu Ox.

Skema Zastosuєmo II (metode diferensial).

1. Melalui titik tertentu x [a; b] gambarlah luas tegak lurus terhadap sumbu Ox. Area memenuhi permukaan bungkus di sekitar tiang dengan jari-jari y = (x) (div. Gbr. 192). Nilai S dari bagian permukaan gambar dibungkus, tetapi terletak lebih dari luas, adalah fungsi dari x, yaitu S = s (x) (s (a) = 0 s (b) = S).

2. Argumen Damo x pririst x = dx. Melalui titik x + dx [a; b] sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu Ox juga digambar. Fungsi s = s (x) adalah untuk mendapatkan kenaikan Az, yang digambarkan pada si kecil oleh penampil "Pask".

Kita tahu perbedaan luas ds, saya akan memperbaikinya dengan pegangan gambar, kami akan meningkatkan kerucut, saya akan memperbaikinya. dl, Sebuah radiusi sama dengan y + dy. Luas sisi jalan yang lain ds = π (Y + y + dy) dl=2π pada dl + π dydl... Buka TV dydl sebagai urutan yang sangat kecil, ds lebih rendah, ds yang dapat diterima = 2 π pada dl, Abo, jadi ya

3. Mengintegrasikan diferensiasi persamaan pada batas-batas dari x = a ke x = b, terobsesi

Jika kurva AB diberikan oleh persamaan parametrik x = x (t), y = y (t), t 1 t ≤ t 2, maka rumus (41.9) untuk luas permukaan lilitan

Bokong 41.8. Ketahui luas permukaan pendingin yang berjari-jari R.

Bokong 41.9. diberikan sikloid

Untuk mengetahui luas permukaan, atur ke lilitan di sekitar sumbu Oh.

Solusi: Ketika setengah dari busur dibungkus, cycloid adalah tentang sumbu Ox, luas permukaan dibungkus.

41.6. Penambahan mekanis integral bernyanyi

Robot kekuatan musim dingin

Jangan pindahkan titik material M untuk menggerakkan sumbu sumbu Oh sebelum terjadi perubahan gaya F = F(x), sejajar sumbu. Sebuah robot, digetarkan secara paksa ketika titik M dipindahkan dari posisi x = a pada posisi x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Butt 41.10 Robot yak perlu mengeluarkan, untuk meregangkan pegas sebesar 0,05 m, jika gaya 100 N untuk meregangkan pegas sebesar 0,01 m?

Keputusan: Di balik hukum Hooke, gaya pegas, yang meregangkan pegas, sebanding dengan regangan x, yaitu F = KX, de k adalah koefisien proporsi. Pada akhir tugas mencuci, gaya F = 100 N menarik pegas ke x = 0,01 m; sama, 100 = k * 0,01, bintang k = 10.000; sama, F = 10000x.

Shukana robot berdasarkan rumus (41.10)

Bokong 41.11. Untuk mengetahui robot, jika perlu menghabiskannya, wickachati di tepi alur dari reservoir silinder vertikal dengan ketinggian H m dan jari-jari alas R m.

Keputusan : Sebuah robot yang mampu menyalakan ketinggian dari ketinggian ketinggian h, jalan menuju ketinggian h. Semua bola pertumbuhan di tangki terletak di lereng bawah dan ketinggian angkat (ke tepi reservoir) bola kecil tidak sama.

Skema II (metode diferensial) digunakan untuk verifikasi penetapan set. Sistem koordinat diperkenalkan seperti yang ditunjukkan pada 193 kecil.

1. Robot yang akan melihat vikachuvannya dari reservoir bola ridini tovshchinoyu x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Diketahui bagian kepala dari kenaikan A ketika mengubah x dengan nilai x = dx, yaitu dA diferensial dari fungsi A (x) diketahui.

Zvazhayuchi di krykhta dx vazhaєmo, jadi bola "dasar" dari garis memiliki panjang yang sama (menuju tepi reservoir) (div. Gbr. 193). Todi dA \ u003d dp * x, de dp - bola apa yang akan datang; vіn dorіvnyuє g * g dv, de g - vіnnogo fadіnnya yang dipercepat, g - kecakapan rіdini, dv - obsyag "dasar" bola rіdini (untuk sedikit penglihatan wіn), yaitu, dp = gg dv. Obyaz ke rіdini bola yang ditunjuk, jelas, dorіvnyuє π R 2 dx, de dx - ketinggian silinder (bola), π R 2 - area tidurmu, tobto. E. Dv = π R2dx.

Dalam peringkat seperti itu, dp = gg π R 2 dx dA = gg π R 2 dx * x.

3) mengintegrasikan selisih antara sisi dari x = 0 ke x = H, diketahui

Shlyakh, bagian-bagian oleh til

Biarkan titik material bergerak sepanjang garis lurus melalui perubahan kecepatan v = v (t). Kita tahu jalan S, ia lewat selama satu jam dari t 1 ke t 2.

Keputusan: Dari perubahan fisik pandangan sederhana, dari jam ke titik dalam satu garis lurus, "kecepatan garis lurus jalan ke rute sederhana per jam", yaitu. Integrasi selisih antara batas-batas dari t 1 ke t 2, diakui

Jelas, rumus dapat dihilangkan dengan menggunakan skema I atau II menyimpan integral bernyanyi.

Bokong 41.12. Ketahui jalannya, melewati dalam 4 detik ke telinga jagung, karena kecepatan lantai adalah v (t) = 10t + 2 (m / s).

Keputusan: Jika v(t) = 10t + 2 (m/s), maka jalan kaki, hanya melewati bulir jagung (t = 0) sampai akhir detik ke-4, jalan

Ridini catok pada pelat vertikal

Jelas, karena hukum Pascal, cengkeraman garis pada pelat horizontal adalah garis mahal dari garis, ketika saya membayar biaya, dan berat - kedalaman garis dari permukaan vertikal Sidin, itu adalah, E. P * = h * de g * lantai, g - ketebalan garis, S - luas pelat, h - luas permukaan.

Untuk rumus ini, Anda dapat shukati cengkeraman garis pada pelat yang dibor secara vertikal, sehingga titiknya terletak di lereng kecil.

Biarkan pelat dibor secara vertikal ke jalan, dikelilingi oleh garis x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) y 2 = 2 (x); sistem koordinat vibran begitu, seperti yang ditunjukkan pada si kecil 194. Untuk pengetahuan tentang pegangan Ridini di piring, skema II digunakan (metode diferensial).

1. Biarkan bagian dari nilai shukano P berfungsi dari x: p = p (x), yaitu, P = p (x) adalah wakil pada bagian pelat, yang mirip dengan [a; x] nilai kerutan x, de x [a; b] (p (a) = 0, p (b) = P).

2. Argumen Damo x pririst x = dx. Fungsi p (x) untuk menang? P (untuk bayi - bola kecil dx). Kita mengetahui dp diferensial dari fungsi tersebut. Berdetak di dx krykhta, kita akan dekat dengan alun-alun dengan persegi panjang, semua bintik yang ditemukan di glybin yang sama, yaitu pelat horizontal.

Todi di balik hukum Pascal

3. Mengintegrasikan pemangkasan paritas pada batas-batas dari x = a ke x = B,

Bokong 41.13. Lihat besarnya cengkeraman drive pada roda, secara vertikal di jalur, di mana jari-jarinya adalah R, dan pusatnya ada di permukaan drive (div. Gbr. 195).

Momen statis S y dari sistem sumbu

Sebagai masi rozpodіlenі bezperervnim peringkat bridling deyakoi bengkok, maka untuk rotasi momen statis, mengintegrasikan.

Nekhai y = (x) (a≤ x≤ b) - nilai kurva material AB. Kami akan vvvat satu sisi dengan garis post-lineal g (g = const).

Untuk previlny x [a; b] pada kurva AB terdapat titik dengan koordinat (x;y). Terlihat pada kurva dl dasar, untuk membalas dendam pada titik (x;y). Todi masa tsієї dilyanka dorіvnyu g dl. Diterima dl dekat dengan titik, dari jarak dari sumbu Oh ke belakang. Diferensial momen statis dS x ("momen elementer") akan cocok untuk g dly, yaitu DS x = g dlу (div. Gbr. 196).

Svidsy vyplyaє, tapi momen statis S x melengkung AB dari as roda Oh dorivnyu

Demikian pula, kita tahu S y:

Momen statis S x S y bengkok memungkinkan pemosisian pusat vagi (pusat massa) dengan mudah.

Titik tengah kurva datar bahan berat y = (x), x disebut titik luas, sedangkan Volodya adalah kekuatan ofensif: jika di seluruh titik tengah seluruh massa m diberikan bengkok, maka statis momen jalan titik seperti biasa koordinat bengkok y \ u003d (x) sangat mirip dengan sumbu. Mari kita tunjukkan dengan C (x c; y c) pusat vagi dari kurva AB.

Pusat mobil harus sama Zvidsi

Perhitungan momen statis dan koordinat pusat wagi dari sosok datar

Mari kita berikan gambar datar material (pelat), dikelilingi oleh kurva y = (x) 0 dan garis lurus y = 0, x = a, x = b (div. Gbr. 198).

Kami akan memperhitungkan bahwa luas permukaan pelat adalah permanen (g = const). Todi masa "semua piring adalah pintu g * S, yaitu E Delink dasar yang terlihat dari pelat di dekat viglyad, kabut asap vertikal yang sangat tinggi, dan akan didekati dengan lurus ke depan.

Todi masa yogo dorivnyuє g ydx. Pusat gravitasi persegi panjang Z terletak pada penampang diagonal persegi panjang. Titik C dari sumbu Ox ke 1/2 * y, dan dari sumbu Oy ke x (dekat; lebih tepatnya, di titik x + 1/2 x). Todi untuk momen statis dasar dari sumbu Oh dan Oy

Otzhe, pusat koordinat wagi maє

Nilai integral (OI) banyak digunakan dalam penambahan praktis pada matematika dan fisika.

Belakangan, dalam geometri di belakang OI lainnya terdapat bidang-bidang figur sederhana dan permukaan lipat, sampul volumetrik dan bentuk modern, lebih banyak lekukan pada bidang dan ruang.

Fisika dan mekanika teoretis OI digunakan untuk menghitung momen statis, massa dan pusat massa kurva dan permukaan material, untuk menghitung gaya robot di sepanjang jalur melengkung dan masuk.

Luas bangun datar

Tidak ada bangun datar dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian $ xOy $ di bagian atas dikelilingi oleh kurva $ y = y_ (1) \ kiri (x \ kanan) $, di bagian bawah - oleh kurva $ y = y_ ( 2) \ kiri (x \ kanan) $, dan di sisi kanan dengan garis vertikal $ x = a $ $ x = b $ rupanya. Di area vipad yang bersemangat dari sosok seperti itu, berbalik untuk tambahan OI $ S = \ int \ batas _ (a) ^ (b) \ kiri (y_ (1) \ kiri (x \ kanan) -y_ ( 2) \ kiri (x \ kanan ) \ kanan) \ cdot dx $.

Juga, bangun datar dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian $ xOy $ dikelilingi oleh kurva $ x = x_ (1) \ kiri (y \ kanan) $ di sebelah kanan, kurva $ x = x_ (2) \ kiri ( y \ kanan) $ , dan di bawah dan di atas dengan garis lurus mendatar $ y = c $ $ y = d $ seolah-olah, maka luas gambar tersebut akan berbelok ke belakang yang lain OI $ S = \ int \ batas _ (c) ^ (d) \ kiri (x_ (1) \ kiri (y \ kanan) -x_ (2) \ kiri (y \ kanan) \ kanan) \ cdot dy $.

Tidak memiliki sosok datar (sektor vinyet), yang dapat dilihat dalam sistem koordinat kutub, diatur oleh grafik fungsi kontinu $ \ rho = \ rho \ kiri (\ phi \ kanan) $, serta dua simpang susun ke pergi melalui $ \ phi = \ alpha $ i $ \ phi = \ beta $ benar. Rumus untuk menghitung luas sektor melengkung seperti ma viglyad: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limit _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2 ) \ kiri (\ phi \ kanan ) \ cdot d \ phi $.

Busur Dovzhina bengkok

$ \ Kiri [\ alfa, \; \ Beta \ kanan] $ kurva diatur sama dengan $ \ rho = \ rho \ kiri (\ phi \ kanan) $ dalam sistem koordinat kutub, maka busur busur dihitung sesuai dengan tambahan OI $ L = \ int \ batas _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ kiri (\ phi \ kanan) + \ rho "^ (2) \ kiri (\ phi \ kanan)) \ cdot d \ phi $.

Jika kurva yang diberikan sama dengan $y = y \ kiri (x \ kanan) $ pada garis $ \ kiri $, maka busur busur dihitung untuk tambahan OI $ L = \ int \ batas _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ kiri (x \ kanan)) \ cdot dx $.

$ \ Kiri [\ alfa, \; \ Beta \ kanan] $ kurva diberikan secara parametrik, sehingga $ x = x \ kiri (t \ kanan) $, $ y = y \ kiri (t \ kanan) $, maka busur dihitung untuk tambahan OI $ L = \ int \ batas _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x "^ (2) \ kiri (t \ kanan) + y" ^ (2) \ kiri (t \ kanan)) \ cdot dt $.

Pencacahan obsyagu tila di belakang area perereziv . paralel

Tidak perlu tahu volume luas lantai, koordinat titik-titik yang kita senangi $a \ le x \ le b $, dan yang di setiap area ada tanda silang di $ S \ kiri (x \ kanan) $ dengan luas tegak lurus sumbu $ Sapi $.

Rumus untuk menghitung tila maє viglyad tersebut adalah $ V = \ int \ batas _ (a) ^ (b) S \ kiri (x \ kanan) \ cdot dx $.

Pembungkus obsyag tila

Pergi ke akhir $ \ kiri $, fungsi non-intermiten nonnegatif $ y = y \ kiri (x \ kanan) $ diberikan, yang menciptakan trapesium melengkung (CRT). Jika Anda membungkus MCT di sekitar sumbu $ Ox $, maka Anda berpura-pura adil, dipanggil oleh pembungkusnya.

Pembungkus tila obsyagu numerik kami akan membatasi jumlah jumlah tubuh di belakang area transisi paralel yang diberikan. Seperti rumus maverick $V = \int\limits_(a)^(b)S\left(x\kanan)\cdot dx = \pi\cdot\int\limits _ (a) ^ (b) y ^ ( 2) \ kiri (x \ kanan) \ cdot dx $.

Tidak memiliki bangun datar dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian $ xOy $ di bagian atas dikelilingi oleh kurva $ y = y_ (1) \ kiri (x \ kanan) $, di bagian bawah - oleh kurva $ y = y_ (2) \ kiri (x \ kanan) $, de $ y_ (1) \ kiri (x \ kanan) $ $ y_ (2) \ kiri (x \ kanan) $ - tidak ada fungsi tanpa gangguan, dan salah dan garis vertikal kanan $ x = a $ $ x = b $ pasti. Todi obsyag til, set untuk melingkari sumbu $ Ox $, putar OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ batas _ (a) ^ (b) \ kiri (y_ (1) ^ (2) \ kiri (x \ kanan) -y_ (2) ^ (2) \ kiri (x \ kanan) \ kanan) \ cdot dx $.

Tidak ada bangun datar dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian $ xOy $ di sebelah kanan dikelilingi oleh kurva $ x = x_ (1) \ kiri (y \ kanan) $, di salah - kurva $ x = x_ ( 2) \ kiri (y \ kanan) $, de $ x_ (1) \ kiri (y \ kanan) $ $ x_ (2) \ kiri (y \ kanan) $ - tidak ada fungsi tanpa gangguan, dan di bawah dan di atas oleh garis horizontal $ y = c $ $ y = d $ pasti. Todi obsyag til, diadopsi oleh lilitan figuri di sekitar sumbu $ Oy $, putar OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ batas _ (c) ^ (d) \ kiri (x_ (1) ^ (2) \ kiri (y \ kanan) -x_ (2) ^ (2) \ kiri (y \ kanan) \ kanan) \ cdot dy $.

Area permukaan terbungkus

Mari kita pergi ke $ \ kiri $ fungsi nonnegatif $ y = y \ kiri (x \ kanan) $ dengan sederhana $ y "\ kiri (x \ kanan) $ diberikan. $, maka itu sendiri diatur untuk hanya membungkus , dan busur MCT adalah ke permukaannya. \ kanan) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ kiri (x \ kanan)) \ cdot dx $.

Diakui bahwa kurva $ x = \ phi \ kiri (y \ kanan) $, de $ \ phi \ kiri (y \ kanan) $ - diberikan ke $ c \ le y \ le d $ adalah non-negatif fungsi, membungkus sumbu $ Oy $. Pada akhir rentang area permukaan tubuh yang ditetapkan, pembungkusnya dipelintir OI $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ batas _ (c) ^ (d) \ phi \ kiri (y \ kanan) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ kiri (y \ kanan)) \ cdot dy $.

Suplemen fisik OI

1. Untuk pendeteksi jarak, pada saat jam $ t = T $ dengan perubahan fluiditas titik material $ v = v \ kiri (t \ kanan) $ titik material, ketika penurunan dimulai pada saat jam $ t = t_ (0) $, vicorist adalah OI $ S = \ int \ batas _ (t_ (0)) ^ (T) v \ kiri (t \ kanan) \ cdot dt $.
2. Untuk menghitung gaya robot, $ F = F \ kiri (x \ kanan) $, untuk mencapai titik material, bergerak sepanjang garis lurus dari sumbu $ Ox $ dari titik $ x = a $ ke titik $ x = b $ (langsung dії kekuatan untuk menyingkir) vikoristovuyu OI $ A = \ int \ batas _ (a) ^ (b) F \ kiri (x \ kanan) \ cdot dx $.
3. Momen statis dari sumbu koordinat kurva material $ y = y \ kiri (x \ kanan) $ ke interval $ \ kiri $ putar dengan rumus $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ batas _ (a ) ^ (b) y \ kiri (x \ kanan) \ cdot \ kuadrat (1 + y "^ (2) \ kiri (x \ kanan)) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ batas _ (a ) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ kiri (x \ kanan)) \ cdot dx $.
4. Pusat bahan yang bengkok adalah sebuah titik, di mana seluruh dunia dengan cerdik diurutkan sedemikian rupa sehingga momen statis titik di sepanjang sumbu koordinat disesuaikan dengan momen statis umum semua yang bengkok secara keseluruhan. .

Rumus untuk menghitung koordinat ke pusat massa lengkung datar $ x_ (C) = \ frac (\ int \ batas _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ kiri ( x \ kanan)) \ cdot dx) (\ int \ batas _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ kiri (x \ kanan)) \ cdot dx) $ і $ y_ ( C) = \ frac (\ int \ batas _ (a) ^ (b) y \ kiri (x \ kanan) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ kiri (x \ kanan)) \ cdot dx ) ( \ int \ batas _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ kiri (x \ kanan)) \ cdot dx) $.

5. Momen statis suatu bangun datar material pada penampil CMT dengan sejumlah sumbu koordinat diputar dengan rumus $M_ (x) = \frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ kiri (x \ kanan) \ cdot dx $ $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ batas _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ kiri (x \ kanan) \ cdot dx $.
6. Koordinat pusat sosok datar masif di penampil MCT, ditetapkan oleh kurva $ y = y \ kiri (x \ kanan) $ ke interval $ \ kiri $, dihitung sesuai dengan rumus $ x_ (C) = \ frac (\ int \ batas _ (a ) ^ (b) x \ cdot y \ kiri (x \ kanan) \ cdot dx) (\ int \ batas _ (a) ^ (b) y \ kiri (x \ kanan ) \ cdot dx) $ і $ y_ ( C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ batas _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ kiri (x \ kanan) \ cdot dx) (\ int \ batas _ (a) ^ (b) y \ kiri (x \ kanan) \ cdot dx) $.

Topik 6.10. Penambahan geometris dan fisik pada integral bernyanyi

1. Luas trapesium lengkung, yang dihubungkan oleh kurva y = f (x) (f (x) > 0), oleh garis lurus x = a, x = b dan sumbu sejajar [a, b] Sapi, dihitung dengan rumus

2. Luas gambar yang dikelilingi oleh kurva y = f (x) y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Jika kurva diberikan oleh parameter parametrik yang sama x = x (t), y = y (t), maka luas trapesium lengkung, yang dikelilingi oleh kurva lurus dan oleh garis lurus x = a , x = b, terletak di belakang rumus

4. Nekhai S(x) - luas lantai tegak lurus terhadap sumbu Lembu, hanya bagian lantai yang terletak diantara sumbu tegak lurus luas x = a x = b, terletak di belakang rumus

5. Jangan sampai trapesium melengkung, dikelilingi oleh kurva y = f (x) garis lurus y = 0, x = a х = b, melingkari sumbu Oh, todіg keliling yang akan dihitung sesuai dengan rumus

6. Jangan berbentuk trapesium melengkung, dikelilingi oleh kurva = g (y)

garis lurus x = 0, y = c y = d, keliling sumbu O y, todі lilit keliling dihitung sesuai rumus

7. Jika kurva datar dibawa ke sistem koordinat persegi panjang dan diberikan sama dengan y = f (x) (atau x = F (y)), maka gain busur ditentukan oleh rumus

оловна> Kuliah

Kuliah 18. Komplemen integral bernyanyi.

18.1. Pencacahan luas bangun datar.

Tampak integral bernyanyi di tepi area trapesium melengkung, dikelilingi oleh grafik fungsi f (x). Jika grafik seaming lebih rendah dari sumbu Ox, tobto f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, maka area tersebut ditandai dengan tanda "+".

Untuk pengetahuan luas total, rumusnya menang.

Area patung-patung, dikelilingi oleh garis deyakim, dapat diketahui di balik bantuan integral bernyanyi, serta dari garis umum.

Pantat. Ketahui luas patung-patung yang dikelilingi oleh garis y = x, y = x 2, x = 2.

Area Shukana (diarsir pada gambar) dapat ditemukan di belakang rumus:

18.2. Pengetahuan tentang area sektor bengkok.

Untuk area yang diketahui dari sektor lengkung, sistem koordinat kutub diperkenalkan. Rivnyannya bengkok, scho jalinan sektor di seluruh sistem koordinat, ma viglyad = f (), radius de - dovzhyna - vektor, scho satu kutub dari titik bengkok, dan - kut nahila radius - vektor ke kutub ...

Area sektor melengkung dapat ditemukan di belakang rumus

18.3. Perhitungan kurva bengkok.

y y = f (x)

S saya y saya

Dovzhina lamanoi linea, yaka vidpovidak duzi, mungkin kalian tahu yak
.

Todi dovzhina arc dorivnyu
.

Tiga mirkuvan geometris:

Pada jam yang sama

Todi dapat ditampilkan

tobto

Jika kurva diberikan secara parametrik, maka, berdasarkan aturan untuk menghitung yang lama secara parametrik, itu adalah

,

de x = (t) = (t).

apa yang diberikan kurva yang luas, х = (t), = (t) z = Z (t), maka

Kurva Yakscho diatur dalam koordinat kutub, kemudian

, = f ().

pantat: Ketahui jumlah taruhan yang diberikan kepada keluarga x 2 + y 2 = r 2.

1 cara Vislovimo dari rіvnyannya zminnu.

Aku tahu aku akan pergi

Todi S = 2r. Formula otrimalnovydom dozhini cola.

2 jalan Jika Anda diberi garis dalam sistem koordinat kutub, maka garis tersebut terobsesi: r 2 cos 2 + r 2 sin 2 = r 2, sehingga fungsi = f () = r,
Todi

18.4. Volume yang dihitung

Perhitungan tila obsyagu di belakang area yang diberikan dari perereziv paralel.

Jangan khawatir tentang itu V. Area setiap resesi melintang tubuh Q, dalam bentuk fungsi tak terputus Q = Q (x). Rozib'єmo tilo pada "shari" dengan persimpangan melintang, yang melewati titik x i rozbittya vіdrizka. Osilasi untuk beberapa jenis fungsi menengah Q (x) tidak terputus, maka diterima untuk yang terbaru dengan nilai terkecil. Secara signifikan, diturunkan dari M i m i.

Jika pada cich paling banyak dan paling kecil terbalik jika silinder dibangun dengan sumbu paralel, maka ayunan silinder akan serupa satu sama lain M i x i i m i x i di sini i - x i = x.

Jika Anda telah memberikan dorongan seperti itu untuk semua jenis rositta, lepas silinder, permintaan informasi semacam itu
і
.

Ketika pragmatis ke nol, crocus rosbitta , tsi sumi dapat menyebabkan batas zagalny:

Dalam peringkat seperti itu, obsyag tila dapat ditemukan dalam pengetahuan di balik rumus:

Dalam sejumlah kecil rumus, rumus yang diperlukan untuk pengetahuan fungsi Q (x) diperlukan untuk pengetahuan fungsi, tetapi ini bermasalah untuk benda yang dapat dilipat.

pantat: Tahu tentang 'um kuli radius R.

Pada kelepak silang melintang dari coul, terdapat patok dengan radius yang dapat diubah-ubah. Pada saat yang sama dari koordinat aliran x radius tsei, ikuti rumus
.

Fungsi todi area overretin ma viglyad: Q(x) =
.

Otrimuєmo ob'єm kuli:

pantat: Untuk mengetahui besar kecilnya luas persegi ruang S.

Ketika terbalik oleh area yang tegak lurus dengan ketinggian, dalam jangka waktu tertentu, kita dapat melihat patung-patung, beberapa di antaranya. Koefisien untuk kebutuhan angka-angka ini untuk transportasi x / H, de x - pergi dari daerah ke puncak piramida.

Geometri tampilan, menunjukkan luas angka tambahan untuk transportasi fasilitas di alun-alun, tobto

Kita akan dapat mengenali fungsi dari area pengiring:

Diketahui tentang obsyag pіramidi:

18.5. Obsyag sampai bungkus.

Kurva terlihat, diberikan sama dengan y = f (x). Diakui bahwa fungsi f(x) tidak terputus-putus. Saat saya menggambar trapesium lengkung dengan alas a dan b melingkari sumbu bungkus tilo.

y = f (x)

Oskіlki dermal peretin tila area x = const colo radius
Maka bungkus obsyag tila dapat dengan mudah ditemukan di balik formula otriman vische:

18.6. Area permukaan dibungkus.

M saya B

nilai: Pembungkus permukaan datar Bengkok AB di dekat sumbu yang diberikan disebut batas, sampai area permukaan bungkus lamanichs, yang tertulis di kurva AB, didorong ke nol, zine lamanichs yang paling umum.

Naikkan busur AB menjadi n bagian dengan titik M 0, M 1, M 2, ..., M n. Koordinat simpul berasal dari rimano lamano, koordinat x i y i. Ketika lamina melilit sumbu, dimungkinkan untuk meletakkan permukaan, yang dapat dilipat dari permukaan samping kerucut terpotong, yang luasnya adalah jalan P i. Qia luas dapat diketahui dengan rumus:

Di sini S i adalah skin jordi.

Teorema Lagrange Zastosov (div. teorema Lagrange) Sebelum pengumuman
.

1. Luas bangun datar.

Luas trapesium melengkung, dikelilingi oleh fungsi non-negatif f (x), Vissy absis dan lurus x =, x = b, Mulai yak S = a b f x d x.

Area trapeze yang bengkok

Area Figuri, saling berhubungan berdasarkan fungsi f (x),, Mulai dengan rumus S = i: f x 0 x i - 1 x i f x d x - i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x saya- fungsi nol. Dengan kata lain, Anda perlu menghitung luas pusat figuri, Anda harus memecahkannya fungsi nol f (x) sebagian, integrasikan fungsi F pada kulit viyshov keunggulan keteguhan tanda, area di sekitar tepi integral dalam arah, pada beberapa fungsi F menerima tanda-tanda, dan mengenali dari teman pertama.

2. Luas bidang lengkung.

Area sektor bengkok Razglenemo bengkok ρ = ρ (φ) dalam sistem koordinat kutub, de ρ (φ) - tanpa gangguan dan non-negatif on [α; β] fungsi. Figura, dikelilingi oleh kurva ρ (φ) pertukaran φ = α , φ = β , Untuk disebut sektor melengkung. Luas bidang lengkung jalan S = 1 2 β 2 d .

3. Pembungkus obsyag tila.

Pembungkus obsyag tila

Biarkan dililitkan di sekitar sumbu trapesium melengkung OX, terjalin tanpa gangguan dalam bentuknya fungsi f (x)... Yogo obsyag putar rumusnya V = a b f 2 x d x.

Sebelum tugas tentang pengetahuan volume tubuh di belakang area overriding melintang

Nehay tilo diletakkan di antara area x =і x = b, Dan luasnya dipotong oleh luas, jadi lewati titik x, - tanpa gangguan pada fungsi (x)... Jalan Todi yogo obsyag V = a b x d x.

4. Dovzhina busur bengkok.

Jangan berikan kurva r → t = x t, y t, z t t =і t = putar dengan rumus S = α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Dovzhina busur dari Zokrem bengkok datar, dovzhina datar bengkok, cara mengatur pada area koordinat OKSI rivnyanyam y = f (x), a x b, Ayunkan dengan rumus S = a b 1 + f 'x 2 dx.

5. Luas permukaan pembungkus.

Luas permukaan terbungkus Biarkan permukaan disetel ke lipatan dari grafik sumbu fungsi OX y = f (x), a x b, saya berfungsi F Saya akan pergi tanpa gangguan untuk seluruh rangkaian pesan. Luas permukaan sebenarnya dibungkus dengan rumus = 2 a b f x 1 + f 'x 2 d x.