Diya atas vektor lipat. Operasi atas vektor dan daya: suplai dan multiplisitas tambahan. Kuta signifikan antara lurus dan persegi

nilai Secara berurutan banyaknya (x 1, x 2, ..., x n) n bilangan yang tersedia disebut vektor n-dimensi, Dan bilangan x i (i =) - komponen tentang koordinat,

Pantat. Juga, misalnya, pabrik mobil bertanggung jawab untuk penggantian 50 mobil penumpang, 100 van, 10 bus, 50 set suku cadang untuk mobil penumpang dan 150 set untuk van dan bus di , 10, 50, 150), yang memiliki lima komponen.

Penamaan. Vektor ditunjuk dalam huruf kecil tebal atau huruf dengan batas atau bukit kecil, misalnya, A tentang... Dua buah vektor disebut rivnim Jika baunya sama, jumlah komponennya juga sama.

Komponen vektor dapat diminimalkan, misalnya (3, 2, 5, 0, 1)(2, 3, 5, 0, 1) vektor.
Operasi pada vektor. keju x= (X 1, x 2, ..., x n) bilanganλ disebut vektorλ x= (Λ x 1, x 2, ..., x n).

tasx= (X 1, x 2, ..., x n) kamu= (Y 1, y 2, ..., y n) disebut vektor x + y= (X 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Vektor ruang. n -ruang vektor dunia R n mulai sebagai vektor n-dunia yang tidak berfungsi, yang nilai operasinya dikalikan pada angka dan pelipatan yang diberikan.

Ilustrasi hemat. Ilustrasi ekonomis ruang vektor n-world: ruang berkah (barang-barang). pid komoditas Kita akan masuk akal jika itu baik untuk layanan yang kita butuhkan untuk dijual pada jam bernyanyi dalam nyanyian. Dapat diterima bahwa jumlah barang yang jelas adalah n; beberapa kulit dari mereka, yang kita jalani, ditandai dengan satu set barang

x= (X 1, x 2, ..., x n),

de x i menunjukkan jumlah barang ke-i yang diisi oleh penduduk. Kami akan hormati, bahwa semua kawan mungkin memiliki kekuatan identitas mereka sendiri, jadi apa yang bisa dibeli, apakah tidak mungkin bagi saya untuk membeli beberapa kulit dari mereka. Untuk semua Anda dapat mengambil barang vektor ke ruang barang C = ( x= (X 1, x 2, ..., x n) x i 0, i =).

Kemerdekaan keturunan. sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensi vektor disebut garis-bera, saya tahu angka-angka ini 1, 2, ..., m Saya ingin melihatnya satu arah dari nol 1 e 1 + 2 e 2 + ... + m e m = 0; Dalam pandangan yang diberikan, sistem vektor diberikan untuk disebut persegi linier, Jadi tidak mungkin untuk mengatakan paritas kurang dari sekali, jika semua ... Pengertian geometris garis keturunan vektor di R 3, ditafsirkan sebagai gambar langsung, jelaskan teorema ini.

Teorema 1. Sistem, yang dapat disimpan dari satu vektor, diendapkan secara linier hanya sekali dan hanya jika vektornya nol.

Teorema 2. Agar dua vektor dilapisi dengan bera, perlu dan cukup bahwa bau itu collinear (paralel).

Teorema 3 ... Agar tiga vektor dilapisi dengan tanah bera, perlu dan cukup bahwa bau akan menjadi coplanar (berbaring di area yang sama).

Hak dan lіva tiga vektor. Tiga vektor non-coplanar a, b, c disebut Baik, saya akan mensponsori dari ive zalnogo tongkol melewati vektor a, b, c dalam urutan yang ditentukan, itu harus dilakukan untuk tahun itu. B nshomu vipad a, b, c -liva triika... Semua hak (chi livi) tiga vektor disebut sama orієntovanimi.

Dasar dan koordinat. Triyka e 1, e 2 , e 3 vektor non-coplanar di R 3 dipanggil dasar, Dan vektor yang sama e 1, e 2 , e 3 - garis dasar... menjadi-vektor A dapat menjadi satu peringkat ekspansi dalam vektor dasar, sehingga representasi dari pemirsa

A= X 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

angka x 1, x 2, x 3 dalam spreadsheet (1.1) disebut koordinatA pada dasarnya e 1, e 2 , e 3 saya mulai A(X 1, x 2, x 3).

dasar ortonormal. vektor yaksho e 1, e 2 , e 3 berpasangan tegak lurus dan tegak lurus kulit keduanya, maka alasnya disebut ortonormal, Dan koordinat x 1, x 2, x 3 - persegi panjang. Vektor basis dari basis ortonormal akan didefinisikan sebagai saya, j, k.

Mari kita biarkan berada di luar angkasa R 3 sistem vibrato kanan koordinat persegi panjang Cartesian (0, saya, j, k}.

Vektor Vitvir. keju cottage vektor A per vektor B disebut vektor C Bagaimana memulai dengan tiga pikiran berikutnya:

1. vektor Dovzhina C secara numerik luas jajaran genjang yang diinduksi pada vektor Aі B, yaitu
C= | Sebuah || b | dosa ( A^B).

2. Vektor C tegak lurus terhadap vektor kulit Aі B.

3. Vektor A, Bі C, Diambil dalam urutan yang ditentukan, memvalidasi hak ketiganya.

Untuk pembuatan vektor C masukkan nilai c =[ab] tentang
c = × B.

vektor yaksho Aі B kolinear, maka sin ( a ^ b) = 0 і [ ab] = 0, zokrem, [ A A] = 0. Vektor buat vektor satuan: [ aku j]=k, [jk] = Saya, [ki]=J.

vektor yaksho Aі B diberikan dalam dasar saya, j, k koordinat A(A 1, a 2, a 3), B(B 1, b 2, b 3), maka

Zmіshane tvіr. Yaksho vektor dobutok dua vektor Aі B skalar dikalikan dengan vektor ketiga C, maka himpunan tiga vektor seperti itu akan disebut dengan keju saya dilambangkan dengan simbol A bc.

vektor yaksho a, bі C pada dasarnya saya, j, k diberikan oleh koordinat Anda
A(A 1, a 2, a 3), B(B 1, b 2, b 3), C(C 1, c 2, c 3), maka

.

Zmіshane tvіr lebih sederhana secara geometris tlumachennya - skalar keseluruhan, dalam nilai absolut, volume dorіvnyuє parallelepiped, diminta pada tiga vektor yang diberikan.

Jika vektor menegaskan hak ketiganya, maka angkanya lebih positif, sama dengan volume yang dinyatakan; trik apa a, b, c - hidup, lalu a b c<0 и V = - a b c, Genap V =| A b c |.

Koordinat vektor, yang digunakan dalam masalah distribusi pertama, dipindahkan oleh vektor yang diberikan ke basis ortonormal kanan. Vektor tunggal co-directional ke vektor A, dilambangkan dengan simbol A HAI. simbol R=om vektor jari-jari titik M dilambangkan dengan simbol a, AB atau| Sebuah |, | AB |disebut vektor moduli Aі AB.

pantat 1.2. Tahu vektor kut mіzh A= 2M+4nі B= M N, de Mі n - vektor tunggal dan potong mij Mі n jalan 120 o.

Keputusan... Mahmo: cos = ab/ Ab, ab =(2M+4n) (M N) = 2M 2 - 4n 2 +2M N=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2M+4n) (2M+4n) =
= 4M 2 +16M N+16n 2 = 4 + 16 (-0,5) + 16 = 12, artinya a =. b = ; B 2 =
= (M-n)(M N) = M 2 -2M N+n 2 = 1-2 (-0,5) +1 = 3, genap b =. Biaya yang tersisa: cos= = -1/2, = 120 o.

Aplikasi 1.3.vektor knowchi AB(-3, -2.6) i SM(-2,4,4), hitunglah panjang AD dari roda tiga ABC.

Keputusan... Berarti luas roda tiga ABC melalui S, kita dapat mengatakan:
S = 1/2 SM. Todi AD = 2S / SM, SM = = = 6,
S = 1/2 | AB ×AC |. AC = AB + BC, Rata-rata vektor AC koordinat ma
. .

pantat 1.4 ... Diberikan dua vektor A(11,10,2) i B(4,0,3). Ketahui satu vektor C, ortogonal terhadap vektor Aі B konjugasi sehingga tiga vektor dipesan a, b, c peluru kanan.

Keputusan.Arti koordinat vektor C dasar ortonormal kanan yang diberikan dalam hal x, y, z.

rongsokan C ⊥ a, c ⊥B, kemudian ca= 0, cb= 0. Untuk pikiran tugas, perlu, untuk c = 1 dan a b c >0.

Sistem persamaan maєmo untuk arti x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Yang pertama dan yang lainnya sama dengan sistem dapat dikenali sebagai z = -4/3 x, y = -5/6 x. Disediakan y dan z untuk ketiga kalinya, matimemo: x 2 = 36/125, bintang
x =± ... vikoristovuyu umov a b c> 0,

Untuk viraziv urahuvannyam untuk z dan y itu ditulis ulang untuk menyangkal kelembaman berjaga: 625/6 x> 0, vyplya bintang, scho x> 0. Otzhe, x =, y = -, z = -.

Vektor geometri disebut konjugasi bentuk. Untuk deskripsi vektor makna vikoristovuyat; ...

Pada akhir vektor, saya menyebutnya titik tongkol dan titik akhir vektor. Mari kita mulai dengan vektor, mengapa hanya AB, a.

Vektor disebut null, jika telinga dan ujungnya hilang. Vektor seperti itu tidak langsung, yogi dovnyu dorivnyuє nol, berarti yogi yak.

Vektor disebut collinear, karena bau busuk terletak pada satu garis lurus atau pada garis lurus paralel. Poznachayut tse yak.

Vektor disebut coplanar, karena bau busuk terletak di area yang sama.

Dua vektor disebut rіvnyi, karena baunya searah, mungkin sama, langsung.

Kami menyebut vektor yang dapat dipindahkan di ruang terbuka dalam arah paralel.

Ternyata, untuk vektor alami, telinga bisa ditarik ke bawah dari suatu titik ruang.

Nadal, kita akan berada tepat di sebelah kanan dengan vektor vilny.

Operasi linier pada vektor dan daya

Operasi linier pada vektor melipat vektor mengalikan vektor dengan angka.

Jumlah dua vektor geometris disebut vektor, yang dapat diikuti baik oleh aturan roda tiga atau dengan aturan jajaran genjang.

1.Menurut aturan trikutnik

Transfer paralel jumlah ujung vektor dari tongkol vektor. Todi sumyu + vektor nazivatimo , Telinga vektor, dan ujung vektor.

2. Di balik aturan jajaran genjang

Transfer paralel telinga sum_sny vektor telinga vektor. Dobuduєmo jajaran genjang di tepi vektor. Menjumlahkan vektor dan kita akan memberi nama vektor, yang merupakan diagonal jajaran genjang, telinga yang akan diambil dari telinga vektor.

Kekuatan vektor tambahan.

1. Pergantian

2. Asosiasi

3. Adanya vektor nol sedemikian sehingga

4. Untuk sembarang vektor, vektor kebalikan ( ) sedemikian rupa sehingga

Dengan bantuan pangkat yang ada, penambahan vektor juga dapat dimunculkan, untuk vektor apa pun dan nyata, vektor seperti itu, yang, jika dilipat, akan menghasilkan vektor.

Vektor semacam itu disebut perbedaan geometrik vektor:

Pencipta vektor berdasarkan angka adalah vektor, yang merupakan master, yang merupakan pelengkap angka dan langsung, yang dapat digunakan langsung dari vektor, yaitu, dan lawan, yang.

Kekuatan untuk menambahkan vektor ke angka.

5. Keterkaitan kofaktor

6. Distributivitas vektor sumi sering dikalikan dengan bilangan

7. Pembagian banyak bilangan sumi

8.Isnuvannya nomor 1, tapi jangan ubah vektornya saat mengalikan

Semua pangkat operasi linier ditolak dari pangkat geometris vektor.

Dimungkinkan untuk menyuntikkan inakshe. Pengabdian pada kekuatan kekuasaan adalah dasar untuk penunjukan vektor.

Viznachennya.

Baik itu sukupnist ob'ktyv, bagi mereka yang telah memperkenalkan alasan, serta operasi penjumlahan dan perkalian dengan angka, yang berkenan dengan otoritas 1-8, disebut ruang vektor linier.

Elemen ruang seperti itu disebut vektor atau titik ruang.

Tambahkan ruang vektor linier

1. Tanpa semua vektor geometris.

2. Tanpa semua nomor. Mungkin yogo abo.

3. Bezlich semua pasangan nomor yang valid. Secara signifikan yogo.

Nekhai = i = - elemen multiplisitas. Mari kita sebut angka koordinat vektor . Vektor dan digunakan dalam ukuran yang sama, serta koordinat, tobto dan

Menjumlahkan vektor kita akan menamai sebuah vektor, yang memiliki koordinat .

Dengan pengenalan operasi linier ini, semua pangkat 1-8 dan ruang dapat ditutupi dengan ruang vektor linier.

4. Tanpa semua himpunan n angka. Mari kita mulai yang tak ternilai harganya. Dengan elemen multiplisitas ketik angka.

10.Vektor tambahan skalar

Karena operasi non-linier pada vektor, TV skalar dan add-on vektor mudah terlihat, yang paling sering digunakan dalam add-on.

Potongan antara dua vektor akan disebut potongan, yang tidak saling bertukar p.

Vektor kut mіzh akan berarti

Add-on skalar dari dua vektor geometris adalah angka, seperti add-on tambahan dari dua vektor geometris ke potongan kosinus di antara mereka:

Yaksho, lalu, karena ,

yaksho, lalu, karena ,

yaksho, lalu, karena ...

a) proyeksi ortogonal vektor ke garis lurus, yang ditentukan oleh vektor, kami akan memanggil nomor

b) Demikian pula jumlah proyeksi ortogonal = dari vektor ke garis lurus.

Nilai skalar buat slide, scho

Slidestvo.

Add-on skalar dari dua vektor bukan nol ke nol todi dan hanya todі, jika vektornya ortogonal (kut di antara keduanya adalah dorіvnyu).

Kekuatan penciptaan skalar.

komutatifitas

1) Komunitas

2) Distribusi vektor schodo sumi

4), yaksho saya, yaksho

Kekuatan 1-4 dikeluarkan dari kekuatan geometris vektor.

Coot vektor mіzh.

Mengetahui lebih banyak vektor dan pengaya skalar dapat diketahui dari vektor. Ya, tidak apa-apa , kemudian

11. Vectorniy dobutok i th power, Dihitung melalui koordinat

Vektor vektor dari vektor oleh vektor adalah vektor (artinya yogo), pikiran.

nilai: keju cottage vektor dalam taruhan berurutan vektor di a dan b, vektor disebut seperti itu

Kekuatan vektor membuat:

Dipadatkan 2: Dalam sistem koordinat Cartesian (basis Saya, J, k), A = ( x 1, y 1, z 1), B = ( x 2, y 2, z 2}

=> [A,B] =

=

12. Zmіshane tvіr vektor.

nilai: dengan keju dalam tiga vektor berurutan a, b dan c disebut bilangan , Termasuk = (, C).

mengeras: = V A , B , C, Yaksho a, b, c - hak triyka, abo = -V A , B , C, Yaksho a, b, c - lіva tіyka. di sini V A , B , C- obsyag paraleleped, diminta pada vektor a, b dan c. (Jika a, b dan c koplanaritas, maka V a, b, c = 0.)

Dipadatkan: Dalam sistem koordinat Cartesian, di mana a = ( x 1, y 1, z 1), B = ( x 2, y 2, z 2},

s = ( x 3, y 3, z 3}, => = .

Dalam tsіy statty mi operatsії, karena dimungkinkan untuk memutar dengan vektor di area dan di ruang terbuka. Kekuatan luar biasa yang jauh dari operasi pada vektor dan dimotivasi oleh motif geometris. Juga dapat ditunjukkan bahwa kekuatan operasi pada vektor dikenakan pada kekuatan operasi dengan bantuan viraz, jadi untuk membalas dendam vektor.

Untuk pengetahuan materi yang lebih besar, disarankan untuk mempelajarinya dalam ingatan guru, data dalam vektor statistik adalah nilai utama.

Navigasi di samping.

Operasi melipat dua vektor adalah aturan trikutnik.

Ditampilkan cara melihat melipat dua vektor.

Jumlah vektor ditampilkan sebagai berikut: dari titik A yang diberikan, sebuah vektor, sama, jauh dari titik B, diendapkan, sebuah vektor adalah jumlah vektor... Cara melipat dua vektor ini disebut aturan trikutnik.

Ada lipatan visual ke dalam penggunaan vektor collinear pada area sesuai dengan aturan roda tiga.

Dan di kursi berlengan di bawah ini, penambahan vektor searah dan berlawanan lurus ditampilkan.

Penambahan beberapa vektor adalah aturan bagatokutnik.

Diutamakan pada operasi yang dibuka, menambahkan dua vektor, kita dapat menambahkan tiga vektor dan banyak lagi. Pada akhir hari, dua vektor pertama terbentuk, vektor ketiga dapat mencapai hasil, dan perempat dan sejauh ini tercapai.

Penambahan beberapa vektor untuk menunjukkan serangan oleh impuls. Dari titik A sekarang di daerah tersebut, untuk luasnya ada vektor yang sama dengan penambahan pertama, dari titik kedua vektor, sama dengan yang lain, muncul, dari titik ketiga, dan begitu jauh. Ayo, titik B adalah akhir dari vektor yang disisipkan terakhir. Saya akan meringkas semua vektor di masa depan.

Penjumlahan beberapa vektor pada luas dengan cara ini disebut aturan bagatokutnik... Dipandu oleh ilustrasi aturan bagatokutnik.

Pelipatan beberapa vektor di ruang terbuka benar-benar analog.

Operasi perkalian vektor dengan bilangan.

Penyakit menular kalikan vektor dengan angka.

Mengalikan vektor dengan bilangan k ekspansi vektor dengan faktor k untuk k> 1, atau kontraksi di kali pada 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

Misalnya, jika vektor dikalikan dengan angka 2, kita perlu mengubahnya dan menyimpannya dengan lurus, dan jika vektor dikalikan dengan sepertiga, kita akan mengubahnya ke yang lain. Semoga untuk tujuan ilustrasi ini.

Kekuatan operasi atas vektor.

Juga, kami memulai operasi penjumlahan vektor dan operasi perkalian vektor dengan angka. Pada saat yang sama, untuk setiap vektor dan bilangan real penting, dimungkinkan, untuk motif geometris tambahan, untuk membumikan permulaan kekuatan operasi atas vektor... Deyakі jelas dari mereka.

Melihat kekuatan memberi kita kekuatan untuk menciptakan kembali virazi vektor.

Kekuatan komutatifitas dan asosiatifitas operasi penjumlahan vektor untuk memungkinkan pelipatan vektor dalam pre-order.

Operasi berurusan dengan vektor sangat bodoh, karena ada perbedaan dalam vektor dan jumlah vektor.

Saya akan melihat kekuatan yang dirasakan dari operasi pada vektor, kita dapat dalam virus, bagaimana membalas dendam pada sumi, membedakan vektor dan membuat vektor pada angka, serta dalam virus numerik.

Diangkat di pantat.

Vektor - tse v_drizok, yang sangat lurus. Ujung vektor tersebar dengan panah, tongkolnya adalah titik. Modulus vektor (nilai absolut)- Dovzhina ts'go meluruskan vidrizka.

Yakscho tongkol vektor untuk menyingkirkan yogo kintz, otrimaєmo vektor nol.

Dua vektor rivnim, Yaksho kh dovzhina sama dan baunya mungkin sama. Bau busuk tercium saat dipindahkan.

vektor bayi kecil A ke vektor B... vektor C bukan dorіvnyuє, jadi yak meluruskan di prototipe bik

vektor -C- vektor tse C, Ale protilezhny lurus ke depan. Todi

proyeksi vektor

Proyeksi vektor ke sumbu tidak signifikan positif, jika vektor lurus dari sumbu. Bermakna negatif - dengan cara protylezhny.

Vektor yang diproyeksikan digeser ke langit Sapi dan gratis Oy... Untuk memangkas proyeksi, perlu untuk mengambil koordinat tongkol dari koordinat ujung vektor. Pada sumbu OX: s x = x-x 0, pada sumbu OU: s y = y-y 0.

Pasang dengan jelas

Okremі vipadki, jika proyeksinya menyala Sapi tentang Oy nol.

Jumlah vektor gudang sepanjang sumbu ke vektor yang diberikan, tobto

vektor suma

Aturan jajaran genjang: diagonal jajar genjang adalah jumlah dua vektor dari sebuah tongkol.

Aturan trikutnik: dari ujung vektor pertama, vektor lain, hingga akhir penjumlahan, akan ada vektor, telinga vektor pertama, dan ujung ujung vektor lainnya.

Aturan di pantat terlihat jelas.

vektor baru

Vіdnіmannya vektorіv - jumlah vektor positif dan negatif.

Sebuah vektor disebut pelurusan ruang Euclidean lurus, di mana satu ujung (titik A) disebut tongkol vektor, dan ujung lainnya (titik B) adalah ujung vektor (Gbr. 1). Vektor akan berarti:

Jika telinga dan ujung vektor ditambahkan, maka vektor tersebut disebut vektor nol aku tahu 0 .

Pantat. Ambil tongkol koordinat ma vektor di ruang dua dunia A(12,6), dan ujung vektor adalah koordinat B(12.6). Vektor Todi adalah vektor nol.

dovzhina vidrizka AB disebut modul (dozhinoy, norma) Vektor maksud saya | A|. vektor dozhini vektor tunggal... Nilai absolut dari vektor dicirikan secara langsung: vektor langsung ke A sebelum B... Vektor disebut vektor, menindas vektor.

Dua buah vektor disebut kolinear, Iakshcho bau berbaring di satu garis lurus atau sejajar garis lurus. Pada ara kecil. 3 vektor chervoni adalah collinear, sehingga bau terletak pada satu lurus, dan vektor biru adalah collinear, sehingga bau terletak pada garis lurus paralel. Dua buah vektor kolinear disebut tetap diluruskan, Yakshho kh kіntsі terletak di satu sisi dalam garis lurus, tepat di bagian bawah telinga. Dua buah vektor kolinear disebut protolezhnoy diluruskan, Yakshko kh kіntsі berbaring di sisi zni lurus, tepat di bagian bawah telinga. Jika dua vektor collinear terletak pada garis lurus yang sama, maka baunya disebut lurus yang sama, seolah-olah salah satu perubahan, kami menyetujui satu vektor untuk membalas dendam pada promin, kami menyetujui vektor lainnya. Pada pandangan pertama, vektor disebut proto-persegi panjang. Pada Gambar 3 kecil, vektor biru tetap diluruskan, dan vektor merah diluruskan secara prototipikal.

Dua buah vektor disebut rivnim selama bau dari modul, mereka tetap mudah. Pada Gambar. 2 kecil, vektor sama dengan modul yang sama.

vektor disebut sebidang Jika bau busuk terletak di area yang sama atau di area paralel.

V n Dalam ruang vektor dinamis, jelas bahwa semua vektor tidak terlihat; Vektor itu dapat ditulis dalam tampilan ofensif:

(1)

de x 1, x 2, ..., x n koordinat titik akhir vektor x.

Vektor entri dalam penampil (1) disebut vektor baris, Dan vektor, entri dalam penampil

(2)

disebut vektor-stovpc.

nomor n disebut rozmіrnistyu (tertib) Vektor. yaksho maka vektor tersebut akan disebut vektor nol(vektor titik tongkol tom scho ). dua vektor xі kamu Rivni Todi dan Tylki Todi, asalkan ada barang serupa.