44 integrazioni fisiche al canto integrale inurl livre. Definizione geometrica del valore dell'integrale. Obsyag tila wrapping

41.1. Schemi di archiviazione integrale

Non è necessario conoscere il significato di una dimensione geometrica o fisica A (area di una figuri, volume di til, presa di una linea su un piatto verticale, ecc.), legata al serpente generale di un inverno indipendente. Per trasferire, beh, il valore di A è additivo, cioè E. Quindi, quando rozbittі vіdrіzka [a; b] dal punto h є (a; b) dalla parte [a; il suo; b] il valore del valore A, in ogni caso come [a; b], dorіvnyu sumі її significato, scho іdpovіdaut [a; il suo; B].

Per la conoscenza del valore di A è possibile keruvatizzare uno dei due schemi: Schema I (o metodo delle somme integrali) e Schema II (o metodo differenziale).

Il primo schema si basa sulla designazione dell'integrale del canto.

1. Punti x 0 = a, x 1, ..., x n = b per scomporre in [a; b] in n parti. Infatti, il valore di A salirà a n "supplementi elementari" ΔAi (i = 1, ..., n): А = ΔA 1 + ΔА 2 + ... + ΔА n.

2. Dimostrare la pelle "dodanok elementare" in vista della creazione del deyakoi funktsii (come dovrebbe partire dalla mente dei compiti), calcolata nel punto più importante del risultato generale per la resistenza dello yogi: ΔA i ≈ (ci) x i.

Con un valore vicino noto di ΔA i, supponiamo che un arco sia perdonato: un arco su un piccolo ritardo può essere sostituito da una corda, che viene tirata insieme; Il cambio di velocità in una piccola data può essere effettuato molto rapidamente, ecc.

Otrimamo vicino al valore di A nella sumi integrale:

3. Shukan è il valore di A prima del confine del sumi integrale, cioè E.

I significati "metodo delle somme", come bacimo, sono usati nella presentazione dell'integrale, come per la somma di un numero infinitamente grande di numeri infinitamente piccoli.

Lo schema I della palla è bloccato per l'impostazione dell'integrale del canto zmisty geometrico e fisico.

Un altro schema è solo una modifica dello schema I ed è chiamato "metodo differenziale" o "metodo per vedere ordini diversi indefinitamente piccoli":

1) su vidrizka [a; b] valori vibralmente conservativi di x e visualizzazione delle variazioni nel display [a; NS]. Nel complesso, il valore di A diventa una funzione di x: A = A (x), cioè E. Vvazhamo, che è una parte del valore shukan di A є non è una funzione di A (x), de x є è uno dei parametri del valore di A;

2) si conosce la parte principale dell'incremento ΔA quando si cambia x di un piccolo valore Δx = dx, cioè è noto il differenziale dA della funzione A = A (x): dA = ƒ (x) dx, de task, funzioni di cambiamento (qui puoi anche chiedere aiuto);

3) vazayuchi, scho dA ≈ ΔА a Δх → 0, lo shukan conosce il valore dell'integrazione dA negli intervalli da a a b:

41.2. Calcolo dell'area delle figure piatte

coordinate rettangolari

Come è già stabilito (div. "Integrale sensoriale geometrico"), l'area del trapezio curvo, il "vishche" rosted dell'asse delle ascisse (ƒ (x) ≥ 0), torna al comune integrale canoro:

La formula (41.1) è bordata mediante la memorizzazione dello schema I - il metodo della somma. Formula (41.1), schema vicorista II. Lascia che il trapezio curvo sia circondato dalle linee y = ƒ (x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (div. Fig. 174).

Per la nota area del trapezio S del vicon dell'inizio dell'operazione:

1. Vіzmemo dovіlne x Î [a; b] e assumeremo che S = S (x).

2. Damo l'argomento x pririst Δx = dx (x + Δx є [a; b]). La funzione S = S (x) è ottenere un aumento di ΔS, che è un'area di un "trapezio curvo elementare" (su un'immagine minuscola).

Area differenziale dS є testa parte dell'incremento ΔS a Δх → 0, і, ovviamente, nell'area stradale del rettangolo con la base dx e l'altezza y: dS = y dx.

3.Integrare la differenziazione dell'uguaglianza nei confini da x = a a x = b, ossessionato

Ovviamente il trapezio curvilineo è posizionato "sotto" l'asse Ox (ƒ (x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Le formule (41.1) e (41.2) possono essere combinate in una:

L'area delle figuri, circondata da curve y = = fι (x) і у = ƒг (x), da linee x = a і х = b (dietro ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) ( div. Fig. 175) , puoi sapere dietro la formula

Se la figura è piatta, ho una forma "piegata" (div. Fig. 176), quindi dritta, parallela all'asse Oy, e quindi tagliata a pezzi, in modo da poter utilizzare le stesse formule.

Poiché il trapezio curvo è circondato da linee rette y = s і y = d, vіssu Oy è ininterrottamente curvo х = φ (y) ≥ 0 (div. Fig. 177), quindi l'area è dietro la formula

Io, nareshty, come un trapezio curvilineo circondato da una curva, dato parametricamente

linee rette x = aih = bі vіssu Oh, allora l'area è dietro la formula

de a e β sono determinati dall'equivalenza x (a) = a і x (β) = b.

Culo 41.1. Per conoscere l'area delle figuri, circondata dal vissu Oh e dal grafico della funzione y = x 2 - 2x in x.

Soluzione: Figura maє viglyad, immagini sul bambino 178. È noto nella zona S:

Culo 41.2. Conta l'area della figurina, circondata da un'ellisse x = a cos t, y = b sin t.

Decisione: è noto da un gruppo di 1/4 dell'area S. Qui x cambia da 0 ad a, dallo stesso, t cambia da 0 a 0 (div. Fig. 179). E 'noto:

In un tale grado. Quindi, S = π аВ.

coordinate polari

Conosciamo l'area S del settore curvo, cioè una figura piana, intrecciata con una linea ininterrotta r = r (φ) e due interscambi φ = a і φ = β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - metodo differenziale.

1. Prendiamo una parte dell'area di Shukan S in funzione del kut φ, cioè S = S (φ), se a ≤ φ ≤ β (se φ = a, allora S (a) = 0, se φ = β, allora S (β) = S).

2. Se l'attuale taglio polare φ ha un aumento di Δφ = dφ, l'area AS aumenterà fino all'area del "settore curvo elementare" OAB.

Differenziale dS є la parte di testa dell'incremento ΔS a dφ → 0 і aree stradali del settore circolare Circa l'AC (ombreggiato al minuto) del raggio r con il bordo centrale dφ. Tom

3.Integrando l'allineamento tra i confini da φ = a a φ = β,

Culo 41.3. Conoscere l'area delle figuri, circondate da un "trojan a tre petali" r = acos3φ (div. Fig. 181).

Decisione: è noto che l'area di metà di una buccia "Trojandi" è nota, ovvero 1/6 dell'intera area della figurina:

cioè Otzhe,

Poiché la figura è piatta, "piego" la forma, quindi a turno, andando dai poli e andando ai settori curvi, fino a quando non ho zasosuvati, farò una formula per l'area nota. Quindi, per un figurino, un'immagine su un bambino 182, maєmo:

41.3. Calcolo dell'arco di un piatto storto

coordinate rettangolari

Sia data in coordinate rette una curva piana AB, uguale a v = ƒ (x), de a≤x≤ b.

Dalla linea dell'arco AB, il confine cresce, fino a diventare pragmatico fino a quando la linea laman è inscritta nell'arco, se il numero di corsie del laman non è compreso tra la crescita, e il numero di corsie del più lanka è pragne a zero. Si dimostrerà che se la funzione y = ƒ (x) і її è ereditata da "= ƒ" (x) non è interrotta dal modo [a; b], quindi la curva AV è maє dovzhinu, rіvnu

Schema Zastosuєmo I (metodo della somma).

1.Punti x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Dovzhin jordi (Abolanka Lamano) ΔL 1 può essere conosciuto per il teorema di Pitagora con un tricot con gambe Δx i і Δу i:

Secondo il teorema di Lagrange sulle funzioni extra di durata Δу i = ƒ "(з i) Δх i, de ci є (x i-1; x i).

e tutti i lamamani possono mangiare M 0 M 1 ... M n dorivnyu

3.Lina io AB storto, per viznachennyam, strada

Notevole, quando ΔL i → 0 anche і Δx i → 0 ΔLi = anche io | x io |<ΔL i).

funzione non è interrotto sulla base di [a; b], in modo che, dietro il lavandino, la funzione ƒ "(x) non sia interrotta. Otzhe, іnuє tra i sumi integrali (41.4), se max Δx i → 0 :

In tale rango, ma in una registrazione veloce io =

Se l'equazione della curva AB è data nella forma parametrica

de x (t) і y (t) - funzioni continue con funzioni ininterrotte і х (а) = а, х (β) = b, quindi dovzhina io AV storto è dietro la formula

La formula (41.5) può essere eliminata dalla formula (41.3) impostando x = x (t), dx = x "(t) dt,

Culo 41.4. Conoscere la cena di un palo di Radius R.

Soluzione: Conosciamo 1/4 parte della її dozhini dal punto (0; R) al punto (R; 0) (div. Fig. 184). quindi yak poi

significare, io= 2π R. Se scrivi una quota nella vista parametrica x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π), allora

Il calcolo dell'arco può essere basato sul metodo differenziale. Si dimostrerà che è possibile rifiutare la formula (41.3), avendo lo schema II stagnante (metodo differenziale).

1. Il valore di x є [a; b] è un display chiaramente visibile [a; NS]. Nuovo valore io una nuova funzione da x, tobto io = io(NS) ( io(A) = 0 in io(B) = io).

2. Conosciamo il differenziale dl funzioni io = io(X) cambiando x di un piccolo valore Δx = dx: dl = io"(X) dx. Lo sappiamo io"(X), sostituisci l'arco infinitesimale MN con la corda Δ io, Contrazione qiu arc (div. Fig. 185):

3.Integra dl tra a e b, ossessionato

parità è chiamata formula differenziale dell'arco in coordinate rettangolari.

Quindi yak y "x = -dy / dx, allora

Rimanendo la formula є Teorema di Pitagora per triciclo infinitamente piccolo MST (div. Fig. 186).

coordinate polari

Lascia che la curva AB sia uguale in coordinate polari r = r (φ), e≤φ≤β. Si ammette che r (φ) і r "(φ) non è interrotto dalla direzione [a; β].

Se nelle uguaglianze x = rcosφ, y = rsinφ, dove si utilizzano le coordinate polari e cartesiane, il parametro è uguale a φ, allora la curva AB può essere impostata parametricamente

formula Zastosovuchi (41.5),

Culo 41.5. Conoscere la quantità di cardioide r = = a (1 + cosφ).

Soluzione: Cardioide r = a (1 + cosφ) ma viglyad, immagini su un bambino 187. Vona è simmetrica all'asse polare. Conosciamo la metà della quantità totale di cardioidi:

In questo rango, 1/2l = 4a. Quindi, l = 8а.

41.4. Obsyagu tila . calcolato

Il calcolo della quantità di denaro per ciascuna area di perereziv . parallela

Non è necessario conoscere il volume del solaio V, inoltre, nell'area S della sezione del solaio, le aree perpendicolari all'asse principale, ad esempio l'asse Ox: S = S (x), a x ≤ b.

1. Per un punto x є sufficiente tracciare un piano Π, perpendicolare all'asse Ox (div. Fig. 188). In termini di S (x), l'area è invasa da un'intera area; S (x) vazàmo vedere e cambiare senza interruzione quando si cambia. Attraverso v (x), è significativo scambiare una parte del corpo, come mentire più dell'area P. x] il valore v è la funzione di x, cioè v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V).

2. Conosciamo il differenziale dV della funzione v = v (x). Win è una "palla elementare" del pavimento, posta tra aree parallele, che trabocca l'Oh nei punti x і х + Δх, che possono essere approssimativamente presi sopra il cilindro con la base S (x) і altezza dx. A ciò il volume differenziale dV = S (x) dx.

3. È noto allo Shukan il valore di V per integrazione dA nei confini da a a B:

La formula di Otriman è chiamata la formula obsyagu tila sull'area degli incroci paralleli.

Culo 41 6.6. Conoscere obsyag elipsoyda

Soluzione: area Rozsіkayuchi elіpsoїd, area parallela Oyz e in primo luogo ? a), otrimaєmo elips (div. fig. 189):

L'area della \u200b\u200besima ellisse

Tom, per formula (41.6),

Obsyag tila wrapping

Non avvicinarti all'asse Oh per avvolgere un trapezio curvo, circondato da una linea ininterrotta y = ƒ (x) 0, con una lunga a ≤ x ≤ bі linee rette x = a і x = b (div. Fig. 190) . Otrimana dall'involucro della figura è chiamato l'involucro. Peretin ts'go til con un'area perpendicolare all'asse del bue, tracciata attraverso un certo punto x dell'asse del bue (x Î [UN; b]), є colo con raggio у = (x). Dalla stessa, S (x) = π e 2.

La formula di Zastosovyuchi (41,6) obsyagu til sull'area degli incroci paralleli, può essere riconosciuta

Essendo un trapezio curvo, il grafico non è senza interruzioni con una funzione = φ (y) ≥ 0 e rette x = 0, y = c,

y = d (s< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Culo 41.7. Per conoscere il volume del til, incastonato negli involucri delle figurine, circondato dalle linee attorno all'asse Oy (div. Fig. 191).

Decisione: per la formula (41.8) sappiamo:

41.5. Avvolgimento della superficie stimata

Sia la funzione grafica della curva AB є y = ƒ (x) ≥ 0, de x є [a; b], e la funzione y = ƒ (x) і її è ereditata da "= ƒ" (x) non è interrotta in alcun modo.

Conosciamo l'area S della superficie, posta agli involucri della curva AB in prossimità dell'asse Ox.

Schema Zastosuєmo II (metodo differenziale).

1. Per un certo punto x є [a; b] disegna un'area Π perpendicolare all'asse del bue. L'area fuoriesce dalla superficie dell'involucro attorno al paletto con raggio y = ƒ (x) (div. Fig. 192). Il valore S della parte superficiale della figura è avvolto, ma giacere più dell'area, è una funzione di x, cioè S = s (x) (s (a) = 0 і s (b) = S).

2. Argomento Damo x pririst Δx = dx. Per il punto x + dx [a; b] si traccia anche un piano perpendicolare all'asse del bue. La funzione s = s (x) serve per ottenere l'aumento di Az, che è raffigurato sul piccolo dal visualizzatore "Pask".

Conosciamo il differenziale dell'area ds, lo riparerò con i grip della figura, aumenteremo il cono, lo riparerò. dl, Un raggio è uguale a y + dy. L'area dell'altro lato della strada ds = π (Y + y + dy) dl=2π a dl + π dydl... Apri TV dydl come ordine infinitamente piccolo, ds inferiore, ds accettabile = 2 π a dl, Abo, quindi yak

3.Integrare la differenziazione dell'uguaglianza nei confini da x = a a x = b, ossessionato

Se la curva AB è data da equivalenti parametrici x = x (t), y = y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, quindi la formula (41.9) per l'area della superficie avvolgente

Culo 41.8. Conosci l'area della superficie del dispositivo di raffreddamento del raggio R.

Culo 41.9. dato cicloide

Per conoscere l'area della superficie, impostare gli involucri attorno all'asse Oh.

Soluzione: quando metà dell'arco è avvolto, la cicloide è intorno all'asse Ox, l'area della superficie è avvolta.

41.6. Aggiunte meccaniche dell'integrale canoro

Robot della forza invernale

Non spostare il punto materiale M per spostare l'asse dell'asse Oh prima del cambio di forza F = F (x), allineato parallelamente all'asse. Un robot, vibrato con forza quando il punto M viene spostato dalla posizione x = a nella posizione x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Butt 41.10 Il robot Yak deve spendere, per allungare la molla di 0,05 m, se la forza è 100 N per allungare la molla di 0,01 m?

Decisione: Dietro la legge di Hooke, la forza della molla, che allunga la molla, è proporzionale all'allungamento x, cioè F = KX, de k è il coefficiente di proporzione. Al termine del lavaggio, la forza F = 100 N tira la molla a x = 0,01 m; lo stesso, 100 = k * 0,01, stelle k = 10000; lo stesso, F = 10000x.

Shukana del robot sulla base della formula (41.10)

Culo 41.11. Sapere al robot, se è necessario spenderlo, wickachati oltre il bordo della scanalatura dal serbatoio cilindrico verticale con l'altezza H m e il raggio della base R m.

Decisione: Un robot che è in grado di accendere l'altezza dell'altezza dell'altezza della h, strada all'altezza della h. Tutte le palline di crescita nei serbatoi si trovano sui pendii inferiori e l'altezza dell'ascensore (fino al bordo del serbatoio) delle palline non è la stessa.

Lo schema II (metodo differenziale) viene utilizzato per la verifica della designazione dell'insieme. Il sistema di coordinate viene introdotto come indicato sulla piccola 193.

1. Il robot, che vedrà il vikachuvannya dal serbatoio della palla di ridini tovshchinoyu x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. È nota la parte della testa dell'incremento ΔA quando si cambia x del valore Δx = dx, cioè è noto il differenziale dA della funzione A (x).

Zvazhayuchi su krykhta dx vazhaєmo, quindi la palla "elementare" della linea è sulla stessa lunghezza (verso il bordo del serbatoio) (div. Fig. 193). Todi dA \ u003d dp * x, de dp - cosa va a palla; vіn dorіvnyuє g * g dv, de g - accelerato vіnnogo fadіnnya, g - competenza di un rіdini, dv - obsyag palla "elementare" di rіdini (per un po 'di visioni), cioè dp = gg dv. Obyaz alla palla designata rіdini, ovviamente, dorіvnyuє π R 2 dx, de dx - l'altezza del cilindro (palla), π R 2 - l'area del tuo sonno, tobto. E. Dv = π R 2 dx.

In tale rango, dp = gg π R 2 dx і dA = gg π R 2 dx * x.

3) integrando la differenza tra gli archi da x = 0 a x = H, si sa

Shlyakh, passaggi di til

Lascia che il punto materiale si muova lungo la linea retta attraverso la velocità variabile v = v (t). Conosciamo la via S, passa per un'ora da t 1 a t 2.

Decisione: dal cambiamento fisico della visione semplicistica, dall'ora al punto in una linea retta, "la velocità della linea retta della strada al percorso ingenuo a ore", cioè. Integrazione della differenza tra i confini da t 1 a t 2, si riconosce

Ovviamente la formula può essere eliminata utilizzando lo schema I o II memorizzando l'integrale di canto.

Culo 41.12. Conoscere la strada, passando in 4 secondi alla spiga del granoturco, poiché la velocità del pavimento è v (t) = 10t + 2 (m/s).

Decisione: se v (t) = 10t + 2 (m / s), quindi una passeggiata, passa solo attraverso la spiga di grano (t = 0) fino alla fine del 4° secondo, strada

Morsa Ridini su piastra verticale

Ovviamente, per la legge di Pascal, la presa di una linea su un piatto orizzontale è una linea costosa di una linea di una linea, quando pago una tassa, e in peso - una profondità di linea dalla superficie verticale di un Sidin, che è, E. P * = h * de g * floor, g - spessore della linea, S - area del piatto, h - superficie.

Per questa formula, puoi shukati la presa della linea sul piatto forato verticalmente, in modo che il punto si trovi sulle piccole pendenze.

Lascia che la piastra sia perforata verticalmente nella strada, circondata da linee x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) і y 2 = ƒ 2 (x); il sistema di coordinate vibran è così, come indicato sulla piccola 194. Per la conoscenza dell'impugnatura del Ridini sul piatto si utilizza lo schema II (metodo differenziale).

1. Lascia che la parte del valore shukano P є funzioni da x: p = p (x), cioè P = p (x) è una morsa su una parte del piatto, che è simile a [a; x] il valore della ruga x, de x є [a; b] (p (a) = 0, p (b) = P).

2. Argomento Damo x pririst Δx = dx. Funzione p (x) per vincere? P (per un bambino - una pallina di dx). Conosciamo il differenziale dp della funzione. Sferragliando sulla dx krykhta, saremo vicini al quadrato con un rettangolo, tutti i cui granelli si trovano sullo stesso glibin, cioè il piatto è orizzontale.

Todi dietro la legge di Pascal

3.Integrando il taglio della parità nei limiti da x = a a x = B,

Culo 41.13. Viznachit l'entità della presa dell'unità sulla ruota, verticalmente nel percorso, dove il raggio è R e il centro è sulla superficie dell'unità (div. Fig. 195).

Il momento statico S y del sistema degli assi

Poiché il rango di masi rozpodіlenі bezperervnim di bridling deyakoi è storto, quindi per la rotazione del momento statico, integra.

Nekhai y = ƒ (x) (a≤ x≤ b) - il valore della curva del materiale AB. Vvvat unilaterale con una linea post-lineare g (g = const).

Per un previlny x є [a; b] sulla curva AB c'è un punto con coordinate (x; y). Visibile sulla curva delle elementari dl, per vendicarsi del punto (x; y). Todi masa tsієї dilyanka dorіvnyu g dl. Dl accettabile è vicino al punto, dalla distanza dall'asse Oh alla parte posteriore. Il differenziale del momento statico dS x ("momento elementare") sarà adatto per g dly, cioè DS x = g dlу (div. Fig. 196).

Svidsy vyplyaє, ma il momento statico S x curvo AB dall'asse Oh dorivnyu

Allo stesso modo, sappiamo S y:

I momenti statici S x і S y storti consentono un facile posizionamento del centro del vagi (centro della massa).

Il centro della curva piatta del materiale pesante y = ƒ (x), x Î è chiamato il punto dell'area, quando Volodya è la potenza offensiva: se nell'intero punto del mezzo l'intera massa m è data storta, allora la statica momento della strada del punto è come sempre coordinata storta y \ u003d ƒ (x) è molto simile all'asse. Indichiamo con C (x c; y c) il centro dei vagi della curva AB.

Il centro della macchina dovrebbe essere uguale Zvidsi

Calcolo dei momenti statici e delle coordinate del centro di un wagi di una figura piana

Diamo una figura piatta materiale (piatto), circondata da una curva y = ƒ (x) 0 e linee rette y = 0, x = a, x = b (div. Fig. 198).

Prenderemo in considerazione che la superficie della piastra è permanente (g = const). Todi masa "tutti i piatti sono porte g * S, cioè E Visibile dellink elementare del piatto vicino alla viglyad, smog verticale indefinitamente alto, e sarà avvicinato da un diretto.

Todi masa yogo dorivnyuє g ydx. Il baricentro del rettangolo Z giace sulla sezione trasversale delle diagonali del rettangolo. Il punto C va dall'asse Ox a 1/2 * y, e dall'asse Oy a x (vicino; più precisamente, nel punto x + 1/2 Δx). Todi per i momenti statici elementari degli assi Oh e Oy

Otzhe, centro delle coordinate wagi maє

I valori di integrale (OI) sono ampiamente utilizzati nelle aggiunte pratiche alla matematica e alla fisica.

Sulla scia del giorno, nelle geometrie alle spalle dell'altro OI ci sono aree di figure semplici e superfici pieghevoli, avvolgenti volumetriche e forme moderne, più curve nell'area e nello spazio.

La fisica e la meccanica teorica dell'OI sono utilizzate per calcolare momenti statici, massa e centri di massa di curve e superfici di materiale, per calcolare la forza robotica lungo un percorso curvo e in.

L'area della figurina piatta

Non avere una figura piatta nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari $ xOy $ in alto circondata da una curva $ y = y_ (1) \ sinistra (x \ destra) $, in basso - da una curva $ y = y_ ( 2) \ left (x \ right) $, e sul lato destro da linee verticali $ x = a $ і $ x = b $ apparentemente. In un'area vipad zelante di una tale figura, girati per un ulteriore OI $ S = \ int \ limit _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) \ left (x \ right) -y_ ( 2) \ sinistra (x \ destra ) \ destra) \ cdot dx $.

Inoltre, una figura piatta nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari $ xOy $ è circondata da una curva $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $ a destra, una curva $ x = x_ (2) \ left ( y \ right) $ , e sotto e sopra da linee rette orizzontali $ y = c $ і $ y = d $ come se, quindi l'area di tale figura girerà dietro l'altro OI $ S = \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ sinistra (x_ (1) \ sinistra (y \ destra) -x_ (2) \ sinistra (y \ destra) \ destra) \ cdot dy $.

Non dispone di una figura piatta (settore di vignute), che può essere visualizzata nei sistemi di coordinate polari, è impostata dal grafico della funzione continua $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $, nonché due interscambi a passare attraverso $ \ phi = \ alpha $ i $ \ phi = \ beta $ è corretto. La formula per calcolare l'area di un tale settore curvo del ma viglyad: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limit _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2 ) \ sinistra (\ phi \ destra ) \ cdot d \ phi $.

Dovzhina arco storto

$ \ Sinistra [\ alfa, \; \ Beta \ right] $ la curva è impostata uguale a $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $ nei sistemi di coordinate polari, quindi l'arco dell'arco viene calcolato secondo l'OI aggiuntivo $ L = \ int \limits _ (\alpha) ^ (\beta) \ sqrt (\rho ^ (2) \ left (\phi \ right) + \ rho "^ (2) \ left (\ phi \ right)) \ cdot d \ phi $.

Se la curva è data uguale a $ y = y \ left (x \ right) $ sulla linea $ \ left $, allora l'arco dell'arco viene calcolato per l'ulteriore OI $ L = \ int \ limit _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

$ \ Sinistra [\ alfa, \; \ Beta \ right] $ la curva è data parametricamente, in modo che $ x = x \ left (t \ right) $, $ y = y \ left (t \ right) $, quindi l'arco її viene calcolato per l'OI aggiuntivo $ L = \ int \ limit _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x "^ (2) \ left (t \ right) + y" ^ (2) \ left (t \ destra)) \ cdot dt $.

Enumerazione dell'obsyagu tila dietro le aree di perereziv . parallele

Non è necessario conoscere il volume del piano spazioso, le coordinate dei punti di cui siamo soddisfatti $ a \ le x \ le b $, e per i quali in ogni area c'è una croce in $ S \ left (x \ right) $ con aree perpendicolari all'asse $ Ox $.

La formula per calcolare tale tila maє viglyad è $ V = \ int \ limit _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Obsyag tila wrapping

Vai alla fine di $ \ left $, viene data una funzione non negativa non intermittente $ y = y \ left (x \ right) $, che crea un trapezio curvo (CRT). Se avvolgi l'MCT attorno all'asse $ Ox $, fai finta di essere solo, chiamato dal wrapping.

Avvolgimento numerico obsyagu tila є limiteremo il numero di quantità numerate di corpo dietro le aree date di transizioni parallele. Come la formula del maverick $ V = \ int \ limit _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y ^ ( 2) \ sinistra (x \ destra) \ cdot dx $.

Non ha una figura piatta nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari $ xOy $ in alto è circondato da una curva $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, in basso - da una curva $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $, de $ y_ (1) \ left (x \ right) $ і $ y_ (2) \ left (x \ right) $ - nessuna funzione senza interruzioni, e sbagliato e linee verticali a destra $ x = a $ і $ x = b $ di sicuro. Todi obsyag til, impostato per avvolgere attorno all'asse $ Ox $, girare OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) ^ (2) \ left (x \ destra) -y_ (2) ^ (2) \ sinistra (x \ destra) \ destra) \ cdot dx $.

Non avere una figura piatta nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari $ xOy $ sulla destra è circondata da una curva $ x = x_ (1) \ sinistra (y \ destra) $, nella parte sbagliata - una curva $ x = x_ ( 2) \ left (y \ right) $, de $ x_ (1) \ left (y \ right) $ і $ x_ (2) \ left (y \ right) $ - nessuna funzione senza interruzione, e sotto e sopra di linee orizzontali $ y = c $ і $ y = d $ di sicuro. Todi obsyag til, adottato dagli avvolgimenti delle figuri attorno all'asse $ Oy $, turn OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) ^ (2) \ sinistra (y \ destra) -x_ (2) ^ (2) \ sinistra (y \ destra) \ destra) \ cdot dy $.

L'area della superficie è avvolta

Andiamo a $ \ left $ viene data una funzione non negativa $ y = y \ left (x \ right) $ con un semplice $ y "\ left (x \ right) $ senza interruzioni. $, quindi esso stesso è impostato solo per il wrapping , e l'arco del MCT è alla sua superficie. \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

Si ammette che la curva $ x = \ phi \ left (y \ right) $, de $ \ phi \ left (y \ right) $ - sia data a $ c \ le y \ le d $ è un non negativo funzione, avvolgere intorno all'asse $ Oy $. Alla fine dell'intervallo dell'area della superficie del corpo impostato, l'avvolgimento è attorcigliato OI $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ phi \ left (y \ right) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ left (y \ right)) \ cdot dy $.

Integratori fisici OI

Per il rilevatore di distanza, al momento dell'ora $ t = T $ con una variazione della fluidità del punto materiale $ v = v \ sinistra (t \ destra) $ del punto materiale, quando inizia la caduta all'ora dell'ora $ t = t_ (0) $, il vicorista è OI $ S = \ int \ limit _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
Per calcolare la forza robotica, $ F = F \ left (x \ right) $, per raggiungere il punto materiale, per spostarsi lungo la retta dall'asse $ Ox $ dal punto $ x = a $ al punto $ x = b $ (direttamente dal potere di togliersi di mezzo) vikoristovuyu OI $ A = \ int \ limit _ (a) ^ (b) F \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Momenti statici dagli assi delle coordinate della curva del materiale $ y = y \ left (x \ right) $ all'intervallo $ \ left $ ruota con le formule $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a ) ^ (b) y \ sinistra (x \ destra) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ sinistra (x \ destra)) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \limits _ (a ) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.
Il centro di un materiale storto è un punto, in cui l'intero mondo è abilmente ordinato in un grado tale che i momenti statici del punto lungo gli assi coordinati siano adattati ai momenti statici generali di tutti quelli storti nel loro insieme .

Formule per il calcolo delle coordinate al centro di una massa curva piatta $ x_ (C) = \ frac (\ int \limits _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left ( x \ right)) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $ і $ y_ ( C) = \ frac (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx ) ( \ int \limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $.

Momenti statici di una figura piatta materiale nel visualizzatore CMT con un numero di assi coordinati ruotati secondo le formule $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ sinistra (x \ destra) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limiti _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ sinistra (x \ destra) \ cdot dx $.
Coordina il centro di una massiccia figura piatta al visualizzatore dell'MCT, fissato dalla curva $ y = y \ left (x \ right) $ all'intervallo $ \ left $, calcolato secondo le formule $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limit _ (a ) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right ) \ cdot dx) $ і $ y_ ( C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot dx) $.

Argomento 6.10. Aggiunte geometriche e fisiche all'integrale del canto

1. L'area del trapezio curvo, interlacciata dalla curva y = f (x) (f (x)> 0), dalle linee rette x = a, x = b e dall'asse parallelo [a, b] Bue, calcolato dalla formula

2. L'area delle figuri, circondata da curve y = f (x) і y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Se la curva è data da parametri parametrici uguali x = x (t), y = y (t), quindi l'area del trapezio curvo, che è circondata da una curva retta e dalle rette x = a , x = b, si trova dietro la formula

4. Nekhai S (x) - l'area del pavimento è perpendicolare all'asse Ox, solo la parte del pavimento, posta tra le aree dell'asse perpendicolare x = a і x = b, si trova dietro la formula

5. Non andare a trapezio curvo, circondato da una curva y = f (x) in linee rette y = 0, x = a і х = b, avvolgere attorno all'asse Oh, per calcolare l'involucro da calcolare secondo la formula

6. Non andare a trapezio curvo, circondato da una curva х = g (y) і

linee rette x = 0, y = c і y = d, avvolgere attorno all'asse O y, avvolgere intorno all'involucro da calcolare secondo la formula

7. Se una curva piatta viene portata su un sistema di coordinate rettangolari e viene data uguale a y = f (x) (o x = F (y)), il guadagno dell'arco viene impostato dalla formula

оловна> Lezioni

Lezione 18. Complementi del canto integrale.

18.1. Enumerazione di aree di figure piatte.

Apparentemente, un canto integrale sul bordo dell'area di un trapezio curvo, circondato da un grafico della funzione f (x). Se il grafico dell'aggraffatura è inferiore all'asse Ox, tobto f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, quindi l'area è contrassegnata da un segno "+".

Per la conoscenza dell'area totale, la formula è vittoriosa.

L'area delle figurine, circondata da linee deyakim, può essere conosciuta dietro l'aiuto degli integrali di canto, nonché dalle linee comuni.

Culo. Conosci l'area delle figurine, circondata dalle linee y = x, y = x 2, x = 2.

L'area Shukana (ombreggiata nella figura) si trova dietro la formula:

18.2. Conoscenza dell'area del settore storto.

Per l'area nota del settore curvo, viene introdotto un sistema di coordinate polari. Rivnyannya storto, scho che intreccia il settore nell'intero sistema di coordinate, ma viglyad  = f (), de - raggio dovzhyna - vettori, scho l'un polo dal punto storto e  - raggio kut nahila - il vettore al polare ...

L'area del settore curvo si trova dietro la formula

18.3. Il calcolo della curva è storto.

y y = f (x)

S io y io

Dovzhina lamanoi linea, yaka vidpovidak duzi, forse conosci yak
.

Todi dovzhina arc dorivnyu
.

Tre mirkuvan geometrici:

Alla stessa ora

Todi può essere mostrato

Tobto

Se la curva è data parametricamente, allora, in base alle regole per calcolare il vecchio parametricamente, è

de x =  (t) і у =  (t).

cosa è dato? curva spaziosa, І х =  (t), у =  (t) і z = Z (t), quindi

La curva Yakscho è impostata in coordinate polari, poi

, = f ().

culo: Conoscere l'importo della puntata data alla famiglia x 2 + y 2 = r 2.

1 modo Vislovimo da rіvnyannya zminnu.

So che andrò

Todi S = 2r. Otrimalnovydom formula dozhini cola.

2 vie Se ti viene data una linea in sistemi di coordinate polari, allora è ossessionata: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, in modo che la funzione  = f () = r,
Todi

18.4. Volume calcolato

Il calcolo dell'obsyagu tila dietro le aree date del perereziv parallelo.

Non preoccuparti V. L'area di qualsiasi recessione trasversale del corpo Q, sotto forma di una funzione ininterrotta Q = Q (x). Rozib'єmo tilo sullo "shari" con incroci trasversali, che passano attraverso i punti x i rozbittya vіdrizka. Le oscillazioni per qualche tipo intermedio di funzione Q(x) non vengono interrotte, quindi vengono accettate per la più recente per il valore minimo. Significativamente, è derivato da M i і m i.

Se sul cich il più e il più piccolo si ribalta se i cilindri sono costruiti con assi paralleli, allora le oscillazioni dei cilindri saranno simili tra loro M i x i i m i x i qui i - x i = x.

Se hai fornito tale incoraggiamento per tutti i tipi di rositta, togli bombole, richieste di tali informazioni
і
.

Quando pragmatico a zero, crocus rosbitta , tsi sumi può causare un confine zagalny:

In tale grado, obsyag tila può essere trovato nella conoscenza dietro la formula:

In un piccolo numero di formule, quelle necessarie per la conoscenza della funzione Q(x) sono necessarie per la conoscenza della funzione, ma è problematico per i corpi pieghevoli.

culo: Conosci 'um kuli raggio R.

In corrispondenza dei lembi trasversali del coul è presente un picchetto di raggio variabile. Allo stesso tempo dalle coordinate del flusso x raggio tsei, segui la formula
.

Todi funzione dell'area di overretin il ma viglyad: Q (x) =
.

Otrimuєmo ob'єm kuli:

culo: Per conoscere le grandi dimensioni del piazzale dello spazio S.

Quando capovolto da aree perpendicolari all'altezza, nel corso di un periodo di tempo, possiamo vedere figurine, alcune di esse. Coefficienti per le esigenze di queste cifre per il trasporto x / H, de x - vanno dall'area alla sommità della piramide.

Geometria della vista, che mostra l'area delle figure aggiuntive per il trasporto delle strutture in piazza, tobto

Saremo in grado di riconoscere la funzione delle aree del seguito:

È noto circa l'obsyag pіramidi:

18.5. Obsyag fino al confezionamento.

La curva è visibile, dato uguale a y = f (x). Si ammette che la funzione f (x) sia non intermittente. Mentre disegno il trapezio curvilineo con le basi aeb avvolte attorno all'asse tilo avvolgimento.

y = f (x)

Oskіlki dermico peretina tila area x = const є raggio colo
Quindi l'involucro di obsyag tila può essere facilmente trovato dietro la formula otriman vische:

18.6. L'area della superficie è avvolta.

M i B

valore: Avvolgimento superficie piana Storto AB vicino all'asse dato chiama il confine, fino a quando l'area della superficie dell'involucro di lamanich, inscritta nella curva AB, viene spinta a zero, le zine più comuni di lamanich.

Elevare un arco AB in n parti per punti M 0, M 1, M 2, ..., M n. Le coordinate dei vertici sono dal rimano lamano, le coordinate x i і y i. Quando la lamina è avvolta attorno all'asse, è possibile mettere sulla superficie, che può essere piegata dalle superfici laterali dei coni troncati, la cui area è la strada P i. La qia dell'area può essere conosciuta per la formula:

Qui S i è la pelle jordi.

Il teorema di Lagrange di Zastosov (div. Teorema di Lagrange) Prima dell'annuncio
.

1. L'area delle figurine piatte.

L'area del trapezio curvo, circondata da una funzione non negativa f(x), Vissy ascisse e dritto x = a, x = b, Inizia yak S = ∫ a b f x d x.

L'area del trapezio storto

Area Figuri, interconnessa per funzione f(x),, Inizia dalla formula S = Σ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - Σ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x io- zero funzioni. In altre parole, devi contare l'area del centro di figuri, devi romperla zeri di funzione f(x) in parte, integra la funzione F sulla pelle del viyshov della prominenza della costanza del segno, l'area attorno ai bordi dell'integrale nella direzione, su alcune funzioni F ricevere segni e riconoscere dal primo amico.

2. L'area del settore curvo.

L'area del settore storto Razglenemo storto ρ = ρ (φ) in sistemi di coordinate polari, de ρ (φ) - senza interruzione e non negativo su [α; β] funzione. Figura, circondata da una curva ρ (φ) si scambia φ = α , φ = β , Per essere chiamato un settore curvo. L'area del settore curvo della strada S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.

3. Avvolgimento di tila di Obsyag.

Obsyag tila wrapping

Lascia che sia avvolto attorno all'asse OX curvo trapezio, intrecciato senza interruzione nella forma funzione f(x)... Yogo obsyag trasforma la formula V = π ∫ a b f 2 x d x.

Prima dei compiti sulla conoscenza del volume del corpo dietro l'area dell'override trasversale

Nehay tilo è posato tra le aree x = aі x = b, E l'area è tagliata dall'area, quindi passa attraverso il punto X, - senza interruzione del funzione (x)... Todi yogo obsyag road V = ∫ a b σ x d x.

4. L'arco di Dovzhina è storto.

Non dare una curva r → t = x t, y t, z t t = αі t = β girare con la formula S = ∫ α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Arco Dovzhina di uno Zokrem piatto storto, dovzhina piatto storto, come impostare sull'area delle coordinate OXY rivnyannyam y = f (x), a ≤ x ≤ b, Oscilla con la formula S = ∫ a b 1 + f 'x 2 dx.

5. L'area della superficie dell'involucro.

L'area della superficie è avvolta Lascia che la superficie sia impostata sugli involucri dall'asse OX grafico della funzione y = f (x), a ≤ x ≤ b, io funziono F Andrò senza interruzione per tutta una serie di messaggi. L'area effettiva della superficie è racchiusa dalla formula Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f 'x 2 d x.