Як довести що одна площина перпендикулярна інший. Перпендикулярність прямих у просторі. Візуальний гід (2019). Тема: Перпендикулярність прямих і площин

короткий зміст інших презентацій

«Центральна симетрія 11 клас» - Приклади центральної симетрії. Центральна симетрія. Виконала учениця 11 класу Протопопова Євгенія. Кажуть також, що фігура має центральну симетрію. Точка О вважається симетричною самій собі. Що таке симетрія? Наведу приклади фігур, які мають центральну симетрію. Яку симетрію називають центральної? Прикладом фігури, яка не має центру симетрії, є трикутник. Центром симетрії окружності є центр кола.

«Компланарності вектори» - B1. Компланарні вектори. A. Визначення. A1. C. Виконувала роботу: Учениця 11- «А» класу ХСОШ №5 Азизова Т. D. 2011р.

«Симетрія і симетричні фігури» - План. Симетрія перенесення. Осьова симетрія. Симетрія. Кажуть також, що фігура має центральну симетрію. Глечик. Кожна точка прямої а вважається симетричною самій собі. Кропива. Орнамент. Виконали: учні 11кл. Дюга Дмитро, Сундукова Валентина Керівник: вчитель з геометрії Е. Г. Сисоєва. Кажуть також, що фігура має осьову симетрію. Дзеркально-осьова симетрія.

«Обсяг тіла обертання» - Роботу виконав учень 11 класу Кайгородцев Олександр. Завдання по темі «Об'єми тіл обертання».

«Обсяги фігур» - Воробйов Леонід Альбертович, м.Мінськ. b. Будь-яке геометричне тіло в просторі характеризується величиною, званої ОБ'ЄМОМ. a. V1 = V2. Геометрія, 11 клас. V = 1 куб.Ед.

Перпендикулярність в просторі можуть мати:

1. Дві прямі

3. Дві площини

Давай по черзі розглянемо ці три випадки: всі пов'язані з ним визначення та формулювання теорем. А потім обговоримо дуже важливу теорему про три перпендикуляри.

Перпендикулярність двох прямих.

визначення:

Ти можеш сказати: теж мені, відкрили Америку! Але згадай, що в просторі все не зовсім так, як на площині.

На площині перпендикулярними можуть виявитися тільки такі прямі (пересічні):

А ось перпендикулярність в просторі двох прямих може бути навіть в разі якщо вони не перетинаються. Дивись:

пряма перпендикулярна прямий, хоча і не перетинається з нею. Як так? Згадуємо визначення кута між прямими: щоб знайти кут між перехресними прямими і, потрібно через довільну точку на прямій a провести пряму. І тоді кут між і (за визначенням!) Буде дорівнює куту між і.

Згадали? Ну ось, а в нашому випадку - якщо виявляться перпендикулярні прямі і, то потрібно вважати перпендикулярними прямі і.

Для повної ясності давай розглянемо приклад.Нехай є куб. І тебе просять знайти кут між прямими і. Ці прямі не перетинаються - вони схрещуються. Щоб знайти кут між і, проведемо.

Через те, що - паралелограм (і навіть прямокутник!), Виходить, що. А через те, що - квадрат, виходить, що. Ну, і значить.

Перпендикулярність прямої і площини.

визначення:

Ось картинка:

пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна всім-всім прямим в цій площині: і, і, і, і навіть! І ще мільярду інших прямих!

Так, але як же тоді взагалі можна перевірити перпендикулярність в прямій і площині? Так і життя не вистачить! Але на наше щастя математики позбавили нас від кошмару нескінченності, придумавши ознака перпендикулярності прямої і площини.

формулюємо:

Оціни, як здорово:

якщо знайдуться всього лише дві прямі (і) в площині, яким перпендикулярна пряма, то ця пряма відразу виявиться перпендикулярна площині, тобто всім прямим в цій площині (в тому числі і якийсь стоїть збоку прямий). Це дуже важлива теорема, тому намалюємо її сенс ще й у вигляді схеми.

І знову розглянемо приклад.

Нехай нам дано правильний тетраедр.

Завдання: довести, що. Ти скажеш: це ж дві прямі! При чому ж тут перпендикулярність прямої і площини ?!

А ось дивись:

давай відзначимо середину ребра і проведемо і. Це медіани в і. Трикутники - правильні і.

Ось воно, чудо: виходить, що, так як і. І далі, всім прямим в площині, а значить, і. Довели. І найголовнішим моментом виявилося саме застосування ознаки перпендикулярності прямої і площини.

Коли площині перпендикулярні

визначення:

Тобто (докладніше дивись в темі «двогранний кут») дві площини (і) перпендикулярні, якщо виявиться, що кут між двома перпендикулярами (і) до лінії перетину цих площин дорівнює. І є теорема, яка пов'язує поняття перпендикулярних площин з поняттям перпендикулярність в просторі прямої і площини.

Теорема ця називається

Критерій перпендикулярності площин.

Давай сформулюємо:

Як завжди, розшифровка слів «тоді і тільки тоді» виглядає так:

• Якщо, то проходить через перпендикуляр до.

• Якщо проходить через перпендикуляр до, то.

(Природно, тут і - площині).

Ця теорема - одна з найважливіших в стереометрії, але, на жаль, і одна з найскладніших у застосуванні.

Так що потрібно бути дуже уважним!

Отже, формулювання:

І знову розшифровка слів «тоді і тільки тоді». Теорема стверджує відразу дві речі (дивись на картинку):

давай спробуємо застосувати цю теорему для вирішення завдання.

завдання: Дана правильна шестикутна піраміда. Знайти кут між прямими і.

Рішення:

Через те, що в правильній піраміді вершина при проекції потрапляє в центр підстави, виявляється, що пряма - проекція прямої.

Але ми знаємо, що в правильному шестикутнику. Застосовуємо теорему про три перпендикуляри:

І пишемо відповідь:.

Перпендикулярні прямі В ПРОСТОРІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Перпендикулярність двох прямих.

Дві прямі в просторі перпендикулярні, якщо кут між ними.

Перпендикулярність прямої і площини.

Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна всім прямим в цій площині.

Перпендикулярність площин.

Площині перпендикулярні, якщо двогранний кут між ними дорівнює.

Критерій перпендикулярності площин.

Дві площини перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли одна з них проходить через перпендикуляр до іншої площини.

Теорема про три перпендикуляри:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що тільки 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, значить ти потрапив в ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією по цій темі. І, повторюся, це ... це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього може не вистачити ...

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, НАЙГОЛОВНІШЕ, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ ...

Люди, які отримали гарну освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це статистика.

Але і це - не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам ...

Що потрібно, щоб бути напевно краще за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання ПО ЦІЙ ТЕМІ.

На іспиті у тебе не будуть питати теорію.

Тобі потрібно буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (БАГАТО!), Ти обов'язково десь нерозумно помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті - треба багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірник, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково) і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань потрібно допомогти продовжити життя підручником YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням в цій статті -
2. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням у всіх 99-ти статтях підручника - Купити підручник - 899 руб

Так, у нас в підручнику 99 таких статей і доступ для всіх завдань і всіх прихованих текстів в них можна відкрити відразу.

Доступ до всіх прихованим завданням надається на ВСЕ час існування сайту.

І на закінчення ...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це абсолютно різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Дана стаття присвячена перпендикулярним площинах. Будуть дані визначення, позначення разом з прикладами. Буде сформульовано ознака перпендикулярності площин і умова, при якому він виконаємо. Будуть розглянуті вирішення подібних завдань на прикладах.

Yandex.RTB R-A-339285-1

При наявності кута між пересічними прямими можна говорити про визначення перпендикулярних площин.

визначення 1

За умови, що кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90 градусів, їх називають перпендикулярними.

Позначення перпендикулярності прийнято писати знаком «⊥». Якщо в умові дано, що площині α і β перпендикулярні, тоді запис приймає вигляд α ⊥ β. На малюнку нижче показано детально.

Коли в влови дано, що площина α і β перпендикулярні, це означає, що α перпендикулярна β і навпаки. Такі площині називають взаємно перпендикулярними. Наприклад, стіна і стеля в кімнаті є взаємно перпендикулярними, так як при перетині дають прямий кут.

Перпендикулярність площин - ознака і умова перпендикулярності

На практиці можна зустріти завдання, де необхідно визначити перпендикулярність заданих площин. Для початку потрібно визначити кут між ними. Якщо він дорівнює 90 градусам, тоді вони вважаються перпендикулярними з визначення.

Для доказу перпендикулярності двох площин застосовують ознака перпендикулярності двох плоскостей.Формуліровка містить поняття перпендикулярна пряма і площина. Напишемо точне визначення ознаки перпендикулярності у вигляді теореми.

теорема 1

Якщо одна з двох заданих площин перетинає пряму, перпендикулярну іншій площині, то задані площини перпендикулярні.

Доказ є в підручнику з геометрії за 10 - 11 клас, де є докладний опис. З ознаки випливає, що, якщо площина перпендикулярна лінії перетину двох заданих площин, то вона перпендикулярна до кожної з цих площин.

Існує необхідна і достатня умови для доказу. Розглянемо їх для перпендикулярності двох заданих площин, яке застосовується в якості перевірки їх перпендикулярності, що знаходяться в прямокутній системі координат тривимірного простору. Щоб доказ мало силу, необхідно застосувати визначення нормального вектора площини, який сприяє довести необхідна і достатня умова перпендикулярності площин.

теорема 2

Для того, щоб перпендикулярність пересічних площин була явною, необхідно і достатньо, щоб нормальні вектори заданих площин перетиналися під прямим кутом.

Доведення

Нехай в тривимірному просторі задана прямокутна система координат. Якщо маємо n 1 → = (A 1, B 1, C 1) і n 2 → = (A 2, B 2, C 2), які є нормальними векторами заданих площин α і β, то необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів n 1 → і n 2 → набуде вигляду

n 1 →, n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0

Звідси отримуємо, що n 1 → = (A 1, B 1, C 1) і n 2 → = (A 2, B 2, C 2) - нормальні вектори заданих площин, а для дійсності перпендикулярності α і β необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток векторів n 1 → і n 2 → було рівним нулю, а значить, брало вигляд n 1 →, n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0.

Рівність виконано.

Розглянемо докладніше на прикладах.

приклад 1

Визначити перпендикулярність площин, заданих в прямокутній системі координат O x y z трехмерно простору, заданого рівняннями x - 3 y - 4 = 0 і x 2 3 + y - 2 + z 4 +5 = 1?

Рішення

Для знаходження відповіді на питання про перпендикулярність для почав необхідно знайти координати нормальних векторів заданих площин, після чого можна буде виконати перевірку на перпендикулярність.

x - 3 y - 4 = 0 є загальним рівнянням площини, з якого можна відразу перетворити координати нормального вектора, рівні n 1 → = (1, - 3, 0).

Для визначення координати нормального вектора площини x 2 3+ y - 2 + z 4 +5 = 1 перейдемо від рівняння площини в відрізках до загального.

Тоді отримаємо:

x 2 3+ y - 2 + z 4 5 ⇔ 3 2 x - 1 2 y + 5 4 z - 1 = 0

Тоді n 2 → = 3 2, - 1 2, 5 4 - це координати нормального вектора площини x 2 3+ y - 2 + z 4 +5 = 1.

Перейдемо до обчислення скалярного твори векторів n 1 → = (1, - 3, 0) і n 2 → = 3 2, - 1 2, 5 4.

Отримаємо, що n 1 →, n 2 → = 1 · 3 2 + (- 3) · - 1 2 + 0 · 5 4 = 3.

Бачимо, що вона не дорівнює нулю, значить, що задані вектори НЕ перпендикулярні. Звідси випливає, що площині теж перпендикулярні. Умова не виконана.

відповідь:площини не перпендикулярні.

приклад 2

Прямокутна система координат O x y z має чотири точки з координатами A - 15 4, - 7, 8, 1, B 17 8, 5 16, 0, C 0, 0, 3 7, D - 1, 0, 0. Перевірити, перпендикулярні чи площині А В С і A B D.

Рішення

Для початку необхідно розрахувати скалярний добуток векторів даних площин. Якщо воно дорівнює нулю, тільки в цьому випадку можна вважати, що вони перпендикулярні. Знаходимо координати нормальних векторів n 1 → і n 2 → площин А В С і A B D.

З заданих координат точок обчислимо координати векторів A B →, A C →, A D →. Отримуємо, що:

A B → = 47 8, 19 16, - 1, A C → = 15 4, 7 8 - 4 7, A D → = 11 4, 7 8, - 1.

Нормальний вектор площини А В С є векторним добутком векторів A B → і A C →, а для A B D векторний добуток A B → і A D →. Звідси отримаємо, що

n 1 → = AB → × AC → = i → j → k → 47 8 19 16 - 1 15 4 7 8 - 4 7 = 11 56 · i → - 11 28 · j → + 11 16 · k → ⇔ n 1 → = 11 56, - ​​11 28, 11 16 n 2 → = AB → × AD → = i → j → k → 47 8 19 16 - 1 11 4 7 8 - 1 = - 5 16 · i → + 25 8 · j → + 15 8 · k → ⇔ n 2 → = - 5 16, 25 8, 15 8

Приступимо до знаходження скалярного твори n 1 → = 11 56, - ​​11 28, 11 16 і n 2 → = - 5 16, 25 8, 15 8.

Отримаємо: n 1 →, n 2 → = 11 56 · - 5 16 + - 11 28 · 25 8+ 11 16 · 15 8 = 0.

Якщо воно дорівнює нулю, значить вектори площин А В С і A B D перпендикулярні, тоді і самі площині перпендикулярні.

відповідь:площині перпендикулярні.

Можна було підійти до вирішення інакше і задіяти рівняння площин А В С і A B D. Після знаходження координат нормальних векторів даних площин можна було б перевірити на здійсненність умова перпендикулярності нормальних векторів площин.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Визначення.Двогранним кутом називається фігура, утворена прямий чи двома півплощини з спільним кордоном а, і не належать одній площині.

Визначення.Градусної мірою двогранного кута називається градусна міра будь-якого з його лінійних кутів.

Визначення.Дві пересічні площині називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 o.

Ознака перпендикулярності двох площин.

Властивості.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней являють собою прямокутники.
2. Всі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими
3. Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Завдання і тести по темі "Тема 7." Двогранний кут. Перпендикулярність площин "."

• Двогранний кут. перпендикулярність площин
• Перпендикулярність прямої і площини - Перпендикулярність прямих і площин 10 клас

  Уроків: 1 Завдань: 10 Тестів: 1

• Перпендикуляр і похилі. Кут між прямою і площиною - Перпендикулярність прямих і площин 10 клас

  Уроків: 2 Завдань: 10 Тестів: 1

• паралельність площин - Паралельність прямих і площин 10 клас

  Уроків: 1 Завдань: 8 Тестів: 1

• перпендикулярні прямі - Початкові геометричні відомості 7 клас

  Уроків: 1 Завдань: 17 Тестів: 1

Матеріал теми узагальнює і систематизує відомі Вам з планіметрії відомості про перпендикулярність прямих. Вивчення теорем про взаємозв'язок паралельності і перпендикулярності прямих і площин в просторі, а також матеріал про перпендикуляре і похилих доцільно поєднувати з систематичним повторенням відповідного матеріалу з планіметрії.

Рішення практично всіх завдань на обчислення зводяться до застосування теореми Піфагора і наслідків з неї. У багатьох задачах можливість застосування теореми Піфагора або наслідків з неї обґрунтовується теоремою про три перпендикуляри або властивостями паралельності і перпендикулярності площин.