Як давні люди впізнавали час. З історії математичних понять. Як людина навчилася рахувати час

При вирішенні деяких завдань підвищеної труднощі, при вирішенні олімпіадних завдань, при читанні додаткової літератури до уроків математики, історії та ін виникає потреба перекладу старовинних заходів ваги, обсягу, довжини, часу на сучасні і навпаки.

При розв'язанні задач з економічним змістом, особливо історичних завдань на уроках математики та економіки, необхідно переводити ціни з однієї системи виміру на іншу, вміти робити розрахунки.

ВИМІР ВЕЛИЧИН

Людина у житті не може обійтися без вимірів. Без вимірів він не зміг би пошити собі одяг, збудувати будинок, сконструювати космічний корабель. Людина навчилася вимірювати багато величин, такі як час, площа, обсяг, маса, температура, довжина.

На кожному учнівському зошиту, якщо навіть його й не розпочато, вже є запис. На останній сторінці обкладинки чіткими літерами надруковано:

"1 кілометр (км) = 1000 метрів (м)"; чи «1 куб. метр (куб.м) = 1000 куб.дециметрів = 1000000 куб. сантиметрів(куб.см)» і т.д. Це одиниці заходів. Колись вони були зовсім інші.

З давніх часів міри довжини у різних народів були різні: лікоть, ступня, товщина верблюжого волосся, ширина зерна, крок дорослого чоловіка та ін. Навіть в одній країні спільних заходів не було, тому часто виникали суперечки через обмірювання і обвішування. Однією з досягнень Великої французької буржуазної революції стало рішення запровадити біля республіки єдину метричну систему заходів. Особливі заслуги у підготовці закону про нові заходи належать французькому математику Ж. Пагранжу (1736-1823) та політику Прієру Дювернуа (1763-1827). Вирішили прийняти за одиницю довжини 1/10 000 000 частина чверті паризького географічного меридіана. Вимірювання частини цього меридіана між містами Дюнкерком і Барселоною майже 6 років проводили двоє французьких вчених: П. Мешен та Ж Деламбер. У Росії першим прийняв метр за одиницю довжини Н.І. Лобачевський (1792-1874).

Ініціатором запровадження метричної системи заходів як міжнародної були російські вчені на чолі з Б.С. Якобі (1801-1874). Обов'язковою нашій країні ця система заходів стала лише після Великої Жовтневої соціалістичної революції.

У біблії рахунок ведеться на лікті. В основі рахунку давніх греків був дактилос – палець (від дактилос – віршований розмір дактиль, подібний до пальця з одним довгим суглобом і двома короткими), потім йшла долоня – 4 пальці, 16 пальців становили ступню, півтори ступні – лікоть. Плетр – 100 ступнів, стадій – 6 плетрів. Те ж саме у стародавніх римлян: дигітус, або великий палець, пес – ступня, пасіс, або подвійний крок. Тисяча подвійних кроків, або, латиною – милле (тисяча) пассум, дорівнювала нашим 1478,7 метра. Слово миля збереглося досі у багатьох мовах.

Але рахунок частин тіла дав не тільки милю. У нас у давнину вимірювали ліктями, п'ядями (слово «п'ядь» увійшло й у сьогоднішню мову), тобто відстанню між розчепіреним мізинцем і великим пальцем руки. У статуті Всеволода про церковні суди і людей і мірилах торгових до 1136 року згадувався «лікоть Єванський». Під час розкопок А.В.Арциховського в Новгороді в 1948 році було знайдено і дерев'яний зразок «єванського» ліктя з написом. Єгиптяни вимірювали ліктями підйом Нілу. Старий рахунок на аршини такого ж походження: араш, по-перськи – лікоть, перейшов у татарський захід аршин, а ми запозичили його у татар.

Англійська міра фут теж означає англійською ступня. Так як ступні у людей не одного розміру, відбувалися непорозуміння. Тому у VIII столітті король Карл Великий оголосив, що фут відтепер – довжина його ступні (чому в англійській мові збереглася назва "королівський фут").

Дюйм також походить від частини тіла (великого пальця). «Дюйм» - голландська назва великого пальця руки, цей захід використовувався для виміру невеликих предметів (наприклад, у казці Г.Х.Андерсена «Дюймовочка» головна героїня – дівчинка дуже маленького зросту, висотою з дюйм; її так і називали – Дюймовочка). Поняття простору та часу іноді в мові замінювали одне одного. Ми часто говоримо: «півгодини шляху» та «не встигли пройти п'ять верст». Заходи відстаней фігурально стали означати. Що пройдено чи закінчено якийсь етап. Таким чином, грецька міра – стадія – у нашій мові стала етапом розвитку. Стара російська міра – терені (близько півтора кілометри) стала у старокнижному мові означати як шлях (по дорозі слави, на терені слави), а й сфера діяльності (на терені науки). Математика, на відміну інших предметів, має абстрактний, абстрактний характер. Доводиться оперувати такими поняттями, як число, міра, просторові форми. Відомості з історії заходів довжини, зокрема споконвічно російських, переконливо розкривають зв'язок математики з життям, показують, що одиниці виміру люди не вигадали, а приймали спочатку як заходи частини свого тіла, які поступово перетворювалися на загальноприйняті зразки.

Слід зазначити, що співвідношення між старовинними заходами довжини та маси було не десятковим, як тепер, тому доводилося витрачати багато часу, щоб опанувати вміння виконувати дії з величинами. Ще важче було в тих випадках, коли потрібно було перевести заходи однієї країни на іншій, так кожна держава мала свою систему заходів. Це ускладнювало торгівлю та відносини між людьми.

З ІСТОРІЇ ЗАХОДІВ ДОВЖИНИ

Не можна уявити життя людини, не виробляє вимірів. Навіть первісна людина вдавалася до вимірів під час будови свого житла.

Першими вимірювальними приладами були частини тіла: пальці рук, долоня, ступня, крок. Так, у стародавніх єгиптян основною мірою довжини служив лікоть (відстань від кінця пальців до зігнутого ліктя). Він ділився на сім долонь, а долоня – на чотири пальці.

За допомогою цього заходу вимірювали найчастіше довжину стрічок чи матерії.

Повний оберт тканини навколо ліктя іноді називали подвійним ліктем. Щоб виміри виходили точнішими і залежали від зростання людей, у Стародавньому Єгипті вигадали зразкові заходи: лікоть, долоню, палець. Тепер не має значення, який довжини рука в людини, він вимірював не своїм, а загальним ліктем, тобто. умовною паличкою, довжиною в один лікоть. Ним користувалися при будівництві споруд та проведенні інших робіт. Зразок «священного» ліктя зберігався жерцями в храмі.

В Англії також існували одиниці довжини, пов'язані з частинами тіла: дюйм, фут, ярд. Дюйм (у перекладі з голландської означає великий палець), рівний довжині трьом ячмінним зернам, витягнутим із середньої частини колосу і приставленим один до одного кінцями. Фут (від англійського слова нога).

У 1101 р. там була узаконена основна міра довжини ярд - відстань від носа короля Генріха I остаточно середнього пальця витягнутої його руки.

Багато народів вимірювали довжину кроками, подвійними кроками чи тростиною. Іноді використовувалася і подвійна тростина, що дорівнює чотирьом крокам. Ще до нашої ери в Римській державі, а згодом в Італії, в країнах Азії та Африки для вимірювання великих відстаней використовували тисячу тростини, звідки і походить новий захід – миля (від латинського слова тисяча). Великі відстані вимірювалися також переходами, привалами, днями. Наприклад, говорили, що відстань від одного міста до іншого три дні шляху.

У Японії існувала міра, звана кінським черевиком. Вона дорівнювала шляху, протягом якого зношувалась солом'яна підошва, прив'язана до ніг коня. Кочуючі монголи визначали відстані у верблюжих чи кінських переходах, обов'язково додаючи у своїй: «при хорошій (поганий) їзді».

Багато народів відстань визначалося дальністю польоту стріли чи ядра гармати. До сьогодні зберігся вираз не допустити на гарматний постріл.

Які ж заходи довжини, що застосовуються на Русі за старих часів?

Найдавнішими з них були лікоть і сажень. Поняття лікоть нам уже знайоме. Найстаріша згадка про сажні (від сягати – діставати до чогось, досягати) зустрічається в «Слові про початок Києво-Печерського монастиря» і відноситься до XI століття. Є підстави вважати, що сажень тоді була меншою: не три аршини, а три лікті. Але й після того, як встановилася трьохаршинна сажень, у побуті існували й інші сажні – махова та коса. Отже,

Саджень розрізняли косу та махову. Махова - відстань між розкинутими в обидва боки руками по кінці витягнутих середніх пальців; коса – від підбора правої ноги до кінчиків пальців витягнутої вгору лівої руки. Іноді про людину кажуть: «У плечах – коса сажень». Для вимірювання великих відстаней застосовувалася верста, що дорівнює 500 сажням.

У XVII ст. в результаті розвитку торгівлі зі східними народами увійшла у вжиток міра аршин (від перського арш - лікоть). Він дорівнює 71 см 12 мм. Прийшов він на Русь разом із купцями з далеких країн.

Купці привозили небачені тканини: найтонші китайські шовки, зроблені зі справжніх золотих і срібних ниток важку індійську парчу, оксамит та ін. Вони привозили у своїх тюках безцінні витвори мистецтва, створені руками народних майстрів. Зараз ці тканини та зшиті з них одяги зберігаються в музеях, і вони вражають своєю пишністю не менше, ніж 500 років тому. Але 500 років тому купці ними торгували та їх доводилося відміряти. Як це робилося? У наших магазинах користуються дерев'яними метрами. Східні купці обходилися без жодних метрів: тканину вони натягували на свою руку, до плеча. І це називалося міряти аршинами.

Міра була хоч і дуже зручною – руки завжди при собі, але був у неї істотний недолік: руки, на жаль, у всіх різні. В одних вони були довгі, в інших короткі. Хитрі купці швидко розуміли, що треба шукати прикажчиків з руками коротше: той самий шматок, а аршинів більше.

Але одного разу цьому настав кінець. Продавати «на свій аршин» владою було найсуворіше заборонено. Вживати дозволялося лише казенний аршин. Казённый аршин – лінійку, довжиною у чиюсь руку, - виготовили у Москві, потім із нього зробили копії і розіслали на всі кінці Росії. Щоб дерев'яний аршин не можна було вкоротити, кінці його скували залізом і помітили печаткою. Десятки років вже не вимірюють аршинами, але це слово не забуте. Досі про проникливу людину кажуть: «бачить на три аршини під землю», а про людину, яка судить про все лише по собі, – «міряє на свій аршин».

Вже найдавніші народи вміли рахувати час, а робили це у різний спосіб. Вважали його або від створення світу, або від всесвітнього потопу, або врешті-решт від якихось переломних моментів у своєму історичному (підстави держави, зміні державного устрою), культурному чи релігійному (від Христа, Магомета) житті.

Євреї вважали час декількома способами: 1) від створення світла, 2) від руйнування Єрусалима імператором Веспасіаном в 71 р. за Христом, 3) від єврейської неволі в царя Навуходоносора (588 р. до н. євреїв по всьому світу, тобто з часів правління римського імператора Адріана у 134 р. н. е.

Вважали час від заснування свого царства Ассуром на берегах річки Тигра у 2000 році до н. е. Вавилонці розпочали свій календар з того самого часу, що і ассирійці, саме тоді цар Вавилонський Немврод заснував свою державу над Євфратом. Після занепаду цієї першої держави Набонасар заснував нове в 750 р. до н. е. і з того часу почалося і нове числення років у вавілонців. Медійці взяли за заснування календаря також час заснування своєї держави Дейоцесом у 710 р. перед Христом.

Важко уявити правильне літочислення у , оскільки вони мали єдиної держави, вони були розбиті на дрібні племена, у тому числі кожне вважало час інакше, і мабуть, що обчислення років почалося вони від Абібала, тобто від 1050 р. до зв. е.

Греки починали свої календарі від: 1) руйнування Трої 1185 р. до зв. е., 2) після вважали від олімпійських ігрищ, тобто від 7-76 р. до н. е.

Календар єгиптян починався від правління фараона Менеса 2200 р. до зв. е., потім вважали роки від перенесення столиці до міста Саїс у нижньому Єгипті, тобто від 650 року до н. е. Карфагеняне вважали від прибуття цариці Дідони в 900 р. до н. е. Римляни змінювали календар кілька разів. Спочатку вважали час від заснування Риму Ромулом у 750 р. до зв. е., потім, від зміни монархічного ладу на республіканський у 508 р. до н. е., потім стали вважати за роками управління консулів. Таке літочислення тривало до 30 року панування Октавіана Августа.

Християни почали рахувати роки від народження Христа. Але це настало не одразу. Серед ранніх християн тривалий час точилася боротьба за «правильне» літочислення. Діонісій Малий, який жив у 530 р. за Христом, перший завів в історії літочислення від Христа. Його слідами пішов англієць Біда, який жив у 720 р. за Христом. Незважаючи на те, що всі (або майже всі) християни прийняли літочислення від Різдва Христового, вважали вони і від створення світу. Але робили це неоднаково. Захід сонця Європи прийняв обчислення француза Петавія (жив наприкінці XV ст.), а Схід обчислення 70 перекладачів Біблії. Різниця між цими двома обчисленнями величезна. По обчисленням Біблії від створення світу до потопу минуло 2262, тоді як Петавій нараховуються лише 1756, тобто на 606 років менше. Від створення світу до Христа Біблія налічує 5508, а Петавій 3983, тобто знову на 1525 менше. (Тисяча років туди, тисяча років сюди подумаєш велика різниця).

Окрім цих обчислень часу були відомі ще такі: Олександрійська, Антіохійська, Константинопольська, Селевкидська чи Олександрійська греків. Перші християни за прикладом євреїв вели обчислення років від створення світу. Юлій африканський, зазначивши в цьому численні недоліки, зробив поправку, і це так зване Олександрійське обчислення років: з його обчислення виходить від створення світла 5503 років. Пандор, єгипетський чернець, зробив свої обчислення в IV в., йому вийшло 5400 років від створення світу до Христа. Пандоров рахунок прижився в Антіохії. Константинопольський рахунок подавав 5508 років від створення світу до Христа. Селевкідське літочислення років починається з перших завоювань Селевка Нікатора в 311 р. до Христа.

Крім християнського числення років є ще магометанське, яке починається від втечі пророка Магомета з Мекки до Медини у 622 р. н. е. Цю еру називають магометани еджирою або хіджрою.

І довгота року була у всіх народів однаковою. У халдеїв та єгиптян рік тривав 1 місяць, у аркадійців 3 місяці, у євреїв 12 місяців, у персів 365 днів, у латинян 13 місяців, у часи Ромула 10 місяців, причому кожен місяць мав 30 чи 31 день, а рік 304 днів. Римський король Нума Помпілій забрав у 6 місяців по одному дню, внаслідок чого 6 місяців мало по 29 днів, а 4 місяці 31 днів; цілий рік мав 298 днів. Щоб зрівняти цей рік з місячним роком, Нума додав до нього два місяці: лютий з 29 днями і січень з 28 днями, з цього прибуло 57 днів. Цього місячного року означали римляни свої свята. Щоб зрівняти цей рік із сонячним, або астрономічним роком, постановив Нума додавати другого та третього року по 22 дні, а до четвертого 23 дні; доводилося все додавати між 23 та 24 лютого, оскільки цей день був останнім днем ​​року. Близько 450 р. до зв. е. децемвіри встановили січень першим, а лютий другим місяцем на рік.

Олександрійський астроном Созіген вважав рік за 365 днів та 6 годин. Його обчислення не збігаються з оборотом сонця, середній тропічний оборот якого дорівнює 365 днів 5 годин. Тому кожному його році не вистачало трохи часу, від цього за 128 років набігає майже цілий день, а за 400 років набігає 3 дні 2 години. Це обчислення Созігена урядово завів Юлій Цезар у 45 році до н. е. в цілій римській імперії. Від нього воно називається юліанським календарем. Юлій Цезар залишив старий порядок місяців, у лютому зіставив 28 днів, а в інших додавав стільки днів, скільки тепер додається в старому стилі.

Папа Григорій XIII у 1582 році, спираючись на нові (на той час) астрономічні обчислення, ухвалив рахувати рік на 365 днів 5 годин. Для цього на кожні 400 років викидається 3 дні. З цього часу з'явилися два основні календарі: юліанський та григоріанський, або старий та новий стиль.

P. S. І нарешті, на окрему увагу заслуговує (особливо актуально в грудні 2012 року) обчислення часу в індіанців доколумбової Америки, а саме племен , чий знаменитий календар нібито обіцяє нам кінець світу 21 грудня 2012 року. Так ось індіанці майя, як і багато інших народів, вважали час від створення світу, яке за індіанською міфологією відбулося в 3144 до н. е. А остання дата, зображена на мала такий вигляд: 12.19.19.17.19, 3 Кавакамі, 2 Кьанк'їн, якщо перевести цю дату на наше літочислення за григоріанським календарем, ми отримаємо ті самі горезвісні 21.12.2012.

Федеральне агентство з освіти

Філія державного освітнього

вищої професійної установи

«Глазовський державний педагогічний інститут

імені В.Г. Короленка»

м. Іжевська

РЕФЕРАТ

З розвитку математичних понять

Виконала студентка

4 курси ДДПІП та МДД

Перевірив

Іжевськ, 2010

Історія розвитку математики – це історія розвитку математичних ідей, понять і напрямів, а й історія взаємозв'язку математики з людської діяльністю, соціально-економічними умовами різних епох.

Становлення та розвиток математики як науки, виникнення її нових розділів тісно пов'язане з розвитком потреб суспільства у вимірах, контролі, особливо в галузях аграрної, промислової та оподаткування. Перші області застосування математики були пов'язані із спогляданням зірок та землеробством. Вивчення зоряного неба дозволило прокласти торгові морські шляхи, каравані дороги до нових районів та різко збільшити ефект торгівлі між державами. Обмін товарами приводив до обміну культурними цінностями, до розвитку толерантності як явища, що лежить в основі мирного співіснування різних рас та народів. Поняття числа завжди супроводжувалося і нечисловими поняттями. Наприклад, один, два, багато… Ці нечислові поняття завжди захищали сферу математики. Математика надавала закінченого вигляду всім наук, де вона застосовувалася.

§ 2. Розвиток лічильної діяльності

Найдавнішою математичною діяльністю був рахунок. Рахунок був необхідний, щоб стежити за поголів'ям худоби та торгувати. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи їм різні частини тіла, переважно пальці рук і ніг. Наскальний малюнок, що зберігся до нашого часу від кам'яного віку, зображує число 35 як серії збудованих до ряду 35 паличок-пальців. Першими істотними успіхами в арифметиці стали концептуалізація числа та винахід чотирьох основних дій: додавання, віднімання, множення та поділу. Перші досягнення геометрії пов'язані з такими простими поняттями, як пряма та коло. Подальший розвиток математики почався приблизно 3000 до н.е. завдяки вавилонянам та єгиптянам.

Грецька система числення була заснована на використанні літер алфавіту. Аттична система, що була в ході з 6-3 ст. е., використовувала для позначення одиниці вертикальну межу, а позначення чисел 5, 10, 100, 1000 і 10 000 початкові літери їх грецьких назв. У пізнішій іонічній системі числення для позначення чисел використовувалися 24 літери грецького алфавіту та три архаїчні літери. Кратні 1000 до 9000 позначалися так, як перші дев'ять цілих чисел від 1 до 9, але перед кожною літерою ставилася вертикальна риса. Десятки тисяч позначалися літерою М (від грецької миріої – ​​10 000), після якої ставилося те число, на яке потрібно було помножити десять тисяч

Дедуктивний характер грецької математики повністю сформувався на час Платона і Аристотеля. Винахід дедуктивної математики прийнято приписувати Фалесу Мілетському (бл. 640-546 до н.е.), який, як і багато давньогрецьких математиків класичного періоду, був також філософом. Висловлювалося припущення, що Фалес використав дедукцію для доказу деяких результатів у геометрії, хоч це сумнівно.

Іншим великим греком, з ім'ям якого пов'язують розвиток математики, був Піфагор (бл. 585–500 до н.е.). Вважають, що він міг познайомитися з вавилонською та єгипетською математикою під час своїх довгих мандрівок. Піфагор заснував рух, розквіт якого посідає період ок. 550-300 до н. Піфагорійці створили чисту математику у формі теорії чисел та геометрії. Цілі числа вони представляли у вигляді конфігурацій з точок або камінців, класифікуючи ці числа відповідно до форми форм, що виникають («фігурні числа»). Слово "калькуляція" (розрахунок, обчислення) бере початок від грецького слова, що означає "камінчик". Числа 3, 6, 10 і т.д. піфагорійці називали трикутними, тому що відповідне число камінців можна розташувати у вигляді трикутника, числа 4, 9, 16 і т.д. - Квадратними, так як відповідне число камінців можна розташувати у вигляді квадрата, і т.д.

З найпростіших геометричних змін виникали деякі характеристики цілих чисел. Наприклад, піфагорійці виявили, що сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює деякому квадратному числу. Вони відкрили, що й (у сучасних позначеннях) n2 – квадратне число, то n2 + 2n +1 = (n + 1)2. Число, що дорівнює сумі всіх своїх власних дільників, крім цього числа, піфагорійці називали досконалим.

§3. Розвиток письмової нумерації

З дійшли до нас математичних документів Сходу можна зробити висновок, що у Стародавньому Єгипті були сильні розвинені галузі математики, пов'язані з вирішенням економічних завдань. Папірус Райнда (бл. 2000 до н.е.) починався з обіцянки навчити "досконалому і ґрунтовному дослідженню всіх речей, розумінню їх сутностей, пізнання всіх таємниць".

Єгиптяни користувалися двома системами листа. Одна – ієрогліфічна – зустрічається на пам'ятниках та могильних плитах, кожен символ зображує якийсь предмет. В іншій системі – ієратичній – використовувалися умовні знаки, які походять з ієрогліфів у результаті спрощень та стилізацій. Саме ця система найчастіше зустрічається на папірусах.

§4. Як навчилися вимірювати різні величини

Греки протягом одного-двох століть зуміли опанувати математичну спадщину попередників, але вони не задовольнялися засвоєнням знань; греки створили абстрактну та дедуктивну математику. Вони були насамперед геометрами, імена яких і навіть твори дійшли до нас. Це Фалес Мілетський, школа Піфагора, Гіппократ Хіоський, Демокріт, Евдокс, Арістотель, Евклід, Архімед, Аполоній.

Головною заслугою піфагорійців у галузі науки є суттєвий розвиток математики, як за змістом, так і формою. За змістом – відкриття нових математичних фактів. За формою - побудова геометрії та арифметики як теоретичних, доказових наук, що вивчають властивості абстрактних понять про числа та геометричні форми.

Піфагорійці розвинули і обґрунтували планиметрію прямолінійних фігур: вчення про паралельні лінії, трикутники, чотирикутники, правильні багатокутники. Набула розвитку елементарна теорія кола та кола.

Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лінії говорить про те, що вони володіли методом доказу від протилежного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців у планіметрії є підтвердження теореми Піфагора.

Математика розвивалася головним чином у зростаючих торгових містах. Городян цікавив рахунок, арифметика, обчислення. Типовий для цього періоду Йоган Мюллер, провідна математична фігура 15-го століття. Він переклав Птолемея, Герона, Архімеда. Він поклав багато праці на обчислення тригонометричних таблиць, становив таблицю синусів з інтервалом за одну хвилину. Значення синусів розглядалися як відрізки, що становили півхорди відповідних кутів у колі, тому вони залежали від довжини радіусу.

Розвиток аналізу отримав потужний імпульс, коли було написано «Геометрія» Декарта. Вона включила до алгебри всю область класичної геометрії. Декарт створив аналітичну геометрію. Ферма та Паскаль стали засновниками математичної теорії ймовірностей. Поступове формування інтересу до завдань, пов'язаних із ймовірностями, відбувалося насамперед під впливом страхової справи.

У XVII ст. починається новий період історії математики - період математики змінних величин. Його виникнення пов'язане, перш за все, з успіхами астрономії та механіки.

Першим рішучим кроком у створенні математики змінних величин була поява книги Декарта Геометрія. Основними заслугами Декарта перед математикою є запровадження їм змінної величини та створення аналітичної геометрії. Насамперед, його цікавила геометрія руху, і, застосувавши до дослідження об'єктів алгебраїчні методи, він став творцем аналітичної геометрії.

Аналітична геометрія починалася із запровадження системи координат. На честь творця прямокутна система координат, що складається з двох осей, що перетинаються під прямим кутом, введених на них масштабів вимірювання і початку відліку – точки перетину цих осей – називається системою координат на площині. Поряд з третьою віссю вона є прямокутною декартовою системою координат у просторі.

До 60-х років XVII ст. було розроблено численні метоли для обчислення площ, обмежених різними кривими лініями. Потрібен був лише один поштовх, щоб із розрізнених прийомів створити єдине інтегральне числення.

Диференціальні методи вирішували основне завдання: знаючи криву лінію, знайти її дотичні. Багато завдань практики призводили до постановки зворотного завдання. У процесі розв'язання задачі з'ясовувалося, що до неї застосовуються інтеграційні методи. Так було встановлено глибокий зв'язок між диференціальними та інтегральними методами, що створило основу єдиного обчислення. Найбільш ранньою формою диференціального та інтегрального обчислення є теорія флюксій, побудована Ньютоном.

У XVIII ст. з математичного аналізу виділилася низка важливих математичних дисциплін: теорія диференціальних рівнянь, варіаційне обчислення.

§5. Системи числення, види систем числення

Система зчислення- Символічний метод запису чисел, подання чисел за допомогою письмових знаків.

Система зчислення:

дає уявлення безлічі чисел (цілих чи речових)

дає кожному числу унікальну виставу (або, принаймні, стандартну виставу)

відображає алгебраїчну та арифметичну структуру чисел.

Найбільш вживаними нині позиційними системами є:

1 - одинична (як позиційна може і розглядатися; рахунок на пальцях, зарубки, вузлики «на згадку» та інших.);

2 – двійкова (у дискретній математиці, інформатиці, програмуванні);

3 – трійкова;

4 – чотирирічна;

5 – п'ятирічна;

8 – вісімкова;

10 - десяткова (використовується повсюдно);

12 - дванадцяткова (рахунок дюжинами);

16 - шістнадцяткова (використовується в програмуванні, інформатиці, а також у шрифтах);

60 - шістдесяткова (одиниці виміру часу, вимір кутів і, зокрема, координат, довготи та широти).

Двійкова система числення - це позиційна система числення з основою 2. У цій системі числення записуються за допомогою двох символів (1 і 0).

Ієрогліфічна система числення має основу 10 і не є позиційною: для позначення чисел 1, 10, 100 і т.д. в ній використовуються різні символи, кожен символ повторюється кілька разів, і, щоб прочитати число, потрібно підсумувати значення всіх символів, що входять до його запису. Таким чином, їхній порядок не відіграє ролі, і вони записуються або горизонтально, або вертикально.

Ієратична система числення також десяткова, але спеціальні додаткові символи допомагають уникнути повторення, прийнятого в ієрогліфічній системі.

Математику Вавилону, як і єгипетську, було викликано до життя потребами виробничої діяльності, оскільки вирішувалися завдання, пов'язані з потребами зрошення, будівництва, господарського обліку, відносинами власності, обчисленням часу. Зберігши документи показують, що, ґрунтуючись на 60-річній системі числення, вавилоняни могли виконувати чотири арифметичні дії, були таблиці квадратних коренів, кубів кубічних коренів, сум квадратів і кубів, ступенів даного числа, були відомі правила підсумовування прогресій. Чудові результати були отримані в області числової алгебри. Розв'язання задач проводилося за планом, завдання зводилися до єдиного «нормального» вигляду, а потім вирішувалися за загальними правилами. Зустрічалися завдання, що зводяться до вирішення рівнянь третього ступеня та особливих видів рівнянь четвертого, п'ятого та шостого ступенів.

Вавилонська система числення є комбінацією шістдесяткової та десяткової систем із застосуванням позиційного принципу; в ній використовуються лише два різні символи: один позначає одиницю, другий – число 10; всі числа записуються за допомогою цих двох символів з урахуванням принципу позицій. У найдавніших текстах (близько 1700 до н.е.) не зустрічається жодного символу для позначення нуля; таким чином, чисельне значення, яке надавалося символу, залежало від умов завдання, і той самий символ міг позначати 1, 60, 3600 або навіть 1/60, 1/3600

Список використаної літератури

Двійкова система числення. - Електронний режим доступу: http://ua.wikipedia.org/wiki/

Лаптєв Б.Л.. Н.І.Лобачевський та його геометрія. -М: Просвітництво, 1976.

Рибніков К.А.. Історія математики. - М.: Наука, 1994.

Самарський А.А.. Математичне моделювання. -М: Наука, 1986.

Стол Р.Р.. Безліч, Логіка, Аксіоматична теорія. -М.: Просвітництво, 1968.

Стройк Д.Я.. Короткий нарис історії математики. - М.: Наука, Фізматліт, 1990.

Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Розповіді про прикладну математику. -М: Віта-Прес, 1996.

Юшкевич А.П.. Математика у її історії. -М: Наука, 1996.

1. 1. Обсяг та зміст поняття. Визначення поняття

   Математика

   Натуральними. Концепціянатурального числа є одним зосновних математичних понять. Виникло воно зпотреби практичної... Числа - ось із чого починалася історіянайбільшою знаук". Числа стали не тільки...

2. Історіянауки та проблема її раціональної реконструкції

   Стаття >> Філософія

   У світлі сказаного можна уточнити поняття"відкриття" та протиставити йому... реальній науці. Повернемося до епізоду з історіїпалеогеографії. Ми підкреслювали, що... і коперникової" та "Бесіди і математичнідокази щодо двох нових галузей...

3. Історіяполітичних та правових навчань (11)

   Реферат >> Держава та право

   Свою історію (історіяосновних шкіл та напрямів у теорії кримінального права, історія поняття... спостереження над конкретними фактами з історіївиникнення різних видів... матір'ю всіх природничих наук”.

Протягом усього життя кожна людина завжди чогось навчається, причому отримані знання через деякий час здаються настільки природними, що сприймаються як звичний факт. На думку навіть не закрадається думка: як усе починалося? Як люди навчилися вважати і Як давно суспільство дійшло розуміння того, що у світі практично все підпорядковується цифрам?

Як людина навчилася рахувати час

Це в сучасному світі 365 днів на рік, 30 днів на місяць і 24 години на добу є природним фактом. Раніше, коли не було знань про кількість часу, людина задовольнялася способами, які вигадали самостійно, і засобом для цього було Сонце. На якусь поверхню встановлювався циферблат з відмітками та жердина, тінь від якої переміщалася по колу. Залежність від погодних умов була суттєвим недоліком такого устрою: і дощі не давали можливості для визначення часу. Аналогом такої конструкції в сучасному світі є годинник, що міцно завоював свою нішу і став незамінним предметом у житті людини.

Визначення часу по зірках, воді та вогню

Зірки - символ романтики та мрій про щось далеке і прекрасне, служили також свого роду визначником часу в нічний період. Для цього були винайдені карти зоряного неба, вимірювання за якими відбувалося за допомогою пасажного інструменту.

Крім зоряного і сонячного годинника, популярного практично у всіх народів і відрізнялися лише конструкцією, досить масово використовувалися водні експонати, що є ємністю циліндричної форми, з якого по краплях стікала вода. Саме за кількістю води, що стекла, люди відміряли час. Такий годинник був популярний у Єгипті, Римі, Вавилоні. А як людина навчилася рахувати час у країнах Азії? Тут у пристроях водного типу використовувався зворотний принцип: плаваюча посудина заповнювалася водою, що надходить через маленький отвір.

Намагаючись привнести у своє життя не тільки водну, а й вогненну стихію, людина також вигадала вогняний годинник, який узяв свій початок у Китаї і завоював згодом популярність у всій Європі. Основою цих пристроїв, що визначають час, був горючий матеріал (у вигляді палички або спіралі) та прикріплені до нього металеві кульки, що падають при згорянні певної частки матеріалу. У Європі в основному використовували свічкові годинники, віддаючи перевагу лампадним і гнитим. Час по них визначалося кількістю воску, що згорів. Особливо поширений такий годинник був у церквах та монастирях.

Пісочний годинник - раритетна гордість сучасності

Звичайно ж, найпопулярнішим був пісочний годинник, який і в даний час активно використовується для виконання основної своєї функції, а також як предмет декору. Точність часу в пристроях такого типу залежить від якості піску, що визначає рівномірність його сипкості.

Історія виникнення лічильної науки

Розуміння часу в його кількісному показнику було визначальним фактором для пізнання цифр та вміння рахувати. Причому історія виникнення рахунку настільки давня, що більше схожа на казку. Як люди навчилися рахувати? Багато століть тому людство жило племенами, вело стадний спосіб життя, одягалося в шкури вбитих тварин і харчувалося тим, що його представники могли добувати.

Відповідно, і підручними інструментами для виживання та видобутку їжі були найпростіші знаряддя: палиці та каміння. Можливо, постійні небезпеки та потреба у видобутку їжі стали основним поштовхом до необхідності рахунку, який у наш час не лише сприймається як природний факт, а й полегшується за допомогою сучасної обчислювальної техніки.

Один, два і багато

Першими поняттями, що позначають кількість і пояснюють, як люди навчилися вважати, були «один» і «багато». «Один» - окремо виділений за певними критеріями предмет чи особина: ватажок зграї, зерно в колосі тощо. "Багато" - загальна маса, в якій цей предмет знаходиться.

Поява числа «два», що означає «пару»: очей, вух, лап, крил, рук, пояснює, як людина навчилася рахувати за часів неіснуючих цифр. Розповідаючи про дві видобуті качки, мисливець показував на свої очі, пояснюючи таким чином кількість трофея.

У лічильній науці стародавнього світу спостерігався поступовий прогрес: були вже відомі числа «один», «два» і «багато». Незабаром людина прийшла до того, що стала із загальної маси виділяти три, чотири, п'ять і більше предметів, причому ця кількість не мала назви, а пояснювалося, як сума відомих на той момент чисел: «2» та «1». Наприклад: "3" - це "1" і "2" у сумі; «4» - сума «2» та «2»; а "5" - "2", "2" і "1" разом узяті. У Тибеті число "2" - це крила, в Індії - очі, у деяких народів "1" - це місяць, "5" - рука. Тобто, кожне число мало спочатку візуально-асоціативне сприйняття, перш ніж отримувало назву.

Рахунок як життєво важлива необхідність

Як люди навчилися вважати, якщо вміння цього «мистецтва» кожному етапі розвитку людства ставало просто необхідністю? У процесі полювання при оточенні звіра старшому мисливцю потрібно правильно розставити людей, щоб взяти тварину в кільце. Для цього він на пальцях показував, де і скільком людям потрібно зайняти потрібні позиції.

У торгівлі для позначення ціни застосовувалася математика пальців рук (і ніг, якщо ціна була висока). Наприклад, при обміні зробленого списа на шкірки тварин, продавець клав руку на землю і показував, що навпроти кожного пальця потрібно покласти шкірку. До речі, загинання пальців позначало додавання, які розгинання - віднімання. Це були перші математичні приклади, які пояснювали, як навчилися рахувати в далекому минулому.

Рахункова наука у різних країнах

Багато країн, які зберегли у своїй історії моделі того, як люди навчилися рахувати, досі використовують спадщину минулого: у Японії та Китаї предмети домашнього користування вважають п'ятірками та десятками; в Англії та Франції – двадцятками.

Стародавні єгиптяни, що зображували будь-яку дію як картинки на папірусі, як чисел не записували. Жителі Стародавнього Риму числа позначали рисками. Так "I" - це один, "V" - зображення пензля з відстовбурченим убік пальцем, вірніше п'яти пальців у спрощеному варіанті, "Х" - дві п'ятірні, складені разом.

З появою літер позначення чисел стали використовувати алфавіт. Наприклад: В-

З появою літер позначення чисел стали використовувати алфавіт. Наприклад: В – це «2», Р – «3», Д – «4», Е – «5». Для відмінності літер і цифр над останніми ставився значок, що зветься титло. Спосіб був не дуже зручний, тому що не дозволяв записувати великі числа. Згодом люди стали відокремлювати числа від букв і сприймати окремо, незалежно від предметів.

Сучасні, які широко застосовуються сьогодні повсюдно, були винайдені в Індії, а в нашій країні знайшли своє застосування у 18 столітті. Не втратили популярність і римські числа, що сьогодні зустрічаються на циферблатах годинника, і використовувані для позначення століть і розділів у книгах.

Відзначився способом рахунка Стародавній Вавилон, у якому за 6 тисяч років до нашої ери вже вівся математичний облік господарських операцій. Записи такого роду зображалися картинками (ієрогліфами) у вигляді вузьких горизонтальних та вертикальних клинок, звідки й пішла назва «клинопис».

Одиниця позначалася одним клином, двійка - двома і так далі. Число «10» виділялося широким клином і мало особливу назву. Свій розквіт математика Вавилона пережила за правління У письмових джерелах того тимчасового періоду виявлено докази того, як люди навчилися писати і рахувати задовго до наших часів. Це записи складних обчислювальних дій, а також розв'язання квадратних та кубічних рівнянь.

Як навчитися вважати в розумі

Якщо такі складні дії були під силу нашим предкам, то для сучасного покоління математичний рахунок, удосконалений часом та безліччю великих умів, не повинен становити особливої ​​складності. Щоправда, наявність обчислювальної техніки, яка здатна зробити цифрові дії замість людини, значно полегшує розумову роботу останнього. Тому усним рахунком, який допомагає розвивати пам'ять і тренувати навички, має володіти кожен. Навчання такому виду розумової діяльності буде успішним, якщо присутні:

• здібності, які разом із розумової концентрацією допомагають зосередити увагу до поставленої задачі й утримати у пам'яті складні числа;
• знання формул, що зумовлюють легкість вироблених обчислювальних процесів;
• практика, яка поряд із постійними тренуваннями дозволяє розвивати та вдосконалювати навички.

Приклади нескладного розумового рахунку

Розмноження на 4

Легкий спосіб, коли число потрібно помножити на 2, а отриманий результат ще раз подвоїти. Наприклад:

35 * 4 = 35* 2 = 70 * 2 = 140

Розмноження на 11

Цифри двозначного числа, що множиться на 11, потрібно розсунути.

Наприклад:

48*11 = 4 і 8*11

Потім потрібно скласти цифри числа, у разі 4 і 8 і отриманий результат буде відповіддю. Важливо, якщо при підсумовуванні результатом буде двозначне число, то залишити потрібно лише одиниці, а до десятків додати 1.

4 (12) 8 = 5 2 8 = 528. Тобто з отриманого результату 12 залишили одиниці – це 2, а до десятка додали 1.

Поділ на 5

Щоб ця дія не викликала складнощів, потрібно число збільшити вдвічі і перемістити кому на одну цифру назад.

Наприклад:

125/5 = 125 * 2 = 250 (зміщення коми) = 25

Поділ на 50

У разі закономірність аналогічна: число множиться на 2 і ділиться на 100.

600/50 = 600 * 2 / 100 = 12

Поділ на 25

Число множиться на 4 та ділиться на 100.

700/ 25 = 700*4 / 100 = 28

Додавання та віднімання натуральних чисел

При додаванні слід знати таку хитрість, що й одне з доданків збільшити деяке число (для полегшення рахунки), це ж число треба відібрати від результату.

Наприклад:

787 + 193 = (787 + 193 + 7 (для округлення 193 до 200)) - 7 = (787 + 200) - 7 = 980

Продовжуємо тему та повертаємось до витоків. А саме: коли людині знадобилося вимірювати час? Виявляється, потреба виникла дуже давно. І це було з необхідністю узгоджувати колективні дії. Наприклад, будівництво пірамід. То коли ж почали «забивати стрілки» вперше?

Перший найпростіший сонячний годинник

У первісних людей ще було уявлення про час, яке є в наших сучасників. Їхнє життя визначалося ритмом природи. Відправними точками для них служила не лише зміна пір року, а й схід, і захід сонця. Проте це не означає, що люди жили одним днем. Вони дуже точно помічали, що відбувається навколо, при цьому одного разу їм впало в око те, що в міру просування сонячного диска по небосхилу, змінюється і положення тіні, що відкидається деревами та кущами. Нарешті вони вирішили встромити в землю палицю і поспостерігати за тим, як рухається навколо нього тінь. Так з'явився найпростіший сонячний годинник. Це було близько 3500 років тому.

Найпростіший сонячний годинник потребував апгрейду

Приблизно 700 р. до зв. е. єгиптяни вдосконалили конструкцію годинника. Їхній годинник виглядав як велика латинська буква «Ь», причому її коротка частина піднімалася догори вертикально, а вздовж руху довгої «стрілки» були вказані поділки. Залежно від того, в якій точці неба було сонце, змінювалися напрямок і довжина тіні: так вимірювався час. Ця конструкція мала свій недолік: у другій половині дня (як тільки залишався позаду сонячний зеніт) годинник доводилося перевертати. Лише через кілька століть астрономи знайшли вирішення цієї проблеми: вони сконструювали сонячний годинник із криволінійною шкалою. Тепер цей годинник міг показувати час, доки сонце світило.

Час та його вимір завжди цікавив людей

До питань часу людина ставилася завжди дуже серйозно. Недарма художники всіх жанрів - живописці, скульптори, письменники та поети - з благоговійним трепетом стосувалися теми часу. І найсильніша іпостась часу Вічність, жодного з творців не оминула.

І слово Пам'ять, і численні Пам'ятники — це все з цього Вимірювання. Згадаймо Пушкіна «Я пам'ятник собі спорудив нерукотворний…». Там, де Чорна Річка впадає в Стікс — там починається шлях до пізнання Такого Часу, який є незмірним у якихось відомих нині цифрах. Ці цифри та вимірювачі для них ще доведеться відкрити.