Корпускулярно-хвильовий дуалізм мікрочастинок. Гіпотеза де Бройлі. Хвильові властивості частинок Гіпотеза де бройля хвильових властивостях частинок
Недостатність теорії Бора вказувала на необхідність перегляду основ квантової теорії та уявлень про природу мікрочастинок (електронів, протонів тощо). Виникло питання про те, наскільки вичерпним є представлення електрона у вигляді малої механічної частинки, що характеризується певними координатами та певною швидкістю.
Через війну поглиблення поглядів на природу світла з'ясувалося, що у оптичних явищах виявляється своєрідний дуалізм. Поряд з такими властивостями світла, які безпосередньо свідчать про його хвильову природу (інтерференція, дифракція), є й інші властивості, що так само безпосередньо виявляють його корпускулярну природу (фотоефект, явище Комптона).
У 1924 р. Луї де-Бройль висунув сміливу гіпотезу, що дуалізм не є особливістю лише оптичних явищ, але має універсальне значення. «В оптиці, - писав він, - протягом сторіччя надто нехтували корпускулярним способом розгляду порівняно з хвильовим; чи не робилася теоретично речовини зворотна помилка?». Припускаючи, що частинки речовини поряд з корпускулярними властивостями мають також і хвильові, де-Бройль переніс на випадок частинок речовини самі правила переходу від однієї картини до іншої, які справедливі у випадку світла. Фотон має енергію
та імпульсом
За ідеєю де-Бройля, рух електрона чи будь-якої іншої частинки пов'язане з хвильовим процесом, довжина хвилі якого дорівнює
а частота
Гіпотеза де-Бройля незабаром була підтверджена експериментально. Девіссон і Джермер досліджували у 1927 р. відбиток електронів від монокристалу нікелю, що належить до кубічної системи.
Вузький пучок моноенергетичних електронів прямував на поверхню монокристала, перпендикулярно зішліфовану до великої діагоналі кристалічного осередку (паралельні цій поверхні кристалічні площини позначаються в кристалографії індексами (111); ем. § 45). Відбиті електрони вловлювалися циліндричним електродом, приєднаним до гальванометр (рис. 18.1). Інтенсивність відбитого пучка оцінювалася за силою струму, що тече через гальванометр. Варіювалися швидкість електронів і кут. На рис. 18.2 показано залежність сили струму, що вимірюється гальванометром, від кута при різних енергіях електронів.
Вертикальна вісь на графіках визначає напрямок падаючого пучка. Сила струму в заданому напрямку є довжиною відрізка, проведеного від початку координат до перетину з кривою. З малюнка видно, що розсіювання виявилося особливо інтенсивним при певному значенні кута. Цей кут відповідав відображенню від атомних площин, відстань між якими d була відома з рентгенографічних досліджень. При цьому сила струму виявилася особливо значною при прискорювальній напрузі, що дорівнює 54 В. Обчислена за формулою (18,1) довжина хвилі, що відповідає цій напрузі, дорівнює 1,67 А.
Бреггівська довжина хвилі, що відповідає умові
дорівнювала 1,65 А. Збіг настільки разюче, що досліди Девіссона і Джермера слід визнати блискучим підтвердженням ідеї де Бройля.
Г. П. Томсон (1927) та незалежно від нього П. С. Тартаковський отримали дифракційну картину при проходженні електронного пучка через металеву фольгу. Досвід здійснювався в такий спосіб (рис. 18.3). Пучок електронів, прискорених різницею потенціалів декількох десятків кіловольт, проходив через тонку металеву фольгу і потрапляв на фотопластинку. Електрон при ударі про фотопластинку має на неї таку саму дію, як і фотон. Отримана в такий спосіб електронограма золота (рис. 18.4 а) зіставлена з отриманої в аналогічних умовах рентгенограмою алюмінію (рис. 18.4 б).
Подібність обох картин вражає, Штерн та її співробітники показали, що дифракційні явища виявляються також в атомних і молекулярних пучків. У всіх випадках перелічені дифракційна картина. відповідає довжині хвилі, яка визначається співвідношенням (18.1).
У дослідах Девіссона та Джермера, а також у дослідах Томсона інтенсивність електронних пучків була настільки великою, що через кристал проходило одночасно велику кількість електронів. Тому можна було припустити, що дифракційна картина, що спостерігається, обумовлена одночасною участю в процесі великої кількості електронів, а окремий електрон, проходячи через кристал, дифракції не виявляє. Щоб з'ясувати це питання, радянські фізики Л. М. Біберман, Н. Г. Сушкін і В. А. Фабрикант здійснили в 1949 р. досвід, в якому інтенсивність електронного пучка була настільки слабкою, що електрони проходили через прилад насамперед поодинці. Проміжок часу між двома послідовними проходженнями електронів через кристал приблизно 30 000 разів перевищував час, затрачуване електроном проходження всього приладу. При достатній експозиції була отримана дифракційна картина, яка нічим не відрізняється від тієї, яка спостерігається при звичайній пучковій інтенсивності. Таким чином було доведено, що хвильові властивості притаманні окремому електрону.
Де Бройль висунув гіпотезу: хвильовими св-вами має будь-який матеріальний об'єкт. Він використав за-ни природи світла. Носiями е/м поля є фотони.
(1) і (2) відображають двоїстість природи світла та будь-якого е/м випромінювання.
Де Бройль запропонував, що двоїстість характерна будь-якого матеріального об'єкта. З гіпотези де Бройля випливає, що хвильовий механізм є властивістю будь-якої матерії.
Довжина хвилі де Бройля визначається формулою: ;
Хвильові процеси супроводжують будь-який об'єкт, що рухається зі швидкістю V. Це не реальні, а уявні процеси. Природного аналога ці процеси немає.
Експерим. Док-ва гіпотези де Бройля. Досліди Девіссона та Джермера.
Електрон має , рахунок хвильових властивостей він повинен давати дифракційну картину через кристал.
ЕП-електронна гармата; Г-гальванометр;
D 1, D 2 - діафранми; ЦФ – циліндр Фарадея; Ni - монокристал; - кут.
При = const = 50 °
Отриманий результат можна було пояснити лише дифракційним максимумом.
Досліди показали, що пучку ел-нов, прискореному ел. полем притаманні хвильові св-ва, т.к. пучок ел-нов на монокристалі Ni дає дифракцію.
Завдання 1 1 .
Суперпозиція плоских хвиль. Хвильовий пакет. Фазова та групова швидкості. Хвилі де Бройля та його властивості. Хвильовий пакет та частка.
Суперпозиція плоских хвиль:
Хвильовий процес, що супроводжує рух мікрочастинки намагалися пояснити такими теоріями:
а)За допомогою монохромотичної хвилі. Це неможливо тому. ця хвиля нескінченна у просторі, а мікрочастинка займає обмежену область простору, визначену її розмірами (слід на екрані осцилографа)
б)Суперпозиція монохроматичних хвиль, омега та лямбда яких лежать у певному діапазоні так, що складаючись ці хвилі дають амплітуду відмінну від нуля. в обмеженій області простору. Така суперпозиція-хвильовий пакет.
S(x,t) – складний хвильовий процес.
хвильовий пакет:
S(x, t) = 2*A*delta k * sin(гама)/гама * cos(omega нульове*t – k нульове*х)
2*A*delta k * sin(гама)/гама – модульована амплітуда хвильового пакету
при гамма -> 0 sin(гама)/гамма -> 1
при гамма -> +-пі*n sin(гама)/гама -> 0
при гамма > пі * n; гамма< -пи*n sin(гамма)/гамма << 1
Пакет – суперпозиція монохромотичних хвиль, зн-я хвильового числа якого лежить в інтервалі від до(нульове)-дельта до до(нульове)+дельта до
Хвилі де Бройля та їх властивості:
Хвилі де Бройля описують хвильові властивості мікрочастинок. Монохроматична хвиля де Бройля має вигляд:
Рух мікрочастинки характеризується величинами Е та р
Е = h * ню = h (з межею) * omega; omega = E/h(з рисою)
р = h(з межею)*к; до = р/h(з межею)
Одномірний рух уздовж осі х:
ПСІ (x, t) = A * exp (-i / h (з рисою) * (Е * t - р * х)
ПСІ (x, t) = A (x, t) * exp (-i / h (з рисою) * (Е * t - р * х)
У загальному випадку тривимірний простір:
ПСІ( r, t) = A * exp (-i / h (з рисою) * (Е * t - р,r)
ПСІ( r, t) = A ( r,t)*exp(-i/h(з рисою) * (Е*t – р,r)
Властивості:
Фазова швидкість хвиль де Бройля більша за швидкість світла
Vф = omega/k = (h(з межею)*омега)/(h(з характеристикою)*k) = E/p = (m*c^2)/(m*V) = c^2/V> c
З цієї властивості випливає, що Vф не дорівнює швидкості передачі енергії, т до енергія не може передаватися зі швидкістю більшою ніж швидкість світла
Фазова швидкість є фізичною абстракцією.
Хвилі де Бройля мають дисперсію у вакуумі (на відміну від е-м хвиль)
Vф = f(V) = f(mV) = f(p) = (лямбда = h/p) = f(лямбда)
Vф = f(лямбда) - дисперсія
Групова швидкість хвилі де Бройля дорівнює швидкості руху мікрочастинок
U = (d*omega)/(d*k) = d(h(з межею)*omega)/d(h(з характеристикою)*k) = dE/dp = d/dp * (p^2/( 2*m)) = (2*p)/(2*m) = p/m = p/m = V
В атомі водню по Бору на кожній стаціонарній орбіті вкладається ціла кількість хвиль де Бройля:
mVr = nh(з рисою)
лямбда = h/p; p = h/лямбда = (2*пі*h(з межею))/лямбда
2*пі*r = n*лямбда
Хвильовий пакет та частка:
Частку не можна описати ні монохроматичною хвилею (т до хвиля нескінченна), ні пакетом хвиль де Бройля (т до часу «життя» хвильового пакету delta t = m(електрона)/h * (delta x)^2 , потім він розповзається (delta x = (2 * пі) / delta k))
Хвильові властивості можна описати лише користуючись теорією ймовірності та статистикою.
1.Фазова швидкість Vф - швидкість переміщ. знач. коорд-т із постій. фазою
ωоdt – kodx=0
Vф=dx/dt=ωо/ko
Фазова скор. у заг. у разі визнач-ся параметрами хвилі, тобто. вони різні для різних хвиль, що входять до сост. хвильовий пакет.
2.Групова скора. U - скор. переміщ-я постій ампітуди (хвиль пакета).
А=const при γ0
γ=[(dω/dk)o*t-x] Δk
(dω/dk)o*t – x=0
(dω/dk)o*dt – dx=0
U=dx/dt=(dω/dk)o
Завдання 1 2 .
Статистичне тлумачення хвиль де Бройля. Хвильова функція та її властивості. Нормування хвильової функції. Принцип суперпозиції.
Статистичне тлумачення хвиль де Бройля:
ПСИ * ПСИ(з хвилею) = |ПСИ|^2 – пси по модулю у квадраті є міра ймовірності визначити частину у цій галузі простору на даний момент времени
dw = |ПСИ|^2*dV – можливість виявити мікрочастинку в нескінченно малому обсязі поблизу точки XYZ у час.
w(кругла) = dw/dV = |ПСІ|^2 – щільність ймовірності виявити мікрочастинку в одиничному обсязі поблизу точки XYZ в даний момент часу
w = ІНТЕГРАЛ (по V(нульовому))|ПСІ|^2 dV – в обсязі V(нульове)
т до ПСІ-функція є комплексною величиною, вона не має фізичного змісту. Фізичний сенс є лише величини |ПСИ|^2
Хвильова функція
Необхідність обліку хвильових властивостей у поведінці частинок речовини та наявність об'єктивної невизначеності у цій поведінці. Ці особливості квантовомеханічного руху знаходять своє вираження в тому, що стан руху мікрочастинки задається не координатами і імпульсами, а деякою функцією хвильової координат і часу (x, y, z, t), що є в загальному випадку комплексною. У найпростішому випадку – рухи вільної частки у напрямку 
, - Така функція (хвильова), має вигляд плоскої хвилі:
-
плоска хвиля де Бройля,
де = -1 – уявна одиниця, 
= k 
/ - хвильовий вектор, а | 
| = k = 2/ – хвильове число.
На хвильову функцію, як функцію статистичного (імовірнісного) розподілу, накладається умованормування , згідно з яким інтеграл по всій області визначення (обсягу) хвильової функції повинен дорівнювати єдиній:
.
Інтеграл від щільності ймовірності по всьому об'єму є повною, тобто 100%-ою ймовірністю, ймовірністю достовірної події. Частка (якщо вона існує) в якому-небудь місці з усієї доступної для неї області, повинна виявлятися обов'язково, зі 100% ймовірністю. Умова нормування дозволяє знаходити амплітуду функції хвиль.
Принцип суперпозиції станів. ПСІ та С-функції. Класичні величини, вступаючи в суперпозицію, мають інші значення внаслідок цієї суперпозиції в порівнянні з вихідними.
У квантовій фізиці:
Нехай є квантова система частинок, яка може перебувати в стані, що описується хвильовою функцією ПСІ1 і може знаходиться в іншому стані, що описується хвильовою функцією ПСІ2, тоді ця система може перебувати в стані ПСІ, що є лінійною суперпозицією станів ПСІ1 і ПСІ2
ПСІ = С1 * ПСІ1 + С2 * ПСІ2, де С1, С2 - коефіцієнти
загальна формула (m різних станів):
ПСІ = СУМА (від m = 1 до n) Сm * ПСІm
Завдання 1 3 .
Співвідношення невизначеності Гейзенберга. Принцип відповідності.
Гіпотеза де Бройлі. Дифракція мікрочастинок. Принцип невизначеності Гейзенберг. Завдання стану мікрочастинки. Хвильова функція, її статистичний зміст та умови, яким вона має задовольняти. Принцип суперпозиції квантових станів. Загальне рівняння Шредінгера. Шредінгера для стаціонарних станів.
Гіпотеза де Бройля
У 1924 році французький фізик Луї де Бройль висловив гіпотезу про те, що всі матеріальні об'єкти в природі мають як корпускулярні, так і хвильові властивості. За гіпотезою де Бройля корпускулярно-хвильовий дуалізм є загальним властивістю матерії, і тому будь-яка частка (електрон, протон, нейтрон та ін) має хвильові властивості. При цьому наявність у частки хвильових властивостей принципово змінює характер її руху та спосіб опису такого руху.
За гіпотезою де Бройля хвильові властивості вільної частки, що рухається за інерцією без зовнішніх силових полів, описує плоска хвиля де Бройля , частота та довжина хвилі якої пов'язані з корпускулярними характеристиками частки – енергією та імпульсом. Цей зв'язок має вигляд:
.
Напрямок поширення хвилі де Бройля збігається з напрямком руху частки, і можна показати, що групова швидкість хвилі та швидкість частинки однакові.
У теорії хвильових процесів рівняння плоскої монохроматичної хвилі, що поширюється в напрямку осі, має вигляд:
Його часто записують у комплексній формі:
враховуючи, що гармонійна функція є дійсною частиною комплексної функції, де - уявна одиниця.
Рівняння плоскої хвилі визначає амплітуду хвилі, її кругову частоту та хвильове число. Початкова фаза хвилі у виразах для обрана рівною нулю. Бо для плоскої хвилі де Бройля 
, то рівняння плоскої хвилі де Бройля можна записати у вигляді:
.
Плоска хвиля де Бройля описує хвильові властивості вільної частки, що має енергію та імпульс. Порівнюючи квадрати амплітуд хвиль де Бройля у різних галузях простору, можна оцінити ймовірність знаходження частки у цих областях. Імовірність виявлення частки у сфері простору тим більше, що більше квадрат амплітуди хвилі де Бройля, тобто. її інтенсивність.
Хвилі де Бройля, які часто називають хвилями матерії, як і хвилі будь-якої природи, можуть відбиватися, переломлюватись, інтерферувати один з одним, відчувати дифракцію при взаємодії з неоднорідностями. Тоді можна говорити, наприклад, про дифракцію частинок та спостерігати дифракційні ефекти у різних експериментах з неоднорідними середовищами. Один із перших дослідів з дифракції електронів на кристалі був виконаний у 1927 році американськими вченими Клінтоном Девіссоном та Лестером Джермером.
Досвід Девіссона-Джермера.
У досвіді Девіссон-Джермера прискорені в електронній гарматі електрони потрапляли на кристал нікелю під деяким кутом ковзання. Регулюванням величини прискорюючої різниці потенціалів в електронній гарматі змінювалися кінетична енергія та імпульс електронів, що вилітають, і, отже, їх довжина хвилі де Бройля. По струму детектора в досліді вимірювалося число відбитих кристала електронів. Структура кристала нікелю була добре відома з даних рентгеноструктурного аналізу
Було виявлено різке збільшення числа відбитих від кристала електронів у тих випадках, коли для електронних хвиль де Бройля виконувалася умова Вульфа-Бреггов (ця умова була отримана в дослідах з дифракції рентгенівських променів на кристалі нікелю).
Досліди з дифракції електронівта інших частинок
Важливим етапом у створенні квантової механіки стало встановлення хвильових властивостей мікрочастинок. Ідея про хвильові властивості частинок була спочатку висловлена як гіпотеза французьким фізиком Луї де Бройлем (1924). Ця гіпотеза виникла завдяки наступним причинам.
Гіпотеза де Бройля була сформульована до дослідів, що підтверджують хвилеві властивості частинок. Де Бройль це пізніше, 1936 р. писав так: «...чи можемо ми припустити, що й електрон так само двоїстий, як і світло? На перший погляд, така ідея здавалася дуже зухвалою. Адже ми завжди уявляли електрон у вигляді електрично зарядженої матеріальної точки, яка підпорядковується законам класичної динаміки. Електрон ніколи не виявляв хвильових властивостей, таких, скажімо, які виявляє світло у явищах інтерференції та дифракції. Спроба приписати хвильові властивості електрону, коли цьому немає жодних експериментальних доказів, могла виглядати як ненаукова фантазія».
У фізиці протягом багатьох років панувала теорія, згідно з якою світлоє електромагнітні хвилі.Однак після робіт Планка (теплове випромінювання), Ейнштейна (фотоефект) та ін. стало очевидним, що світло має корпускулярні властивості.вами.
Щоб пояснити деякі фізичні явища, необхідно розглядати світло як потік частинок фотонів. Корпускулярні властивості світла не заперечують, а доповнюють його хвильові властивості. Отже, фотон - елементарна частка, що рухається зі швидкістю світла, що володіє хвильовими властивостями та має енергію е =hv , де v - частота світлової хвилі.
Вираз для імпульсу фотона р ф виходить із відомої формули Ейнштейна е = транспорт 2 та співвідношень е = hvта нар. = тс
(23.1)
де з- швидкість світла у вакуумі, λ, - довжина світлової хвилі. Ця формула була
використана де Бройлем та для інших мікрочастинок-масою т,що рухаються зі швидкістю та:
р= ти = h/λ звідки
(23.2)
За де Бройлем, рух частинки, наприклад електрона, описується хвильовим.
процесом з характеристичною довжиною хвилі Я, відповідно до формули (23.2). Ці хвилі
називають вілнами де Бройль.
Гіпотеза де Бройля була настільки незвичайною, що багато великих фізиків-сучасників не
надали їй будь-якого значення. Декількома роками пізніше ця гіпотеза отримала експери-
ментальне підтвердження: було виявлено дифракцію електронів.
Знайдемо залежність довжини хвилі електрона від напруги, що прискорює U електричного
поля, де він рухається. Зміна кінетичної енергії електрона дорівнює роботі сил поля:
Висловимо звідси швидкість v і, підставивши її в (23.2), отримаємо
Для отримання пучка електронів з достатньою енергією, який можна зафіксувати, наприклад, на екрані осцилографа, необхідно напруга, що прискорює, порядку 1 кВ. У цьому випадку (23.3) знаходимо Я, = 0,4 10~ 10 м, що відповідає довжині хвилі рентгенівського випромінювання.
Дифракція рентгенівських променів спостерігається на кристалічних тілах; отже, для дифракції електронів необхідно використовувати кристали.
К. Девіссон і Л. Джермер вперше спостерігали дифракцію електронів на монокристалі нікелю, Дж. П. Томсон і незалежно від нього П. С. Тартаковський – на металевій фользі (полікристалічне тіло). На рис. 23.1 зображено електронограм-ма - дифракційна картина, отримана від взаємодії електронів з полікристалічною фольгою. Порівнюючи цей малюнок із рис. 19.21 можна помітити подібність дифракції електронів і рентгенівських променів.
Здібністю дифрагувати мають й інші частинки, як заряджені (протони, іони та ін), так і нейтральні (нейтрони, атоми, молекули).
Аналогічно рентгеноструктурному аналізу можна застосовувати дифракцію частинок для оцінки ступеня впорядкованості розташування атомів та молекул речовини, а також для вимірювання параметрів кристалічних ґрат. В даний час широке поширення мають методи електронографії (дифракція електронів) та нейтронографії (дифракція нейтронів).
Чи може виникнути питання: що відбувається з окремими частинками, як утворюються максимуми та мінімуми при дифракції окремих частинок?
Електронний мікроскоп.
Поняття про електронну оптику
Хвильові властивості часток можна використовувати не тільки для дифракційного структурного аналізу, але і для отриманнязбільшені зображення предмета.
Відкриття хвильових властивостей електрона уможливило створення електронного мікроскопа. Межа роздільної здатності оптичного мікроскопа (21.19) визначається в основному найменшим значенням довжини хвилі світла, що сприймається оком людини. Підставивши в цю формулу значення довжини хвилі де Бройля (23.3), знайдемо межу роздільної здатності електронного мікроскопа, в якому зображення предмета формується електронними пучками:
Видно, що межа дозволу гелектронного мікроскопа залежить від прискорювальної напруги U, збільшуючи яке можна домогтися, щоб межа роздільної здатності була значно меншою, а роздільна здатність значно більша, ніж у оптичного мікроскопа.
Електронний мікроскоп і його окремі елементи за своїм призначенням подібні до оптичного, тому скористаємося аналогією з оптикою для пояснення його пристрою і принципу дії. Схеми обох мікроскопів зображено на рис. 23.2 (а- Оптичний; б- Електронний).
В оптичному мікроскопі носіями інформації про предмет АВє фотони, світло. Джерелом світла зазвичай служить лампа розжарювання 1 . Після взаємодії з предметом (поглинання, розсіювання, дифракція) потік фотонів перетворюється та містить інформацію про предмет. Потік фотонів формується за допомогою лінз: конденсора 3 об'єктиву 4, окуляра 5. Зображення AjBj реєструється оком 7 (або фотопластинкою, фотолю-мінесцентним екраном і т. д.).
В електронному мікроскопі носієм інформації про зразок є електрони, а їх джерелом - катод, що підігрівається. 1. Прискорення електронів та утворення пучка здійснюється фокусуючим електродом та анодом - системою, яка називається електронною гарматою 2. Після взаємодії зі зразком (переважно розсіювання) потік електронів перетворюється і містить інформацію про зразок. Формування потоку електронів відбувається
під впливом електричного поля (система електродів та конденсаторів) та магнітного (система котушок зі струмом). Ці системи називають електронними лінзамиза аналогією з оптичними лінзами, що формують світловий потік (3 - конденсорна; 4 - Електронна, що служить об'єктивом; 5 – проекційна). Зображення реєструється на чутливій до електронів фотопластинці або катодолюмінесцентному екрані 6.
Щоб оцінити межу дозволу електронного мікроскопа, підставимо у формулу (23.4) напругу, що прискорює U = 100 кВ і кутову апертуру та порядку 10 2 рад (приблизно такі кути використовують в електронній мікроскопії). Отримаємо г~ 0,1 нм; це у сотні разів краще, ніж у оптичних мікроскопів. Застосування прискорюючої напруги, більшої за 100 кВ, хоча й підвищує роздільну здатність, але пов'язане з технічними складнощами, зокрема відбувається руйнування об'єкта, що досліджується, електронами, що мають велику швидкість. Для біологічних тканин через проблеми, пов'язані з приготуванням зразка, а також з його можливим радіаційним пошкодженням, межа роздільної здатності становить близько 2 нм. Цього достатньо, що-
б побачити окремі молекули. На рис. 23.3 показано нитки білка актину, що мають діаметр приблизно 6 нм. Видно, що вони складаються із двох спірально закручених ланцюгів молекул білка.
Зазначимо деякі особливості експлуатації електронного мікроскопа. У тих частинах його, де пролітають електрони, повинен бути вакуум, тому що в іншому випадку зіткнення електронів з молекулами повітря (газу) призведе до спотворення зображення. Ця вимога до електронної мікроскопії ускладнює процедуру дослідження, робить апаратуру більш громіздкою та дорогою. Вакуум спотворює нативні властивості біологічних об'єктів, а деяких випадках руйнує чи деформує їх.
Для розгляду в електронному мікроскопі придатні дуже тонкі зрізи (товщина менше 0,1 мкм), оскільки електрони сильно поглинаються та розсіюються речовиною.
Для дослідження поверхневої геометричної структури клітин, вірусів та інших мікрооб'єктів роблять відбиток їхньої поверхні на тонкому шарі пластмаси. (Репліку).Зазвичай попередньо на репліку у вакуумі напилюють під ковзним (малим до поверхні) кутом шар сильно розсіює електрони важкого металу (наприклад, платини), що відтіняє виступи та западини геометричного рельєфу.
До переваг електронного мікроскопа слід віднести велику роздільну здатність, що дозволяє розглядати великі молекули, можливість змінювати при необхідності прискорювальну напругу і, отже, межу дозволу, а також порівняно зручне керування потоком електронів за допомогою магнітних та електричних полів.
Наявність хвильових і корпускулярних властивостей як у фотонів, так і у електронів та інших частинок, що дозволяє ряд положень і
законів оптики поширити і опис руху заряджених частинок в електричних і магнітних полях.
Ця аналогія дозволила виділити як самостійний розділ електронну оптику- область фізики, в якій вивчається структура пучків заряджених частинок, що взаємодіють із електричними та магнітними полями. Як і звичайну оптику, електронну можна поділити на геометричну(променеву) та хвильову(Фізичну).
В рамках геометричної електронної оптики можливий, зокрема, опис руху заряджених частинок в електричному та магнітному полях, а також схематична побудова зображення в електронному мікроскопі (див. рис. 23.2, б).
Підхід хвильової електронної оптики важливий у разі, коли виявляються хвильові властивості заряджених частинок. Хорошою ілюстрацією цього є знаходження роздільної здатності (межі роздільної здатності) електронного мікроскопа, наведене на початку параграфа
Французький вчений Луї де Бройль, усвідомлюючи симетрію, що існує в природі, і розвиваючи уявлення про двоїсту корпускулярно-хвильову природу світла, висунув гіпотезу про універсальності корпускулярно-хвильового дуалізму. Згідно з де Бройлем, з кожним мікрооб'єктомзв'язуються, з одного боку, корпускулярніхарактеристики – енергія Ета імпульс р, а з іншого – хвильовіхарактеристики – частота nта довжина хвилі l. Кількісні співвідношення, що зв'язують корпускулярні та хвильові властивості частинок, такі ж, як для фотонів:
Сміливість гіпотези де Бройля полягала саме в тому, що співвідношення (1) постулювалося не тільки для фотонів, але і для інших мікрочастинок, зокрема для таких, які мають масу спокою. Таким чином, будь-якій частинці, що володіє імпульсом, зіставляють хвильовий процес з довжиною хвилі, що визначається за формулі де Бройля:
Це співвідношення справедливе для будь-якої частинки з імпульсом р.
Визначимо деякі основні властивості хвиль де Бройля. Розглянемо вільно рухається зі швидкістю vчастинку масою m. Обчислимо для неї фазову та групову швидкості хвиль де Бройля. Отже, фазова швидкість:
, (3)
де і , - хвильове число. Так як c>v, то фазова швидкість хвиль де Бройля більша за швидкість світла у вакуумі.
Групова швидкість: 
.
Для вільної частки, згідно з теорією відносності Ейнштейна, справедливо 
тоді
.
Отже, групова швидкість хвиль де Бройля дорівнює швидкості частки.
Згідно з двоїстою корпускулярно-хвильовою природою частинок речовини, для опису мікрочастинок використовуються то хвильові, то корпускулярні уявлення. Тому приписувати їм всі властивості частинок і властивості хвиль не можна. Отже, необхідно внести деякі обмеження щодо об'єктів мікросвіту понять класичної механіки.
В. Гейзенберг, враховуючи хвильові властивості мікрочастинок і пов'язані з хвильовими властивостями обмеження в їх поведінці, дійшов висновку, що об'єкт мікросвіту неможливо одночасно з будь-якою заданою точністю характеризувати і координатою і імпульсом. Згідно співвідношенню невизначеностей Гейзенберга, Мікрочастка (мікрооб'єкт) не може мати одночасно і певну координату ( x, y, z), та певну відповідну проекцію імпульсу ( p x , p y , p z), причому невизначеності цих величин задовольняють умовам
тобто. добуток невизначеностей координати та відповідної їй проекції імпульсу не може бути меншим за величину порядку h.
Зі співвідношення невизначеностей (4) випливає, що, наприклад, якщо мікрочастинка перебуває в стані з точним значенням координати ( Dx=0), то цьому стані ( Dp x®¥), і навпаки. Таким чином, для мікрочастинки немає станів, у яких її координати та імпульс мали б одночасно точні значення. Звідси випливає і фактична неможливість одночасно з будь-якою заданою точністю виміряти координату і імпульс мікрооб'єкта. Так як у класичній механіці приймається, що вимір координати та імпульсу може бути зроблено з будь-якою точністю, то співвідношення невизначеностей є, таким чином, квантовим обмеженням застосування класичної механіки до мікрооб'єктів.
У квантовій теорії розглядається також співвідношення невизначеностей для енергії Ета часу t, тобто. невизначеності цих величин задовольняють умову
Підкреслимо, що DE- Невизначеність енергії деякого стану системи, Dt- Проміжок часу, протягом якого воно існує. Отже, система, що має середній час життя Dt, Не може бути охарактеризована певним значенням енергії; розкид енергії збільшується зі зменшенням середнього часу життя. З виразу (5) слід, що частота випромінюваного фотона повинна мати невизначеність , тобто. лінії спектру повинні характеризуватись частотою, що дорівнює . Досвід справді показує, що всі спектральні лінії розмиті; Вимірюючи ширину спектральної лінії, можна оцінити порядок часу існування атома в збудженому стані.
2. Хвильова функція та її властивості
Отже, квантова механікавизначає закони руху та взаємодії мікрочастинок з урахуванням їх хвильових властивостей. Однак при цьому зазначається, що хвилі де Бройля (мікрочастинки) не мають всіх властивостей електромагнітних хвиль. Наприклад, електромагнітні хвилі являють собою електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Поширення хвиль де Бройля пов'язані з поширенням у просторі будь-якого електромагнітного поля. Експериментально доведено, що заряджені частинки, що рівномірно і прямолінійно рухаються, не випромінюють електромагнітних хвиль.
З дослідів з дифракції електронів випливає, що у цих експериментах виявляється неоднаковий розподіл пучків електронів, відбитих чи розсіяних у різних напрямах: у деяких напрямах спостерігається більше електронів, ніж у всіх інших. З хвильової погляду наявність максимумів числа електронів у деяких напрямах означає, що це напрями відповідають найбільшої інтенсивності хвиль де Бройля. Іншими словами, інтенсивність хвиль у цій точці простору визначає щільність ймовірності влучення електронів у цю точку. Це стало підставою для своєрідного статистичного, імовірнісного тлумачення хвиль де Бройля.
Єдине правильне тлумачення хвиль матерії, що дозволяє узгодити між собою описані факти, це статистичне тлумачення: інтенсивність хвилі пропорційна ймовірності виявити частинку в цьому місці. Для того, щоб описати розподіл ймовірності знаходження частки в даний момент часу в певній точці простору, вводять функцію хвильовою функцією(або псифункцією). Визначали її так, щоб ймовірність d Wтого, що частка знаходиться в елементі об'єму d V, дорівнювала добутку та елементу об'єму d V:
Фізичний сенс має сама функція Y, а квадрат її модуля: , де Y * – функція, комплексно пов'язана з Y. Величина має сенс щільності ймовірності: , тобто. визначає ймовірність знаходження частки в одиничному обсязі в околиці точки з координатами x, y, z. Оскільки перебування частки десь у просторі є достовірна подія і її ймовірність має дорівнювати одиниці, це означає, що хвильова функція задовольняє умові нормування ймовірностей:
Отже, у квантовій механіці стан мікрочастинок описується принципово за новим – за допомогою хвильової функції, яка є основним носієм інформаціїпро їх корпускулярні та хвильові властивості. Це накладає на хвильову функцію низку обмежувальних умов. Функція Y, що характеризує можливість виявлення дії мікрочастинки в елементі об'єму, повинна бути:
1. кінцевою(імовірність не може бути більше одиниці);
2. однозначною(ймовірність може бути неоднозначної величиною);
3. безперервний(ймовірність не може змінюватися стрибком).
Хвильова функція задовольняє принципом суперпозиції: якщо система може перебувати в різних станах, що описуються хвильовими функціями , то вона також може перебувати в стані Y, що описується лінійною комбінацією цих функцій:
де З n (n=1, 2, ...) - довільні, взагалі кажучи, комплексні числа.
Додавання хвильових функцій(амплітуд ймовірностей), а не ймовірностей(визначаються квадратами модулів хвильових функцій) принципово відрізняє квантову теорію від класичної статистичної теорії, у якій справедлива для незалежних подій теорема складання ймовірностей.
Хвильова функція, будучи основною характеристикою стану мікрооб'єктів, дозволяє в квантовій механіці обчислювати середні значення фізичних величин, що характеризують цей мікрооб'єкт:
.
де інтегрування ведеться по всьому безкінечному простору, як і у випадку (7).
3. Рівняння Шредінгера.
Статистичне тлумачення хвиль де Бройля і співвідношення невизначеностей Гейзенберга привели до висновку, що рівнянням руху в квантовій механіці, що описує рух мікрочастинок у різних силових полях, має бути рівняння, з якого випливали б хвильові властивості частинок, що спостерігаються на досвіді. Основне рівняння має бути рівнянням щодо хвильової функції, оскільки саме вона, або, точніше, величина, визначає ймовірність перебування частки в момент часу tв обсязі d V, тобто. в області з координатами xі x+d x, yі y+d y, zі z+d z. Оскільки шукане рівняння має враховувати хвильові властивості частинок, воно має бути хвильовимрівнянням.
Основне рівняння нерелятивістської квантової механіки сформульовано 1926 р. е. Шредінгером. Рівняння Шредінгера, як і всі основні рівняння фізики (наприклад, рівняння Ньютона в класичній механіці та рівняння Максвелла для електромагнітного поля), не виводиться, а постулюється. Правильність цього рівняння підтверджується згодою з досвідом одержуваних з його допомогою результатів, що, своєю чергою, надає йому характеру закону природи. Рівняння Шредінгерамає вигляд:
, (8)
де , m– маса частки, D – оператор Лапласа 
, i– уявна одиниця, – функція потенційної енергії частки у силовому полі, у якому вона рухається, – шукана хвильова функція частки.
Рівняння (8) справедливе для будь-якої частинки, що рухається з малою (порівняно зі швидкістю світла) швидкістю, тобто. v<
1) функція Y має бути кінцевою, безперервнийі однозначною;
2) похідні 
повинні бути безперервні;
3) функція має бути інтегрована, тобто. інтеграл 
повинен бути кінцевим.
Рівняння (8) є загальним рівнянням Шредінгера. Його також називають тимчасовим рівнянням Шредінгераоскільки воно містить похідну від функції Y за часом. Однак для більшості фізичних явищ, що відбуваються в мікросвіті, рівняння (8) можна спростити, виключивши залежність Y від часу, тобто знайти рівняння Шредінгера для стаціонарних станів – станів із фіксованими значеннями енергії. Це, якщо силове полі, у якому рухається частка, стаціонарно, тобто. функція явно залежить від часу і має сенс потенційної енергії. В даному випадку рішення рівняння Шредінгера може бути представлене у вигляді добутку двох функцій, одна з яких є функція лише координат, інша - тільки часу, причому залежність від часу виражається множником, так що
де Е- Повна енергія частки, постійна у разі стаціонарного поля. Підставляючи це в (8), отримаємо
звідки прийдемо до рівняння, що визначає функцію y:
. (9)
Рівняння (9) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. До цього рівняння як параметр входить повна енергія Ечастки. Теоретично диференціальних рівнянь доводиться, що такі рівняння мають безліч рішень, у тому числі у вигляді накладання граничних умов відбирають рішення, мають фізичний смысл. Для рівняння Шредінгера такими умовами є вищезазначені умови регулярності хвильових функцій. Таким чином, реальний фізичний сенс мають лише такі рішення, які виражаються регулярними функціями y. Але регулярні рішення мають місце не за будь-яких значень параметра Е, а лише за певному їхньому наборі, характерному для даної задачі. Ці значення енергії називаються власними. Рішення ж, які відповідають власнимзначенням енергії, називаються власними функціями. Власні значення Еможуть утворити як безперервний, і дискретний ряд. У першому випадку говорять про безперервному, або суцільному, спектрі, у другому – про дискретний спектр.
4. Ядерна модель атома.
Загальноприйняту сьогодні ядерну (планетарну) модель атома запропонував Е. Резерфорд. Згідно з цією моделлю, навколо позитивного ядра, що має заряд Ze (Z- Порядковий номер елемента в системі Менделєєва, е- Елементарний заряд), розмір 10 -15 -10 -14 мта масу, практично рівну масі атома, в області з лінійними розмірами порядку 10 -10 мпо замкнутих орбіт рухаються електрони, утворюючи електронну оболонку атома. Оскільки атоми нейтральні, заряд ядра дорівнює сумарному заряду електронів, тобто. навколо ядра обертається Zелектронів.
Спроби побудувати модель атома у межах класичної фізики не сприяли успіху. Подолання труднощів зажадало створення якісно нової – квантовий- Теорії атома. Першу спробу побудови такої теорії було зроблено Нільсом Бором. В основу своєї теорії Бор поклав два постулати.
Перший постулат Бора (постулат стаціонарних станів): в атомі існують стаціонарні (не змінюються згодом) стану, у яких не випромінює енергії. Стаціонарним станом атома відповідають стаціонарні орбіти, якими рухаються електрони. Рух електронів стаціонарними орбітами не супроводжується випромінюванням електромагнітних хвиль. У стаціонарному стані атома електрон, рухаючись круговою орбітою, повинен мати дискретні квантовані значення моменту імпульсу, що задовольняє умові
де m e- Маса електрона, v- Його швидкість по n-ой орбіті радіусу r n.
Другий постулат Бора (правило частот): при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу випромінюється (поглинається) один фотон з енергією
рівної різниці енергій відповідних стаціонарних станів ( E nі E m– відповідно енергії стаціонарних станів атома до та після випромінювання (поглинання)). При E n<E mвідбувається випромінювання фотона (перехід атома зі стану з більшою енергією в стан з меншою енергією, тобто перехід електрона з більш віддаленої від ядра орбіти на найближчу), при E n>E m– його поглинання (перехід атома у стан із більшою енергією, тобто перехід електрона більш віддалену від ядра орбіту). Набір можливих дискретних частот 
квантових переходів визначає лінійний спектр атома.
Постулати, висунуті Бором, дозволили розрахувати спектр атома водню та водородоподібних систем– систем, що складаються з ядра із зарядом Zeта одного електрона (наприклад, іони He + , Li 2+). Наслідуючи Бору, розглянемо рух електрона в такій системі, обмежуючись круговими стаціонарними орбітами. Вирішуючи спільно рівняння, запропоноване Резерфордом, і рівняння (10), отримаємо вираз для радіусу n-ї стаціонарної орбіти:
.
Звідки випливає, що радіуси орбіт зростають пропорційно до квадратів цілих чисел. Для атома водню ( Z=1) радіус першої орбіти електрона при n=1, званий першим борівським радіусом (а), дорівнює
,
що відповідає розрахункам виходячи з кінетичної теорії газів.
Крім цього, враховуючи квантовані для радіусу n-й стаціонарної орбіти значення, можна показати, що енергія електрона може приймати тільки такі дозволені дискретні значення:
,
де знак мінус означає, що електрон перебуває у зв'язаному стані.
5. Атом водню у квантовій механіці.
Розв'язання задачі про енергетичні рівні електрона для атома водню (а також водневих систем: іона гелію He + , дворазово іонізованого літію Li ++ та ін.) зводиться до задачі про рух електрона в кулонівському полі ядра.
Потенційна енергія взаємодії електрона з ядром, що має заряд Ze(для атома водню Z=1),
,
де r– відстань між електроном та ядром.
Стан електрона в атомі водню описується хвильовою функцією y, що задовольняє стаціонарному рівнянню Шредінгера (9), що враховує попереднє значення потенційної енергії:
, (12)
де m- Маса електрона, Е- Повна енергія електрона в атомі. Оскільки поле, в якому рухається електрон, є центрально-симетричним, то для вирішення рівняння (12) зазвичай використовують сферичну систему координат: r, q, j. Не вдаючись у математичне рішення цього завдання, обмежимося розглядом найважливіших результатів, які з нього випливають.
1. Енергія. У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння типу (27) мають рішення, що задовольняють вимогам однозначності, кінцівки та безперервності хвильової функції yтільки при власних значеннях енергії
, (13)
тобто. дискретного набору негативних значень енергії. Найнижчий рівень Е 1, що відповідає мінімальній можливій енергії, - Основний, всі решта ( E n >E 1, n=1, 2, 3, …) – збуджені. При E<0 движение электрона является пов'язаним, а при E>0 – вільним; область безперервного спектру Е>0 відповідає іонізованого атома. Вираз (13) збігається з формулою, отриманою Бором енергії атома водню. Однак якщо Бору довелося вводити додаткові гіпотези (постулати), то в квантовій механіці дискретні значення енергії, наслідком самої теорії, випливають безпосередньо з рішення рівняння Шредінгера.
2. Квантові числа. У квантовій механіці доводиться, що рівняння Шредінгера (12) задовольняють власні функції , зумовлені трьома квантовими числами: головним n, орбітальним lта магнітним m l.
Головне квантове число n, згідно (13), визначає енергетичні рівні електронав атомі і може набувати будь-яких цілісних значень починаючи з одиниці:
n=1, 2, 3, …
З рішення рівняння Шредінгера випливає, що момент імпульсу(механічний орбітальний момент) електрона квантується, тобто. не може бути довільним, а набуває дискретних значень, визначених формулою
де l – орбітальне квантове число, яке при заданому nприймає значення l=0, 1, …, (n-1), тобто. всього nзначень і визначає момент імпульсу електронав атомі.
З рішення рівняння Шредінгера випливає також, що вектор L lмоменту імпульсу електрона може лише такі орієнтації у просторі, у яких його проекція L lzна напрям zзовнішнього магнітного поля набуває квантованих значень, кратних:
 Мал. 1 |
де m l – магнітне квантове число, яке при заданому lможе приймати значення m l=0, ±1, ±2, …, ± l, тобто. всього 2 l+1 значень. Таким чином, магнітне квантове число m lвизначає проекцію моменту імпульсу електрона на заданий напрямок, Причому вектор моменту імпульсу електрона в атомі може мати в просторі 2 l+1 орієнтацій.
Імовірність виявлення електрона різних частинах атома різна. Електрон при своєму русі як би «розмазаний» по всьому об'єму, утворюючи електронну хмару, густина якої характеризує ймовірність знаходження електрона в різних точках об'єму атома. Квантові числа n і l характеризують розмір і форму електронної хмари, а квантове число m l характеризує орієнтацію електронної хмари у просторі.
3. Спектр. Гази, що світяться, дають лінійчасті спектри випромінювання. Відповідно до закону Кірхгофа спектри поглинання газів також мають лінійну структуру. Усі серіальні формули спектру водню можуть бути виражені єдиною формулою, яка називається узагальненою формулою Бальмера:
, (16)
де R=3,293×10 15 з -1 – постійна Рідберга, mі n- Цілі числа, причому для даної серії n=m+1, m+2, m+3 і т.д. Усього розрізняють шість серій спектральних ліній: серія Лаймана ( m=1), серія Бальмера ( m=2), серія Пашена ( m=3), серія Брекета ( m=4), серія Пфунда ( m= 5), серія Хемфрі ( m=6) (рис. 1).
6. Спин електрона. Принцип Паулі Принцип нерозрізненості
тотожні частки.
У 1922 р. було виявлено, що вузький пучок атомів водню, які свідомо перебувають у s-стані, в неоднорідному магнітному полі розщеплюється на два пучки. У цьому вся стан момент імпульсу електрона дорівнює нулю (14). Магнітний момент атома, що з орбітальним рухом електрона, пропорційний механічному моменту, тому він дорівнює нулю і магнітне полі має впливати на рух атомів водню переважно стані, тобто. розщеплення не повинно бути.
Для пояснення цього явища, а також ряду інших труднощів в атомній фізиці було запропоновано, що електрон має власним незнищенним механічним моментом імпульсу, не пов'язаним з рухом електрона у просторі, – спином. Спин електрона (і всіх інших частинок) – квантова величина, вона не має класичного аналога; це внутрішня невід'ємна властивість електрона, подібна до його заряду і маси.
Якщо електрону приписується власний механічний момент імпульсу (спін) L s то йому відповідає власний магнітний момент. Відповідно до загальних висновків квантової механіки, спин квантується згідно із законом
,
де s – спинове квантове число.
За аналогією з орбітальним моментом імпульсу, проекція L szспина квантується так, що вектор L s може приймати 2 s+1 орієнтацій. Так як у дослідах спостерігалися лише дві орієнтації, то 2 s+1=2, звідки s= 1/2. Проекція спина на напрямок зовнішнього магнітного поля, є квантованою величиною, аналогічним (15):
де m s – магнітне спинове квантове число; воно може мати лише два значення: .
Розподіл електронів в атомі підпорядковується квантово-механічному закону, що називається принципом Пауліабо принципом виключення. У своєму найпростішому формулюванні він говорить: «У будь-якому атомі не може бути двох електронів, що знаходяться в двох однакових стаціонарних станах, що визначаються набором чотирьох квантових чисел: головного n, орбітального l, магнітного m lта спинового m s», тобто. Z(n, l, ml, ms)=0 або 1, де Z(n, l, ml, ms)- Число електронів, що знаходяться в квантовому стані, що описується набором чотирьох квантових чисел: n, l, ml, ms. Таким чином, принцип Паулі стверджує, що два електрони, пов'язані в тому самому атомі, відрізняються значеннями принаймні одного квантового числа.
Сукупність електронів у багатоелектронному атомі, що мають одне і те ж головне квантове число n, називають електронною оболонкою. У кожній з оболонок електрони розподіляються по підболочкам, відповідним даному l. Оскільки орбітальне квантове число набуває значення від 0 до n-1, число підболочок дорівнює порядковому номеру nоболонки. Кількість електронів у підболочці визначається магнітним і магнітним спіновим квантовими числами: максимальна кількість електронів у підболочці з даними lодно 2(2 l+1).
Якщо перейти від розгляду руху однієї мікрочастинки (одного електрона) до багатоелементних систем, то виявляються особливі властивості, які не мають аналога у класичній фізиці. Нехай квантово-механічна система складається з однакових частинок, наприклад електронів. Усі електрони мають однакові фізичні властивості – масу, електричний заряд, спін та інші внутрішні характеристики. Такі частки називаються тотожними.
Незвичайні властивості системи однакових тотожних частинок виявляються в фундаментальномупринцип квантової механіки - принцип нерозрізненості тотожних частинок, за яким неможливо експериментально розрізнити тотожні частки. У класичній механіці навіть однакові частинки можна розрізнити за становищем у просторі та імпульсам, тобто. класичні частинки мають індивідуальність.
У квантовій механіці становище інше. Зі співвідношення невизначеностей випливає, що для мікрочастинок взагалі не застосовується поняття траєкторії; стан мікрочастинки описується хвильовою функцією, що дозволяє обчислювати лише ймовірність () знаходження мікрочастинки на околицях тієї чи іншої точки простору. Якщо ж хвильові функції двох тотожних частинок у просторі перекриваються, то розмова у тому, яка частка перебуває у цій галузі, взагалі позбавлений сенсу: можна говорити лише про можливість перебування у цій галузі однієї з тотожних часток. Таким чином, у квантовій механіці тотожні частки повністю втрачають свою індивідуальність і стають невиразними.
7. Квантові статистики. Вироджений газ.
Основне завдання статистичної фізики в квантових статистиках полягає у знаходженні функції розподілу частинок системи за тими чи іншими параметрами – координатами, імпульсами, енергіями тощо, а також у відшуканні середніх значень цих параметрів, що характеризують макроскопічний стан усієї системи частинок. Для систем ферміонів і бозонів ці завдання вирішуються однаково, але дещо по-різному у зв'язку з тим, що бозони не підпорядковуються принципу Паулі. Відповідно до цього розрізняються дві квантові статистики: Фермі-Дірака і Бозе-Ейнштейна, у межах яких визначено вид функції розподілу частинок системи з енергіям.
Нагадаємо, що функція розподілу за енергіямиє частка від загальної кількості частинок, які мають енергію в інтервалі значень від Wдо W+dW:
,
де N- загальна кількість частинок, f(W)- Функція розподілу по енергіях.
Для системи з nневзаємодіючих ферміонів з енергією W(ідеальний Фермі-газ) або системи з nневзаємодіючих бозонів з енергією W(Ідеальний Бозе-газ) були визначені схожі функції розподілу:
, (17)
де k- Постійна Больцмана, Т- Термодинамічна температура, m- хімічний потенціал, що є зміною енергії системи при зміні на одиницю числа частинок системи при ізохорному або ізоентропійному процесі. У рамках статистики Фермі-Дірака (32) беруть знак «+», тобто. в цьому випадку . Відповідно для Бозе-газу - знак "-" і .
Газназивається виродженимякщо його властивості відрізняються від властивостей класичного ідеального газу. У виродженому газі відбувається взаємний квантово-механічний вплив частинок газу, зумовлений нерозрізністю тотожних частинок. Поведінка ферміонів і бозонів по-різному при виродженні.
Для характеристики ступеня виродження газу вводиться параметр виродження А:
Функція розподілу за допомогою параметра виродження обох квантових статистик запишеться у вигляді:
.
Якщо параметр виродження малий A<<1, то и функция распределения превращается в функцію розподілу Максвелла-Больцмана, що лежить в основі класичної статистики невиродженого газу:
Температурою виродженняназивається температура, нижче за яку чітко проявляються квантові властивості ідеального газу, обумовлені тотожністю частинок. Порівняно легко можна грубо оцінити температурний критерій виродження газу. Виродження звичайних газів позначається за низьких температур. Для фотонного та електронного газу у металах це не справедливо. Електронний газ у металах практично завжди вироджений. Тільки за температур вище кількох десятків тисяч градусів електрони металу підкорялися б класичній статистиці Максвелла-Больцмана. Але існування металів у конденсованому стані за таких температур неможливе. Тому класичний опис поведінки електронів у металах призводить до електродинаміки часом до законів, різко суперечать досвіду. У напівпровідниках концентрація електронного газу значно менша, ніж у металах. У умовах температура виродження становить близько 10 -4 До і електронний газ у напівпровідниках є невиродженим і підпорядковується класичної статистики. Прикладом виродженого газу є фотонний газ. Оскільки маса фотона дорівнює нулю, то температура виродження прагне нескінченності. Фотонний газ за будь-якої температури є виродженим. Атомні та молекулярні гази мають дуже малі температури виродження. Наприклад, для водню за нормальних умов температура виродження становить близько 1 К. Для інших газів, важчих, ніж водень, вона ще менше. Гази за нормальних умов не бувають вироджені. Виродження, пов'язане з квантовими властивостями газів, проявляється значно менше, ніж відхилення газів від ідеальності, спричинене міжмолекулярними взаємодіями.
Максимальна енергія, яку можуть мати електрони провідності у кристалі при 0 К називається енергією Ферміі позначається E F. Найвищий енергетичний рівень, зайнятий електронами, називається рівнем Фермі. p align="justify"> Рівню Фермі відповідає енергія Фермі, яку мають електрони на цьому рівні. Рівень Фермі, очевидно, буде тим вищим, чим більша щільність електронного газу. Роботу виходу електрона з металу необхідно відраховувати від рівня Фермі, тобто. від верхнього із зайнятих електронами енергетичних рівнів.
8. Поняття про зонну теорію твердих тіл.
Використовуючи рівняння Шредінгера, в принципі можна розглянути завдання про кристал, наприклад знайти можливі значення його енергії, а також відповідні енергетичні стани. Однак як у класичній, так і в квантовій механіці відсутні методи точного вирішення такого завдання для багатьох часток. Тому це завдання вирішується приблизно зведенням задачі багатьох частинок до одноелектронної задачі про один електрон, що рухається в заданому зовнішньому полі. Подібний шлях призводить до зонної теорії твердого тіла.
 Мал. 2 |
Поки що атоми ізольовані, тобто. знаходяться один від одного на макроскопічних відстанях, вони мають схеми енергетичних рівнів, що збігаються. При освіті кристалічних ґрат, тобто. при зближенні атомів до міжатомних відстаней грати взаємодія між атомами призводить до того, що енергетичні рівні атомів зміщуються, розщеплюються і розширюються в зони, утворюючи зонний енергетичний спектр. На рис. 2 показано розщеплення енергетичних рівнів залежно від відстані між атомами. Видно, що помітно розщеплюються і розширюються лише рівні зовнішніх, валентних електронів, що найбільше слабо пов'язані з ядром і мають найбільшу енергію, а також більш високі рівні, які в основному стані атома взагалі електронами не зайняті. Рівні внутрішніх електронів або зовсім не розщеплюються, або розщеплюються слабо. Таким чином, у твердих тілах внутрішні електрони поводяться так само, як в ізольованих атомах, а валентні електрони «колективізовані» – належать всьому твердому тілу.
Енергія зовнішніх електронів може набувати значень у межах зафарбованих на рис. 2 областей, званих дозволеними енергетичними рівнями. Кожна дозволена зона «вміщує» у собі стільки прилеглих дискретних рівнів, скільки атомів містить кристал: що більше у кристалі атомів, то вже розташовані рівні у зоні. Відстань між сусідніми енергетичними рівнями настільки мізерна (порядку 10 -22 еВ), що зони можна вважати практично безперервними, проте факт кінцевого числа рівнів у зоні відіграє важливу роль для розподілу електронів за станами. Дозволені енергетичні зони розділені зонами заборонених значень енергій, які називаються забороненими енергетичними зонами. Вони електрони перебувати що неспроможні. Ширина зон (дозволених та заборонених) не залежить від розміру кристала. Дозволені зони тим ширші, чим слабший зв'язок валентних електронів з атомами.
Зонна теорія твердих тіл дозволила з одного погляду витлумачити існування металів, діелектриків і напівпровідників, пояснюючи відмінність у тому електричних властивостях, по-перше, неоднаковим заповненням електронами дозволених зон і, по-друге, шириною заборонених зон. Ступінь заповнення електронами енергетичних рівнів у зоні визначається заповненням відповідних атомних рівнів. У загальному випадку можна говорити про валентної зони, яка повністю заповнена електронами та утворена з енергетичних рівнів внутрішніх електронів вільних атомів; зоні провідності (вільній зоні), Що або частково заповнена електронами, або вільна і утворена з енергетичних рівнів зовнішніх «колективізованих» електронів ізольованих атомів. Залежно від ступеня заповнення зон електронами та ширини забороненої зони можливі чотири випадки (рис. 3).
На рис. 3, аверхня зона, що містить електрони, заповнена лише частково, тобто. у ній є вакантні рівні. В даному випадку електрон, отримавши скільки завгодно малу енергетичну «добавку» (наприклад, за рахунок теплового руху або електричного поля), зможе перейти на більш високий енергетичний рівень тієї ж зони,