Inurl livre дуулах салшгүй 44 физик нэмэлт. Интегралийн утгын геометрийн тодорхойлолт. Obsyag tila боох

41.1. Хадгалах нэгдсэн схемүүд

Бие даасан өвлийн ерөнхий могойтой уясан геометрийн эсвэл физик хэмжээтэй А (фигурийн талбай, хавтангийн хэмжээ, босоо тавцан дээрх шугамын атгах гэх мэт) -ийн утгыг мэдэх шаардлагагүй. Шилжүүлэхийн тулд А -ийн утга нь нэмэлт юм, өөрөөр хэлбэл E. Тиймээс rozbittі vіdrіzka [a; b] [a; хэсэг дээрх h є (a; b) цэгээр h] i [s; b] А утгын утга, бүх тохиолдолд [a; b], dorіvnyu sumі її утга, scho іdpovіdaut [a; h] i [s; б].

А -ийн утгыг мэдэхийн тулд I схем (эсвэл интеграл нийлбэрийн арга) ба II схем (эсвэл дифференциал арга) гэсэн хоёр схемийн аль нэгийг керуватжуулах боломжтой.

Эхний схем нь дуулах интегралийг тодорхойлоход үндэслэсэн болно.

1. [0; a, x 1, ..., x n = b цэгүүдийг [a; b] n хэсэгт хуваана. Үнэн хэрэгтээ А -ийн утга n "энгийн нэмэлтүүд" болох болно ΔAi (i = 1, ..., n): А = ΔA 1 + ΔА 2 + ... + ΔА n.

2. Иогийн тэсвэр тэвчээрийн ерөнхий үр дүнгийн хамгийн чухал цэг дээр тооцоолсон deakoi funktsii (үүрэг даалгаврыг оюун ухаанаасаа эхлэх ёстой) бий болгох үүднээс "энгийн доданок" арьсыг үзүүлээрэй: ΔA i ≈ ƒ (ci) Δx i.

Мэдэгдэж буй ΔA i ойролцоо утгатай бол нум уучлагдсан гэж үзье: жижиг саатал дээрх нумыг хөвчөөр сольж болно. Жижиг болзоонд хурдны өөрчлөлтийг маш хурдан хийх боломжтой.

Отримамо интеграл сумид А -ийн утгатай ойролцоо байна:

3. Шукан бол салшгүй сумигийн хилийн өмнөх А -ийн утга, өөрөөр хэлбэл Е.

Бацимогийн нэгэн адил "нийлбэрийн арга" гэсэн утгыг хязгааргүй олон тооны хязгааргүй жижиг тооны нийлбэртэй адил интегралийг танилцуулахад ашигладаг.

Бөмбөгний I схем нь геометрийн болон физик дууны интегралийн интегралийг тохируулахад гацсан байна.

Өөр нэг схем нь I схемийн зөвхөн өөрчлөлт бөгөөд үүнийг "дифференциал арга" эсвэл "хязгааргүй жижиг өөр дарааллыг харах арга" гэж нэрлэдэг.

1) видризка дээр [a; b] x -ийн чичиргээний консерватив утга ба дэлгэц дээрх өөрчлөлтийг харуулах [a; NS]. Ерөнхийдөө А -ийн утга нь x -ийн функц болдог: A = A (x), өөрөөр хэлбэл A. є -ийн shukan утгын нэг хэсэг болох E. Vvazhamo нь A (x), de x функц биш юм. є нь А утгын параметрийн нэг юм;

2) x -ийг Δx = dx жижиг утгаар өөрчлөх үед ΔA өсөлтийн толгой хэсгийг бид мэднэ, өөрөөр хэлбэл A = A (x) функцийн дА дифференциал нь мэдэгдэж байна: dA = ƒ (x) dx, даалгавар, өөрчлөлтийн функцууд (эндээс тусламж хүсэх боломжтой);

3) vazayuchi, scho dA ≈ ΔА Δх → 0, shukan нь a -аас b хүртэлх интервалд dA интеграцийн утгыг мэддэг.

41.2. Хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох

тэгш өнцөгт координат

Энэ нь аль хэдийн байгуулагдсан (div. "Геометрийн мэдрэхүйн интеграл"), муруй трапецын талбай, abscis тэнхлэгийн "више" (ƒ (x) ≥ 0), нийтлэг дуулах интеграл руу буцна.

Томъёо (41.1) -ийг схемийн I - нийлбэр аргыг хадгалах замаар бөглөнө. Формула (41.1), використ схем II. Муруй трапецийг y = ƒ (x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 шугамаар хүрээлүүл (див. Зураг 174).

Үйл ажиллагааны эхэн үеийн виконы S трапецын сайн мэддэг талбайн хувьд:

1. Vіzmemo dovіlne x Î [a; b] мөн бид S = S (x) гэж үзэх болно.

2. Дамо аргумент x пририст Δx = dx (x + Δx є [a; b]). S = S (x) функц нь "анхан шатны муруй трапецын" талбар болох ΔS -ийн өсөлтийг авах явдал юм (жижигхэн зураг дээр).

Дифференциал талбар dS є нь Δх дахь ΔS өсөлтийн нэг хэсэг юм → 0, і, мэдээж dx ба y өндөртэй тэгш өнцөгтийн замын талбайд: dS = y dx.

3. Тэгш байдлын ялгааг x = a -аас x = b хүртэлх хил хязгаарыг нэгтгэх

Мэдээж муруй шугаман трапецийг Ox тэнхлэгээс "доогуур" байрлуулсан нь тодорхой байна (ƒ (x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

(41.1) ба (41.2) томъёог нэг дор нэгтгэж болно.

Y = = fι (x) і у = ƒг (x) муруйгаар хүрээлэгдсэн фигуригийн талбай x = a і х = b (ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) ард) div. Зураг 175), та томъёоны ард мэдэж болно

Хэрэв зураг хавтгай байвал би "нугалах" хэлбэртэй (хуваагдал. Зураг 176), дараа нь Oy тэнхлэгтэй шулуун зэрэгцээ, дараа нь хэсэг болгон хуваасан тул та ижил томъёог ашиглаж болно.

Муруй трапеци нь y = s і y = d шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул vіssu Oy і тасралтгүй муруй х = φ (y) ≥ 0 (хувааг. Зураг 177), дараа нь її талбай нь томъёоны ард байна.

Би, нарешти, муруйгаар хүрээлэгдсэн муруй шугамтай трапец хэлбэртэй, параметрийн дагуу өгсөн

шулуун шугам x = aih = bі vіssu Өө, тэгээд її талбай нь томъёоны ард байна

de a ба β нь x (a) = a і x (β) = b эквивалентээр тодорхойлогдоно.

Өгзөг 41.1. Ох vissu болон y = x 2 - 2x функцийн графикаар хүрээлэгдсэн фигуригийн талбайг мэдэх.

Шийдэл: Figura maє viglyad, нялх хүүхдийн зураг 178. Үүнийг S хэсэгт мэддэг.

Өгзөг 41.2. X = a cos t, y = b sin t эллипсээр хүрээлэгдсэн баримлын талбайг тоол.

Шийдвэр: Энэ нь 1/4 талбайн S бүлгээс мэдэгдэж байна. Энд x нь 0 -ээс a болж өөрчлөгдөж, үүнээс t нь 0 -ээс 0 болж хуваагдана (хувааг. Зураг 179). мэдэгдэж байна:

Ийм зэрэглэлд. Тиймээс S = π аВ.

туйлын координат

Муруй салбарын S талбай, өөрөөр хэлбэл r = r (φ) тасралтгүй шугам, хоёр солилцоотой a = a і φ = β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - дифференциал арга.

1. Shukan S хэсгийн нэг хэсгийг kut φ буюу S = S (φ) функц болгон авч үзье. ≤ φ ≤ β (хэрэв φ = a бол S (a) = 0, хэрэв φ = β бол S (β) = S).

2. Хэрэв одоогийн туйлын зүсэлт φ нь Δφ = dφ -ийн өсөлттэй байвал AS талбар нь "анхан шатны муруй салбар" OAB -ийн талбай хүртэл нэмэгдэх болно.

DS дифференциал нь dφ дэх ΔS өсөлтийн толгой хэсэг юм → 0 дугуй тойрог замын талбайнууд r edge радиусын AC (минутанд сүүдэрлэдэг) тухай төв ирмэг dφ. Том

3. φ = a -аас φ = β хүртэлх хил хоорондын уялдаа холбоог нэгтгэх,

Өгзөг 41.3. "Гурван дэлбээтэй троян" хүрээлэгдсэн фигуригийн талбайг мэдэх r = acos3φ (див. Зураг 181).

Шийдвэр: Нэг "Трожанди" хальсны талбайн талбайн хэмжээ, өөрөөр хэлбэл баримлын нийт талбайн 1/6 нь мэдэгддэг.

Энэ бол Отже,

Зураг нь хавтгай тул би хэлбэрээ "нугалж", дараа нь ээлжлэн шонгоос муруй салбар руу явж, засасувати хийх хүртэл би мэдэгдэж буй талбайн томъёог гаргах болно. Тиймээс, 182 нялх хүүхдийн дүрс:

41.3. Хавтгай муруй нумын тооцоо

тэгш өнцөгт координат

Шулуун шугамын координатыг v = ƒ (x), de a≤x≤ b-тэй тэнцүү AB муруй өг.

AB нумын шугамаас ламын мөрийг нуманд оруулах хүртэл прагматик болох хүртэл, хэрэв ламаны эгнээний тоо өсөлтийн хооронд биш бол хамгийн ланкагийн эгнээний тоо прагне байвал хил хязгаар нь ургадаг. тэг хүртэл. Хэрэв y = ƒ (x) і її функц нь "= ƒ" (x) -ээс удамшсан бол [a; b], дараа нь AV муруй нь maє dovzhinu, rіvnu юм

Zastosuєmo схем I (нийлбэр арга).

1. Цэгүүд x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Довжин жорди (Аболанка Ламано) ΔL 1 нь thx i і Δу i хөлтэй гурвалжинтай Пифагорын теоремоор танигдаж болно.

Лагранжийн теоремын дагуу нэмэлт функцууд Δу i = ƒ "(з i) Δх i, de ci є (x i-1; x i).

мөн бүх ламанууд M 0 M 1 ... M n dorivnyu идэхийг зөвшөөрдөг

3. Лина лмуруй AB, viznachennyam, зам

Гайхалтай нь, ΔL i → 0 бас i Δx i → 0 iLi = би, бас, | Ix i |<ΔL i).

функц [a; b], ингэснээр угаалтуурын ард ƒ "(x) функц тасалддаггүй. Otzhe, іnuє интеграл сумигийн хооронд (41.4), хэрэв хамгийн их Δx i бол → 0 :

Ийм зэрэглэлд, гэхдээ хурдан бичлэг дээр л =

Хэрэв AB муруйн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр өгвөл

de x (t) і y (t) - тасралтгүй функцтэй х х (а) = а, х (β) = b, дараа нь довжина лмуруй AV томъёоны ард байна

Томъёо (41.5) -ыг томъёо (41.3) -аас x = x (t), dx = x "(t) dt,

Төгсгөл 41.4. Radius R -ийн гадасны оройн хоолыг мэдэх.

Шийдэл: Бид її dozhini -ийн 1/4 хэсгийг (0; R) цэгээс (R; 0) цэг хүртэл мэддэг (див. Зураг 184). Тиймээс сарлаг дараа нь

гэсэн үг, л= 2π R. Хэрэв та x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π) параметрийн харах хэсэгт гадас бичвэл

Нумын тооцоог дифференциал арга дээр үндэслэн хийж болно. II схемийг (дифференциал арга) зогсонги байдалд оруулснаар (41.3) томъёогоос татгалзах боломжтой болохыг харуулах болно.

1. x є [a -ийн утга; b] i тод харагдах дэлгэц [a; NS]. Шинэ үнэ цэнэ л x, tobto -аас шинэ функц л = л(NS) ( л(A) = 0 л(B) = л).

2. Бид ялгааг мэддэг dlфункцууд л = л(X) x -ийг valuex = dx жижиг утгаар өөрчлөх үед: dl = л"(X) dx. Бид мэднэ л"(X), хязгааргүй жижиг нумын MN -ийг хөвчөөр солино уу л, Гүйцэтгэх qiu нум (хувааг. Зураг 185):

3. dl -ийг а -аас b хүртэлх хооронд нэгтгэдэг

тэгш байдал тэгш өнцөгт координат дахь нумын дифференциал томъёо гэж нэрлэдэг.

Тиймээс сар y "x = -dy / dx, тэгвэл

Томъёог үлдээлгүй хязгааргүй жижиг дугуйтай MST -ийн Пифагорын теорем (хувааг. Зураг 186).

туйлын координат

AB муруйг r = r (φ), ≤φ≤β туйлын координатаар тэнцүү тохируулъя. R (φ) і r "(φ) нь [a; β] чиглэлд тасалддаггүй болохыг хүлээн зөвшөөрч байна.

Хэрэв туйл ба декартын координатыг ашигладаг x = rcosφ, y = rsinφ тэгшитгэлд параметр нь φ -тэй тэнцүү бол AB муруйг параметрийн дагуу тохируулж болно.

Застосовучи томъёо (41.5),

Товч 41.5. Кардиоидын хэмжээг мэдэх r = = a (1 + cosφ).

Шийдэл: Cardioid r = a (1 + cosφ) ma viglyad, хүүхдийн дүрс 187. Вона туйлын тэнхлэгтэй тэгш хэмтэй. Кардиоидын нийт хэмжээний тал хувийг бид мэднэ.

Энэ зэрэглэлд 1/2 л = 4а байна. Тиймээс l = 8а.

41.4. Тооцоолсон тооцоо

Зэрэгцээ perereziv талбай тус бүрийн мөнгөний хэмжээг тооцоолох

V давхрын эзэлхүүнийг мэдэх шаардлагагүй, үүнээс гадна шалны хөндлөн огтлолын S хэсэгт гол тэнхлэгт перпендикуляр хэсгүүд, жишээлбэл, Үх тэнхлэг: S = S (x), a ≤ x ≤ b.

1. Хангалттай цэг x -ээр Ox тэнхлэгт перпендикуляр Π хавтгай зурна (хувааг. Зураг 188). S (x) -ийн хувьд талбайг бүхэл бүтэн талбай эзэлдэг; S (x) vazhaєmo өөрчлөгдөхдөө тасралтгүй харж, өөрчилдөг. V (x) -ээр дамжуулан биеийн хэсгийг солих нь П -ээс илүү хэвтэх нь утга учиртай юм. x] утга нь x -ийн функц, өөрөөр хэлбэл v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V) юм.

2. Бид v = v (x) функцын дифференциал dV -ийг мэддэг. Win бол шалан дээрх "энгийн бөмбөг" бөгөөд параллель хэсгүүдийн хооронд байрладаг бөгөөд Охинийг х і х + Δх цэгүүдээр хальж, цилиндрийг S (x) ба dx өндөртэй ойролцоогоор авч болно. Үүний тулд дифференциал эзэлхүүн dV = S (x) dx.

3. Шукан a -аас В хүртэлх хил дээр dA интеграцчилснаар V -ийн утгыг мэддэг.

Отриманы томъёог параллель гармын талбайд obsyagu tila томъёо гэж нэрлэдэг.

Тулгуур 41 .6. Obsyag elipsoyda -ийг мэддэг байх

Шийдэл: Rozsіkayuchi elіpsoїd талбай, параллель талбай Oyz ба эхний ээлжинд ≤х≤ a), otrimaєmo эллипс (див. зураг 189):

Эллипсийн талбай

Том, томъёогоор (41.6),

Obsyag tila боох

Төгсгөлгүй y = ƒ (x) 0 шугамаар хүрээлэгдсэн муруй трапецийг боохын тулд О тэнхлэгт ойртож болохгүй. . Отриманагийн зургийг боохоос боодол гэж нэрлэдэг. Үх тэнхлэгийн перпендикуляр талбай бүхий Peretin ts'go til, тэнхлэгийн тодорхой x цэгээр зурсан (x Î [A; b]), у коло радиустай у = ƒ (x). Үүнтэй адил S (x) = π y 2.

Zastosovyuchi томъёо (41.6) obsyagu параллель гармын талбай дээр, хүлээн зөвшөөрч болно

Муруй трапецын хувьд график нь = φ (y) ≥ 0 функц ба x = 0, y = c шулуун шугамтай тасалдалгүй байдаггүй.

y = d (s< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Толгой 41.7. Til эзлэхүүнийг мэдэхийн тулд, Ой тэнхлэгийг тойрсон шугамаар хүрээлэгдсэн, figuri боодол тогтоосон (div. Зураг. 191).

Шийдвэр: (41.8) томъёоны хувьд бид дараахь зүйлийг мэддэг.

41.5. Тооцоолсон гадаргуугийн талбай

AB є график функцийг y = ƒ (x) ≥ 0, de x є [a; b], мөн y = ƒ (x) і її функцийг "= ƒ" (x) -ээс өвлөн авсан нь ямар ч байдлаар тасалддаггүй.

Бид Ox тэнхлэгийн ойролцоо муруй AB -ийн ороосон гадаргуугийн S талбайг мэддэг.

Zastosuєmo схем II (дифференциал арга).

1. Тодорхой цэгээр дамжуулан x є [a; b] Үх тэнхлэгт перпендикуляр draw талбай зур. Талбар Π гадасны эргэн тойронд боосон гадаргууг хальж радиус y = ƒ (x) (хувааг. Зураг 192). Зургийн гадаргуугийн S утгыг ороосон боловч талбайгаас илүү худлаа хэлэх нь x -ийн функц юм, өөрөөр хэлбэл S = s (x) (s (a) = 0 і s (b) = S).

2. Дамо аргумент x пририст Δx = dx. X + dx є [a цэгээр дамжуулан; b] Үх тэнхлэгт перпендикуляр хавтгай зурсан болно. S = s (x) функц нь "Pask" үзэгчийн бяцхан дээр дүрсэлсэн Az -ийн өсөлтийг авах явдал юм.

Бид ds талбайн ялгааг мэддэг, би үүнийг зургийн бариулаар засах болно, бид конусыг нэмэгдүүлэх болно, би засах болно. dl, Радиус нь y + dy -тай тэнцүү байна. Замын нөгөө талын талбай ds = π (Y + y + dy) dl=2π -д dl + π dydl... ТВ dydl -ийг хязгааргүй жижиг захиалгаар нээ, ds доод хэмжээ, хүлээн зөвшөөрөгдөх ds = 2 π -д dl, Або, тиймээс сарлаг

3. Тэгш байдлын ялгааг x = a -аас x = b хүртэлх хил хязгаарыг нэгтгэх

Хэрэв AB муруйг x = x (t), y = y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2 гэсэн параметрт эквивалентээр өгвөл боодлын гадаргуугийн талбайн томъёо (41.9)

Өгзөг 41.8. R радиусын хөргөгчийн гадаргуугийн талбайг мэдэх.

Бөгт 41.9. циклоид өгсөн

Гадаргуугийн талбайг мэдэхийн тулд О тэнхлэгийг боож боох хэрэгтэй.

Шийдэл: Нумын талыг боосон тохиолдолд циклоид нь Үх тэнхлэг орчим, гадаргуугийн талбайг боосон байна.

41.6. Дуулах интегралийн механик нэмэлтүүд

Өвлийн хүч чадлын робот

F = F (x) хүчийг өөрчлөхөөс өмнө тэнхлэгийн тэнхлэгийг хөдөлгөхийн тулд M материаллаг цэгийг хөдөлгөж болохгүй, тэнхлэгтэй зэрэгцээ байрлуулна. М цэгийг x = a байрлалд x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

But.101 сарлаг робот зарцуулах шаардлагатай, хавар сунгахад 0.05 м, хэрэв хүч нь 100 Н бол булгийг сунгахад 0.01 м байна уу?

Шийдвэр: Хукийн хуулийн цаана булгийг сунгадаг хаврын хүч нь суналтын x -тэй пропорциональ байна, өөрөөр хэлбэл F = KX, de k нь пропорциональ коэффициент юм. Угаалгын даалгавар дууссаны дараа F = 100 N хүч нь булгийг х = 0.01 м хүртэл татна; ижил, 100 = k * 0.01, од k = 10000; ижил, F = 10000x.

(41.10) томъёог үндэслэн роботын Шукана

Өгзөг 41.11. Хэрэв та үүнийг зарцуулах шаардлагатай бол роботтой танилцахын тулд босоо цилиндр хэлбэртэй усан сангаас х м өндөр, суурийн радиус R м -ээс ховилын ирмэг дээр викачати хийх хэрэгтэй.

Шийдвэр: h -ийн өндрийн өндрийг эргүүлэх чадвартай робот. Бүх танк дахь өсөлтийн бөмбөлгүүд нь доод налуу дээр байрладаг бөгөөд өргөгчийн өндөр (усан сангийн ирмэг хүртэл) жижиг бөмбөлгүүд нь ижил биш юм.

Схем II (дифференциал арга) нь тогтоосон тэмдэглэгээг шалгахад ашиглагддаг. 193 -р зүйлд заасны дагуу координатын системийг нэвтрүүлсэн.

1. Ридини товшчиною x (0 !!!) бөмбөгний усан сангаас викачуванняг харах гэж буй робот.< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. x -ийг Δx = dx утгаар өөрчлөхөд ΔA өсөлтийн толгой хэсэг нь мэдэгдэж байна, өөрөөр хэлбэл A (x) функцийн дА дифференциал нь мэдэгдэж байна.

Zvazhayuchi krykhta dx vazhaєmo дээр тул шугамын "анхан шатны" бөмбөг ижил урттай (усан сангийн ирмэг рүү) байна (див. Зураг 193). Todi dA \ u003d dp * x, de dp - wha ts'go ball; vіn dorіvnyuє g * g dv, de g - хурдасгасан vіnnogo fadіnnya, g - rіdini, dv - obsyag "анхан шатны" бөмбөгний бөмбөг (бага зэрэг үзэгдлийн хувьд), өөрөөр хэлбэл dp = gg dv. Обязыг томилогдсон бөмбөг рүү, мэдээж, dorіvnyuє π R 2 dx, de dx - цилиндрийн өндөр (бөмбөг), π R 2 - таны унтдаг хэсэг, тобто. E. Dv = π R 2 dx.

Ийм зэрэглэлд dp = gg байна π R 2 dx і dA = gg π R 2 dx * x.

3) ирмэг хоорондын ялгааг x = 0 -ээс x = H хүртэл нэгтгэх нь мэдэгдэж байна

Шлях, дамжин өнгөрөх хэсэг

Материаллаг цэгийг v = v (t) өөрчлөгдөх хурдаар шулуун шугамын дагуу хөдөлгөе. Бид S замыг мэддэг, t 1 -ээс t 2 хүртэл нэг цаг өнгөрдөг.

Шийдвэр: Энгийн сэтгэлгээний үзэл бодлын бие махбодийн өөрчлөлтөөс эхлэн нэг шулуун шугамын цаг хүртэлх цэг хүртэл "замын шулуун шугамын хурд нь энгийн сэтгэлгээтэй маршрутаар цаг тутамд", өөрөөр хэлбэл. T 1 -ээс t 2 хүртэлх хил хоорондын ялгааг нэгтгэсэн болно

Мэдээжийн хэрэг, дуулах интегралийг хадгалах I эсвэл II схемийг ашиглан томъёог арилгах боломжтой.

Товч 41.12. Шалны хурд v (t) = 10t + 2 (m / s) тул 4 секундын дотор эрдэнэ шишийн чихэнд хүрэх замыг мэдэж аваарай.

Шийдвэр: Хэрэв v (t) = 10t + 2 (m / s) байвал алхах нь зөвхөн эрдэнэ шишийн чихээр (t = 0) 4 дэх секунд, замын төгсгөл хүртэл өнгөрнө.

Ридини босоо таваг дээр тонгорог хийнэ

Мэдээжийн хэрэг, Паскалын хуулийн дагуу хэвтээ хавтан дээрх шугамын бариул нь шугамын өндөр шугам бөгөөд би төлбөр төлөхөд жингийн хувьд Сидины босоо гадаргуугаас шугамын гүн байдаг. юм, E. P * = h * de g * шал, g - шугамын зузаан, S - хавтангийн талбай, h - гадаргуугийн талбай.

Энэхүү томъёоны хувьд та босоо цооног дээрх хавтан дээрх шугамын атгалтыг хийж болно, ингэснээр цэг нь жижиг налуу дээр байрладаг.

Хавтгайг x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) і y 2 = ƒ 2 (x) шугамуудаар хүрээлсэн зам дээр босоо байдлаар уйтгартай байлгах; вибран координатын систем нь бяцхан хүүхдийн 194 -д заасны дагуу ийм байна. Ридини хавтан дээр атгахын тулд II схемийг ашиглана (дифференциал арга).

1. Shukano утгын P є функцийн хэсгийг x: p = p (x) -ээс, өөрөөр хэлбэл P = p (x) нь ялтсан хэсгийн [a; x] үрчлээний утга x, de x є [a; b] (p (a) = 0, p (b) = P).

2. Дамо аргумент x пририст Δx = dx. P (x) функц ялах уу? P (нялх хүүхдэд - жижиг бөмбөг dx). Бид функцийн дифференциал dp -ийг мэддэг. Dx krykhta дээр чимээ шуугиан гаргахад бид тэгш өнцөгт бүхий дөрвөлжинтэй ойрхон байх болно, бүх толбо нь ижил глибин дээр байдаг, өөрөөр хэлбэл хавтан хэвтээ байна.

Паскалын хуулийн цаана байгаа Тоди

3. x = a -аас x = B хүртэлх хил хязгаар дахь тэгшитгэлийг нэгтгэх,

Товч 41.13. Viznachit дугуй нь хөтчийн атгах хэмжээ, босоо чиглэлд, радиус нь R, төв нь хөтчийн гадаргуу дээр байрладаг (див. Зураг 195).

Тэнхлэгийн системийн статик момент S y

Хязгаарлалтын хазайлтын зэрэглэлийг хазайлгахын тулд статик моментийг эргүүлэхийн тулд нэгтгэнэ.

Nekhai y = ƒ (x) (a≤ x≤ b) - AB материалын муруйн утга. Бид g (g = const) шугамын дараах шугамаар нэг талыг барина.

Хэвийн хувьд x є [a; b] AB муруй дээр (x; y) координаттай цэг байна. Анхдагч dl -ийн муруй дээр харагдаж, (x; y) цэгээс өшөө авах болно. Todi masa tsієї dilyanka dorіvnyu g dl. Хүлээн зөвшөөрөгдөх dl нь О тэнхлэгээс ар тал хүртэлх зайнаас ойролцоо байна. DS x статик моментийн дифференциал ("энгийн мөч") нь d d, өөрөөр хэлбэл DS x = g dlу (хуваалт. Зураг 196) -д тохиромжтой байх болно.

Svidsy vyplyaє, харин статик момент S x муруй тэнхлэгээс AB dorivnyu

Үүний нэгэн адил бид S y -г мэднэ:

S x і S y муруй статик мөчүүд нь вагигийн төвийг (массын төв) хялбархан байрлуулах боломжийг олгодог.

Хүнд материалын хавтгай муруйн төв y = ƒ (x), x Î -ийг талбайн цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд Володя бол довтолгооны хүч юм: хэрэв дунд хэсгийн бүх хэсэгт m массыг бүхэлд нь муруй гэж үзвэл статик болно. цэгийн замын мөч үргэлж координат муруй y \ u003d ƒ (x) нь тэнхлэгтэй маш төстэй байдаг. AB муруйн вагигийн төвийг C (x c; y c) гэж тэмдэглэе.

Машины төв тэнцүү байх ёстой Звидси

Хавтгай дүрс бүхий вагигийн төвийн статик момент ба координатын тооцоо

Y = ƒ (x) 0 муруй ба y = 0, x = a, x = b шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс (хавтан) -ыг өгье (div. Зураг 198).

Хавтангийн гадаргуу нь байнгын (g = const) болохыг бид анхаарч үзэх болно. Todi masa "бүх ялтсууд нь хаалга g * S, өөрөөр хэлбэл E Үл мэдэгдэх өндөр босоо утааны дэргэдэх хавтангийн анхан шатны үзүүр, шулуун урагш ойртох болно.

Todi masa yogo dorivnyuє g ydx. Z тэгш өнцөгтийн хүндийн төв нь тэгш өнцөгтийн диагоналийн хөндлөн огтлол дээр байрладаг. C цэг нь Ox тэнхлэгээс 1/2 * y хүртэл, Oy тэнхлэгээс x хүртэл (ойрхон, илүү нарийвчлалтай, x + 1/2 Δx цэг дээр) явна. Оди ба Ою тэнхлэгүүдийн статик моментуудын тоонд зориулсан Тоди

Otzhe, wagi maє координатын төв

Интеграл (OI) утгыг математик, физикийн практик нэмэлтүүдэд өргөн ашигладаг.

Өдрийн цагаар бусад OI -ийн цаана байгаа геометрийн хувьд энгийн дүрс, эвхэгддэг гадаргуу, эзэлхүүн ороосон орчин үеийн хэлбэр, орчин үеийн хэлбэр, талбайн болон орон зайд илүү их муруй байдаг.

OI -ийн физик ба онолын механикийг статик момент, материалын муруй ба гадаргуугийн массын төв, массыг тооцоолох, муруй зам дагуух роботын хүчийг тооцоолоход ашигладаг.

Хавтгай фигуригийн талбай

$ Y = y_ (1) \ зүүн (x \ баруун) $ муруйгаар хүрээлэгдсэн дээд хэсэгт $ xOy $ Декартын тэгш өнцөгт координатын системд хавтгай дүрс байхгүй, доод талд - $ y = y_ ( 2) \ left (x \ right) $, баруун талд босоо шугамаар $ x = a $ і $ x = b $ бололтой. Ийм дүрс бүхий хичээнгүй випад талбарт нэмэлт OI $ S = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) \ left (x \ right) -y_ ( 2) \ зүүн (x \ баруун) \ баруун) \ cdot dx $.

Түүнчлэн, $ xOy $ Декартын тэгш өнцөгт координатын системийн хавтгай дүрс нь $ x = x_ (1) \ зүүн (y \ баруун) $ муруйгаар хүрээлэгдсэн бөгөөд $ x = x_ (2) \ зүүн ( y \ right) $, мөн доор ба түүнээс дээш хэвтээ шулуун шугамаар $ y = c $ і $ y = d $ шиг байвал ийм зургийн талбай бусад OI $ S = \ int \ хязгааруудын ард эргэх болно. _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) \ left (y \ right) -x_ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

Туйлын координатын системд харж болох хавтгай дүрс (винутын салбар) байхгүй бол тасралтгүй функцын графикаар тохируулагдсан болно $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $, мөн хоёр солилцоо $ \ phi = \ alpha $ i замаар явах \ $ phi = \ beta $ зөв байна. Ma viglyad -ийн ийм муруй секторын талбайг тооцоолох томъёо: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2 ) \ зүүн (\ phi \ баруун) \ cdot d \ phi $.

Довжина муруй муруй

$ \ Зүүн [\ альфа, \; \ Бета \ баруун] $ муруй нь туйлын координатын системд $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $ -тай тэнцүү тохируулагдсан бол нумын нумыг нэмэлт OI $ L = \ int -ийн дагуу тооцоолно. \ хязгаар _ (\ альфа) ^ (\ бета) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ зүүн (\ phi \ баруун) + \ rho " ^ (2) \ зүүн (\ phi \ баруун)) \ cdot d \ phi $.

Хэрэв муруй нь $ \ left $ шугаман дээр $ y = y \ left (x \ right) $ -тай тэнцүү өгөгдсөн бол нумын нумыг нэмэлт OI $ L = \ int \ хязгаарыг _ (a) тооцоолно. ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ зүүн (x \ баруун)) \ cdot dx $.

$ \ Зүүн [\ альфа, \; \ Бета \ баруун] $ муруй нь параметрийн дагуу өгөгдсөн бөгөөд ингэснээр $ x = x \ left (t \ right) $, $ y = y \ left (t \ right) $, дараа нь її нумыг нэмэлт OI -д тооцоолно. $ L = \ int \ хязгаар _ (\ альфа) ^ (\ бета) \ sqrt (x " ^ (2) \ зүүн (t \ баруун) + y" ^ (2) \ зүүн (t \ баруун)) \ cdot доллар.

Зэрэгцээ перерезив хэсгүүдийн ард obsyagu tila -ийн тооллого

$ A \ le x \ le b $ -т баяртай байгаа цэгүүдийн координат, мөн бүх хэсэгт $ S \ left (x \ баруун) $ тэнхлэгт перпендикуляр талбайтай $ Ox $.

Ийм тооцоог хийх томъёо нь $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx $ юм.

Obsyag tila боох

$ \ Left $ -н төгсгөлд очвол $ y = y \ left (x \ right) $ функц өгөгдсөн бөгөөд энэ нь муруй трапец (CRT) үүсгэдэг. Хэрэв та MCT -ийг $ Ox $ тэнхлэгээр ороосон бол боох замаар дуудсан шударга дүр эсгэдэг.

Тооцоолохдоо бид зэрэгцээ шилжилтийн талбайн цаана байгаа биеийн тоог хязгаарлах болно. $ V = \ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) S \ зүүн (x \ баруун) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ зүүн (x \ баруун) \ cdot dx $.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системд хавтгай дүрс байхгүй байна $ xOy $ дээд талд нь $ y = y_ (1) \ зүүн (x \ баруун) $ муруйгаар хүрээлэгдсэн, доод талд - $ y = муруйгаар хүрээлэгдсэн байна. y_ (2) \ left (x \ right) $, de $ y_ (1) \ left (x \ right) $ і $ y_ (2) \ left (x \ right) $ - тасалдалгүй функц байхгүй, буруу ба баруун босоо шугамууд $ x = a $ і $ x = b $ гэдэгт итгэлтэй байна. $ Ox $ тэнхлэгийг тойрон эргэхээр тохируулсан OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) ^ (2) \ left (x) \ баруун) -y_ (2) ^ (2) \ зүүн (x \ баруун) \ баруун) \ cdot dx $.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системд хавтгай дүрс байхгүй байна $ xOy $ баруун талд муруйгаар хүрээлэгдсэн байна $ x = x_ (1) \ зүүн (y \ баруун) $, буруу талд - муруй $ x = x_ ( 2) \ left (y \ right) $, de $ x_ (1) \ left (y \ right) $ і $ x_ (2) \ left (y \ right) $ - тасалдалгүй функц байхгүй, доороос дээш хэвтээ шугамууд $ y = c $ і $ y = d $ гарцаагүй. $ Oy $ тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж буй OD $ V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) ^ (2) \ зүүн (y \ баруун) -x_ (2) ^ (2) \ зүүн (y \ баруун) \ баруун) \ cdot dy $.

Гадаргуугийн талбайг боосон байна

$ \ Left $ гэсэн сөрөг бус функц руу орцгооё $ y = y \ left (x \ right) $ with a тасалдалгүй энгийн $ y "\ left (x \ right) $ verilen. $, Дараа нь тэр өөрөө зүгээр л боохоор тохируулагдсан болно. , мөн MCT -ийн нум гадаргуу дээр байна. \ баруун) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ зүүн (x \ баруун)) \ cdot dx $.

$ X = \ phi \ left (y \ right) $, de $ \ phi \ left (y \ right) $ муруйг $ c \ le y \ le d $ -д өгсөн нь сөрөг биш болохыг хүлээн зөвшөөрч байна. $ Oy $ тэнхлэгийг тойрон орооно. Тохируулсан биеийн гадаргуугийн талбайн хүрээний төгсгөлд боолтыг эрчилсэн OI $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ хязгаар _ (c) ^ (d) \ phi \ left (y \ баруун) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ зүүн (y \ баруун)) \ cdot dy $.

Физик нэмэлтүүд OI

Зайны детекторын хувьд цаг хугацааны хувьд $ t = T $ материалын цэгийн шингэний өөрчлөлтийн өөрчлөлтөөр $ v = v \ зүүн (t \ баруун) $, уналт эхлэх үед. $ t = t_ (0) $ цагийн турш, vicorist нь OI $ S = \ int \ limits _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
Роботын хүчийг тооцоолохын тулд $ F = F \ left (x \ right) $, материаллаг цэгтээ хүрэхийн тулд $ Ox = тэнхлэгээс $ x = a $ цэгээс $ x цэг хүртэл шулуун шугамын дагуу хөдөлнө. = b $ (шууд замаас гарах хүч) vikoristovuyu OI $ A = \ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) F \ зүүн (x \ баруун) \ cdot dx $.
$ Y = y \ left (x \ right) $ материалын муруйн координатын тэнхлэгээс $ \ left $ интервал хүртэлх статик моментууд $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a ) ^ (b) y \ зүүн (x \ баруун) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ зүүн (x \ баруун)) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ зүүн (x \ баруун)) \ cdot dx $.
Материалын муруй төв бол дэлхийн өнцөг булан бүрийг мэргэн ухаанаар эрэмбэлсэн цэг бөгөөд координатын тэнхлэгийн дагуух цэгийн статик моментуудыг бүх муруй бүхний ерөнхий статик момент болгон тохируулдаг. .

$ X_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left) хавтгай муруй массын төв хүртэлх координатыг тооцоолох томъёо x \ баруун)) \ cdot dx) (\ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ зүүн (x \ баруун)) \ cdot dx) $ і $ y_ ( C) = \ frac (\ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx ) (\ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ зүүн (x \ баруун)) \ cdot dx) $.

Олон тооны координатын тэнхлэгтэй CMT үзэгч дээрх материаллаг хавтгай дүрс бүхий статик мөчүүд $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ томъёогоор эргэлддэг. (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x) \ баруун) \ cdot dx $.
$ Y = y \ left (x \ right) $ муруйгаар $ x_ (C) = томъёогоор тооцоолсон $ y = y \ left (x \ right) $ муруйгаар тохируулсан MCT үзэгчийн асар том хавтгай зургийн төвийг зохицуулна. \ frac (\ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ зүүн (x \ баруун) \ cdot dx) (\ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) y \ зүүн (x \ баруун) ) \ cdot dx) $ і $ y_ (C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ зүүн (x \ баруун) \ cdot dx) (\ int \ хязгаар _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot dx) $.

Сэдэв 6.10. Дуулах интегралд геометрийн болон физик нэмэлтүүд

1. y = f (x) (f (x)> 0) муруйгаар, x = a, x = b шулуун ба параллель [a, b] тэнхлэгээр солигдсон муруй трапецын талбай. Томъёогоор тооцоолсон үхэр

2. y = f (x) і y = g (x) (f (x) муруйгаар хүрээлэгдсэн figuri -ийн талбай< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Хэрэв муруйг x = x (t), y = y (t) параметрийн тэнцүү параметрүүдээр өгвөл шулуун муруйгаар хүрээлэгдсэн муруй трапецын талбай x = a , x = b, томъёоны ард байрладаг

4. Nekhai S (x) - шалны талбай нь Ox тэнхлэгт перпендикуляр, зөвхөн шалны хэсэг, x = a і x = b перпендикуляр тэнхлэгийн хооронд байрлуулсан хэсэг нь томъёоны ард байрладаг

5. y = f (x) муруйгаар хүрээлэгдсэн муруй трапеци руу бүү яв y = 0, x = a і х = b, тэнхлэгээ тойрон боож, томъёоны дагуу тооцоолох боодлыг тойруул.

6. Х = g (y) і муруйгаар хүрээлэгдсэн муруй трапеци руу бүү яв

шулуун шугамууд x = 0, y = c і y = d, тэнхлэгийг O y боож, todі боолтыг тойруулан томъёогоор тооцоолно

7. Хэрэв тэгш өнцөгт координатын системд хавтгай муруй авчирч, y = f (x) (эсвэл x = F (y)) -тэй тэнцүү өгвөл нумын олзыг томъёогоор тогтооно.

Головна> Лекц

Лекц 18. Дуулах интегралийн нэмэлтүүд.

18.1. Хавтгай дүрс бүхий талбайн тооллого.

Муруй трапецын талбайн ирмэг дээр, д (f) функцийн графикаар хүрээлэгдсэн дуулах салшгүй хэсэг бололтой. Хэрэв оёдлын график нь Ox тэнхлэгээс доогуур байвал tobto f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, дараа нь талбайг "+" тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Нийт талбайн талаархи мэдлэгийн хувьд томъёо нь ялалт байгуулна.

Деаким шугамаар хүрээлэгдсэн барималуудын талбайг дуулах интегралуудын тусламжтайгаар, мөн нийтлэг шугамуудаас мэдэж болно.

Товч. Y = x, y = x 2, x = 2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн барималуудын талбайг мэдэх.

Шукана хэсгийг (зураг дээр сүүдэрлэсэн) томъёоны ард олж болно.

18.2. Муруй салбарын талбайн талаархи мэдлэг.

Муруй салбарын мэдэгдэж буй талбайн хувьд туйлын координатын системийг нэвтрүүлсэн. Ривняня тахир, салбарыг бүхэл бүтэн координатын системд холбож, ма вигляд  = f (), де -довжина радиус - векторууд, муруй цэгээс нэг туйл,  - кут нахила радиус - туйл руу чиглэсэн вектор ...

Муруйн салбарын талбайг томъёоны ард олж болно

18.3. Муруйн тооцоолол нь муруй юм.

y y = f (x)

S i y i

Dovzhina lamanoi linea, yaka vidpovidak duzi, магадгүй та сарлагийг мэддэг байх
.

Тоди довжина нуман доривню
.

Гурван геометрийн миркуван:

Яг тэр цагт

Тодийг үзүүлэх боломжтой

Тобто

Хэрэв муруй нь параметрийн дагуу өгөгдсөн бол хуучин параметрийг тооцоолох дүрмийг үндэслэн энэ нь болно

de x =  (t) і у =  (t).

юу өгсөн өргөн муруй, І х =  (t), у =  (t) і z = Z (t), дараа нь

Яксо муруйг тохируулсан болно туйлын координат, тэгвэл

,  = f ().

өгзөг: X 2 + y 2 = r 2 гэр бүлд өгсөн гадасны хэмжээг мэдэх.

1 арга Vislovimo rіvnyannya zminnu -аас.

Би явах болно гэдгээ мэдэж байна

Todi S = 2r. Otrimalnovydom томъёо dozhini cola.

2 талынХэрэв танд туйлын координатын системд шугам өгвөл энэ нь маш их санаа зовдог: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, the = f () = r функцтэй болно.
Тоди

18.4. Тооцоолсон эзлэхүүн

Зэрэгцээ perereziv өгөгдсөн талбайн ард obsyagu tila тооцоо.

Үүнд санаа зовох хэрэггүй V. Биеийн Q хөндлөн уналтын талбай, Q = Q (x) тасралтгүй функц хэлбэрээр. X i rozbittya vіdrizka цэгүүдээр дамждаг хөндлөн огтлолцол бүхий "шари" дээр Rozib'єmo tilo. Q (x) функцийн завсрын зарим төрлийн хэлбэлзэл тасалдахгүй, дараа нь хамгийн бага нь хамгийн сүүлийн үеийнх гэж хүлээн зөвшөөрөгдөнө. Анхаарах зүйл бол їх нь M i і m i -ээс гаралтай.

Хэрэв цилиндрийг зэрэгцээ тэнхлэгээр барьсан бол хамгийн жижиг нь хамгийн бага хэмжээтэй эргэвэл цилиндрийн дүүжин нь хоорондоо төстэй байх болно i i - x i = x.

Хэрэв та бүх төрлийн розитад ийм урам зориг өгсөн бол цилиндрээ тайлж, ийм мэдээлэл авахыг хүсээрэй
і
.

Прагматик тэг бол crocus rosbitta , tsi sumi нь загалийн хил үүсгэж болзошгүй.

Ийм зэрэглэлд томъёоны ард байгаа мэдлэгээс obsyag tila олж болно.

Цөөн тооны томъёонд Q (x) функцын талаар мэдлэгтэй байх шаардлагатай функцүүдийн талаар мэдлэгтэй байх шаардлагатай боловч эвхэгддэг биетүүдийн хувьд асуудалтай байдаг.

өгзөг:Ум ум радиус R -ийн талаар мэдэх.

Коулын хөндлөн хөндлөвч дээр радиус нь өөрчлөгддөг гадас байдаг. Үүний зэрэгцээ x tsei радиусын урсгалын координатаас томъёог дагана уу
.

Ма вигляд overretin талбайн Тоди функц: Q (x) =
.

Otrimuєmo ob'єm kuli:

өгзөг:Сансрын талбайн том хэмжээтэй талаар мэдэхийн тулд С.

Өндөрт перпендикуляр хэсгүүдийг хөмрөхөд хэсэг хугацааны дараа бид зарим дүрсийг харж болно. Эдгээр тоонуудын хэрэгцээнд зориулсан коэффициент x / H, de x - талбайгаас пирамидын орой хүртэл явдаг.

Талбай дээрх байгууламжийг тээвэрлэх нэмэлт тоонуудын талбайг харуулсан геометр

Бид хамт ажиллагсдын талбайн үйл ажиллагааг таньж мэдэх боломжтой болно.

Obsyag pіramidi -ийн талаар мэддэг.

18.5. Obsyag боох хүртэл.

Муруй нь y = f (x) -тэй тэнцүү харагдаж байна. F (x) функц нь завсарлагагүй гэдгийг хүлээн зөвшөөрч байна. Би муруй шугаман трапецийг зурахдаа a ба b суурийг тэнхлэгээ тойруулан боож өгнө tilo боох.

y = f (x)

Oskіlki dermal peretin tila талбай x = const є colo radius
Дараа нь obsyag tila боодлыг otriman vische томъёоны ард амархан олох боломжтой.

18.6. Гадаргуугийн талбайг боосон байна.

М би Б.

үнэ цэнэ: Хавтгай гадаргууг боохӨгөгдсөн тэнхлэгийн ойролцоох тахир AB нь ламаникуудын боодлын гадаргуугийн талбайг AB муруйд бичээд ламаничуудын хамгийн түгээмэл зээрийг тэг рүү түлхэх хүртэл хил хязгаарыг дуудна.

AB нумыг M 0, M 1, M 2, ..., M n цэгүүдээр n хэсэг болгон босго. Оройнуудын координатууд нь rimano lamano, координатууд x i і y i. Ламиныг тэнхлэгээр ороосон үед гадаргууг toP i зам болох тайрсан боргоцойн хажуугийн гадаргуугаас нугалж болох гадаргуу дээр тавих боломжтой. Тухайн газрын qia -ийг дараахь томъёогоор мэдэж болно.

Энд S i бол арьсны жорди юм.

Застосовын Лагранжийн теорем (хув. Лагранжийн теорем) Мэдэгдэхээс өмнө
.

1. Хавтгай фигуригийн талбай.

Сөрөг бус функцээр хүрээлэгдсэн муруй трапецын талбай f (x), Vissy abscis ба шулуун x = a, x = b, Сарлагийг эхлүүлэх S = ∫ a b f x d x.

Муруй трапецын талбай

Фигуригийн талбай, функцээрээ хоорондоо холбогддог f (x),, S = Σ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - Σ i: f x томъёогоор эхэлье.< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i- тэг функц. Өөрөөр хэлбэл та фигуригийн төвийн талбайг тоолох хэрэгтэй, үүнийг эвдэх хэрэгтэй функц тэг f (x)хэсэгчлэн, функцийг нэгтгэх fВишовын арьс дээр тэмдгийн тогтмол байдал, интегралийн ирмэгийн эргэн тойрон дахь чиглэл, зарим функцууд fтэмдгийг хүлээн авч, анхны найзаасаа таних.

2. Муруй салбарын талбай.

Муруй салбарын талбай Разгленемо муруй ρ = ρ (φ) туйлын координатын системд де ρ (φ) - тасалдалгүй, сөрөг бус [α; β] функц. Муруйгаар хүрээлэгдсэн Фигура ρ (φ) би солилцдог φ = α , φ = β , Муруй салбар гэж нэрлэгдэх болно. Замын муруй хэсгийн талбай S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.

3. Obsyag tila боох.

Obsyag tila боох

Үүнийг тэнхлэг OX муруй трапеци хэлбэрээр ороож, хэлбэр дүрс нь тасалдалгүй орооно функц f (x)... Yogo obsyag V = π ∫ a b f 2 x d x томъёог эргүүлнэ.

Хөндлөн даралтын талбайн ард байгаа биеийн эзлэхүүний талаархи мэдлэгийн талаархи даалгавруудын өмнө

Талбайн хооронд Nehay tilo тавьдаг x = aі x = b, Мөн талбайг бүсээр нь огтолсон тул цэгээр дамжина x, - тасалдалгүйгээр функц x (x)... Тоди ёго обсяг зам V = ∫ a b σ x d x.

4. Довжина нуман муруй.

R → t = x t, y t, z t муруй бүү өг t = αі t = βтомъёогоор эргүүл S = ∫ α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Довжина хавтгай муруй Зокрем, довжина хавтгай муруй, координатын талбай дээр хэрхэн тохируулах вэ OXYРивянням y = f (x), a ≤ x ≤ b, S = ∫ a b 1 + f 'x 2 dx томъёогоор дүүжин.

5. Боодлын гадаргуугийн талбай.

Гадаргуугийн талбайг боосон байна Гадаргууг функцийн тэнхлэгийн OX графикаас боож боох хүртэл тохируулцгаая y = f (x), a ≤ x ≤ b, Би ажилладаг fБи бүхэл бүтэн цуврал мессежийг тасалдуулалгүй явах болно. Гадаргуугийн бодит талбайг Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f 'x 2 d x томъёогоор ороосон болно.