adsby.ru → Навколишній світ

Моделі нестаціонарних часових рядів і їх ідентифікація. Моделі стаціонарних і нестаціонарних часових рядів і їх ідентифікація. Системи економетричних рівнянь

Досить часто економічні показники, представлені у вигляді тимчасового ряду, мають складну структуру. Моделювання таких рядів шляхом побудови моделі тренда, сезонності і періодичної складової не приводить до задовільних результатів. Ряд залишків часто має статистичні закономірності. Найбільш поширеними моделями стаціонарних рядів є моделі авторегресії і моделі змінного середнього.

Будемо розглядати клас стаціонарних часових рядів. Завдання полягає в побудові моделі залишків часового ряду u tі прогнозування його значень.

Авторегресійна модель призначена для опису стаціонарних часових рядів. Стаціонарний процес задовольняє рівняння авторегресії нескінченного порядку з досить швидко зменшуються коефіцієнтами. Зокрема тому авторегресійна модель досить високого порядку може добре апроксимувати майже будь-який стаціонарний процес. У зв'язку з цим модель авторегресії часто застосовується для моделювання залишків в тій чи іншій параметричної моделі, наприклад регресійній моделі або моделі тренда.

Марковскими називаються процеси, в яких стан об'єкта в кожен наступний момент часу визначається тільки станом в даний момент і не залежить від того, яким шляхом об'єкт досяг цього стану. У термінах кореляційного аналізу для часових рядів марковский процес можна описати таким чином: існує статистично значуща кореляційний зв'язок вихідного ряду з рядом, зсунутим на один часовий інтервал, і відсутня з рядами, зсунутими на два, три і т. Д. Тимчасових інтервалу. В ідеальному випадку ці коефіцієнти кореляції дорівнюють нулю.

u(t)=m u(t-1)+e(t) , (5.1)

де m- числовий коефіцієнт | m|<1, e(t) - послідовність випадкових величин, що утворюють «білий шум» (E ( e(t)) = 0, E ( e(t)e(t+ T)) =).

Модель (5.1) називається також марковским процесом.

E(u(t)) º0. (5.2)

r(u(t)u(t± t))=m t. (5.3)

Du(t)=s 2 /(1-m 2). (5.4)

cov ( u(t)u(t± t)) = m t Du(t). (5.5)

З (5.3) випливає, що при | m| близькому до одиниці дисперсія u(t) Буде набагато більше дисперсії e t. Це означає (з огляду на (5.2) m=r(u(t)u(t± 1)) = r(1), тобто параметр mможе бути інтерпретований як значення автокореляції першого порядку), що в разі сильної кореляції сусідніх значень ряду u(t) Ряд слабких збурень e tпороджуватиме розмашисті коливання залишків u(t).

Умова стаціонарності ряду (5.1) визначається вимогою | m|<1.

Автокореляційна функція (АКФ) r(t) Марковского процесу визначається співвідношенням (5.3).

Приватна автокореляційна функція

rчаст ( t)=r(u(t)u(t+t)) | u(t + 1)=u(t + 2)=…=u(t + t-1)=0

може бути обчислена за формулою: rчаст (2) = ( r(2)-r 2 (1))/(1-r 2 (1)). Для другого і вище порядків (див., С. 413, 414) має бути rчаст ( t)=0 "t= 2,3, .... Це зручно використовувати для підбору моделі (5.1): якщо обчислені по оціненим нев'язками u(t)=y t-виборочние приватні кореляції статистично незначуще відрізняються від нуля при t= 2,3, ..., то використання моделі AR(1) для опису випадкових залишків який суперечить вихідним даним.

Ідентифікація моделі. Потрібно статистично оцінити параметри mі s 2 моделі (5.1) за наявними значеннями вихідного ряду y t.

Запровадження ............................................................... .2

1. Основні завдання аналізу часових рядів ............... .4

2. Аналіз часових рядів ....................................... .9

2.2 Невипадкова складова часового ряду і методи його згладжування ......................................................... 11

2.3 Моделі стаціонарних часових рядів і їх індефікації ... 13

2.3.2. Моделі змінного середнього порядку q (MA (q) -моделі) ... .17

Висновок ............................................................... 21

Література ............................................................... ..23

Вступ

В останні роки в економетричної літературі велика увага приділяється вивченню рядів динаміки часових показників. Різноманітні змістовні завдання економічного аналізу вимагають використання статистичних даних, що характеризують досліджувані економічні процеси і розгорнутих у часі у формі часових рядів. При цьому нерідко одні й ті ж тимчасові ряди використовуються для вирішення різних змістовних проблем.

Далеко не завжди значення часового ряду формуються тільки під впливом будь-яких чинників. Нерідко буває, що розвиток того чи іншого процесу обумовлено його внутрішніми закономірностями, а відхилення від детермінованого процесу викликані помилками вимірювань або випадковими флуктуаціями. Особливий інтерес представляють процеси, що знаходяться в «перехідному» режимі, тобто процеси, які є по суті «стаціонарними», але на досліджуваному проміжку часу проявляють властивості нестаціонарного часового ряду, що пояснюється далекими від стаціонарного режиму початковими умовами. У ситуаціях, коли часовий ряд формується під впливом деякого набору випадкових і невипадкових факторів, аналіз окремих часових рядів, як результуючих, так і факторних, має величезне значення. Це необхідно для правильної ідентифікації моделей, які будуються за інформацією про досліджуваних процесах (векторні авторегресії, моделі корекції помилок, динамічні моделі з розподіленими запізнюваннями і т.п.).

При аналізі часових рядів основна увага приділяється дослідженню, опису і / або моделювання їх структури. Мета таких досліджень, як правило, ширше просто моделювання дослідження відповідних процесів. Побудована модель зазвичай використовується для екстраполяції або прогнозування часового ряду, і тоді якість прогнозу може служити корисним критерієм при виборі серед кількох альтернативних моделей. Побудова хороших моделей ряду необхідно і для інших додатків, таких, як коригування сезонних ефектів і згладжування. Нарешті, побудовані моделі можуть використовуватися для статистичного моделювання довгих рядів спостережень при дослідженні великих систем, для яких часовий ряд розглядається як вхідна інформація.

У зв'язку з наявністю помилок вимірювання економічних показників, наявністю випадкових флуктуацій, властивих піднаглядним системам, при дослідженні часових рядів широко застосовується ймовірносно-статистичний підхід. В рамках такого підходу спостережуваний тимчасової ряд розуміється як реалізація деякого випадкового процесу. При цьому неявно передбачається, що часовий ряд має якусь структуру, яка відрізняє його від послідовності незалежних випадкових величин, так що спостереження не є набором абсолютно незалежних числових значень. (Деякі елементи структури ряду іноді можна виявити вже на підставі простого візуального аналізу графіка ряду. Це відноситься, наприклад, до таких компонентів ряду, як тренд і цикли.) Зазвичай передбачається, що структуру ряду можна описати моделлю, що містить невелику кількість параметрів в порівнянні з кількістю спостережень, це практично важливо при використанні моделі для прогнозування. Прикладами таких моделей служать моделі авторегресії, ковзного середнього та їх комбінації - моделі AR (p), MA (q), ARMA (p, q), ARIMA (p, k, q).

При побудові моделей зв'язків в довгостроковій перспективі необхідно враховувати факт наявності або відсутності у аналізованих макроекономічних рядів стохастичного (недетермінірованного) тренда. Інакше кажучи, доводиться вирішувати питання про віднесення кожного з розглянутих рядів до класу рядів, стаціонарних щодо детермінованого тренду (або просто стаціонарних) - TS (trend stationary) ряди, або до класу рядів, що мають стохастичний тренд (можливо, разом з детермінованим трендом) і приводяться до стаціонарного (або стаціонарного щодо детермінованого тренду) ряду тільки шляхом одноразового або k-кратного диференціювання ряду - DS (difference stationary) ряди. Принципова відмінність між цими двома класами рядів виражається в тому, що в разі TS ряду віднімання з ряду відповідного детермінованого тренду призводить до стаціонарного ряду, тоді як у разі DS ряду віднімання детермінованою складової ряду залишає ряд нестаціонарним через наявність у нього стохастичного тренду.

Глава 1. Основні завдання аналізу часових рядів.

Принципові відмінності тимчасового ряду від послідовності спостережень, що утворюють випадкову вибірку, полягають в наступному:

по-перше, на відміну від елементів випадкової вибірки члени тимчасового ряду не є незалежними;

по-друге, члени тимчасового ряду не обов'язково є однаково розподіленими, так що P (xt< x} P{xt < x} при t t.

Це означає, що властивості і правила статистичного аналізу випадкової вибірки не можна поширювати на тимчасові ряди. З іншого боку, взаємозалежність членів тимчасового ряду створює свою специфічну базу для побудови прогнозних значень аналізованого показника по наблюденним значенням.

Генезис спостережень, що утворюють часовий ряд (механізм породження даних). Йдеться про структуру і класифікації основних чинників, під впливом яких формуються значення часового ряду. Як правило, виділяються 4 типи таких факторів.

Довготривалі, що формують загальну (в тривалій перспективі) тенденцію в зміні аналізованого ознаки xt. Зазвичай ця тенденція описується за допомогою тієї чи іншої невипадковою функції fтр (t) (аргументом якої є час), як правило, монотонної. Цю функцію називають функцією тренда або просто - трендом.

Сезонні, що формують періодично повторювані в певну пору року коливання аналізованого ознаки. Оскільки ця функція (е) повинна бути періодичної (з періодами, кратними «сезонах»), в її аналітичному вираженні беруть участь гармоніки (тригонометричні функції), періодичність яких, як правило, обумовлена змістовної сутністю завдання.

Циклічні (кон'юнктурні), що формують зміни аналізованого ознаки, зумовлені дією довготривалих циклів економічної або демографічної природи (хвилі Кондратьєва, демографічні «ями» і т.п.) Результат дії циклічних факторів будемо позначати за допомогою невипадковою функції (t).

Випадкові (нерегулярні), що не піддаються обліку і реєстрації. Їх вплив на формування значень часового ряду якраз і обумовлює стохастичну природу елементів xt, а, отже, і необхідність інтерпретації x1, ..., xT як спостережень, зроблених над випадковими величинами 1, ..., Т. Будемо позначати результат впливу випадкових факторів за допомогою випадкових величин ( «залишків», «помилок») t.

Звичайно, зовсім не обов'язково, щоб у процесі формування значень будь-якого часового ряду брали участь одночасно чинники всіх чотирьох типів. Висновки про те, беруть участь чи ні чинники даного типу в формуванні значень конкретного ряду, можуть базуватися як на аналізі змістовної сутності завдання, так і на спеціальному статистичному аналізі досліджуваного часового ряду. Однак у всіх випадках передбачається неодмінна участь випадкових факторів. Таким чином, в загальному вигляді модель формування даних (при адитивної структурній схемі впливу факторів) виглядає як:

xt = 1f (t) + 2 (t) +3 (t) + t. (1)

де i = 1, якщо фактори i-го типу беруть участь у формуванні значень ряду і i = 0 - в іншому випадку.

Основні завдання аналізу часових рядів. Базова мета статистичного аналізу часового ряду полягає в тому, щоб за наявною траєкторії цього ряду:

визначити, які з невипадкових функцій присутні в розкладанні (1), тобто визначити значення індикаторів i;

побудувати «хороші» оцінки для тих невипадкових функцій, які присутні в розкладанні (1);

підібрати модель, адекватно описує поведінку випадкових залишків t, і статистично оцінити параметри цієї моделі.

Успішне вирішення перерахованих завдань, зумовлених базової метою статистичного аналізу часового ряду, є основою для досягнення кінцевих прикладних цілей дослідження і, в першу чергу, для вирішення завдання коротко- та середньострокового прогнозу значень часового ряду. Наведемо коротко основні елементи економетричного аналізу часових рядів.

Алгоритм побудови моделі часового ряду на прикладі адитивної і мультиплікативної моделей

Алгоритм побудови моделі часового ряду, що включає циклічні коливання, складається з основних етапів, зміст яких дещо відрізняється для адитивної і мультиплікативної моделей.

Спростимо модель, ввівши одне позначення для циклічної складової ряду, незалежно від тривалості циклу, або від її сезонної або кон'юнктурної природи. Позначимо її s t. Тоді аддитивная модель набуде вигляду y t = u t + s t + e t, а мультиплікативна - y t = u t * s t * e t.

Отже, основні етапи побудови моделі:

1) Згладжування вихідного ряду на основі середніх, які розраховуються за проміжок часу, що відповідає тривалості циклу.

2) Визначення значень циклічної або сезонної компоненти (детальніше див. Єлісєєва І.І., Куришева С.В., Костеева Т.В. та ін. Економетрика: Підручник. - М .: Фінанси і статистика, 2001. - С. 242-251). Для адитивної моделі сума значень цієї компоненти за всі періоди одного циклу повинна дорівнювати нулю, а в мультиплікативної моделі - числу періодів в циклі. За рахунок цього забезпечується взаімопогашаемость циклічної компоненти.

3) Усунення з моделі циклічних компонент. У адитивної моделі воно здійснюється шляхом віднімання, після чого модель набуде вигляду y t = u t + e t. У мультипликативной моделі воно здійснюється шляхом ділення, після чого модель набуде вигляду y t = u t * e t.

4) Аналітичне вирівнювання отриманого ряду y t = u t + e t або y t = u t * e t на основі побудови рівняння тренда y t = f (t).

5) До отриманих рівнями ряду додають циклічну компоненту (в разі адитивної моделі) або множать їх на неї (в разі мультиплікативної моделі): y t = f (t) + s t або y t = f (t) * s t.

6) Порівняння розрахункових значень рівнів ряду, отриманих за допомогою побудованої моделі, з фактичними значеннями. Оцінка отриманої моделі, розрахунок помилок.

Тимчасові ряди мають стохастичну природу і, відповідно, для них можуть бути розраховані різні імовірнісні характеристики.

Стаціонарний тимчасової ряд - це часовий ряд, для якого все ймовірні характеристики постійні.

Це означає, що якою б фрагмент часового ряду ми не взяли, імовірнісні характеристики значень показника будуть такими ж, як і для будь-якого іншого часового проміжку цього ряду. Трендовая компонента в стаціонарному ряду відсутній.

Нестаціонарний тимчасової ряд цією властивістю не володіє.

Наочно стаціонарний і нестаціонарний тимчасові ряди представлені на малюнку 5.1.

розрізняють поняття слабкоюі суворої стаціонарності. Щоб вважати ряд слабо стаціонарним, або стаціонарним в широкому сенсі слова, досить, щоб він мав постійні математичне сподівання, дисперсію і коефіцієнти автокореляції. Для більш суворого визначення стаціонарності необхідно сталість і інших імовірнісних характеристик (функція розподілу повинна бути однаковою), які докладно вивчаються в курсі теорії ймовірностей.

Слід пам'ятати, що будь-який строго стаціонарний ряд є і слабо стаціонарним, але не навпаки. Таким чином, перетин (загальна частина) безлічі слабо стаціонарних рядів і безлічі строго стаціонарних рядів є безліч строго стаціонарних рядів. Об'єднання безлічі слабо стаціонарних рядів і безлічі строго стаціонарних рядів - безліч слабо стаціонарних рядів (бо строго стаціонарні ряди входять в слабо стаціонарні).

Прикладом стаціонарного часового ряду може бути «білий шум» в регресійних моделях (тобто впорядковані в часі значення випадкової компоненти, для яких математичне сподівання і дисперсія постійні (в цьому випадку очікуване значення залишку дорівнює нулю), і ці значення некорреліровани один з одним ).

Ергодіческіе ряди. Важливою властивістю деяких стаціонарних рядів є властивість ергодичності. Суть цієї властивості полягає в тому, що для ергодичного ряду математичне очікування його рівнів в просторі збігається з математичним очікуванням його рівнів у часі.

Нехай для слабо стаціонарного процесу в будь-який момент часу t математичне очікування значення М (y t) = μ (це математичне очікування в просторі). Математичне сподівання в часі являє собою середнє з n значень часового ряду при n ® ¥. Якщо, то такий ряд - ергодичний.

Іншими словами, для стаціонарного часового ряду середнє значення по безлічі реалізацій для заданих моментів часу дорівнює середньому по часу, обчисленому по одній реалізації.

анотація: Під тимчасовими рядами розуміють економічні величини, що залежать від часу. При цьому час передбачається дискретним, в іншому випадку говорять про випадкових процесах, а не про тимчасові рядах.

Моделі стаціонарних і нестаціонарних часових рядів, їх ідентифікація

Нехай Розглянемо тимчасової ряд. Нехай спочатку тимчасової ряд приймає числові значення. Це можуть бути, наприклад, ціни на батон хліба в сусідньому магазині або курс обміну долара на рублі в найближчому обмінному пункті. Зазвичай в поведінці часового ряду виявляють дві основні тенденції - тренд і періодичні коливання.

При цьому під трендом розуміють залежність від часу лінійного, квадратичного чи іншого типу, яку виявляють той чи інший спосіб згладжування (наприклад, експоненціального згладжування) або розрахунковим шляхом, зокрема, за допомогою методу найменших квадратів. Іншими словами, тренд - це очищена від випадковостей основна тенденція часового ряду.

Часовий ряд зазвичай коливається навколо тренда, причому відхилення від тренда часто виявляють правильність. Часто це пов'язано з природною або призначеної періодичністю, наприклад, сезонної або тижневої, місячної або квартальної (наприклад, відповідно до графіків виплати латки і сплати податків). Іноді наявність періодичності і тим більше її причини неясні, і завдання економетрика - з'ясувати, чи дійсно є періодичність.

Елементарні методи оцінки характеристик часових рядів зазвичай досить докладно розглядаються в курсах "Загальної теорії статистики" (див., Наприклад, підручники), тому немає необхідності детально розбирати їх тут. (Втім, про деякі сучасні методи оцінювання довжини періоду і самої періодичної складової мова піде нижче.)

Характеристики часових рядів. Для більш детального вивчення часових рядів використовуються ймовірносно-статистичні моделі. При цьому часовий ряд розглядається як випадковий процес (з дискретним часом) основними характеристиками є математичне очікування, тобто

Дисперсія, тобто

і автокореляційна функціячасового ряду

тобто функція двох змінних, яка дорівнює коефіцієнту кореляціїміж двома значеннями часового ряду і.

У теоретичних і прикладних дослідженнях розглядають широкий спектр моделей часових рядів. виділимо спочатку стаціонарнімоделі. У них спільні функції розподілу для будь-якого числа моментів часу, а тому і всі перераховані вище характеристики часового ряду не змінюються з часом. Зокрема, математичне очікування і дисперсія є постійними величинами, автокореляційна функція залежить тільки від різниці. Тимчасові ряди, які не є стаціонарними, називаються нестаціонарними.

Лінійні регресійні моделі з гомоскедастичність і гетероскедастичними, незалежними і автокоррелірованнимі залишками. Як видно зі сказаного вище, основне - це "очищення" тимчасового ряду від випадкових відхилень, тобто оцінювання математичного очікування. На відміну від найпростіших моделей регресійного аналізу, Розглянутих в, тут природним чином з'являються більш складні моделі. Наприклад, дисперсія може залежати від часу. Такі моделі називають гетероскедастичними, А ті, в яких немає залежності від часу - гомоскедастичність. (Точніше кажучи, ці терміни можуть ставитися не тільки до змінної "час", але і до інших змінним.)

зауваження. Як вже зазначалося в "Багатомірний статистичний аналіз", найпростіша модель методу найменших квадратівдопускає досить далекі узагальнення, особливо в області систем одночасних економетричних рівнянь для часових рядів. Для розуміння відповідної теорії і алгоритмів необхідно професійне володіння матричної алгеброю. Тому ми відсилаємо тих, кому це цікаво, до літератури по системам економетричних рівнянь і безпосередньо по часових рядах, в якій особливо багато цікавляться спектральної теорією, тобто виділенням сигналу з шуму і розкладанням його на гармоніки. Підкреслимо в черговий раз, що за кожним розділом цієї книги стоїть велика область наукових і прикладних досліджень, цілком гідна того, щоб присвятити їй багато зусиль. Однак через обмеженість обсягу книги ми змушені виклад зробити конспективним.

Системи економетричних рівнянь

Приклад моделі авторегресії. В якості початкового прикладу розглянемо економетричну модель тимчасового ряду, що описує зростання індексу споживчих цін (індексу інфляції). Нехай - зростання цін на місяць (докладніше про цю проблематику см. "Економетричний аналіз інфляції"). Тоді на думку деяких економістів природно припустити, що

(6.1)

де - зростання цін в попередній місяць (а - деякий коефіцієнт загасання, що передбачає, що при відсутності зовнішній впливів зростання цін припиниться), - константа (вона відповідає лінійному зміні величини з часом), - доданок, відповідне впливу емісії грошей (тобто збільшення обсягу грошей в економіці країни, здійсненому Центральним Банком) в розмірі та пропорційне емісії з коефіцієнтом, причому цей вплив проявляється не відразу, а через 4 місяці; нарешті, - це неминуча похибка.

Модель (1), незважаючи на свою простоту, демонструє багато характерних рис набагато складніших економетричних моделей. По-перше, звернемо увагу на те, що деякі змінні визначаються (розраховуються) всередині моделі, як. Їх називають ендогенними (внутрішніми). Інші задаються ззовні (це екзогеннізмінні). Іноді, як в теорії управління, серед екзогенних змінних, виділяють керованізмінні - ті, за допомогою яких менеджер може привести систему в потрібне йому стан.

По-друге, в співвідношенні (1) з'являються змінні нових типів - з лагами, тобто аргументи на змінних відносяться не до поточного моменту часу, а до деяких минулим моментам.

По-третє, складання економетричної моделі типу (1) - це аж ніяк не рутинна операція. Наприклад, запізнення саме на 4 місяці в пов'язаному з емісією грошей слагаемом - це результат досить витонченої попередньої статистичної обробки. Далі, вимагає вивчення питання залежності або незалежності величин і. Від вирішення цього питання залежить, як вище вже зазначалося, конкретна реалізація процедури методу найменших квадратів.

З іншого боку, в моделі (1) всього 3 невідомих параметра, і постановку методу найменших квадратіввиписати неважко:

проблема ідентифікації документів. Уявімо тепер модель тапа (6.1) з великим числом ендогенних і екзогенних змінних, З лагами і складною внутрішньою структурою. Взагалі кажучи, нізвідки не випливає, що існує хоча б одне рішення у такої системи. Тому виникає не одна, а дві проблеми. Чи є хоч одне рішення (проблема ідентифікованих)? Якщо так, то як знайти найкраще рішення з можливих? (Це - проблема статистичної оцінки параметрів.)

І перша, і друга задача досить складні. Для вирішення обох завдань розроблено безліч методів, зазвичай досить складних, лише частина з яких має наукове обгрунтування. Зокрема, досить часто користуються статистичними оцінками, які не є заможними (строго кажучи, їх навіть не можна назвати оцінками).

Коротко опишемо деякі поширені прийоми при роботі з системами лінійних економетричних рівнянь.

Система лінійних одночасних економетричних рівнянь. Чисто формально можна все змінні висловити через змінні, що залежать тільки від поточного моменту часу. Наприклад, в разі рівняння (6.1) досить покласти

Тоді рівняння приклад вид

(6.2)

Відзначимо тут же можливість використання регресійних моделей з змінною структуроюшляхом введення фіктивних змінних. Ці змінні при одних значеннях часу (скажімо, початкових) приймають помітні значення, а при інших - сходять нанівець (стають фактично рівними 0). В результаті формально (математично) одна і та ж модель описує зовсім різні залежності.

Непрямий, двохкроковий і трехшаговий методи найменших квадратів. Як уже зазначалося, розроблена маса методів евристичного аналізу систем економетричних рівнянь. Вони призначені для вирішення тих чи інших проблем, що виникають при спробах знайти чисельні рішення систем рівнянь.

Одна з проблем пов'язана з наявністю апріорних обмежень на оцінювані параметри. Наприклад, дохід домогосподарства може бути витрачений або на споживання, або на заощадження. Значить, сума часток цих двох видів витрат апріорі дорівнює 1. А в системі економетричних рівнянь ці частки можуть брати участь незалежно. Мимоволі спадає на думку оцінити їх методом найменших квадратів, Не звертаючи уваги на апріорне обмеження, а потім підкоригувати. Такий підхід називають непрямим методом найменших квадратів.

двокроковий метод найменших квадратівполягає в тому, що оцінюють параметри окремого рівняння системи, а не розглядають систему в цілому. У той же час трехшаговий метод найменших квадратівзастосовується для оцінки параметрів системи одночасних рівнянь в цілому. Спочатку до кожного рівняння застосовується двохкроковий метод з метою оцінити коефіцієнти і похибки кожного рівняння, а потім побудувати оцінку для ковариационной матриці похибок, Після цього для оцінювання коефіцієнтів всієї системи застосовується узагальнений метод найменших квадратів.

Менеджеру і економісту не слід ставати фахівцем зі складання і вирішення систем економетричних рівнянь, навіть за допомогою тих чи інших програмних систем, але він повинен бути обізнаний про можливості цього напрямку економетрики, щоб в разі виробничої необхідності кваліфіковано сформулювати завдання для фахівців-економетриків.

Від оцінювання тренда (основний тенденції) перейдемо до другої основної задачі економетрики часових рядів - оцінювання періоду (циклу).

Глава 6. Економетрика тимчасових рядів

6.1. Моделі стаціонарних і нестаціонарних часових рядів, їх ідентифікація

Нехай Розглянемо тимчасової ряд X (t).Нехай спочатку тимчасової ряд приймає числові значення. Це можуть бути, наприклад, ціни на батон хліба в сусідньому магазині або курс обміну долара на рублі в найближчому обмінному пункті. Зазвичай в поведінці часового ряду виявляють дві основні тенденції - тренд і періодичні коливання.

Характеристики часових рядів. Для більш детального вивчення часових рядів використовуються ймовірносно-статистичні моделі. При цьому часовий ряд X (t)розглядається як випадковий процес (з дискретним часом) основними характеристиками є математичне очікування X (t), Тобто

дисперсія X (t), Тобто

і автокореляційна функціячасового ряду X (t)

тобто функція двох змінних, що дорівнює коефіцієнту кореляції між двома значеннями часового ряду X (t)і X (s).

У теоретичних і прикладних дослідженнях розглядають широкий спектр моделей часових рядів. виділимо спочатку стаціонарнімоделі. У них спільні функції розподілу для будь-якого числа моментів часу k, А тому і всі перераховані вище характеристики часового ряду не змінюються з часом. Зокрема, математичне очікування і дисперсія є постійними величинами, автокореляційна функція залежить тільки від різниці t-s. Тимчасові ряди, які не є стаціонарними, називаються нестаціонарними.

Лінійні регресійні моделі з гомоскедастичність і гетероскедастичними, незалежними і автокоррелірованнимі залишками. Як видно зі сказаного вище, основне - це "очищення" тимчасового ряду від випадкових відхилень, тобто оцінювання математичного очікування. На відміну від найпростіших моделей регресійного аналізу, розглянутих в розділі 5, тут природним чином з'являються більш складні моделі. Наприклад, дисперсія може залежати від часу. Такі моделі називають гетероскедастичними, а ті, в яких немає залежності від часу - гомоскедастичність. (Точніше кажучи, ці терміни можуть ставитися не тільки до змінної "час", але і до інших змінним.)

Далі, в розділі 5 передбачалося, що похибки незалежні між собою. У термінах цієї глави це означало б, що автокореляційна функція повинна бути вироджених - дорівнювати 1 за однакової кількості аргументів і 0 при їх нерівності. Ясно, що для реальних часових рядів так буває далеко не завжди. Якщо природний хід змін спостережуваного процесу є досить швидким в порівнянні з інтервалом між послідовними спостереженнями, то можна очікувати "загасання" автокорреляции "і отримання практично незалежних залишків, в іншому випадку залишки будуть автокорреліровани.

Ідентифікація моделей.Під ідентифікацією моделей зазвичай розуміють виявлення їх структури і оцінювання параметрів. Оскільки структура - це теж параметр, хоча і нечислової (див. Розділ 8), то мова йде про одну з типових задач економетрики - оцінюванні параметрів.

Найпростіше завдання оцінювання вирішується для лінійних (за параметрами) моделей з гомоскедастичність незалежними залишками. Відновлення залежностей у тимчасових рядах може бути проведено на основі методів найменших квадратів і найменших модулів, розглянутих в розділі 5 моделей лінійної (за параметрами) регресії. На випадок часових рядів переносяться результати, пов'язані з оцінюванням необхідного набору регресорів, зокрема, легко отримати граничне геометричний розподіл оцінки ступеня тригонометричного полінома.

Однак на більш загальну ситуацію такого простого перенесення зробити не можна. Так, наприклад, в разі тимчасового ряду з гетероскедастичними і автокоррелірованнимі залишками знову можна скористатися загальним підходом методу найменших квадратів, однак система рівнянь методу найменших квадратів і, природно, її рішення будуть іншими. Формули в термінах матричної алгебри, про які згадувалося в главі 5, будуть відрізнятися. Тому розглянутий метод називається " узагальнений метод найменших квадратів(ОМНК) "(див., Наприклад,).

Зауваження.Як уже зазначалося в розділі 5, найпростіша модель методу найменших квадратів допускає досить далекі узагальнення, особливо в області систем одночасних економетричних рівнянь для часових рядів. Для розуміння відповідної теорії і алгоритмів необхідно професійне володіння матричної алгеброю. Тому ми відсилаємо тих, кому це цікаво, до літератури по системам економетричних рівнянь і безпосередньо по часових рядах, в якій особливо багато цікавляться спектральної теорією, тобто виділенням сигналу з шуму і розкладанням його на гармоніки. Підкреслимо в черговий раз, що за кожним розділом цієї книги стоїть велика область наукових і прикладних досліджень, цілком гідна того, щоб присвятити їй багато зусиль. Однак через обмеженість обсягу книги ми змушені виклад зробити конспективним.

Попередня