Момент інерції щільність. Формула моменту інерції Момент імпульсу твердого тіла. Вектор кутової швидкості і момент імпульсу вектор. Гіроскопічний ефект. Кутова швидкість прецесії
Розглянемо матеріальну точку масою m, що знаходиться на відстані r, від нерухомої осі (рис. 26). Моментом інерції J матеріальної точки щодо осі називається скалярна фізична величина, що дорівнює добутку маси m на квадрат відстані r до цієї осі:
J = mr 2(75)
Момент інерції системи N матеріальних точок дорівнюватиме сумі моментів інерції окремих точок:
Мал. 26.
Визначення моменту інерції точки.
Якщо маса розподілена у просторі безперервно, підсумовування замінюється інтегруванням. Тіло розбивається на елементарні об'єми dv, кожен з яких має масу dm.
У результаті виходить такий вираз:
Для однорідного за обсягом тіла щільність ρ постійна і записавши елементарну масу у вигляді:
dm = ρdv, перетворимо формулу (70) наступним чином:
Розмірність моменту інерції - кг*м 2.
Момент інерції тіла є мірою інертності тіла у обертальному русі, подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності при поступальному русі.
Момент інерції -це міра інертних властивостей твердого тіла при обертальному русі, що залежить від розподілу маси щодо осі обертання. Іншими словами, момент інерції залежить від маси, форми, розмірів тіла та положення осі обертання.
Будь-яке тіло, незалежно від того, обертається воно або спочиває, має момент інерції щодо будь-якої осі, подібно до того, як тіло має масу незалежно від того, рухається воно або перебувати в спокої. Аналогічно масі момент інерції є аддитивною величиною.
У деяких випадках теоретичний розрахунок моменту інерції є досить простим. Нижче наведено моменти інерції деяких суцільних тіл правильної геометричної форми щодо осі, що проходить через центр тяжіння.
Момент інерції нескінченно плоского диска радіуса R щодо осі, перпендикулярної до площини диска:
Момент інерції кулі радіусу R:
Момент інерції стрижня завдовжки Lщодо осі, що проходить через середину стрижня перпендикулярно йому:
Момент інерції нескінченно тонкого обруча радіусу Rщодо осі, перпендикулярної його площині:
Момент інерції тіла щодо довільної осі розраховується за допомогою теореми Штейнера:
Момент інерції тіла щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції щодо осі, що проходить через центр мас паралельно даної, та добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.
Розрахуємо за допомогою теореми Штейнера момент інерції стрижня завдовжки Lщодо осі, що проходить через кінець перпендикулярно йому (рис. 27).
До розрахунку моменту інерції стрижня
Відповідно до теореми Штейнера, момент інерції стрижня щодо осі O′O′ дорівнює моменту інерції щодо осі OO плюс md 2. Звідси отримуємо:
Очевидно: момент інерції неоднаковий щодо різних осей, і тому, вирішуючи завдання на динаміку обертального руху, момент інерції тіла щодо осі, що цікавить нас, щоразу доводиться шукати окремо. Так, наприклад, при конструюванні технічних пристроїв, що містять деталі, що обертаються (на залізничному транспорті, в літакобудуванні, електротехніці і т. д.), потрібне знання величин моментів інерції цих деталей. При складній формі тіла теоретичний розрахунок його моменту інерції може бути важко здійсненним. У цих випадках вважають за краще виміряти момент інерції нестандартної деталі досвідченим шляхом.
Момент сили F щодо точки O
ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ СИСТЕМИ ТІЛ
ЗА ДОПОМОГОЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА.
Мета роботи- Визначити момент інерції системи чотирьох однакових вантажів маси m двома способами: 1) експериментально за допомогою маятника Обербека, 2) теоретично, вважаючи вантажі матеріальними точками. Порівняти отримані результати.
Прилади та приладдяКабіна: маятник Обербека, секундомір, масштабна лінійка, набір вантажів, штангенциркуль.
Теоретичне введення
Момент інерції – фізична величина, що характеризує інертність тіла при обертальному русі.
Моментом інерції матеріальної точки щодо осі обертання називається добуток маси цієї точки на квадрат її відстані до осі (див. рис. 1)
Моментом інерції довільного тіла щодо осі називається сума моментів інерції матеріальних точок з яких складається тіло щодо цієї осі (див. рис. 2)
Для однорідних тіл правильної геометричної форми можна замінити підсумовування інтегруванням.
,
де dm = ρdV (ρ - Щільність речовини, dV- Елемент обсягу)
Таким чином, отримані формули деяких тіл масою m щодо осі, що проходить через центр тяжіння:
а) стрижня завдовжки 
щодо осі, перпендикулярної стрижню
,
б) обруча (а також тонкостінного циліндра) щодо осі, перпендикулярної площині обруча і проходить через його центр тяжіння (збігається з віссю циліндра)
,
де 
- Радіус обруча (циліндра)
в) диска (суцільного циліндра) щодо осі, перпендикулярної площині диска і проходить через його центр тяжіння (збігається з віссю циліндра)
,
де 
- Радіус диска (циліндра)
г) кулі радіусу R щодо осі довільного напрямку, що проходить через його центр тяжіння
.
Момент інерції тіла залежить: 1) від форми та розмірів тіла; 2) від маси та розподілу мас; 3) від положення осі щодо тіла.
Теорема Штейнера про паралельні осі записується як:
,
де 
- момент інерції тіла масою mщодо довільної осі, 
- момент інерції цього тіла щодо осі, що проходить через центр тяжкості тіла паралельно довільної осі, 
- Відстань між осями.
Опис встановлення.
Маятник Обербека є хрестовиною, що складається з шківа і чотирьох рівноплечих стрижнів, закріплених на горизонтальній осі (див. рис.2). На стрижнях на рівних відстанях від осі обертання 
насаджено чотири однакові вантажі маси mкожен. За допомогою вантажу m 1 , прикріпленого до кінця шнура, намотаного на один із шківів, вся система може бути приведена в обертальний рух. Для відліку висоти падіння hвантажу m 1
є вертикальна шкала.
Запишемо другий закон Ньютона для падаючого вантажу у векторній формі 
(1)
де 
- сила тяжіння; 
- сила натягу шнура (див. рис. 1);
- лінійне прискорення, з яким падає вантаж m 1
вниз.
Приймаючи напрямок руху вантажу за позитивне, перепишемо рівняння (I) у скалярній формі
(2)
звідки отримаємо вираз для сили натягу шнура
Лінійне прискорення aзнаходиться з формули шляху рівноприскореного руху без початкової швидкості
(4)
де h- Висота падіння вантажу m 1; t – час падіння.
Сила натягу нитки F натвикликає прискорене обертання хрестовини. Основний закон обертального руху хрестовини з урахуванням сил тертя запишеться так:
M – M тр = I i , (5)
де М- Момент сили натягу; M тр- момент сил тертя; I- момент інерції хрестовини; i- Кутове прискорення, з яким обертається хрестовина. Величина моменту сил тертя M трв порівнянні з величиною крутного моменту Мневелика, і, отже, нею можна знехтувати.
З рівняння (5) з урахуванням зробленого зауваження отримуємо остаточну формулу для розрахунку моменту інерції хрестовини
(6)
де r – радіус шківа. Кутове прискорення i визначається за формулою
(7)
Підставляючи (3) і (7) (6), отримуємо остаточну формулу для розрахунку моменту інерції хрестовини
(8)
Порядок виконання роботи.
Експериментальне визначення моменту інерції системи 4 х вантажів.
1. Зняти зі стрижнів вантажі m .
2. Намотати в один шар шнур на шків, встановивши вантаж m 1 на заздалегідь обраній висоті h. Відпустивши хрестовину, виміряти час падіння t овантажу за допомогою секундоміра. Досвід повторити п'ять разів (при одній і тій же висоті падіння h).
3. Закріпити на кінцях стрижнів вантажі m.
4. Виконати операції, зазначені у пункті 2, вимірюючи секундоміром час падіння t. Досвід повторити п'ять разів.
5. За допомогою штангенциркуля виміряти діаметр шківа dу п'яти різних положеннях.
6. Результати вимірів занести до таблиці. Знайти наближені значення і методом Стьюдента оцінити абсолютні похибки вимірювання величин t о, tі d.
а) хрестовина без вантажів ( a о),
б) хрестовина з вантажами (а).
8. За формулою (8) обчислити момент інерції хрестовини без вантажів ( I o) та з вантажами (I), використовуючи наближені значення m 1, R , gта отримані значення аі а о.
Обчислити похибки вимірів за формулами:
(9)
(10)
Таблиця 1
Результати вимірювань та обчислень
ЧастинаII.
1. Теоретично визначити момент інерції системи 4 х вантажів маси m, що знаходяться на відстані R від осі обертання (вважаючи вантажі матеріальними точками)
(11)
2. Порівняти результати експерименту та розрахунків. Вичисти відносну похибку
(12)
і зробити висновок про те, наскільки велике розбіжність отриманих результатів.
Контрольні питання.
1. Що називається моментом інерції матеріальної точки та довільного тіла?
2. Від чого залежить момент інерції тіла щодо осі обертання?
3. Наведіть приклади формул моменту інерції тел. Як вони отримані?
4. Теорема Штейнера про паралельні осі та її практичне використання.
5. Висновок формули для розрахунку моменту інерції хрестовини з вантажами та без вантажів.
Література
1. Савельєв І. В. Курс загальної фізики: Навч. посібник для втузов: 3 т. Т.1: Механіка. Молекулярна фізика - 3-тє вид., Випр. - М.: Наука, 1986. - 432с.
2. Детлаф А. А., Яворський Б. М. Курс фізики: Навч. посібник для втузів. – М.: Вища школа, 1989. – 607 с. - Предм. указ.: с. 588-603.
3. Зісман Г. А., Тодес О. М.. Курс загальної фізики для втузів: у 3 т. Т. 1: Механіка, молекулярна фізика, коливання та хвилі – 4-те вид., стереотип. - М: Наука, 1974. - 340 с.
4. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт по розділу "Механіка". - Іваново, ІХТІ, 1989 (під редакцією Біргера Б.Н.).
У динаміці поступального руху матеріальної точки, крім кінематичних характеристик, вводилися поняття сили та маси. При вивченні динаміки обертального руху вводяться фізичні величини - момент силі момент інерції, фізичний зміст яких розкриємо нижче.
Нехай деяке тіло під дією сили, прикладеної в точці А, приходить у обертання навколо осі ГО" (рис. 5.1).
Рисунок 5.1 - До висновку поняття моменту сили
Сила діє у площині, перпендикулярній до осі. Перпендикуляр р, опущений з точки Про(що лежить на осі) на напрям сили, називають плечем сили. Добуток сили на плече визначає модуль моменту силищодо точки Про:
(5.1)
Момент сили є вектор, який визначається векторним твором радіуса-вектора точки докладання сили та вектора сили:
(5.2)
Одиниця моменту сили ньютон-метр(Н . м). Напрямок вектора моменту сили перебувати за допомогою правила правого гвинта.
Мірою інертності тіл під час поступального руху є маса. Інертність тіл при обертальному русі залежить як від маси, а й її розподілу у просторі щодо осі обертання. Мірою інертності при обертальному русі є величина, звана моментом інерції тіла щодо осі обертання.
Момент інерції матеріальної точки щодо осі обертання - добуток маси цієї точки на квадрат відстані від осі:
Момент інерції тіла щодо осі обертання - сума моментів інерції матеріальних точок, у тому числі складається це тіло:
(5.4)
У випадку, якщо тіло суцільне і є сукупність точок з малими масами dm, момент інерції визначається інтегруванням:
, (5.5)
де r- відстань від осі обертання до елемента масою d m.
Якщо тіло однорідне та його щільність ρ = m/V, то момент інерції тіла
(5.6)
Момент інерції тіла залежить від того, щодо якої осі воно обертається і як розподілено масу тіла за обсягом.
Найбільш просто визначається момент інерції тіл, що мають правильну геометричну форму та рівномірний розподіл маси за обсягом.
Момент інерції однорідного стрижнящодо осі, що проходить через центр інерції та перпендикулярної стрижню,
Момент інерції однорідного циліндращодо осі, перпендикулярної його основи і проходить через центр інерції,
(5.8)
Момент інерції тонкостінного циліндра або обручащодо осі, перпендикулярної площині його основи і проходить через його центр,
Момент інерції куліщодо діаметра
(5.10)
Визначимо момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр інерції та перпендикулярної площині обертання. Нехай маса диска – m, А його радіус - R.
Площа кільця (рисунок 5.2), укладеного між rі, дорівнює.
Рисунок 5.2 – Висновок моменту інерції диска
Площа диска. При постійній товщині кільця,
звідки чи 
.
Тоді момент інерції диска
Для наочності малюнку 5.3 зображені однорідні тверді тіла різної форми і зазначені моменти інерції цих тіл щодо осі, що проходить через центр мас.
Рисунок 5.3 – Моменти інерції IЗ деяких однорідних твердих тіл.
Теорема Штейнера
Наведені вище формули для моментів інерції тіл дано за умови, що вісь обертання проходить через центр інерції. Щоб визначити моменти інерції тіла щодо довільної осі, слід скористатися теорема Штейнера : момент інерції тіла щодо довільної осі обертання дорівнює сумі моменту інерції J 0 щодо осі, паралельної даної та проходить через центр інерції тіла, та величини md 2:
(5.12)
де m- маса тіла, d- Відстань від центру мас до обраної осі обертання. Одиниця моменту інерції - кілограм-метр у квадраті (кг . м 2).
Так, момент інерції однорідного стрижня завдовжки lщодо осі, що проходить через його кінець, за теоремою Штейнера дорівнює
Щоб змінити швидкість переміщення тіла у просторі, необхідно докласти певного зусилля. Цей факт відноситься до всіх видів механічного руху і пов'язаний з наявністю інерційних властивостей об'єктів, що мають масу. У цій статті розглядається обертання тіл і подається про їх момент інерції.
Що таке обертання з погляду фізики?
Відповідь це питання може дати кожна людина, оскільки цей фізичний процес нічим не відрізняється від його поняття в побуті. Процес обертання є переміщення об'єкта, що володіє кінцевою масою, по круговій траєкторії навколо деякої осі. Можна навести такі приклади обертання:
- Рух колеса автомобіля чи велосипеда.
- Обертання лопатей вертольота або вентилятора.
- Рух нашої планети навколо осі та навколо Сонця.
Які фізичні величини характеризують обертання?
Переміщення по колу описується набором величин у фізиці, основні з яких наведені нижче:
- r – відстань до осі матеріальної точки масою m.
- ω і α - кутова швидкість та прискорення, відповідно. p align="justify"> Перша величина показує, на скільки радіан (градусів) повертається тіло навколо осі за одну секунду, друга величина описує швидкість зміни в часі першої.
- L - момент імпульсу, який подібний до аналогічної характеристики при лінійному русі.
- I – момент інерції тіла. Ця величина розглядається нижче у статті докладно.
- M – момент сили. Він характеризує рівень зміни величини L, якщо прикладена зовнішня сила.
Перелічені величини пов'язані один з одним наступними формулами обертального руху:
Перша формула визначає круговий рух тіла без впливу зовнішніх моментів сил. У наведеному вигляді вона відображає закон збереження моменту імпульсу L. Друге вираз описує випадок прискорення або уповільнення обертання тіла в результаті дії моменту сили M. Обидва вирази часто використовуються при вирішенні задач динаміки кругової траєкторії.
Як видно з цих формул, момент інерції щодо осі (I) у них використовується як деякий коефіцієнт. Розглянемо докладніше цю величину.
Звідки з'являється величина I?
У цьому вся пункті розглянемо найпростіший приклад обертання: кругове переміщення матеріальної точки масою m, дистанція якої від осі обертання становить r. Ця ситуація наведена малюнку.
Згідно з визначенням, момент імпульсу L записується, як добуток плеча r на лінійний імпульс точки p:
L = r*p = r*m*v, оскільки p = m*v
Враховуючи, що лінійна та кутова швидкість пов'язані один з одним через відстань r, цю рівність можна переписати так:
v = ω*r => L = m*r 2 *ω
Добуток маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання прийнято називати моментом інерції. Формула вище перепишеться у такому разі наступним чином:
Тобто ми отримали вираз, який був наведений у попередньому пункті, та ввели у використання величину I.
Загальна формула для величини I тіла
Вираз для моменту інерції масою m матеріальної точки є базовим, тобто воно дозволяє розрахувати цю величину для будь-якого тіла, що має довільну форму та неоднорідний розподіл маси в ньому. Для цього необхідно розбити об'єкт, що розглядається, на маленькі елементи масою m i (ціле число i - номер елемента), потім, помножити кожен з них на квадрат відстані r i 2 до осі, навколо якої розглядають обертання, і скласти отримані результати. Описану методику знаходження величини I можна записати математично так:
I = ∑ i (mi * ri 2)
Якщо тіло розбите таким чином, що i->∞, то наведена сума замінюється інтегралом за масою тіла m:
Цей інтеграл еквівалентний іншому інтегралу за обсягом тіла V, оскільки dV=ρ*dm:
I = ρ*∫ V (r i 2 *dV)
Усі три формули використовуються для обчислення моменту інерції тіла. При цьому у разі дискретного розподілу мас у системі краще користуватися 1-м виразом. При безперервному розподілі маси застосовують третій вираз.
Властивості величини I та її фізичний зміст
Описана процедура отримання загального виразу для I дозволяє зробити деякі висновки про властивості цієї фізичної величини:
- вона є адитивною, тобто повний момент інерції системи можна уявити, як суму моментів окремих її частин;
- вона залежить від розподілу маси всередині системи, а також від відстані до осі обертання, чим більше останнє, тим більше I;
- вона залежить від діючих систему моментів сил M і від швидкості обертання ω.
Фізичний зміст I полягає в тому, наскільки сильно система перешкоджає будь-якій зміні швидкості її обертання, тобто момент інерції характеризує ступінь "плавності" прискорень, що виникають. Наприклад, колесо велосипеда можна легко розкрутити до великих кутових швидкостей і легко його зупинити, але щоб змінити обертання маховика на колінвалі автомобіля, знадобиться докласти значне зусилля і деякий час. У першому випадку має місце система з невеликим моментом інерції, у другому - з великим.
Значення деяких тіл для осі обертання, що проходить через центр мас
Якщо застосувати інтегрування за обсягом будь-яких тіл з довільним розподілом маси, можна отримати їм величину I. У разі однорідних об'єктів, які мають ідеальну геометричну форму, це завдання вже вирішено. Нижче наводяться формули моменту інерції для стрижня, диска і кулі масою m, в яких їхня речовина розподілена рівномірно:
- Стрижень. Вісь обертання проходить перпендикулярно до нього. I = m*L 2 /12, де L – довжина стрижня.
- Диск довільної товщини. Момент інерції з віссю обертання, що проходить перпендикулярно до його площини через центр мас, обчислюється так: I = m*R 2 /2, де R - радіус диска.
- Куля. З огляду на високу симетрію цієї фігури, для будь-якого положення осі, що проходить через її центр, I = 2/5*m*R 2 тут R - кулі радіус.
Завдання на розрахунок значення I для системи з дискретним розподілом маси
Уявімо собі стрижень довжиною 0,5 метра, який виготовлений з твердого та легкого матеріалу. Цей стрижень закріплений на осі таким чином, що вона проходить перпендикулярно до нього точно посередині. На цей стрижень підвішено три вантажи наступним чином: з одного боку осі є два вантажі масами 2 кг і 3 кг, що знаходяться на відстанях 10 см і 20 см від його кінця, відповідно; з іншого боку підвішено один вантаж масою 1,5 кг до кінця стрижня. Для цієї системи необхідно розрахувати момент інерції I і визначити, з якою швидкістю стрижень ω буде обертатися, якщо до одного з його кінців докласти силу 50 Н протягом 10 секунд.
Оскільки масою стрижня можна знехтувати, необхідно розрахувати момент I для кожного вантажу і скласти отримані результати, щоб отримати повний момент системи. Відповідно до умови завдання від осі вантаж масою 2 кг знаходиться на відстані 0,15 м (0,25-0,1), вантаж 3 кг - 0,05 м (0,25-0,20), вантаж 1,5 кг - 0,25 м. Скориставшись формулою для моменту I матеріальної точки, отримуємо:
I = I 1 +I 2 +I 3 = m 1 *r 1 2 + m 2 *r 2 2 + m 3 *r 3 2 = 2*(0,15) 2 +3*(0,05) 2 + 1,5 * (0,25) 2 = 0,14625 кг * м 2 .
Звернемо увагу, що при виконанні обчислень усі одиниці виміру були переведені в систему СІ.
Щоб визначити кутову швидкість обертання стрижня після дії сили, слід застосувати формулу з моментом сили, яка була наведена у другому пункті статті:
Оскільки α = Δω/Δt та M = r*F, де r - довжина плеча, отримуємо:
r*F = I*Δω/Δt => Δω = r*F*Δt/I
Враховуючи, що r = 0,25 м, підставляємо числа у формулу, одержуємо:
Δω = r*F*Δt/I = 0,25*50*10/0,14625 = 854,7 рад/с
Отримана величина досить велика. Щоб отримати звичну частоту обертання, слід поділити Δω на 2*pi радіан:
f = Δω/(2*pi) = 854,7/(2*3,1416) = 136 с -1
Таким чином, прикладена сила F до кінця стрижня з вантажами за 10 секунд розкрутить його до частоти 136 обертів на секунду.
Розрахунок значення I для стрижня, коли вісь проходить через його кінець
Нехай є однорідний стрижень масою m та довжиною L. Необхідно визначити момент інерції, якщо вісь обертання розташована на кінці стрижня перпендикулярно йому.
Скористаємося загальним виразом для I:
I = ρ*∫ V (r i 2 *dV)
Розбиваючи об'єкт, що розглядається, на елементарні обсяги, зауважимо, що dV може бути записано, як dr*S, де S - площа перерізу стрижня, а dr - товщина елемента розбиття. Підставляючи цей вираз у формулу, маємо:
I = ρ*S*∫ L (r 2 *dr)
Цей інтеграл вирахувати досить просто, отримуємо:
I = ρ*S* (r 3 /3)∣ 0 L => I = ρ*S*L 3 /3
Оскільки обсяг стрижня дорівнює S*L, а маса - ρ*S*L, то одержуємо кінцеву формулу:
Цікаво відзначити, що момент інерції для того ж стрижня, коли вісь проходить через його центр мас, в 4 рази менше за отриману величину (m*L 2 /3/(m*L 2 /12)=4).
МОМЕНТОМ ІНЕРЦІЇ I тіла щодо точки, осі або площини називається сума добутків маси точок тіла m i , на квадрати їх відстаней r i до точки, осі або площини:
Момент інерції тіла щодо осі є мірою інерції тіла у обертовому русі навколо цієї осі.
Момент інерції тіла може бути виражений через масу М тіла і його радіус інерції r:
МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ ЩОДО ОСІЙ, ПЛОЩИН І ПОЧАТКУ ДЕКАРТОВИХ КООРДИНАТ.
Момент інерції щодо початку координат (полярний момент інерції):
ЗВ'ЯЗОК МІЖ ОСІВИМИ, ПЛОСКІСНИМИ І ПОЛЯРНИМИ МОМЕНТАМИ ІНЕРЦІЇ:
Значення осьових моментів інерції деяких геометричних тіл наведено у табл. 1.
Таблиця 1. Момент інерції деяких тіл
Фігура чи тіло |
|
|
При с→0 виходить прямокутна пластина |
|
ЗМІНА МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ ПРИ ЗМІНІ ОСЕЙ
Момент інерції I u 1 щодо осі u 1 паралельної даної осі u (рис. 1):
де I u - момент інерції тіла щодо осі u; l(l 1) - відстань від осі u (від осі u 1) до паралельної їм осі u з проходить через центр мас тіла; а - відстань між осями u та u 1 .
Малюнок 1.
Якщо вісь центральна (l = 0), то
т. е. для будь-якої групи паралельних осей момент інерції щодо центральної осі найменший.
Момент інерції I u щодо осі u, що становить кути α, β, γ з осями декартових координат х, у, z (рис. 2):
Малюнок 2.
Осі х, у, z головні, якщо
Момент інерції щодо осі u, що становить кути α, β, γ з головними осями інерції х, у, z:
ЗМІНА ЦЕНТРОБІЖНИХ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ ПРИ ПАРАЛЕЛЬНОМУ ПЕРЕНОСІ ОСЕЙ:
де - відцентровий момент інерції щодо центральних осей х с, y с, паралельних осях х, у; М – маса тіла; x с, y с - координати центру мас у системі осей х, у.
ЗМІНА ЦЕНТРОБІЖНОГО МОМЕНТА ІНЕРЦІЇ ПРИ ПОВОРОТІ ОСЕЙ x, y НАКІЛ ОСІ z НА КУТ α В ПОЛОЖЕННЯ x 1 y 1(Рис. 3):
Малюнок 3.
ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛОЖЕННЯ ГОЛОВНИХ ОСЕЙ ІНЕРЦІЇ.Вісь матеріальної симетрії тіла – головна вісь інерції тіла.
Якщо площина xОz є площиною матеріальної симетрії тіла, то кожна осі y - головна вісь інерції тіла.
Якщо положення однієї з головних осей z гол відомо, то положення двох інших осей x гл і y гл визначається поворотом осей х і навколо осі z гл на кут φ (рис. 3):
ЕЛЛІПСОЇД І ПАРАЛЕЛЕПІПЕД ІНЕРЦІЇ.Еліпсоїдом інерції називається еліпсоїд, осі симетрії якого збігаються з головними центральними осями тіла x гл, y гл, z гл, а півосі а х, а у, а z рівні відповідно:
де r уО z , r х Oz , r xOy - радіуси інерції тіла щодо головних площин інерції.
Паралелепіпед інерції називається паралелепіпед, описаний навколо еліпсоїда інерції і має з ним загальні осі симетрії (рис. 4).
Малюнок 4.
РЕДУКУВАННЯ (ЗАМІНА З МЕТОЮ СПРОЩЕННЯ РОЗРАХУНКУ) ТВЕРДОГО ТІЛА Зосередженими масами. При обчисленні осьових, площинних, відцентрових та полярних моментів інерції тіло масою М можна редукувати вісьмома зосередженими масами М/8, розташованими у вершинах паралелепіпеда інерції. Моменти інерції щодо будь-яких осей, площин, полюсів обчислюються за координатами вершин паралелепіпеда інерції x i , y i , z i (i=1, 2, ..., 8) за формулами:
ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ
1. Визначення моментів інерції тіл обертання з використанням диференціального рівняння обертання – див. формули ("Обертальний рух твердого тіла").
Тіло, що досліджується, закріплюється на горизонтальній осі х, що збігається з його віссю симетрії, і приводиться в обертання навколо неї за допомогою вантажу Р, прикріпленого до гнучкої нитки, навернутої на досліджуване тіло (рис. 5), при цьому замірюється час t опускання вантажу на висоту h . Для виключення впливу тертя в точках закріплення тіла на осі х досвід проводиться кілька разів при різних значеннях ваги вантажу Р.
Малюнок 5.
При двох дослідах з вантажами Р 1 та Р 2
2. Експериментальне визначення моментів інерції тіл у вигляді вивчення коливань фізичного маятника (Див. 2.8.3) .
Досліджуване тіло закріплюють на горизонтальній осі х (нецентральній) та заміряють, період малих коливань біля цієї осі Т. Момент інерції щодо осі х визначиться за формулою
де Р – вага тіла; l 0 - відстань від осі обертання до центру мас тіла.