Зворотний маятник. Фундаментальні дослідження Огляд методів керування об'єктами типу зворотний маятник
Знайшовся ще один, незвичайний підхід до опису гірськолижної техніки, також не пов'язаний із рухами в шарнірній системі, що відповідає частинам тіла лижника. Він заснований на моделі перевернутого маятника, званого також "зворотним маятником", або "маятником Вітні".
Це дуже цікавий об'єкт теоретичної механіки, вихідно завдання Вітні формулювалося так: припустимо, що на візку встановлено перевернутий матеріальний маятник, візок рухається прямолінійно, але не рівномірно. Потрібно знайти вихідне положення маятника, таке, що він не впаде на візок, якщо заздалегідь відома залежність швидкості від часу, при безперервності її 2-ї похідної.
Завдання Вітні досі цікавить математиків, але набагато важливіше зворотне завдання: динамічне управління рухом візка, таке, що маятник зберігає задане вихідне положення, або коливається біля нього. Це завдання важливо для робототехніки, навігації, автоматизації виробництва, орієнтації космічних апаратів, вона також реалізується і при звичайній ходьбі.
Але завдання можна узагальнити: на маятник з двома ступенями свободи, опора якого рухається вже довільною, криволінійною траєкторією, зі змінною швидкістю, але також за умови безперервності 2-х похідних. Найпростіший приклад узагальненого зворотного маятника: поставимо на долоню довгий стрижень, і утримуватимемо його в нестійкому положенні, рухаючи рукою по довільній траєкторії.
Якщо узагальнювати далі, то можна зробити маятник зі змінною довжиною: при цьому його власна частота змінюватиметься, завдання стає набагато складнішим. Це вже загальна модель нестійкої рівноваги механічної системи, наприклад, людини на канаті. Але це завдання можна поставити інакше: забезпечити рівновагу маятника, при нерівномірному русі опори по заданої криволінійної траєкторії, з допомогою активного зміни нахилу і довжини маятника. Ми бачимо: у такій постановці завдання повністю відповідає руху гірськолижника по трасі!
З'ясувалося: ще 1973 року, польський математик, Януш Моравський описав механіку гірськолижника за допомогою зворотного маятника, але ця робота була забута на 40 років.
Модель Я.Моравського була не досконалою: він не враховував бічне прослизання опори маятника, яке було необхідним у гірськолижній техніці початку 1970-х років. Але у сучасних спортсменів високого рівня, техніка вже не пов'язана з ковзанням, і модель більш точно відповідає реальності.
Нові дослідження зворотного маятника почалися з вирішення вузького, практичного завдання: спростити проведення експериментів з вивчення гірськолижної техніки. Зазвичай, вивчення рухів гірськолижників, необхідно безупинно фіксувати його становище, і безліч сил, що діють лижі, і самого лижника, потрібно складне устаткування й тривала підготовка експериментів.
У 2013 році, Матіас Гілгієн, відомий фахівець з лижної механіки, довів: якщо відома траєкторія центру мас щодо поверхні снігу, то за моделлю узагальненого зворотного маятника можна обчислити траєкторію лиж, а також всі чинні сили під час спуску. В результаті все складне вимірювальне обладнання можна замінити звичайним GPS-навігатором!
Експеримент проводився з геодезичним навігатором, який працював за методом диференціальної навігації, з точністю визначення координат: 1 см у горизонтальній площині та 2 см по вертикалі. Використовувалася також докладна 3D модель місцевості, отримана за допомогою геодезичного сканера. Зараз, для деяких районів США та Європи, у відкритому доступі є аналогічні за точністю супутникові 3D-карти, зона їх покриття швидко збільшується.
З урахуванням мікро-рельєфу, що безперервно змінюється на схилі, точність висот становить 10-20 см, ті. на порядок нижче від точності навігації. Антена навігатора знаходилася на шоломі лижника, положення ЦМ обчислювалося на основі попередніх результатів Роберта Рейда, який з'ясував: у спортсменів рівня збірних ЦМ не відхиляється далеко від прямої, що проходить через середину шиї, і середину відстані між лижами. А лижник при повороті намагається тримати голову вертикально, середина шиї знаходиться приблизно під антеною. Відстань "поверхня-ЦМ" завжди становить приблизно 0.45-0.5 відстані "поверхня-голова", іноді ЦМ може відхилятися від цього положення, але з урахуванням точності уявлення поверхні, помилки у обчисленні положення ЦМ, не є значущими, сильні відхилення бувають тільки при грубих помилки з втратою рівноваги.
Якщо лижник описується моделлю узагальненого зворотного маятника, зі змінною довжиною, то відомою траєкторією, і швидкості ЦМ щодо поверхні, можна обчислити кути його відхилення від вертикального положення, такі, що маятник не падає. Також можна отримати траєкторію опори: точки на середині відстані між кріпленнями лиж. А з положення ЦМ щодо опори можна отримати центрування лижника в поздовжньому напрямку, і нахил до центру повороту, хоча не можна обчислити положення частин тіла та відносне завантаження лиж.
Паралельно з вимірюваннями GPS, на контрольній ділянці встановили звичайне обладнання, яке використовується при дослідженнях гірськолижної техніки методами MOCAP, на основі моделі шарнірної системи, з обчисленням динаміки частин тіла за давно перевіреними методами. Зібрані дані про рух ЦМ потім порівнювалися: вони виявилися дуже близькими, сильні розбіжності є тільки на ділянках між поворотами, на яких довжина маятника різко змінюється при розвантаженні.
Але завдання не зводилося до побудови нової моделі руху ЦМ, незалежного від положення лижника: це нікому не потрібне! Практична мета: на основі моделі зворотного маятника отримати зовнішні сили, що діють на лижника та лижі: реакцію поверхні, опір снігу, та аеродинамічний опір. Доктор М. Гілгієн та його співробітники отримали рівняння всіх сил і порівняли зі значеннями, які обчислювалися за динамікою частин тіла. На графіку реакції поверхні, взятому для прикладу: синя крива показує силу, обчислену за моделлю зворотного маятника, червона за моделлю шарнірної системи, як зразок.
Швейцарський учений, Рольф Адельсбергер, провів аналогічний експеримент, але також вимірював деформацію лиж при спуску, за допомогою датчиків, наклеєних на лижі. Результати вимірювань відповідали силам, які обчислювалися також на основі даних GPS, за методом М. Гілгієна, це доводить коректність методу.
Словенський математик, Боян Німець, також вивчав модель зворотного маятника зі спортсменами збірної Словенії, але встановив антену на шиї лижника для кращого наближення положення ЦМ. Він отримав рівняння просторового кута нахилу: залежно від діючих прискорень та довжини маятника.
Ми бачимо: рівняння набагато складніше, ніж прості формули кутів, які постійно обговорюються на гірськолижних сайтах! Але це рівняння отримано на основі експериментальних даних, і більш точно відповідає реальним процесам, що відбуваються під час спуску. Була також отримана поправка для точного визначення положення ЦМ, але з'ясувалося: вона не дуже велика, і вкладається в точність вимірювань поверхні, як раніше припустив М. Гілгієн.
Професор Б.Німець також помітив сильні розбіжності на ділянках розвантаження і припустив: помилка пов'язана з лінійним законом зміни довжини маятника. Якщо ввести поздовжню пружність, то довжина змінюватиметься нелінійно, і помилки різко зменшаться. Але при цьому маятник отримає новий ступінь свободи: довжина прагнутиме гармонійних коливань, це потребує повної переробки моделі, Б.Німець планує зробити це в наступних роботах. Головна проблема: введення коефіцієнта пружності, від якого залежить власна частота поздовжніх коливань, адже, можливо, що величина коефіцієнта також не постійна.
При цьому можливе отримання нового ефекту: якщо опора маятника вібрує у вертикальному напрямку, з високою частотою та маленькою амплітудою, то виникає додаткова сила, яка утримує маятник у вертикальній рівновазі: це явище виявив П.Капіца, та визначив мінімальну частоту коливань та їх граничну амплітуду. У відповідь на одиничний удар по пружній поверхні виникають загасаючі коливання, отже зворотний маятник, встановлений на пружній опорі, також перебуватиме в рівновазі, але дуже короткий час після удару: до згасання коливань. Аналогічне явище можливе при різкій зміні навантаження на лижі, але їхня поздовжня пружність залежить від величини вигину, завдання ускладнюється ще більше.
Але обчислення сил також не було кінцевою метою: доктор М. Гілгієн отримав навантаження на коліна лижника, які можуть призводити до травм суглобів. Його метод дозволяє отримати оцінку траси, з погляду безпеки, лише на основі даних GPS під час контрольних проїздів.
Іншим напрямком є, як завжди, створення інструменту для тренерів, що безперервно відображає динаміку лижника, яка прихована від прямого спостереження: умов рівноваги, прискорень і сил, що діють. Цей метод не вимагає складного, дорогого обладнання, адже навіть дуже дорогий приймач GPS в рази дешевший від систем MOCAP, або інерційних датчиків, і набагато простіше у використанні.
Ми бачимо: стара ідея, описувати гірськолижну техніку без зв'язку з рухами лижника, все ж таки не забута, незважаючи на появу нових технологій. Можливо, ми рано попрощалися з милими сферичними конями.
Удачі та рівноваги!
Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії
Перевернутий маятник є маятником , який має центр мас вище своєї точки опори, закріплений на кінці жорсткого стрижня. Часто точка опори закріплюється на візку, який може переміщатися горизонталлю. У той час як нормальний маятник стійко висить вниз, зворотний маятник за своєю природою нестійкий і повинен постійно балансуватися щоб залишатися у вертикальному положенні, за допомогою застосування моменту, що крутить, до опорної точки або при переміщенні точки опори по горизонталі, як частини зворотного зв'язку системи. Найпростішим демонстраційним прикладом може бути балансування олівця на кінці пальця.
Огляд
Перевернутий маятник є класичною проблемою динаміки та теорії управління і широко використовується як еталон для тестування алгоритмів управління (ПІД-регуляторів, нейронних мереж, нечіткого управління і т. д.).
Проблема зворотного маятника пов'язані з наведенням ракет, оскільки двигун ракети розташований нижче центру тяжкості, викликаючи нестабільність. Ця ж проблема вирішена, наприклад, у сегвеї, що самобалансується транспортному пристрої.
Іншим способом стабілізації зворотного маятника є швидке коливання основи у вертикальній площині. І тут можна уникнути зворотного зв'язку. Якщо коливання досить сильні (у сенсі величини прискорення та амплітуди), зворотний маятник може стабілізуватися. Якщо точка , що рухається , коливається відповідно до простих гармонійних коливань , то рух маятника описується функцією Матьє .
Рівняння руху
З нерухомою точкою опори
Рівняння руху аналогічно прямому маятнику за винятком того, що знак кутового положення вимірюється від вертикальної позиції нестійкої рівноваги :
При переносі, він матиме той самий знак кутового прискорення:
Таким чином, зворотний маятник прискорюватиметься від вертикальної нестійкої рівноваги в протилежний бік, а прискорення буде обернено пропорційно до довжини. Високий маятник падає повільніше, ніж короткий.
Маятник на візку
Рівняння руху можна отримати з допомогою рівнянь Лагранжа . Йдеться про наведений вище малюнок, де кут маятника завдовжки по відношенню до вертикалі та чинної сили гравітації та зовнішніх сил в напрямку . Визначимо становище візка. Лагранжіан системи:
L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\thetaде є швидкістю візка, а - швидкість матеріальної точки . і може бути виражена через і шляхом запису швидкості як першої похідної становища.
v_1^2=\dot x^2
v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt) ))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2Спрощення виразу призводить до:
v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2
Лагранжіан тепер визначається за такою формулою:
L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac(1)(2) m \ ell^2 \dot \theta^2-mg \ell\cos \thetaта рівняння руху:
\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L)\over \partial x) = F
\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial(L)\over \partial \theta) = 0Підстановка у ці висловлювання з наступним спрощенням призводить до рівнянь, що описують рух зворотного маятника:
\left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F
\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \thetaЦі рівняння є нелінійними, але оскільки мета системи управління - утримувати маятник вертикально, то рівняння можна лінеаризувати, прийнявши .
Маятник з основою, що вагається.
Рівняння руху для такого маятника пов'язане з безмасовою базою, що осцилює, і отримано так само, як для маятника на візку. Положення матеріальної точки визначається за такою формулою:
та швидкість знайдена через першу похідну позиції:
\ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.
Це рівняння не має елементарного рішення в замкнутому вигляді, але може бути вивчено у багатьох напрямках. Воно близьке до рівняння Матьє, наприклад, коли амплітуда коливань мала. Аналіз показує, що маятник залишається вертикально при швидких коливаннях. Перший графік показує, що при повільно вагається , маятник швидко падає після виходу зі стійкого вертикального положення.
Якщо швидко коливається, то маятник може бути стабільним біля вертикальної позиції. Другий графік показує, що після виходу зі стійкого вертикального положення маятник тепер починає коливатися навколо вертикальної позиції ( ). Відхилення від вертикального положення залишається мало, і маятник не падає.
Застосування
Прикладом є балансування людей та предметів, наприклад, в акробатиці або катання на одноколісному велосипеді. А також сегвей - електричний самокат з двома колесами. Перевернутий маятник був центральним компонентом у розробці кількох ранніх сейсмографів.
Див. також
Посилання
- D. Liberzon Switching in Systems and Control(2003 Springer) pp. 89ff
Подальше читання
- Franklin; та ін. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
Напишіть відгук про статтю "Зворотний маятник"
Посилання
Уривок, що характеризує Зворотній маятник
- Це брат Безуховий - Анатоль Курагін, - сказала вона, вказуючи на красеня кавалергарда, який пройшов повз них, з висоти піднятої голови через дам дивлячись кудись. - Як гарний! чи не правда? Кажуть, одружують його на цій багатій. .І ваш то соusin, Друбецькой, теж дуже увивається. Говорять, мільйони. - Як же, це сам французький посланець, - відповіла вона про Коленкур на питання графині, хто це. - Подивіться, як цар якийсь. А все-таки милі, дуже милі французи. Немає миліших для суспільства. А ось і вона! Ні, все найкраще наша Марія то Антонівна! І як просто одягнена. Чарівність! - А цей, товстий, в окулярах, фармазон всесвітній, - сказала Перонська, вказуючи на Безухова. - З дружиною то його поруч поставте: то блазень гороховий!П'єр ішов, перевалюючись своїм товстим тілом, розсовуючи натовп, киваючи праворуч і ліворуч так само недбало й добродушно, ніби він ішов юрбою базару. Він просувався через натовп, очевидно шукаючи когось.
Наталка з радістю дивилася на знайоме обличчя П'єра, цього блазня горохового, як називала його Перонська, і знала, що П'єр їх, і особливо її, шукав у натовпі. П'єр обіцяв їй бути на балі та уявити їй кавалерів.
Але, не дійшовши до них, Безухий зупинився біля невисокого, дуже гарного брюнета в білому мундирі, який, стоячи біля вікна, розмовляв з якимсь високим чоловіком у зірках та стрічці. Наталя одразу ж впізнала невисокого молодого чоловіка в білому мундирі: це був Болконський, який здався їй дуже помолоділим, повеселевшим і похорошілим.
- Ось ще знайомий, Болконський, бачите, мамо? - Сказала Наталя, вказуючи на князя Андрія. – Пам'ятаєте, він у нас ночував у Відрадному.
— А ви його знаєте? – сказала Перонська. - Терпіти не можу. Il fait present la pluie et le beau temps. [Від нього тепер залежить дощова чи хороша погода. (Франц. прислів'я, що має значення, що він має успіх.)] І гордість така, що меж немає! По татку пішов. І зв'язався зі Сперанським, якісь проекти пишуть. Дивіться, як із жінками поводиться! Вона з ним каже, а він відвернувся, – сказала вона, вказуючи на нього. - Я б його обробила, якби він зі мною так вчинив, як із цими дамами.
Раптом все заворушилося, натовп заговорив, посунувся, знову розсунувся, і між двох рядів, що розступилися, при звуках музики, що заграла, увійшов государ. За ним йшли господар та господиня. Государ йшов швидко, кланяючись праворуч і ліворуч, ніби намагаючись швидше позбутися цієї першої хвилини зустрічі. Музиканти грали Польською, відомий тоді за словами, вигаданими на нього. Слова ці починалися: «Олександре, Єлизавете, захоплюєте ви нас...» Государ пройшов у вітальню, натовп ринув до дверей; кілька осіб з виразами, що змінилися, поспішно пройшли туди і назад. Натовп знову відхилився від дверей вітальні, де з'явився государ, розмовляючи з господинею. Якийсь молодий чоловік з розгубленим виглядом наступав на дам, просячи їх відсторонитися. Деякі пані з особами, що виражали досконалу забудькуватість всіх умов світла, псуючи свої туалети, тіснилися вперед. Чоловіки почали підходити до дам і будуватися у пари Польського.
Все розступилося, і государ, посміхаючись і не такт ведучи за руку господиню будинку, вийшов з дверей вітальні. За ним йшли господар із М. А. Наришкіною, потім посланці, міністри, різні генерали, яких не замовкаючи називала Перонська. Більше половини жінок мали кавалерів і йшли або готувалися йти в Польській. Наталя відчувала, що вона залишалася з матір'ю і Сонею в числі меншої частини дам, відтіснених до стіни і не взятих у Польській. Вона стояла, опустивши свої тоненькі руки, і з мірно піднімаючими, трохи певними грудьми, стримуючи подих, блискучими, переляканими очима дивилася перед собою, з виразом готовності на велику радість і на велике горе. Її не займали ні государ, ні всі важливі особи, на яких вказувала Перонська – у неї була одна думка: «невже так ніхто не підійде до мене, невже я не танцюватиму між першими, невже мене не помітять усі ці чоловіки, які тепер, здається, і не бачать мене, а якщо дивляться на мене, то дивляться з таким виразом, ніби кажуть: А! це не вона, так і нема чого дивитися. Ні, це не може бути! – думала вона. – «Вони ж повинні знати, як мені хочеться танцювати, як я чудово танцюю, і як їм весело танцюватиме зі мною».
Звуки Польського, що тривало досить довго, вже починали звучати сумно – спогадом у вухах Наташі. Їй хотілося плакати. Перонська відійшла від них. Граф був на іншому кінці зали, графиня, Соня і вона стояли одні як у лісі в цьому чужому натовпі, нікому нецікаві та непотрібні. Князь Андрій пройшов з якоюсь дамою повз них, очевидно їх не впізнаючи. Красень Анатолій, посміхаючись, що то говорив дамі, яку він вів, і глянув на обличчя Наталці тим поглядом, яким дивляться на стіни. Борис двічі пройшов повз них і щоразу відвертався. Берг із дружиною, що не танцювали, підійшли до них.
Наталці здалося образливо це сімейне зближення тут, на балі, ніби не було іншого місця для сімейних розмов, окрім як на балі. Вона не слухала і не дивилася на Віру, що щось говорила їй про свою зелену сукню.
Нарешті государ зупинився біля своєї останньої дами (він танцював із трьома), музика замовкла; стурбований ад'ютант набіг на Ростових, просячи їх ще кудись посторонитися, хоча вони стояли біля стіни, і з хору пролунали виразні, обережні й захоплюючі мірні звуки вальсу. Пан з усмішкою глянув на залу. Минула хвилина – ніхто ще не починав. Ад'ютант розпорядник підійшов до графини Безухової та запросив її. Вона, посміхаючись, підняла руку і поклала її, не дивлячись на нього, на плече ад'ютанта. Ад'ютант розпорядник, майстер своєї справи, впевнено, неквапливо і мірно, міцно обійнявши свою даму, пустився з нею спочатку глісадом, по краю кола, на кутку зали підхопив її ліву руку, повернув її, і з-за звуків музики, що прискорювалися, чути були тільки мірні. клацання шпор швидких і спритних ніг ад'ютанта, і через кожні три такти на повороті ніби спалахувала розвіваючись оксамитова сукня його дами. Наталка дивилася на них і готова була плакати, що це вона не танцює цей перший тур вальсу.
Князь Андрій у своєму полковницькому, білому (по кавалерії) мундирі, панчохах і черевиках, жвавий і веселий, стояв у перших рядах кола, недалеко від Ростових. Барон Фіргоф говорив з ним про завтрашнє, передбачуване перше засідання державної ради. Князь Андрій, як людина близька Сперанському і бере участь у роботах законодавчої комісії, міг дати вірні відомості про засідання завтрашнього дня, про яке ходили різні чутки. Але він не слухав того, що йому говорив Фіргоф, і дивився то на государя, то на кавалерів, що збиралися танцювати, не наважувалися вступити в коло.
DOI: 10.14529/mmph170306
СТАБІЛІЗАЦІЯ ЗВОРОТНОГО МАЯТНИКА НА ДВОКОЛІСНОМУ ТРАНСПОРТНОМУ ЗАСОБІ
В.І. Рязьких1, М.Є. Семенов2, А.Г. Рукавіцин3, О.І. Каніщева4, А.А. Демчук4, П.А. Мелешенко3
1 Воронезький державний технічний університет, м. Воронеж, Російська Федерація
2 Воронезький державний архітектурно-будівельний університет, м. Воронеж, Російська Федерація
3 Воронезький державний університет, м. Вороніж, Російська Федерація
4 Військово-науковий центр Військово-повітряних сил «Військово-повітряна академія імені професора Н.Є. Жуковського та Ю.А. Гагаріна», м. Воронеж, Російська Федерація
E-mail: [email protected]
Розглядається механічна система, що складається з двоколісного візка, на осі якого розташовується зворотний маятник. Завдання полягає у формуванні такого керуючого впливу, що формується за принципом зворотного зв'язку, яке, з одного боку, забезпечувало б заданий закон руху механічного засобу, а з іншого, стабілізувало б нестійке положення маятника.
Ключові слова: механічна система; двоколісний транспортний засіб; зворотний маятник; люфт; стабілізація; керування.
Вступ
Можливість управління нестійкими технічними системами теоретично розглядалася вже давно, проте практична значущість такого управління чітко виявилася лише останнім часом. Виявилося, що нестійкі об'єкти управління при відповідному управлінні мають низку «корисних» якостей. Прикладами таких об'єктів можуть бути космічний корабель на етапі зльоту, термоядерний реактор та багато інших. У той же час при виході з ладу автоматичної системи управління нестійкий об'єкт може бути істотною загрозою, небезпекою і для людини, і для навколишнього середовища. Як катастрофічний приклад результатів відключення автоматичного управління можна навести аварію на Чорнобильській АЕС. У міру того, як системи управління стають все більш надійними, все ширше коло технічних нестійких без управління об'єктів застосовується на практиці. Одним із найпростіших прикладів нестійких об'єктів є класичний зворотний маятник. З одного боку, завдання про його стабілізацію порівняно просте і наочне, з іншого, вона може знайти практичне застосування при створенні моделей двоногих істот, а також антропоморфних пристроїв (роботів, кіберів та ін), що переміщуються на двох опорах. В останні роки з'явилися роботи, присвячені проблемам стабілізації зворотного маятника, пов'язаного з двоколісним транспортним засобом, що рухається. Ці дослідження мають потенційні перспективи застосування у багатьох галузях, таких як транспорт та розвідка, у зв'язку з компактною конструкцією, зручністю експлуатації, високою маневреністю та низькою витратою палива таких пристроїв. Проте, завдання, що розглядається, ще далека від остаточного рішення. Відомо, що багато традиційних технічних пристроїв мають як стійкі, так і не стійкі стани та режими роботи. Характерний приклад - сегвей, винайдений Діном Кейменом електричний самокат, що самобалансується, з двома колесами, розташованими по обидва боки від водія. Два колеса скутера розташовані співвісно. Сегвей автоматично балансується за зміни положення корпусу водія; для цієї мети використовується система індикаторної стабілізації: сигнали з гіроскопічних та рідинних датчиків нахилу надходять на мікропроцесори, які виробляють електричні сигнали, що впливають на двигуни та керують їх рухами. Кожне колесо сегвея приводиться у обертання своїм електродвигуном, що реагує на зміни рівноваги машини. При нахилі тіла їздця вперед сегвей починає котитися вперед, при збільшенні ж кута нахилу тіла їздця швидкість сегвея збільшується. При відхиленні корпусу назад само-
кат уповільнює рух, зупиняється або котиться заднім ходом. Рулювання в першій моделі відбувається за допомогою поворотної рукоятки, в нових моделях - хитання колонки вліво-вправо. Завдання управління коливальними механічними системами мають значний теоретичний інтерес та велике практичне значення.
Відомо, що в процесі функціонування механічних систем внаслідок старіння та зношування деталей неминуче виникають люфти, упори, тому для опису динаміки таких систем необхідно брати до уваги вплив гістерезисних ефектів. Математичні моделі таких нелінійностей відповідно до класичних уявлень зводяться до операторів, які розглядаються як перетворювачі на відповідних функціональних просторах. Динаміка таких перетворювачів описується відносинами «вхід-стан» та «стан-вихід».
Постановка задачі
У цій роботі розглядається механічна система, що складається з двоколісного візка, на осі якого розташовується зворотний маятник. Завдання полягає у формуванні такого керуючого впливу, яке, з одного боку, забезпечувало б заданий закон руху механічного засобу, а з іншого, стабілізувало б нестійке положення маятника. При цьому враховуються гістерезисні властивості в керуючому контурі системи, що вивчається. Нижче графічно представлені елементи механічної системи, що вивчається, - двоколісного транспортного засобу із закріпленим на ньому зворотним маятником.
Мал. 1. Основні структурні елементи механічного пристрою, що розглядається
тут / 1 / I feili / Fr I
" 1 " \ 1 \ 1 i R J
Hr! / / / / /1 / / /
Мал. 2. Ліве та праве колеса механічного пристрою з керуючим моментом
Параметри та змінні, які описують систему, що розглядається: j - кут повороту транспортного засобу; D - відстань між двома колесами вздовж осі; R – радіус коліс; Jj – момент інерції; Tw - різниця крутних моментів лівого та правого коліс; v -
поздовжня швидкість транспортного засобу; в - кут відхилення маятника від вертикального положення; m – маса перевернутого маятника; l - відстань між центром тяжкості тіла та
віссю колеса; Ти - сума крутних моментів лівого та правого коліс; х - переміщення транспортного засобу за напрямом поздовжньої швидкості; М – маса шасі; М* – маса коліс; І – розчин люфту.
Динаміка системи
Динаміку системи описують такі рівняння:
n = - + - Tn, W á WR n
= - - ml C0S в Tn,
де Т * = Ть - ТЯ; Тп = Ть + ТЯ; Мх = М + т + 2 (М * + ^ *); 1в = т/2 + 1С; 0.=Мх1в-т2/2 соъ2;
<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)
Модель, що описує динаміку зміни параметрів системи, можна у вигляді двох незалежних підсистем. Перша підсистема складається з одного рівняння - р-підсистеми,
визначального кутові рухи транспортного засобу:
Рівняння (5) можна переписати у вигляді системи із двох рівнянь:
де е1 = Р-Рй, е2 = (Р-(Ра).
Друга підсистема, що описує радіальні рухи транспортного засобу, а також коливання встановленого на ній маятника, складається з двох рівнянь - (у, в) підсистеми:
U =-[ Jqml в2 sin в- m2l2 g sin у cos в] + Jq Tu W в S J WR u
в = - - ml С ° * Tv W WR
Систему (7) зручно подати у вигляді системи рівнянь першого порядку:
4 = ТГ" [ Jqml (qd + e6)2 sin (e5 + qd) - m12g sin (e5 + qd) cos (e5 + qd)] + ТЩT v- Xd,
¿6 =~^- ^^^ +в)
де W0 = MxJq-П121 2cos2 (qd + e5), e3 = X - Xd, 4 = v - vd, 5 = q-qd, 6 = q-qd
Розглянемо підсистему (6), управляти якою за принципом зворотний зв'язок. Для цього введемо нову змінну та визначимо поверхню перемикання у фазовому просторі системи як ^ = 0 .
5 = в! + с1е1, (9)
де с – позитивний параметр. Безпосередньо з визначення випливає:
■Я = е+с1 е1 -срй + с1 е1. (10)
Для стабілізації обертального руху визначимо момент, що управляє, наступним чином:
Т№ Р - ^ в1 - -М§П(51) - к2 (11)
де - позитивно задані параметри.
Аналогічно будуватимемо управління другою підсистемою (8), управляти якою, будемо також за принципом зворотного зв'язку. Для цього введемо нову змінну та визначимо поверхню перемикання у фазовому просторі системи, як ■2 = 0 .
■2 = вз + С2вз, (12)
де с2 – позитивний параметр, тоді
1 . 2 2 2
■2 = е3 + с2 е3 = (в + в6) ^5 + ве) - т 1 § ^5 + вс1) С08 (е5 + ва)] +
7^Т - + с2 ез
Для стабілізації радіального руху визначимо момент, що управляє:
t"2/2 ^ до Т =-Кт/(вй+еб)г^т(еь + вй)+яп^ + вй)е08(е5 + вй)--0- \сг ез - +^п^) +кА ^],(14)
де к3, к4 – позитивно задані параметри.
Для того, щоб одночасно керувати обома підсистемами системи, введемо додатковий вплив, що управляє:
= § Хапв--[ва + с3(в-вй) - к588п(^3) - кб 53], (15)
де § - прискорення вільного
падіння; с3, к5, кб – позитивні параметри; 53 - поверхня перемикання, що визначається співвідношенням:
53 = е6 + с3е5.
Сформулюємо основні результати роботи, які полягають у принциповій можливості стабілізації обох підсистем, у зроблених припущеннях щодо впливів, що управляють, в околиці нульового положення рівноваги.
Теорема 1. Система (6) з керуючим впливом (11) абсолютно асимптотично стійка:
Нш || е11|® 0,
Нш || е2 ||® 0. t®¥u 2
Доказ: визначимо функцію Ляпунова як
де a = Dj 2 RJр.
Очевидно, що функція V > 0 тоді
V = Ш1 Si = Si. (18)
Підставивши (14) у V, отримаємо
V = -(£Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)
Очевидно, що V1 Теорема 2. Розглянемо підсистему (8) з керуючим впливом (14). У зроблених припущеннях ця система абсолютно асимптотично стійка, тобто за будь-яких початкових умов виконуються співвідношення: lim ||e3 ||® 0, t®¥ (20) lim 11 е41|® о. Доказ: визначимо функцію Ляпунова для системи (8) за допомогою співвідношення де b = Wo R! Je. Очевидно, що функція V2 > 0 і V2 = М S2 = S2, тому що виникають зони нечутливості по відношенню до керуючого впливу. Наведемо короткий опис гістерезисного перетворювача, що використовується в подальшому - люфта, заснований на операторному трактуванні. Вихід перетворювача - люфт на монотонних входах описується співвідношенням: x(t0) при тих t, за яких x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24) u(t) + h при тих t, за яких u(t)< x(t0) - h, яке ілюструє рис. 3. За допомогою напівгрупової тотожності дія оператора поширюється на всі шматково-монотонні входи: Г x (t) = Г [ Г x (t1), h] x (t) (25) та за допомогою спеціальної граничної конструкції на всі безперервні. Так як вихід цього оператора не диференціюється, то надалі використовується апроксимація люфта моделлю Боука-Відень. Ця відома напівфізична модель широко використовується для феноменологічного опису гістерезисних ефектів. Популярність моделі Боука-Вена обу- славиться її здатністю охоплювати в аналітичному вигляді різні форми гістерезисних циклів. Формальний опис моделі зводиться до системи наступних рівнянь: Fbw (х, ^ = акх() + (1-a)Dkz(t), = D"1(AX-р\х \\z \п-1 z-вусі | z |п). (26) Fbw(x,t) сприймається як вихід гистерезисного перетворювача, а x(t) - як вхід. Тут п > 1, D > 0 k > 0 та 0<а< 1. Мал. 3. Динаміка вхідно-вихідних відповідностей люфту Розглянемо узагальнення систем (6) і (8), у яких керуючий вплив надходить на вхід гістерезисного перетворювача, а вихід є керуючим впливом на систему: Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a) Dkz (t), z = D_1 (Ax-bx || z \n-1 z - gx | z\n). ¿4 = W-J mlQd + еб)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] б = W -Fbw (x, t) = akx (t) + (1 - a) Dkz (t), ^ z = D_1 (A x-b\x\z\n-1 z-gx \z\n). Як і раніше в системі, основним було питання про стабілізацію, тобто асимптотичному поведінці її фазових змінних. Нижче наводяться графіки при тих самих фізичних параметрах системи з люфтом і без люфта. Ця система досліджувалась за допомогою чисельних експериментів. Це завдання було вирішено серед програмування Wolfram Mathematica. Значення констант та початкові умови наведені нижче: m = 3; M = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5; Jv = 1,5; j(0) = 0; x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )