Основна властивість напрямних косінусів. Напрямок вектора Сума квадратів косінусів дорівнює одиниці

ВИЗНАЧЕННЯ

Векторназивається впорядкована пара точок і (тобто точно відомо, яка з точок у цій парі перша).

Перша точка називається початком вектора, а друга – його кінцем.

Відстань між початком та кінцем вектора називається довжиноюабо модулем вектора.

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовимі позначається; його довжина вважається рівною нулю. Інакше, якщо довжина вектора позитивна, його називають ненульовим.

Зауваження. Якщо довжина вектора дорівнює одиниці, він називається ортомабо одиничним векторомі позначається.

ПРИКЛАД

Завдання	Перевірити, чи є вектор поодиноким.
Рішення	Обчислимо довжину заданого вектора, вона дорівнює кореню квадратному із суми квадратів координат: Оскільки довжина вектора дорівнює одиниці, то вектор є ортом.
Відповідь	Вектор поодинокий.

Ненульовий вектор можна також визначити як спрямований відрізок.

Зауваження. Напрямок нульового вектора не визначено.

Напрямні косинуси вектор

ВИЗНАЧЕННЯ

Напрямними косинусамидеякого вектора називаються косинуси кутів, які утворює вектор з позитивними напрямками координатних осей.

Зауваження. Однозначно напрям вектора задають напрямні косинуси.

Щоб знайти напрямні косинуси вектора необхідно вектор нормувати (тобто вектор поділити з його довжину):

Зауваження. Координати одиничного вектора дорівнюють його напрямним косинусам.

ТЕОРЕМА

(Властивість напрямних косінусів). Сума квадратів напрямних косінусів дорівнює одиниці:

Нехай дано вектор ( х , у , z ).

Позначимо кути нахилу цього вектора до осей Ох, Оу і Oz відповідно літерами ,і.Три числа cos, cosі cosприйнято називати напрямними косинусами вектора. Вважаючи = (1; 0; 0 ) отримуємо з (9)

Аналогічно

З формул (11) - (13) випливає:

1) сos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 ,

тобто. сума квадратів напрямних косінусів будь-якого ненульового вектора дорівнює одиниці;

тобто.напрямні косинуси цього вектора пропорційні його відповідним проекціям.

Примітка. З формул (11)-(13) видно, що проекції будь-якого одиничного вектора на осі координат відповідно збігаються з напрямними косинусами і, отже,

приклад. Знайти напрямні косинуси вектор (1; 2; 2). За формулами (11)-(13) маємо

4. Векторний добуток двох векторів та його основні властивості.

Визначення. Векторним твором двох векторівіназивається новий вектор, модуль якого дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах, наведених до загального початку, і який перпендикулярний до перемножуваних векторів (інакше кажучи, перпендикулярний до площини побудованого на них паралелограма) і спрямований в таку сторону, щоб найкоротший поворот проти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора (рис. 40).

Якщо вектори іколлінеарні, їх векторний твір вважається рівним нульовому вектору. З цього визначення випливає, що

|| = || || sin,

де - кут між векторами( 0 ). Векторний твір векторів позначається символом

х або [,].

З'ясуємо фізичне значення векторного твору. Якщо вектор зображує прикладену в певній точці М змулу, а вектор йде з деякої точки Пров точку М,то вектор = являє собою момент сили щодо точки О.

Властивості векторного твору

1 . При перестановці співмножників векторне твір змінює символ, тобто.

х = -(x).

() х = х () = (х),де-скаляр.

3. Векторне твір підпорядковується розподільчому закону, тобто.

4. Якщо векторний добуток двох векторів дорівнює нульовому вектору, то дорівнює нульовому вектору хоча б один з перемножуваних векторів (тривіальний випадок), або дорівнює нулю синус кута між ними, тобто. вектори колінеарні.

Назад, якщо два ненульові вектори колінеарні, то їх векторний добуток дорівнює нульовому вектору.

Таким чином , для того щоб два ненульові вектори були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх векторний добуток дорівнював нульовому вектору.

Звідси, зокрема, випливає, що векторний добуток вектора на самого себе дорівнює нульовому вектору:

х =0

(хще називають векторний квадрат вектор .

5. Змішаний добуток трьох векторів та його основні властивості.

Нехай дані три вектори ,і. Уявімо, що вектор множиться векторно і отриманий вектор множиться скалярно на вектор, тим самим визначається число (х). Воно називається або змішаним творомтрьох векторів,і.

Для стислості змішаний твір (х) будемо позначати або ().

З'ясуємо геометричний зміст змішаного твору. Нехай аналізовані вектори некомпланарні. Побудуємо паралелепіпед на векторах, як на ребрах.

Векторний твір xесть вектор(=), чисельно рівний площі паралелограма OADB (основа побудованого паралелепіпеда), побудованого на векторахії, спрямований перпендикулярно до площини паралелограма (рис. 41).

Скалярний добуток (x) = є добуток модуля вектора та проекції вектора (див. п. 1, (2)).

Висота збудованого паралелепіпеда є абсолютна величина цієї проекції.

Отже, твір | |за абсолютною величиною дорівнює добутку площі підстави паралелепіпеда з його висоту, тобто. обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах, в.

При цьому важливо відзначити, що скалярний добуток дає об'єм паралелепіпеда іноді з позитивним, а іноді з негативним знаком. Позитивний знак виходить, якщо кут між векторами і гострий; негативний – якщо тупий. При гострому куті міжівектор розташований по ту ж сторону площини OADB , Що і вектор і, отже, з кінця вектор обертання відбуде видно так само, як і з кінця вектора, тобто. у позитивному напрямку (проти годинникової стрілки).

При тупому вугіллі між вектором розташований по інший бік площини OADB , ніж вектор, і, отже, з кінця вектор обертання відбуде видно в негативному напрямку (за годинниковою стрілкою). Іншими словами, добуток позитивно, якщо вектори, утворюють систему, однойменну з основною Oxyz (взаємно розташовані так само, як осі Ox, Oy, Oz), і воно негативно, якщо вектори, утворюють систему, різноїменну з основною.

Таким чином, змішаний твір є число,абсолютна величина якого виражає обсяг паралелепіпеда,побудованого на векторах,як на ребрах.

Знак твору позитивний, якщо вектори утворюють систему, однойменну з основною, і негативний в іншому.

Звідси випливає, що абсолютна величина твору = (х) залишиться тією ж, в якому порядку ми не брали співмножники,,. Що стосується знака, то він буде в одних випадках позитивним, в інших – негативним; це залежить від того, утворюють наші три вектори, взяті в певному порядку, систему, однойменну з основною, чи ні. Зауважимо, що у нас осі координат розташовані так, що вони йдуть одна за одною проти годинникової стрілки, якщо дивитися у внутрішню частину (рис. 42). Порядок прямування не порушується, якщо ми почнемо обхід з другої осі чи з третьої, аби він відбувався у тому напрямі, тобто. проти годинникової стрілки. При цьому множники переставляються у круговому порядку (циклічно). Таким чином, отримуємо наступну властивість:

Змішаний твір не змінюється при круговій (циклічній) перестановці його співмножників. Перестановка двох сусідніх співмножників змінює знак твору

= ==-()=-()=-().

Нарешті, з геометричного сенсу змішаного твору безпосередньо випливає таке твердження.

Необхідною та достатньою умовою компланарності векторів,,є рівність нулю їх змішаного твору:

Напрямні косинус вектор.

Напрямні косинуси вектор a– це косинуси кутів, які вектор утворює із позитивними півосями координат.

Щоб знайти напрямні косинуси вектора a необхідно поділити відповідні координати вектора на модуль вектора.

Властивість:Сума квадратів напрямних косінусів дорівнює одиниці.

Так у разі плоского завданнянапрямні косинуси вектора a = (ax; ay) знаходяться за формулами:

Приклад обчислення напрямних косінусів вектора:

Знайти напрямні косинуси вектора a = (3; 4).

Рішення: | =

Так у у разі просторового завданнянапрямні косинуси вектора a = (ax; ay; az) знаходяться за формулами:

Приклад обчислення напрямних косінусів вектора

Знайти напрямні косинуси вектора a = (2; 4; 4).

Рішення: | =

Напрямок вектора у просторі визначається кутами, які вектор утворює з осями координат (рис. 12). Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора: , , . З властивостей проекцій: , . Отже, Легко показати, що 2) координати будь-якого одиничного вектора збігаються з його напрямними косинусами: .

"Як знайти напрямні косинуси вектора"

Позначте через альфа, бета і гама кути, утворені вектором з позитивним напрямом координатних осей (див. рис.1). Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора.

Оскільки координати а декартової прямокутної системі координат рівні проекціям вектора на координатні осі, а1 = |a|cos(альфа), a2 = |a|cos(бета), a3 = |a|cos(гама). Звідси: cos(альфа)=a1||a|, cos(бета)=a2||a|, cos(гама)=a3/|a|. У цьому |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Значить cos (альфа) = a1 | sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2), cos (бета) = a2 | a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Слід зазначити основну властивість напрямних косінусів. Сума квадратів напрямних косінусів вектора дорівнює одиниці. Справді, cos^2(альфа)+cos^2(бета)+cos^2(гама)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Перший спосіб

Приклад: дано вектор а=(1, 3, 5). Знайти його напрямні косинуси. Рішення. Відповідно до знайденого випишу: | а | = sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2 + az ^ 2) = sqrt (1 +9 +25) = sqrt (35) = 5,91. Таким чином, відповідь можна записати в наступній формі: (cos(альфа), cos(бета), cos(гама))=(1/sqrt(35), 3/sqrt (35), 5/(35))=( 0,16; 0,5; 0,84).

Другий спосіб

При знаходженні напрямних косінусів вектора а можна використовувати методику визначення косинусів кутів за допомогою скалярного твору. У цьому випадку маються на увазі кути між а і напрямними одиничними векторами прямокутних декартових координат i, j і k. Їхні координати (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), відповідно. Скалярний добуток векторів визначається так.

Якщо кут між векторами ф, то скалярний добуток двох вітрів (за визначенням) – це число, що дорівнює добутку модулів векторів на cosф. (a, b) = | a | | b | cos ф. Тоді, якщо b=i, то (a, i) = |a||i|cos(альфа), або a1 = |a|cos(альфа). Далі всі дії виконуються аналогічно способу 1 з урахуванням координат j і k.

Сума квадратів напрямних косінусів дорівнює одиниці.

Якщо відомі напрямні косинуси вектора , його координати можуть бути знайдені за формулами: Аналогічні формули мають місце і в тривимірному випадку - якщо відомі напрямні косинуси вектора , то його координати можуть бути знайдені за формулами:

9 Лінійна залежність та лінійна незалежність векторів. Базис на площині та у просторі

Набір векторів називається системою векторів.

лінійно залежноюякщо існують такі числа , не всі рівні нулю одночасно, що

Система з векторів називається лінійно незалежною,якщо рівність можливе лише за , тобто. коли лінійна комбінація у лівій частині рівності тривіальна.

1. Один вектор теж утворює систему: при – лінійно залежну, а при – лінійно залежну.

2. Будь-яка частина системи векторів називається підсистемою.

1. Якщо систему векторів входить нульовий вектор, вона лінійно залежна

2. Якщо в системі векторів є два рівні вектори, то вона лінійно залежна.

3. Якщо системі векторів є два пропорційних вектора , вона лінійно залежна.

4. Система з векторів лінійно залежна тоді й лише тоді, коли хоча б один із векторів є лінійною комбінацією інших.

5. Будь-які вектори, що входять до лінійно незалежної системи, утворюють лінійно незалежну підсистему.

6. Система векторів, що містить лінійно залежну підсистему, лінійно залежна.

7. Якщо система векторів лінійно незалежна, а після приєднання до неї вектора виявляється лінійно залежною, то вектор можна розкласти по векторам , і єдиним чином, тобто. Коефіцієнти розкладання знаходяться однозначно.

Базисомна площині та просторі називається максимальна лінійно незалежна на площині або у просторі система векторів (додавання до системи ще одного вектора робить її лінійно залежною).

Таким чином, базисом на площині є будь-які два неколінеарних вектори, взятих у визначеному порядку, а базисом у просторі - будь-які три некомпланарних вектори, взятих у визначеному порядку.

Нехай - базис у просторі, тоді за Т. 3 будь-який вектор простору розкладається єдиним чином базисним векторам: . Коефіцієнти розкладання називаються координатами вектора у базисі

Запис лінійних операцій над векторами через координати:

а) складання та віднімання: - базис

б) множення на число R:

Формули випливають із якості лінійних операцій.

10 Координати вектора щодо базису. Орти

Базисому просторі вільних векторів V 3називається будь-яка впорядкована трійка некомпланарних векторів.

Нехай У :а 1,а 2,а 3– фіксований базис у V 3.

Координативектора bщодо базису У називається впорядкована трійка чисел ( x, y, z), т.ч. b=x· a 1 +yВ· 2 +z· А 3 .

Позначення:b={x, y, z} B Під координатами закріпленого вектора розуміють координати відповідного йому вільного вектора.

Теорема1:Відповідність між V 3 і R 3 при фіксованому базисі однозначно взаємно, тобто. b V 3 ! {x, y, z) R 3 та ( x, y, z) R 3! b V 3 ,т.ч. b={x, y, z} B

Відповідність між вектором та його координатами в даному базисі має наступні властивості:

1. Нехай b 1 ={x 1 , y 1 , z 1} B , b 2 ={x 2 , y 2 , z 2} B b 1 + b 2 ={x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2} B

2. Нехай b={x, y, z} B , λR λ· b={ λ· x, λ· y, λ· z} B

3. Нехай b 1 | b 2 , b 1 = {x 1 , y 1 , z 1} B , b 2 ={x 2 , y 2 , z 2} B
(Тут: будь-яке число).

Одиничний вектор, спрямований уздовж осі Х, позначається i, одиничний вектор, спрямований уздовж осі Y, позначається j, а одиничний вектор, спрямований уздовж осі Z, позначається k. Вектори i, j, kназиваються ортами– вони мають одиничні модулі, тобто
i = 1, j = 1, k = 1

11 скалярний добуток векторів. Кут між векторами. Умова ортогональності векторів

Це число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів через їх координати

Скалярний добуток векторів X, Y, Z і :

де - Кут між векторами і; якщо або , то

З визначення скалярного твору випливає, що, наприклад, є величина проекції вектора на напрям вектора .

Скалярний квадрат вектор:

Властивості скалярного твору:

Кут між векторами

Умови ортогональності векторів.

Два вектора a і b ортогональні (перпендикулярні), якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю a b = 0

Так у випадку плоского завдання вектора

a = (a x; a y) і b = (b x; b y)

ортогональні, якщо a · b = a x · b x + a y · b y = 0

12 векторний добуток векторів, його властивості. Умова колінеарності векторів

Векторним твором вектора на вектор називається вектор, що позначається символом і визначається наступними трьома умовами:

1). Модуль вектора дорівнює , де - Кут між векторами і ;

2). Вектор перпендикулярний кожному з вектора та ;

3). Напрямок вектора відповідає «правилу правої руки». Це означає, що якщо вектори , і приведені до загального початку, то вектор повинен бути спрямований так, як спрямований середній палець правої руки, палець якої спрямований по першому співмножнику (тобто по вектору ), а вказівний - по другому (тобто по вектору). Векторний твір залежить від порядку співмножників, а саме: .

Модуль векторного твору дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах та : .

Сам векторний твір може бути виражений формулою ,

де – орт векторного твору.

Векторний твір перетворюється на нуль тоді й тільки тоді, коли вектори і колінеарні. Зокрема, .

Якщо система координатних осей права та вектори та задані в цій системі своїми координатами:

то векторний добуток вектора на вектор визначається формулою

Вектор колінеарен ненульовому вектору в тому і тільки в тому випадку, коли координати

вектора пропорційні відповідним координатам вектора, тобто.

Лінійні операції над векторами, заданими своїми координатами просторі, проводяться аналогічно.

13 змішаний добуток векторів. Його властивості. Умова компланарності векторів

Змішаним твором трьох векторів, , називається число, що дорівнює скалярному твору вектора на вектор :

Властивості змішаного твору:

3° Три вектори компланарні тоді і лише тоді, коли

4° Трійка векторів є правою і тоді, коли . Якщо ж , то вектори і утворюють ліву трійку векторів.

10° Тотожність Якобі:

Якщо вектори і задані своїми координатами, то їх змішаний твір обчислюється за формулою

Вектори, що паралельні одній площині або лежать на одній площині називають компланарними векторами.

Умови компланарності векторів

Три вектора компланарніякщо їх змішаний твір дорівнює нулю.

Три вектора компланарніякщо вони лінійно залежать.

15 різні види рівняння прямої та площини

Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 (By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А ≠0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В ≠0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлено у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.