Перерахувати елементи конуса. Поняття конуса. Обробка конічних поверхонь способом поперечного зміщення корпусу задньої бабки

Який виходить з однієї точки (вершина конуса) і які проходять через плоску поверхню.

Буває, конусом називається частина тіла, яка має обмежений обсяг і яка отримана шляхом об'єднання кожного відрізка, які з'єднують вершину і точки плоскої поверхні. Остання, в такому випадку, є підставою конуса, А конус називається спирається на дане підставу.

Коли підстава конуса є багатокутником - це вже піраміда .

круговий конус- це тіло, що складається з кола (підстава конуса), точки, яка не лежить в площині цього кола (вершина конуса і всіх відрізків, які з'єднують вершину конуса з точками основи).

Відрізки, які сполучають вершину конуса і точки окружності підстави, називають утворюють конуса. Поверхня конуса складається з основи і бічної поверхні.

Площа бічної поверхні правильної n-угольной піраміди, вписаної в конус:

S n = ½P n l n,

де P n- периметр основи піраміди, а l n- апофема.

За тим же принципом: для площі бічної поверхні зрізаного конуса з радіусами підстав R 1, R 2і утворює lотримуємо таку формулу:

S = (R 1 + R 2) l.

Прямий і косий кругової конуси з рівною підставою і висотою. Ці тіла мають однаковий об'ємом:

Властивості конуса.

Коли площа підстави має межу, значить, обсяг конуса теж має межу і дорівнює третій частині твору висоти на площу основи.

де S- площа підстави, H- висота.

Т.ч., кожен конус, який спирається на це підстава і мають вершину, яка знаходиться на площині, паралельної підставі, мають рівний обсяг, так як їх висоти однакові.

Центр тяжкості кожного конуса з об'ємом, що має межу, знаходиться на чверті висоти від підстави.
Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса можна виразити такою формулою:

де α - кут розчину конуса.

Площа бічної поверхні такого конуса, формула:

а повна площа поверхні (тобто сума площ бічної поверхні і підстави), формула:

S = πR (l + R),

де R- радіус підстави, l- довжина твірної.

Обсяг кругового конуса, формула:

Для усіченого конуса (не тільки прямого або кругового) обсяг, формула:

де S 1і S 2- площа верхнього і нижнього підстав,

hі H- відстані від площини верхнього і нижнього підстави до вершини.

Перетин площини з прямим круговим конусом - це один з конічних перетинів.

визначення:
Визначення 1. Конус
Визначення 2. Круговий конус
Визначення 3. Висота конуса
Визначення 4. Прямий конус
Визначення 5. Прямий круговий конус
Теорема 1. Утворюють конуса
Теорема 1.1. Осьовий переріз конуса

Обсяг і площі:
Теорема 2. Обсяг конуса
Теорема 3. Площа бічної поверхні конуса

Усічений конус :
Теорема 4. Перетин, паралельне основи
Визначення 6. Усічений конус
Теорема 5. Обсяг усіченого конуса
Теорема 6. Площа бічної поверхні зрізаного конуса

Определние
Тіло обмежене з боків конічної поверхнею, взятої між її вершиною і площиною направляючої, і плоским підставою направляючої, утвореним замкнутої кривої, називається конусом.

Основні поняття
Круговим конусом називають тіло, яке складається з круга (підстави), точки, що не лежить в площині підстави (вершини) і всіх відрізків з'єднують вершину з точками основи.

Прямим конусом називається конус, висота якого підставою містить центр основи конуса.

Розглянемо будь-яку лінію (криву, ламану або змішану) (наприклад, l), Що лежить в деякій плокості, і довільну точку (наприклад, М), що не лежить у цій площині. Всілякі прямі, що з'єднують точку М з усіма точками даної лінії l, утворюють поверхню, яка називається канонічної. Точка М є вершиною такої поверхні, а задана лінія l - направляючої. Всі прямі з'єднують точку М з усіма точками лінії l, називають утворюють. Канонічна поверхня не обмежується ні її вершиною, ні спрямовуючої. Вона простягається необмежено в обидві сторони від вершини. Нехай тепер напрямна - замкнута опукла лінія. Якщо напрямна - ламана лінія, то тіло, обмежене з боків канонічної поверхнею, взятої між її вершиною і плокостью направляючої, і плоским підставою в площині напрямної, називається пірамідою.
Якщо ж напрямна - крива або змішана лінія, то тіло, обмежене з боків канонічної поверхнею, взятої між її вершиною і плокостью направляючої, і плоским підставою в площині напрямної, називається конусом або
визначення 1 . Конусом називають тіло, що складається з основи - плоскої фігури, обмеженої замкнутою лінією (кривої або змішаної), вершини - точки, що не лежить в плокості підстави, і всіх відрізків, що з'єднують вершину з усілякими точками підстави.
Всі прямі, що проходять через вершину конуса і будь-яку з точок кривої, що обмежує фігуру підстави конуса, називаються утворюють конуса. Найчастіше в геометричних задачах під утворює прямий мається на увазі відрізок цієї прямої, укладений між вершиною і площиною основи конуса.
Підстава обмеженою змішаної лінією - це дуже рідкісний випадок. Він сдесь вказано тільки тому, що він може бути розглянутий в геометрії. Найчастіше розглядається випадок з криволінійної направляючої. Хоча, що випадок з довільної кривої, що випадок із змішаною направляючої, мало чим корисний і в них складно вивести якісь любо закономірності. З числа конусів в курсі елементарної геометрії вивчається прямий круговий конус.

Відомо, що коло є окремий випадок замкнутої кривої лінії. Коло - плоска фігура, обмежена колом. Беручи окружність за направляючу, можна определеии круговий конус.
визначення 2 . Круговим конусом називають тіло, яке складається з круга (підстави), точки, що не лежить в площині підстави (вершини) і всіх відрізків з'єднують вершину з точками основи.
визначення 3 . Висота конуса - перпендикуляр, опущений з вершини на плокость підстави конуса. Можна виділити конус, висота якого падає в центр плоскої фігури підстави.
визначення 4 . Прямим конусом називається конус, висота якого підставою містить центр основи конуса.
Якщо зв'язати ці два визначення, ми отримаємо конус, підстава котрого є коло, а висота падає в центр цього кола.
визначення 5 . Прямим круговим конусом називають конус, підстава котрого є коло, а висота його з'єднує вершину і центр підстави даного конуса. Такий конус виходить обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Тому прямий круговий конус є тілом обертання і називається також конусом обертання. Якщо не визначено інше, то для стислості надалі говоримо просто конус.
Отже наведемо деякі властивості конуса:
теорема 1. Все що утворюють конуса дорівнюють. Доведення. Висота МО перпендикулярна всім прямим підстави щодо визначення перпендикулярної прямої до плокості. Тому трикутники МОА, МОВ і МОС є прямокутними і рівні за двома катетам (МО - загальна, ОА = ОВ = ОС - радіуси підстави. Тому рівні і гіпотенузи, тобто утворюють.
Радіус основи конуса іноді називають радіусом конуса. Висота конуса називається також віссю конуса, Тому будь-який перетин, що проходить через висоту називається осьовим перерізом. Будь-яке осьовий переріз перетинає основу по діаметру (тому що пряма, по якій перетинаються осьовий переріз і плокость підстави, проходить через центр кола) і утворює трикутник.
Теорема 1.1. Осьовий переріз конуса є рівнобедрений трикутник. Так трикутник АМВ є рівнобедреним, тому що дві його сторони МВ і МА є утворюють. Кут АМВ є кутом при вершині осьового перерізу.

Тема уроку: Конус і його елементи

Мета уроку:ввести поняття конуса, що утворює, висотою і підстави; ввести поняття площі бічної поверхні конуса як площі її розгортки; сформувати навик рішення задач на знаходження елементів конуса.

Тип уроку:комбінований.

устаткування:ПК, мультимедійний проектор, інтерактивна дошка, моделі конусів.

Хід уроку:

Перевірка домашнього завдання у дошки.
Самостійна робота (Додаток 1.)
Пояснення нового матеріалу.

Поняття конуса, його елементів (вершина, вісь, що утворюють, підстава, бокова поверхня). Зображення конуса.

конусом(Точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга - основи конуса, точки, що не лежить в площині цього кола, - вершини конуса і всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи (рис. 1).

Відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називаються утворюютьконуса. Поверхня конуса складається з основи і бічної поверхні.

конус називається прямим, Якщо пряма, що з'єднує вершину конуса з центром підстави, перпендикулярна площині підстави. Надалі ми будемо розглядати тільки прямий конус, називаючи його для стислості просто конусом. Наочно прямий круговий конус можна уявляти собі як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо його катета як осі (рис.2).

висотоюконуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром підстави. Віссю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту.

^ Перетин конуса різними площинами.
Перетин конуса площиною, що проходить через його вершину, являє собою трикутник, у якого бічні сторони є утворюють конуса (рис. 3). Зокрема, рівнобедреним трикутником є осьовий переріз конуса. Це перетин, що проходить через вісь конуса (рис. 4).

Теорема.Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню - по колу з центром на осі конуса.

Доведення.нехай - площина, паралельна площині основи конуса і перетинає конус (рис.5). Перетворення гомотетии щодо вершини конуса, що сполучає площину

Який виходить з однієї точки (вершина конуса) і які проходять через плоску поверхню.

Коли підстава конуса є багатокутником - це вже піраміда .

Площа бічної поверхні правильної n-угольной піраміди, вписаної в конус:

S n = ½P n l n,

де P n- периметр основи піраміди, а l n- апофема.

S = (R 1 + R 2) l.

Прямий і косий кругової конуси з рівною підставою і висотою. Ці тіла мають однаковий об'ємом:

Властивості конуса.

Коли площа підстави має межу, значить, обсяг конуса теж має межу і дорівнює третій частині твору висоти на площу основи.

де S- площа підстави, H- висота.

Центр тяжкості кожного конуса з об'ємом, що має межу, знаходиться на чверті висоти від підстави.
Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса можна виразити такою формулою:

де α - кут розчину конуса.

Площа бічної поверхні такого конуса, формула:

а повна площа поверхні (тобто сума площ бічної поверхні і підстави), формула:

S = πR (l + R),

де R- радіус підстави, l- довжина твірної.

Обсяг кругового конуса, формула:

Для усіченого конуса (не тільки прямого або кругового) обсяг, формула:

де S 1і S 2- площа верхнього і нижнього підстав,

hі H- відстані від площини верхнього і нижнього підстави до вершини.

Перетин площини з прямим круговим конусом - це один з конічних перетинів.

Конус (з грецької «konos»)- Соснова шишка. Конус знаком людям з глибокої давнини. У 1906 році була виявлена книга «Про метод», написана Архімедом (287-212 рр. До н. Е.), В цій книзі дається рішення завдання про обсяг загальної частини пересічних циліндрів. Архімед говорить, що це відкриття належить давньогрецького філософа Демокріта (470-380 рр. До н.е.), який за допомогою даного принципу отримав формули для обчислення об'єму піраміди і конуса.

Конус (круговий конус) - тіло, яке складається з круга - підстава конуса, точки, яка не належить площині цього кола, - вершини конуса і всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса і точки окружності підстави. Відрізки, які сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса. Поверхня конуса складається з основи і бічної поверхні.

Конус називається прямим, якщо пряма, яка з'єднує вершину конуса з центром підстави, перпендикулярна площині підстави. Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо його катета як осі.

Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром підстави. Віссю прямого конуса називається пряма, яка містить його висоту.

Перетин конуса площиною, що проходить через творчу конуса і перпендикулярна осьового перерізу, проведеного через цю твірну, називається дотичній площиною конуса.

Площина, перпендикулярна осі конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню - по колу з центром на осі конуса.

Площина, перпендикулярна осі конуса відсікає від нього менший конус. Частина, що залишилася називається усіченим конусом.

Обсяг конуса дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, які спираються на дане підставу і мають вершину, що знаходиться на цій площині, паралельної підставі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти рівні.

Площа бічної поверхні конуса можна знайти за формулою:

S-пліч = πRl,

Площа повної поверхні конуса знаходиться за формулою:

S кін = πRl + πR 2,

де R - радіус підстави, l - довжина твірної.

Обсяг кругового конуса дорівнює

V = 1/3 πR 2 H,

де R - радіус підстави, Н - висота конуса

Площа бічної поверхні зрізаного конуса можна знайти за формулою:

S-пліч = π (R + r) l,

Площа повної поверхні зрізаного конуса можна знайти за формулою:

S кін = πR 2 + πr 2 + π (R + r) l,

де R - радіус нижньої основи, r - радіус верхнього підстави, l - довжина твірної.

Обсяг усіченого конуса можна знайти наступним чином:

V = 1/3 πH (R 2 + Rr + r 2),

де R - радіус нижньої основи, r - радіус верхнього підстави, Н - висота конуса.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.