Площа правильного шестикутника визначається. Правильний шестикутник та його властивості. Визначення та побудова

З питанням: Як знайти площу шестикутника?, можна зіткнутися не тільки на іспиті з геометрії і т.п., ці знання стануть у нагоді і в побуті, наприклад, для правильного і точного обчислення площі приміщення в процесі ремонту. Підставивши у формулу необхідні значення, вдасться визначити необхідну кількість рулонів шпалер, плитки у ванну чи кухню тощо.

Небагато фактів з історії

Геометрія використовувалася ще у стародавньому Вавилоніта інших державах, що існували одночасно з ним. Обчислення допомагали при зведенні значних споруд, оскільки завдяки їй архітектори знали, як витримати вертикаль, правильно скласти план, визначити висоту.

Естетика теж мала велике значення, і тут знову йшла геометрія. Сьогодні цій наукі потрібні будівельнику, закрійнику, архітектору, та й не фахівцю теж.

Тому краще вміти розраховувати S фігур, розуміти, що формули можуть стати в нагоді на практиці.

Площа правильного 6-кутника

Отже, у нас шестикутна фігура з рівними сторонами та кутами. У повсякденності ми часто маємо нагоду зустріти предмети правильної шестикутної форми.

Наприклад:

• гайка;
• бджолині соти;
• Сніжинка.

Шестикутна фігура найбільше економічно заповнює простір на площині. Погляньте на тротуарну плитку, одна підігнана до іншої так, що проміжків не залишається.

Кожен кут дорівнює 120? Сторона фігури дорівнює радіусу описаного кола..

Розрахунок

Необхідне значення можна обчислити, розбивши фігуру шість трикутників з рівними сторонами.

Обчисливши S одного з трикутників, неважко визначити загальну. Проста формула, оскільки правильний шестикутник, насправді, є шістьма рівними трикутниками. Таким чином, для її розрахунку знайдену площу одного трикутника множать на 6.

Якщо від центру шестикутника до будь-якої сторони провести перпендикуляр, виходить відрізок – апофема.

Подивимося, як знаходити S шестикутника, якщо апофема відома:

1. S = 1/2×периметр×апофема.
2. Візьмемо апофему рівну 53 см.

1. Знаходимо периметр, використовуючи апофему: так як апофема перпендикулярно до сторони 6-кутника, кути трикутника, утвореного за допомогою апофеми, дорівнюють 30-60-90˚. Кожна сторона трикутника відповідає: x-x√3-2x, де коротка, проти кута 30˚, це x; довга сторона проти кута 60 - x√3, а гіпотенуза - 2x.
2. Апофему x√3 можна підставити формулу a=x√3. Якщо апофема дорівнює 5?3, підставивши дану величину, отримаємо: 5?3см=x?3, або x=5см.
3. Короткий бік трикутника становить 5см, оскільки ця величина – половина довжини сторони 6-кутника. Помноживши 5 на 2, отримаємо 10см, що значення довжиною боку.
4. Отриману величину помножимо на 6 та отримаємо значення периметра – 60см.

Підставляємо отримані результати у формулу: S=1/2×периметр×апофема

S=½×60 см× 5√3

Вважаємо:

Спрощуємо отриману відповідь, щоб позбутися коріння. Результат буде виражений у квадратних сантиметрах: ?×60см×5?3см=30?5?3см=150?

Як знаходити площу неправильного шестикутника

Є кілька варіантів:

• Розбивка шестикутника на інші фігури.
• Метод трапеції.
• Розрахунок S неправильних багатокутників за допомогою осей координат.

Вибір методу диктується вихідними даними.

Метод трапеції

Шестикутник поділяється на окремі трапеції, після чого обчислюється площа кожної отриманої фігури.

Використання осей координат

Використовуємо координати вершин багатокутника:

• У таблицю записуємо координати вершин x та y . Послідовно вибираємо вершини, "рухаючись" проти годинникової стрілки, завершуючи список повторним записом координат першої вершини.
• Помножуємо значення координати x 1-ї вершини на значення y 2-ї вершини і продовжуємо так множити. Складаємо отримані результати.
• Значення координат y1 вершини множимо на значення координат x 2 вершини. Складаємо результати.
• Віднімаємо суму, отриману на 4-му етапі із суми, отриманої на третьому етапі.
• Ділимо результат, отриманий на попередньому етапі, і знаходимо, що шукали.

Розбивка шестикутника на інші фігури

Багатокутники розбиваються інші фігури: трапеції, трикутники, прямокутники. Користуючись формулами обчислення площ перерахованих фігур, необхідні значення обчислюються та складаються.

Неправильний шестикутник може складатися із двох паралелограмів. Щоб обчислити площу паралелограма, його довжина множиться з його ширину, а далі вже відомі дві площі складаються.

Площа рівностороннього шестикутника

У правильного шестикутника є шість рівних сторін. Площа рівносторонньої фігури дорівнює 6S трикутників, куди розбитий правильний шестикутник. Кожен трикутник у правильному шестикутнику дорівнює, тому для обчислення площі такої фігури досить знати площу хоча б одного трикутника.

Щоб визначити потрібне значення користуються формулою площі правильної фігури, описаної вище.

Чи знаєте ви, як виглядає правильний шестикутник?
Це питання не випадково. Більшість учнів 11 класу не знають на нього відповіді.

Правильний шестикутник - такий, у якого всі сторони рівні та всі кути теж рівні.

Залізна гайка. Сніжинка. Осередок сот, в яких живуть бджоли. Молекули бензолу. Що спільного у цих об'єктів? - Те, що всі вони мають правильну шестикутну форму.

Багато школярів губляться, бачачи завдання на правильний шестикутник, і вважають, що їх вирішення потрібні якісь особливі формули. Чи так це?

Проведемо діагоналі правильного шестикутника. Ми отримали шість рівносторонніх трикутників.

Ми знаємо, що площа правильного трикутника: .

Тоді площа правильного шестикутника – у шість разів більша.

Де – сторона правильного шестикутника.

Зверніть увагу, що у правильному шестикутнику відстань від його центру до будь-якої з вершин однакова і дорівнює стороні правильного шестикутника.

Значить, радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні.
Радіус кола, вписаного у правильний шестикутник, неважко знайти.
Він дорівнює.
Тепер ви легко розв'яжете будь-які завдання ЄДІ, в яких фігурує правильний шестикутник.

Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник зі стороною .

Радіус такого кола дорівнює.

Відповідь: .

Чому дорівнює сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, радіус якого дорівнює 6?

Ми знаємо, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного навколо нього кола.

Чи є поблизу Вас олівець? Погляньте на його перетин - воно є правильним шестикутником або, як його ще називають, гексагоном. Таку форму має також переріз гайки, поле гексагональних шахів, деяких складних молекул вуглецю (наприклад, графіт), сніжинка, бджолині стільники та інші об'єкти. Чи не здається дивним таке часте використання природою для своїх творінь конструкцій саме цієї форми? Давайте розглянемо докладніше.

Правильний шестикутник є багатокутником з шістьма однаковими сторонами і рівними кутами. Зі шкільного курсу нам відомо, що він має такі властивості:

• Довжина його сторін відповідає радіусу описаного кола. З усіх це властивість має лише правильний шестикутник.
• Кути рівні між собою, і величина кожного становить 120 °.
• Периметр гексагону можна знайти за формулою Р=6*R, якщо відомий радіус описаного навколо нього кола, або Р=4*√(3)*r, якщо коло вписано. R і r - радіуси описаного та вписаного кола.
• Площа, яку займає правильний шестикутник, визначається так: S=(3*√(3)*R 2)/2. Якщо радіус невідомий, замість нього підставляємо довжину однієї зі сторін - як відомо, вона відповідає довжині радіусу описаного кола.

У правильного шестикутника є одна цікава особливість, завдяки якій він отримав у природі таке широке поширення, - він здатний заповнити будь-яку поверхню площини без накладень та прогалин. Існує навіть так звана лема Пала, згідно з якою правильний гексагон, сторона якого дорівнює 1/√(3), є універсальною покришкою, тобто може покрити будь-яку множину з діаметром в одну одиницю.

Тепер розглянемо побудову правильного шестикутника. Є кілька способів, найпростіший з яких передбачає використання циркуля, олівця та лінійки. Спочатку малюємо циркулем довільне коло, потім у довільному місці на цьому колі робимо крапку. Не змінюючи розчину циркуля, ставимо вістря в цю точку, відзначаємо на колі наступне насічення, продовжуємо так доти, поки не отримаємо всі 6 точок. Тепер залишається лише з'єднати їх між собою прямими відрізками, і вийде шукана фігура.

Насправді бувають випадки, коли потрібно намалювати шестикутник великого розміру. Наприклад, на дворівневій стелі гіпсокартону, навколо місця кріплення центральної люстри, потрібно встановити на нижньому рівні шість невеликих світильників. Циркуль таких розмірів знайти буде дуже складно. Як вчинити у цьому випадку? Як взагалі намалювати велике коло? Дуже просто. Потрібно взяти міцну нитку потрібної довжини та обв'язати один із її кінців навпроти олівця. Тепер залишилося лише знайти помічника, який притиснув би до стелі в потрібній точці другий кінець нитки. Звісно, ​​у разі можливі незначні похибки, але навряд вони взагалі будуть помітні сторонній людині.