Підготовка до ЄДІ з математики "Ох, ця тригонометрія!". Тригонометрія - підготовка до еге Шамшин підготовка до еге тригонометричні

\(\blacktriangleright\) Розглянемо прямокутну систему координат і в ній коло з одиничним радіусом та центром на початку координат.

Кут в \(1^\circ\)- це такий центральний кут, який спирається на дугу, довжина якої дорівнює (dfrac1(360)) довжини всього кола.

\(\blacktriangleright\) Розглядатимемо на колі такі кути, у яких вершина знаходиться в центрі кола, а одна сторона завжди збігається з позитивним напрямком осі \(Ox\) (на малюнку виділено червоним).
На малюнку таким чином відмічені кути \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\):

Зауважимо, що кут \(0^\circ\) - це кут, обидві сторони якого збігаються з позитивним напрямом осі \(Ox\).

Точку, в якій друга сторона такого кута \(\alpha\) перетинає коло, називатиме \(P_(\alpha)\) .
Положення точки \(P_(0)\) називатимемо початковим положенням.

Таким чином, можна сказати, що ми робимо поворот по колу з початкового положення \(P_0\) до положення \(P_(\alpha)\) на кут \(\alpha\).

\(\blacktriangleright\) Поворот по колу проти годинникової стрілки - це поворот на позитивний кут. Поворот за годинниковою стрілкою – це поворот на негативний кут.

Наприклад, на малюнку відмічені кути \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\):

\(\blacktriangleright\) Розглянемо точку \(P_(30^\circ)\) на колі. Для того, щоб здійснити поворот по колу з початкового положення до точки \(P_(30^\circ)\) необхідно здійснити поворот на кут \(30^\circ\) (помаранчевий). Якщо ми здійснимо повний оборот (тобто на \(360^\circ\) ) і ще поворот на \(30^\circ\) , то ми знову потрапимо в цю точку, хоча вже був здійснений поворот на кут \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\)(Блакитний). Також потрапити в цю точку ми можемо, здійснивши поворот на \(-330^\circ\) (зелений), на \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\)і т.д.

Таким чином, кожній точці на колі відповідає безліч кутів, причому відрізняються ці кути один від одного на ціле число повних оборотів ( \(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb(Z)\)).
Наприклад, кут \(30^\circ\) на \(360^\circ\) більший, ніж кут \(-330^\circ\) , і на \(2\cdot 360^\circ\) менше, ніж кут \(750^\circ\) .

Усі кути, що у точці \(P_(30^\circ)\) можна записати як: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \ n\in\mathbb(Z)\).

\(\blacktriangleright\) Кут в \(1\) радіан- це такий центральний кут, який спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола:

Т.к. довжина всього кола радіусом \(R\) дорівнює \(2\pi R\) , а в градусній мірі - \(360^\circ\) , то маємо \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf( радий)\), звідки \ Це основна формула, за допомогою якої можна переводити градуси на радіани і навпаки.

приклад 1.Знайти радіальну міру кута \(60^\circ\) .

Т.к. \(180^\circ = \pi \Rightarrow 1^\circ = \dfrac(\pi)(180) \Rightarrow 60^\circ=\dfrac(\pi)3\)

приклад 2.Знайти градусну міру кута \(\dfrac34 \pi\) .

Т.к. \(\pi=180^\circ \Rightarrow \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).

Зазвичай пишуть, наприклад, не \(\dfrac(\pi)4 \text( радий)\)а просто \(\dfrac(\pi)4\) (тобто одиницю виміру “рад” опускають). Зазначимо, що позначення градуса при записі кута не опускають. Таким чином, під записом "кут дорівнює \(1\)" розуміють, що "кут дорівнює \(1\) радіану", а не "кут дорівнює \(1\) градусу".

Т.к. \(\pi \thickapprox 3,14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3,14 \textbf( радий) \Rightarrow 1 \textbf( радий) \thickapprox 57^\circ\).
Таку приблизну підстановку робити в задачах не можна, але знання того, чому приблизно дорівнює \(1\) радіан у градусах часто допомагає при вирішенні деяких завдань. Наприклад, таким чином простіше знайти на колі кут в \(5\) радіан: він приблизно дорівнює \(285^\circ\).

\(\blacktriangleright\) З курсу планіметрії (геометрії на площині) ми знаємо, що для кутів \(0<\alpha< 90^\circ\) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
якщо дано прямокутний трикутник зі сторонами \(a, b, c\) і кутом \(\alpha\) , то:

Т.к. на одиничному колі визначено будь-які кути \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\)потрібно визначити синус, косинус, тангенс і котангенс для будь-якого кута.
Розглянемо одиничну коло і у ньому кут \(\alpha\) і відповідну йому точку \(P_(\alpha)\) :

Опустимо перпендикуляр \(P_(\alpha)K\) з точки \(P_(\alpha)\) на вісь \(Ox\) . Ми отримаємо прямокутний трикутник \(\triangle OP_(\alpha)K\) , з якого маємо: \[\sin\alpha=\dfrac(P_(\alpha)K)(P_(\alpha)O) \qquad \cos \alpha=\dfrac(OK)(P_(\alpha)O)\]Зауважимо, що відрізок \(OK\) є не що інше, як абсцис \(x_(\alpha)\) точки \(P_(\alpha)\) , а відрізок \(P_(\alpha)K\) - ордината \(y_(\alpha)\) . Зауважимо також, що т.к. ми брали одиничну коло, то \(P_(\alpha)O=1\) - її радіус.
Таким чином, \[\sin\alpha=y_(\alpha), \qquad \cos \alpha=x_(\alpha)\]

Таким чином, якщо точка \(P_(\alpha)\) мала координати \((x_(\alpha)\,;y_(\alpha))\) , то через відповідний їй кут її координати можна переписати як \((\ cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .

Визначення: 1. Синусом кута \(\alpha\) називається ордината точки \(P_(\alpha)\) , що відповідає цьому куту, на одиничному колі.

2. Косинусом кута \(\alpha\) називається абсциса точки \(P_(\alpha)\) , що відповідає цьому куту, на одиничному колі.

Тому вісь (Oy) називають віссю синусів, вісь (Ox) - віссю косінусів.

\(\blacktriangleright\) Коло можна розбити на \(4\) чверті, як показано на малюнку.


Т.к. в (I) чверті і абсциси, і ординати всіх точок позитивні, то косинуси і синуси всіх кутів з цієї чверті також позитивні.
Т.к. в (II) чверті ординати всіх точок позитивні, а абсциси - негативні, то косинуси всіх кутів з цієї чверті - негативні, синуси - позитивні.
Аналогічно можна визначити знак синуса і косинуса для чвертей, що залишилися.

приклад 3.Так як, наприклад, точки \(P_(\frac(\pi)(6))\) і \(P_(-\frac(11\pi)6)\) збігаються, то їх координати рівні, тобто. \(\sin\dfrac(\pi)6=\sin \left(-\dfrac(11\pi)6\right),\ \cos \dfrac(\pi)6=\cos \left(-\dfrac( 11pi)6right)\).

приклад 4.Розглянемо точки \(P_(\alpha)\) і \(P_(\pi-\alpha)\) . Нехай для зручності \(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .

Проведемо перпендикуляри на вісь \(Ox\): \(OK\) та \(OK_1\). Трикутники \(OKP_(\alpha)\) і \(OK_1P_(\pi-\alpha)\) рівні з гіпотенузи та куту ( \(\angle P_(\alpha)OK=\angle P_(\pi-\alpha)OK_1=\alpha\)). Отже,\(OK=OK_1, KP_(\alpha)=K_1P_(\pi-\alpha)\) .Т.к. координати точки \(P_(\alpha)=(OK;KP_(\alpha))=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\), а крапки \(P_(\pi-\alpha)=(-OK_1;K_1P_(\pi-\alpha))=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\)

, отже, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]: Таким чином доводяться й інші формули

формулами приведення

\[(\large(\begin(array)(l|r) \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\sin \left(\dfrac(\pi)2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac (\pi)2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\hline \end(array)))]
\[(\large(\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|) \hline &&&&&\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac(\pi)6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac(\pi)4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac(\pi)3 \quad (60^\circ )& \quad \dfrac(\pi)2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac(\sqrt2)2&\frac(\sqrt3) 2&1\\ \line \cos &1&\frac(\sqrt3)2&\frac(\sqrt2)2&\frac12&0\\ \line \mathrm(tg) &0 &\frac(\sqrt3)3&1&\sqrt3&\infty\\ \line \mathrm(ctg) &\infty &\sqrt3&1&\frac(\sqrt3)3&0\\ \hline \end(array)))]

Зауважимо, що дані значення було виведено у розділі “Геометрія на площині (планіметрія). Частина II” у темі “Початкові відомості про синус, косинус, тангенс і котангенс”.

Приклад 5.Знайдіть \(\sin(\dfrac(3\pi)4)\) .

Перетворимо кут: \(\dfrac(3\pi)4=\dfrac(4\pi-\pi)(4)=\pi-\dfrac(\pi)4\)

Таким чином, \(\sin(\dfrac(3\pi)4)=\sin\left(\pi-\dfrac(\pi)4\right)=\sin\dfrac(\pi)4=\dfrac(\sqrt2) 2\).

\(\blacktriangleright\) Для спрощення запам'ятовування та використання формул приведення можна дотримуватися наступного правила.

Випадок 1.\(n\cdot \pi\pm \alpha\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]

Знак кута можна знайти, визначивши, в якій чверті знаходиться. Користуючись таким правилом, припускаємо, що кут (alfa) знаходиться в чверті.

Випадок 2Якщо кут можна у вигляді , де \(n\in\mathbb(N)\) , то \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]де на місці \(\bigodot\) стоїть знак синуса кута \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\]де на місці \(\bigodot\) стоїть знак косинуса кута \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Знак визначається так само, як і у випадку \(1\) .

Зауважимо, що у першому випадку функція залишається незмінною, тоді як у другий випадок - змінюється (кажуть, що функція змінюється на кофункцию).

Приклад 6.Знайти \(\sin\dfrac(13\pi)(3)\) .

Перетворимо кут: \(\dfrac(13\pi)(3)=\dfrac(12\pi+\pi)(3)=4\pi+\dfrac(\pi)3\), а крапки \(\sin \dfrac(13\pi)(3)=\sin \left(4\pi+\dfrac(\pi)3\right)=\sin\dfrac(\pi)3=\dfrac(\sqrt3) 2\)

Приклад 7.Знайти \(\cos\dfrac(17\pi)(6)\).

Перетворимо кут: \(\dfrac(17\pi)(6)=\dfrac(18\pi-pi)(6)=3\pi-\dfrac(\pi)6\), а крапки \(\cos \dfrac(17\pi)(6)=\cos \left(3\pi-\dfrac(\pi)6\right)=-\cos\dfrac(\pi)6=-\dfrac( \sqrt3)2\)

\(\blacktriangleright\) Область значень синуса та косинуса.
Т.к. координати \(x_(\alpha)\) і \(y_(\alpha)\) будь-якої точки \(P_(\alpha)\) на одиничному колі знаходяться в межах від \(-1\) до \(1\) , а \(\cos\alpha\) і \(\sin\alpha\) - абсцисса і ордината відповідно до цієї точки, то \[(\large(-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1))]]

З прямокутного трикутника за теоремою Піфагора маємо: \(x^2_(\alpha)+y^2_(\alpha)=1^2\)
Т.к. \(x_(\alpha)=\cos\alpha,\ y_(\alpha)=\sin\alpha \Rightarrow\) \[(\large(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)) - \textbf(основне тригонометричне тотожність (ОТТ))\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс та котангенс.

Т.к. \(\mathrm(tg)\,\alpha=\dfrac(\sin\alpha)(\cos\alpha), \cos\alpha\ne 0\)

\(\mathrm(ctg)\,\alpha=\dfrac(\cos\alpha)(\sin\alpha), \sin\alpha\ne 0\), то:

1) \((\large(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(ctg)\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0))\)

2) тангенс і котангенс позитивні в \(I\) і \(III\) чвертях і негативні в \(II\) та \(IV\) чвертях.

3) область значень тангенсу і котангенсу - все речові числа, тобто. \(\mathrm(tg)\,\alpha\in\mathbb(R), \\mathrm(ctg)\,\alpha\in\mathbb(R)\)

4) для тангенсу та котангенсу також визначено формули приведення.

Випадок 1. \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\]де на місці \(\bigodot\) стоїть знак тангенса кута \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\]де на місці \(\bigodot\) стоїть знак котангенсу кута \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ).

Випадок 2Якщо кут можна уявити у вигляді \(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm\alpha\)де \(n\in\mathbb(N)\) , то \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\]де на місці \(\bigodot\) стоїть знак тангенса кута \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\]де на місці \(\bigodot\) стоїть знак котангенсу кута \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ).

5) вісь тангенсів проходить через точку \((1;0)\) паралельно осі синусів, причому позитивний напрямок осі тангенсів збігається з позитивним напрямом осі синусів;
вісь котангенсів - через точку \((0;1)\) паралельно осі косінусів, причому позитивний напрямок осі котангенсів збігається з позитивним напрямком осі косінусів.


Доказ цього факту наведемо з прикладу осі тангенсів.

\(\triangle OP_(\alpha)K \sim \triangle AOB \Rightarrow \dfrac(P_(\alpha)K)(OK)=\dfrac(BA)(OB) \Rightarrow \dfrac(\sin\alpha)( \cos\alpha)=\dfrac(BA)1 \Rightarrow BA=\mathrm(tg)\,\alpha\).

Таким чином, якщо точку \(P_(\alpha)\) з'єднати прямий з центром кола, то ця пряма перетне лінію тангенсів у точці, значення якої дорівнює \(\mathrm(tg)\,\alpha\) .

6) з основного тригонометричного тотожності випливають такі формули: \ Першу формулу отримують розподілом правої та лівої частин ОТТ на \(\cos^2\alpha\), другу - розподілом на \(\sin^2\alpha\).

Звертаємо увагу, що тангенс не визначений у кутах, де косинус дорівнює нулю (це \(\alpha=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\));
котангенс не визначений у кутах, де синус дорівнює нулю (це \(\alpha=pi+pi n, ninmathbb(Z)\)).

\(\blacktriangleright\) Парність косинуса та непарність синуса, тангенсу, котангенсу.

Нагадаємо, що функція \(f(x)\) називається парною, якщо \(f(-x)=f(x)\) .

Функція називається непарною, якщо \(f(-x)=-f(x)\) .

По колу видно, що косинус кута \(\alpha\) дорівнює косинусу кута \(-\alpha\) за будь-яких значень \(\alpha\) :

Таким чином, косинус - парна функція, значить, вірна формула [[\Large(\cos(-x)=\cos x))\]

По колу видно, що синус кута \(\alpha\) протилежний синусу кута \(-\alpha\) за будь-яких значень \(\alpha\) :

Таким чином, синус - непарна функція, отже, вірна формула \[(\Large(\sin(-x)=-\sin x))\]

Тангенс та котангенс також непарні функції: \[(\Large(\mathrm(tg)\,(-x)=-\mathrm(tg)\,x))\] \[(\Large(\mathrm(ctg)\,(-x)=-\mathrm(ctg)\,x))\]

Т.к. \(\mathrm(tg)\,(-x)=\dfrac(\sin(-x))(\cos(-x))=\dfrac(-\sin x)(\cos x)=-\mathrm (tg)\,x \qquad \mathrm(ctg)\,(-x)=\dfrac(\cos(-x))(\sin(-x))=-\mathrm(ctg)\,x\))

Як показує практика, один із найскладніших розділів математики, який зустрічається школярам у ЄДІ, – тригонометрія. З наукою про співвідношення сторін у трикутниках починають знайомитись у 8 класі. Рівняння цього типу містять змінну під знаком тригонометричних функцій. Попри те що, що найпростіші їх: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) - знайомі практично кожному школяру, їх виконання найчастіше викликає складності.

У ЄДІ з математики профільного рівня правильно вирішене завдання тригонометрії оцінюється дуже високо. Школяр може отримати до 4 первинних балів за правильно виконану задачу з цього розділу. Для цього шукати до ЄДІ шпаргалки з тригонометрії практично безглуздо. Найбільш розумне рішення – добре підготуватися до іспиту.

Як це зробити?

Для того, щоб тригонометрія в ЄДІ з математики вас не лякала, скористайтеся під час підготовки нашим порталом. Це зручно, просто та ефективно. В даному розділі нашого освітнього порталу, відкритому для учнів як Москви, так і інших міст, представлено викладений теоретичний матеріал і формули з тригонометрії для ЄДІ. Також до всіх математичних визначень ми підібрали приклади з докладним описом їх вирішення.

Після вивчення теорії по розділу «Тригонометрія» під час підготовки до ЄДІ рекомендуємо перейти в «Каталоги», щоб отримані знання краще засвоїлися. Тут ви зможете вибрати завдання по темі, що цікавить, і переглянути їх рішення. Таким чином, повторення теорії тригонометрії в ЄДІ буде максимально ефективним.

Що треба знати?

Насамперед необхідно вивчити значення \(sin\), \(cos\), \(tg\), \(ctg\) гострих кутів від \(0°\) до \(90°\). Також під час підготовки до ЄДІ у Москві варто запам'ятати основні методи вирішення завдань з тригонометрії. Слід врахувати, що виконуючи завдання, ви повинні привести рівняння до найпростішого вигляду. Зробити це можна так:

• розклавши рівняння на множники;
• замінивши змінну (зведення до рівня алгебри);
• призвівши до однорідного рівняння;
• перейшовши до половинного кута;
• перетворивши твори на суму;
• ввівши допоміжний кут;
• використавши спосіб універсальної підстановки.

При цьому найчастіше учню доводиться в ході рішення використовувати кілька перерахованих методів.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

а)Розв'яжіть рівняння 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) \ left [ \ frac (3 \ pi) 2; \, 3 \ pi \ right].

Показати рішення

Рішення

а)Розкривши дужки і перенісши всі складові в ліву частину, отримаємо рівняння 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Враховуючи, що \cos x \neq 0, доданок 2 \sin x можна замінити на 2 tg x \cos x, отримаємо рівняння 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,

1) яке способом угруповання можна привести до вигляду (1-tg x) (1-2 \ cos x) = 0. 1-tg x=0, tg x=1,

2) x=\frac\pi 4+pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,

б) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. За допомогою числового кола відберемо коріння, що належить проміжку

\ left [ \ frac (3 \ pi) 2; \, 3 \ pi \ right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

а) Відповідь \frac\pi 4+\pi n,

б) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3,

\frac(9\pi)4.

а)Умова Розв'яжіть рівняння

б)(2 \ sin ^24x-3 \ cos 4x) \ cdot \ sqrt (tgx) = 0. Вкажіть коріння цього рівняння, що належить проміжку

Показати рішення

Рішення

а)\left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ; ОДЗ:

\begin(cases) tgx\geqslant 0\xxneq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

Вихідне рівняння на ОДЗ рівносильне сукупності рівнянь

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\tg x=0. \end(array)\right. Вирішимо перше рівняння. Для цього зробимо заміну \cos 4x=t, t \in [-1; 1].

Тоді \sin^24x=1-t^2.

Отримаємо:

2(1-t^2)-3t=0, 2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12,

t_2 = -2, t_2 \ notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Розв'яжемо друге рівняння.

tg x = 0, \, x = \ pi k, k \ in \ mathbb Z.

За допомогою одиничного кола знайдемо рішення, які задовольняють ОДЗ. Знаком «+» відзначені 1-а та 3-я чверті, в яких tg x>0. Отримаємо: x = p k, k in mathbb Z;

б) x=\frac\pi (12)+pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+pi m, m \in \mathbb Z.

Знайдемо коріння, що належить проміжку \left(0;\,\frac(3\pi )2\right]. x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi;

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+pi m, m \in \mathbb Z.

б) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi)(12); \frac(13\pi)(12); \frac(17\pi)(12).

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

\frac(9\pi)4.

а)Розв'яжіть рівняння: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б)Вкажіть усе коріння, що належить проміжку \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Показати рішення

Рішення

а)Так як \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,отже, задане рівняння рівносильне рівнянню \cos^2x=\cos ^22x, яке, у свою чергу, рівносильне рівнянню \cos^2x-cos ^2 2x=0.

Але \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)і

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, тому рівняння набуде вигляду

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тоді або 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, або 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Вирішуючи перше рівняння як квадратне рівняння щодо \cos x, отримуємо:

(cos x)_(1,2)=frac(1pmsqrt 9)4=frac(1pm3)4.Тому або \cos x=1, або \cos x=-\frac12.Якщо \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Якщо \cos x=-\frac12,то x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Аналогічно, вирішуючи друге рівняння, отримуємо або \cos x=-1, або \cos x=\frac12.Якщо \cos x=-1, то коріння x=\pi +2m\pi m \in \mathbb Z.Якщо \cos x=\frac12,то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi n \in \mathbb Z.

Об'єднаємо отримані рішення:

x = m \ pi, m \ in \ mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б)Виберемо коріння, яке потрапило в заданий проміжок, за допомогою числового кола.

Отримаємо: x_1 = frac(11pi )3, x_2=4\pi , x_3 = frac(13pi)3.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi)3.

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

\frac(9\pi)4.

а)Умова 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

б)Вкажіть коріння цього рівняння, що належить інтервалу \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2right).

Показати рішення

Рішення

а) 1. Згідно з формулою наведення, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) = tgx.Області визначення рівняння будуть такі значення x , що \cos x \neq 0 і tg x \neq -1. Перетворимо рівняння, користуючись формулою косинуса подвійного кута 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Отримаємо рівняння:

5(1+\cos x) = frac(11+5tgx)(1+tgx). Зауважимо, що \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), тому рівняння набуває вигляду: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Звідси \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),

2. Перетворимо \sin x+\cos x за формулою приведення та формулою суми косінусів: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Звідси \cos \left(x-\frac\pi 4right) = frac(3sqrt 2)5.Значить, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

або x-\frac\pi 4= -arc \ cos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 + 2 \ pi t, t \ in \ mathbb Z.

Тому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

або x = frac pi 4-arc cos frac (3 sqrt 2) 5 + 2 pi t, t in mathbb Z.

Знайдені значення x належать області визначення.

б)З'ясуємо спочатку куди потрапляють коріння рівняння при k=0 та t=0. Це будуть відповідно до числа a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 і

b = frac pi 4-arccos frac (3 sqrt 2)5.

1. Доведемо допоміжну нерівність:<\frac{3\sqrt 2}2<1.

\frac(\sqrt 2)(2) Справді,<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

\frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10) Зауважимо також, що<1^2=1, \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25) значить<1.

\frac(3\sqrt 2)5 (1) 2. З нерівностей

за властивістю арккосинусу отримуємо:

0

Звідси arccos 1<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

\frac\pi 4+0 Аналогічно,

-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< 0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

\frac\pi 4

При k=-1 і t=-1 отримуємо корені рівняння a-2pi і b-2pi. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi + arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2 pi = - frac74 pi -arccos frac (3 sqrt 2) 5 Bigg). При цьому

-2\pi 2\pi Значить, це коріння належить заданому проміжку

\left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

За інших значеннях k і t коріння рівняння не належать заданому проміжку. Справді, якщо k\geqslant 1 і t\geqslant 1, то коріння більше 2pi.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

а) Якщо k \ leqslant -2 і t \ leqslant -2, то коріння менше

б) -\frac(7\pi )2.

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

\frac(9\pi)4.

а)Умова \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б)- frac (7 pi) 4 pm arccos frac (3 sqrt2)5.

Показати рішення

Рішення

а)\sin \left(\frac\pi 2+x\right) = sin (-2x).

Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать проміжку;

Перетворимо рівняння:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x = frac pi 2+pi n, n in mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

б)\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. Коріння, що належить відрізку, знайдемо за допомогою одиничного кола.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

а) Зазначеному проміжку належить однина \frac\pi 2.

б) Коріння, що належить відрізку, знайдемо за допомогою одиничного кола.

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

\frac(9\pi)4.

\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; не входить до ОДЗ.

Значить, \sin x \neq 1.Розділимо обидві частини рівняння на множник (Sin x-1),відмінний від нуля. Отримаємо рівняння 1+\cos 2x=1+\cos (pi +x).Застосовуючи в лівій частині формулу зниження ступеня, а в правій - формулу приведення, отримаємо рівняння 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Це рівняння за допомогою заміни \cos x=t,де -1 \leqslant t \leqslant 1зводимо до квадратного: 2t^2+t-1=0,коріння якого t_1=-1 a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 t_2=\frac12.Повертаючись до змінної x отримаємо \cos x = \frac12або \cos x=-1,звідки x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Розв'яжемо нерівності

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Немає цілих чисел, що належать до проміжку \left[-\frac7(12); -\frac1(12) \right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Цій нерівності задовольняє k=-1, тоді x=-\pi.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

б) -\pi .

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

«Скажи мені, і я забуду,
Покажи мені, і я запам'ятаю,
Залучи мене, і я навчуся».
(Китайське прислів'я)

Математика, що вже давно стала мовою науки і техніки, і в даний час все ширше проникає у повсякденне життя та повсякденну мову, дедалі більше впроваджується, здавалося б, у традиційно далекі від неї області. Інтенсивна математизація різних галузей людської діяльності особливо посилилася зі стрімким розвитком ЕОМ. Комп'ютеризація суспільства, використання сучасних інформаційних технологій вимагають математичної грамотності людини кожному робочому місці. Це передбачає конкретні математичні знання, і певний стиль мислення. Зокрема важливим аспектом є вивчення тригонометрії. Вчення про тригонометричних функціях має широке застосування у практиці, щодо безлічі фізичних процесів, у промисловості, і навіть у медицині. Учнів, які надалі у своїй професійній діяльності матимуть математику, необхідно забезпечити високою математичною підготовкою.

Тригонометрія – складова частина шкільного курсу математики. Хороші знання та міцні навички з тригонометрії є свідченням достатнього рівня математичної культури, неодмінною умовою успішного вивчення у вузі математики, фізики, низки технічних дисциплін. Однак значна частина випускників шкіл виявляє з року в рік дуже слабку підготовку з цього важливого розділу математики, про що свідчать результати минулих років, оскільки аналіз складання єдиного державного іспиту показав, що учні припускаються багато помилок при виконанні завдань саме цього розділу або взагалі не беруться. за такі завдання.

А ще греки, на зорі людства, вважали тригонометрію найважливішою з наук, бо геометрія – цариця математики, а тригонометрія – цариця геометрії. Тому й ми, не заперечуючи давніх греків, вважатимемо тригонометрію одним із найважливіших розділів шкільного курсу, та й усієї математичної науки загалом.

Фізика та геометрія не обходяться без тригонометрії. Не обходиться без тригонометрії та Єдиний державний іспит. Лише у частині питання по тригонометрії зустрічаються майже третини видів завдань. Це і рішення найпростіших тригонометричних рівнянь у завданні В5, і робота з тригонометричними виразами у завданні В7, і дослідження тригонометричних функцій у завданні В14, а також завдання В12, в яких є формули, що описують фізичні явища і тригонометричні функції, що містять. Не можна не відзначити і геометричні завдання, у вирішенні яких використовуються і визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута прямокутного трикутника, та основні тригонометричні тотожності. І це лише частина В! А ще є і улюблені тригонометричні рівняння з відбором коренів С1, і «не дуже улюблені» геометричні завдання С2 і С4.

Як провести підготовку учнів із цих тем? Способів можна запропонувати велику кількість, але найголовніше, щоб у хлопців не виникало почуття страху та непотрібного хвилювання, у зв'язку з величезною різноманітністю різних завдань та формул. А для цього необхідно створити позитивний настрій при вирішенні цих завдань. Дана презентація може бути використана і для проведення занять із учнями, і для виступів на семінарах математиків з підготовки до ЄДІ. У ній запропоновано деякі види завдань та розібрано їх вирішення.

Хорошим тренінгом може бути як просте вирішення даних завдань, а й самостійне складання їх учнями. Залежно від підготовки це можуть бути і тести на відпрацювання обмежень у вирішенні тригонометричних рівнянь С1, і навіть самі рівняння.

Іншим активним методом є проведення занять у формі інтелектуальних ігор. Одним із найзручніших варіантів, я вважаю, формат «Своєї гри». Цю ігрову форму, особливо зараз із використанням комп'ютерних презентацій, можна застосувати і за залікових уроках, після вивчення тем, і під час підготовки до ЄДІ. У запропонованій роботі розміщено «Свою гру. Розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей».

Результатом запропонованої роботи має бути успішне вирішення завдань ЄДІ на тему «Тригонометрія».

Навчально-методичний посібник
для підготовки до ЄДІ з математики

ТРИГОНОМЕТРІЯ В ЄДІ З МАТЕМАТИКИ

Метою даного навчального посібника є допомога школярам у підготовці до ЄДІ з математики по розділу «Тригонометрія».

У навчальному посібнику проводиться аналіз та даються рішення типових завдань з тригонометрії, пропонованих Московським інститутом відкритої освіти у різних контрольних, діагностичних, тренувальних, демонстраційних та екзаменаційних роботах з математики для школярів 10 та 11 класів.

Після розбору кожного типового завдання наводяться схожі завдання самостійного рішення.

З необхідними теоретичними відомостями, що використовуються під час вирішення завдань, можна ознайомитись у розділі «Тригонометрія» нашого «Довідника з математики для школярів» .

З основними методами розв'язання тригонометричних рівняньможна познайомитись у нашому навчально-методичному посібнику «Рішення тригонометричних рівнянь».

Для школярів 10 та 11 класів, які бажають добре підготуватися та здати ЄДІ з математики чи російської мовина високий бал, навчальний центр "Резольвента" проводить курси підготовки до ЄДІ.

У нас також для школярів організовано

З демонстраційними варіантами ЄДІ, опублікованими на офіційному інформаційному порталі Єдиного Державного Іспиту, можна ознайомитись на