Принцип Даламбер теоретичної механіки. Аналітична механіка матеріальної точки та динаміка твердого тіла ейлера Принцип даламбера говорить
Область застосування принципу Даламбер – це динаміка невільних механічних систем. Даламбер запропонував оригінальний метод розв'язання задач динаміки, що дозволяє використовувати досить прості рівняння статики. Він писав: «Це правило наводить всі завдання, які стосуються руху тіл, до більш простих завдань про рівновагу».
В основу цього методу покладено силу інерції. Введемо це поняття.
Силою інерції називають геометричну суму сил протидії рухомої матеріальної частки тілам, які повідомляють їй прискорення.
Пояснимо це визначення. На рис. 15.1 показано матеріальну частку М , що взаємодіє з n матеріальними об'єктами. На рис. 15.1 показано сили взаємодії: без
щі насправді не на частинку, а на тіла з масами m 1 , …, m n . Ясно, що рівнодіююча ця система схожих сил протидії, R '=ΣF' k , за модулем дорівнює R і спрямована протилежно до прискорення, тобто: R ' = -ma. Ця сила і є силою інерції, про яку йдеться у визначенні. Надалі будемо її позначати буквою Ф , тобто:
У загальному випадку криволінійного руху точки прискорення є сумою двох складових:
З (15.4) видно, що складові сили інерції спрямовані протилежно до напрямів відповідних складових прискорення точки. Модулі складових сили інерції визначають за такими формулами:
де ρ - Радіус кривизни траєкторії точки.
Після визначення сили інерції розглянемо принцип Даламбера.
Нехай дана механічна система, що складається з n матеріальних точок (рис. 15.2). Візьмемо одну з них. Усі сили, що діють на k -ю точку, класифікуємо за групами:
Вираз (15.6) відображає сутність принципу Даламбера, записаного для однієї мате-ріальної точки. Повторюючи зроблені вище дії стосовно кожної точки механічної системи, можна записати систему n рівнянь, подібних (15.6), що і буде математичним записом принципу Даламбера стосовно механічної системи. Таким чином, сформулюємо принцип Даламбер для механічної системи:
Якщо до кожної точки механічної системи в будь-який момент часу, окрім зовнішніх і внутрішніх сил, що фактично діють на неї, докласти відповідну силу інерції, то вся система сил буде приведена в рівноважний стан і до неї можна буде застосовувати всі рівняння статики.
Слід мати на увазі:
Принцип Даламбера можна застосовувати для динамічних процесів, що протікають
інерційних системах відліку. Цього ж вимоги, як зазначалося раніше, слід дотримуватись і при застосуванні законів динаміки;
Сили інерції, які, згідно з методикою принципу Даламбера, необхідні додат-
жити до точок системи, насправді ними не діють. Справді, якби вони існували, то вся сукупність сил, прикладених до кожної точки, перебувала б у рівновазі, і була б відсутня сама постановка завдання динаміки.
Для рівноважної системи сил можна записати такі рівняння:
тобто. геометрична сума всіх сил системи, включаючи сили інерції, і геометрична сума моментів всіх сил щодо довільного центру дорівнюють нулю.
Враховуючи властивості внутрішніх сил системи:
вирази (15.7) можна помітно спростити.
Вводячи позначення головного вектора
та головного моменту
вирази (15.7) з'являться у вигляді:
Рівняння (15.11) є прямим продовженням принципу Даламбера, але не містять внутрішніх сил, що є їхньою безперечною перевагою. Їх використання найбільше ефективно при дослідженні динаміки механічних систем, що складаються з твердих тіл.
Спочатку ідея цього принципу була висловлена Яковом Бернуллі (1654-1705) під час розгляду завдання про центр коливань тіл довільної форми. У 1716 р. петербурзький академік Я. Герман (1678 - 1733) висунув принцип статичної еквівалентності «вільних» рухів та «фактичних» рухів, тобто рухів, які здійснюються за наявності зв'язків. Пізніше цей принцип був застосований Л. Ейлером (1707-1783) до завдання про коливання гнучких тіл (робота була опублікована в 1740) і отримав назву «Петербурзького принципу». Однак першим, хто сформулював розглянутий принцип у загальному вигляді, хоч і не дав йому належного аналітичного виразу, був Даламбер (1717-1783). У своїй «Динаміці», що вийшла 1743 р., він вказав загальний метод підходу до вирішення задач динаміки невільних систем. Аналітичне вираз цього принципу було дано пізніше Лагранжем у його «Аналітичній механіці».
Розглянемо деяку невільну механічну систему. Позначимо рівнодіючу всіх активних сил, що діють на будь-яку точку системи, через а рівнодіючу реакцій зв'язків - через тоді рівняння руху точки матиме вигляд
де - Вектор прискорення точки, а маса цієї точки.
Якщо ввести в розгляд силу, що називається даламберовою силою інерції, то рівняння руху (2.9) можна переписати у формі рівняння рівноваги трьох сил:
Рівняння (2.10) становить істота принципу Даламбера для точки, але це ж рівняння, поширене систему, - істота принципу Даламбера для системи.
Рівняння руху, написане у формі (2.10), дозволяє дати принципу Даламбера наступне формулювання: якщо систему, що перебуває в русі, в будь-який момент часу миттєво зупинити і до кожної матеріальної точки цієї системи докласти активні сили реакції зв'язків, що діяли на неї в момент зупинки. Даламберові сили інерції система залишиться в рівновазі.
Принцип Даламбера є зручним методичним прийомом вирішення динамічних завдань, оскільки дозволяє рівняння руху невільних систем написати у формі рівнянь статики.
Цим самим, звичайно, завдання динаміки не зводиться до завдання статики, оскільки завдання інтегрування рівнянь руху, як і раніше, зберігається, але принцип Даламбера дає єдиний метод складання рівнянь руху невільних систем, і в цьому його головна перевага.
Якщо на увазі, що реакції являють собою дію зв'язків на точки системи, то принципу Даламбера можна дати і таке формулювання: якщо до активних сил, що діють на точки невільної системи, приєднати даламберові сили інерції, то результуючі цих сил врівноважуються реакціями зв'язків. Слід підкреслити умовність цього формулювання, оскільки насправді
при русі системи ніякого врівноважування немає, оскільки сили інерції до точок системи не прикладені.
Нарешті принципу Даламбера можна дати ще одне еквівалентне формулювання, для чого рівняння (2.9) перепишемо в такій формі:
Визначення 1
Принцип Даламбер є в теоретичній механіці одним з головних принципів динаміки. Відповідно до цього принципу, за умови приєднання сили інерції до сил, що активно діють на точки механічної системи, і реакцій накладених зв'язків, виходить врівноважена система.
Цей принцип отримав назву на честь французького вченого Ж. Даламбера, який вперше запропонував його формулювання у своєму творі «Динаміка».
Визначення принципу Даламбера
Зауваження 1
Принцип Даламбера звучить так: якщо до активної силі, що впливає на тіло, прикладається додаткова сила інерції, тіло перебуватиме в рівноважному стані. При цьому сумарне значення всіх сил, що діють в системі, доповнене вектором інерції, отримає нульове значення.
Відповідно до зазначеного принципу, щодо кожної i-тої точки системи, стає вірним рівність:
$F_i+N_i+J_i=0$, де:
- $F_i$ -сила, що активно впливає на цю точку,
- $N_i$ - реакція зв'язку, накладеного на точку;
- $J_i$ - сила інерції, що визначається формулою $J_i=-m_ia_i$ (вона спрямована протилежно до цього прискорення).
Фактично, окремо для кожної аналізованої матеріальної точки $ma$ переноситься праворуч наліво (другий закон Ньютона):
$F=ma$, $F-ma=0$.
$ma$ у своїй називається силою інерції Даламбера.
Таке поняття, як сила інерції, запроваджено ще Ньютоном. Відповідно до міркувань вченого, за умови руху точки під впливом сили $F=ma$, тіло (чи система) стає джерелом цієї сили. При цьому, згідно із законом про рівність дії та протидії, точка, що прискорюється, впливатиме на прискорююче її тіло з силою $Ф=-ma$. Таку силу Ньютон дав назву системи інерції точки.
Сили $F$ і $Ф$ будуть рівними і протилежними, але прикладеними до різних тіл, що виключає їхнє складання. Безпосередньо на точку сила інерції впливу не робить, оскільки вона представляє фіктивну силу. При цьому точка залишалася б у стані спокою, якби, крім сили $F$, на точку впливала ще й сила $Ф$.
Примітка 2
Принцип Даламбера дозволяє застосовувати при вирішенні завдань динаміки спрощеніші методи статики, що пояснює його широке застосування в інженерній практиці. На цьому принципі ґрунтується метод кінетостатики. Особливо він зручний у застосуванні з метою встановлення реакцій зв'язків у ситуації, коли відомий закон руху, що відбувається, або він отриманий при вирішенні відповідних рівнянь.
Різновидом принципу Даламбера виступає принцип Германа-Ейлера, що фактично являв собою форму цього принципу, але виявлену до появи публікації твору вченого в 1743 році. При цьому принцип Ейлера не розглядався його автором (на відміну від принципу Даламбера) як основа для загального методу вирішення задач руху механічних систем зі зв'язками. Принцип Даламбер вважається більш доцільним у застосуванні у разі необхідності визначення невідомих сил (для вирішення першого завдання динаміки).
Принцип Даламбера для матеріальної точки
Різноманітність типів розв'язуваних у механіці завдань потребує розробки ефективних методик складання рівнянь руху для механічних систем. Одним із подібних методів, що дозволяють за допомогою рівнянь описати рух довільних систем, вважається в теоретичній механіці принцип Даламбер.
Маючи другий закон динаміки, для невільної матеріальної точки запишемо формулу:
$m\bar(a)=\bar(F)+bar(R)$,
де $R$ реакцію зв'язку.
Приймаючи значення:
$\bar(Ф)=-m\bar(a)$, де $Ф$- сила інерції, отримуємо:
$ bar (F) + bar (R) + bar (Ф) = 0 $
Ця формула є виразом принципу Даламбера для матеріальної точки, згідно з яким для точки, що рухається в будь-який момент часу, геометрична сума впливають на неї активних сил і сили інерції отримує нульове значення. Цей принцип дозволяє записувати рівняння статики для точки, що рухається.
Принцип Даламбер для механічної системи
Для механічної системи, що складається з $n$-точок, можна записати $n$-рівнянь виду:
$ bar (F_i) + bar (R_i) + bar (Ф_i) = 0 $
При підсумовуванні всіх цих рівнянь та введенні наступних позначень:
які є головними векторами зовнішніх сил, реакції зв'язків та сил інерції відповідно, отримуємо:
$ \ sum (F_i) + \ sum (R_i) + \ sum (Ф_i) = 0 $, тобто.
$ FE + R + Ф = 0 $
Умовою для рівноважного стану твердого тіла є нульове значення головних векторів і моменту діючих сил. Враховуючи це положення і теорему Варіньйона про момент, що дорівнює в результаті, запишемо таке співвідношення:
$ \ sum (riF_i) + \ sum (riR_i) + \ sum (riF_i) = 0 $
приймемо такі позначення:
$\sum(riF_i)=MOF$
$\sum(riR_i)=MOR$
$\sum(riФ_i)=MOФ$
основні моменти зовнішніх сил, реакції зв'язків та сил інерції відповідно.
У результаті отримуємо:
$ bar (F ^ E) + bar (R) + bar (Ф) = 0 $
$\bar(M_0^F)+\bar(M_0^R)+\bar(M_0^F)=0$
Ці дві формули є виразом принципу Даламбер для механічної системи. У будь-який момент часу для механічної системи, що рухається, геометрична сума головного вектора реакцій зв'язків, зовнішніх сил, і сил інерції отримує нульове значення. Також нульовою буде і геометрична сума головних моментів від сил інерції, зовнішніх сил та реакцій зв'язків.
Отримані формули є диференціальними рівняннями другого порядку через присутність у кожному їх прискорення в силах інерції (другий похідний закону руху точки).
Принцип Даламбер дозволяє вирішувати методами статики завдання динаміки. Для механічної системи можна записувати рівняння руху як рівнянь рівноваги. З таких рівнянь можна визначити невідомі сили, зокрема реакції зв'язків (перше завдання динаміки).
У попередніх лекціях розглядалися способи розв'язання задач динаміки, що ґрунтуються на законах Ньютона. У теоретичній механіці розроблено та інші способи вирішення динамічних завдань, в основі яких лежать деякі інші вихідні положення, які називаються принципами механіки.
Найважливішим із принципів механіки є принцип Даламбера. З принципом Даламбер тісно пов'язаний метод кінетостатики - спосіб вирішення задач динаміки, в якому динамічні рівняння записуються у формі рівнянь рівноваги. Метод кінетостатики широко застосовується в таких загальноінженерних дисциплінах, як опір матеріалів, теорія механізмів та машин, в інших галузях прикладної механіки. Принцип Даламбера результативно використовується і всередині самої теоретичної механіки, де з його допомогою створено ефективні способи вирішення динаміки.
Принцип Даламбера для матеріальної точки
Нехай матеріальна точка маси здійснює невільний рух щодо інерційної системи координат Oxyz під дією активної сили та реакції зв'язку R (рис. 57).
Визначимо вектор
чисельно рівний добутку маси точки на її прискорення та спрямований протилежно до вектора прискорення. Вектор має розмірність сили та називається силою інерції (даламберової) матеріальної точки.
Принцип Даламбера для матеріальної точки зводиться до такого твердження: якщо до сил, які діють матеріальну точку, умовно приєднати силу інерції точки, то отримаємо врівноважену систему сил, тобто.
Згадуючи зі статики умову рівноваги сил, що сходяться, принцип Даламбера можемо записати також у наступній формі:
Легко бачити, що принцип Даламбера еквівалентний основному рівнянню динаміки, і навпаки, з основного рівняння динаміки випливає принцип Даламбера. Дійсно, переносячи в останньому рівні вектор в іншу частину рівності і замінюючи на , отримуємо основне рівняння динаміки. Навпаки, переносячи в основному рівнянні динаміки члена в одну сторону з силами і використовуючи позначення, отримуємо запис принципу Даламбера.
Принцип Даламбера для матеріальної точки, будучи цілком еквівалентним основному закону динаміки, висловлює цей закон у зовсім іншій формі - у формі рівняння статики. Це дає можливість користуватися при складанні рівнянь динаміки методами статики, що називається методом кінетостатики.
Метод кінетостатики особливо зручний при вирішенні першого завдання динаміки.
приклад. З найвищої точки гладкого сферичного купола радіусу R зісковзує матеріальна точка М маси з малою початковою швидкістю (мал. 58). Визначити, де крапка зійде з бані.
Рішення. Крапка буде рухатися по дузі деякого меридіана. Нехай у певний (поточний) момент радіус ЗМ складає з вертикаллю кут . Розкладаючи прискорення точки а на дотичне ) і нормальне уявімо силу інерції точки також у вигляді суми двох складових:
Стосовна складова сили інерції має модуль і спрямована протилежно дотичне прискорення, нормальна складова - модуль і спрямована протилежно нормальному прискоренню.
Додаючи ці сили до фактично діючих на точку активної сили та реакції купола N, складаємо рівняння кінетостатики
При русі матеріальної точки її прискорення у кожен час таке, що прикладені до точки задані (активні) сили, реакції зв'язків і фіктивна Даламберова сила Ф = - та утворюють врівноважену систему сил.
Доведення.Розглянемо рух невільної матеріальної точки масою тв інерційній системі відліку. Відповідно до основного закону динаміки та принципу звільнення від зв'язків маємо:
де F - рівнодіюча заданих (активних) сил; N - рівнодіюча реакцій всіх накладених на точку зв'язків.
Неважко перетворити (13.1) на вигляд:
Вектор Ф = - таназивають Даламберової силою інерції, силою інерції чи просто Даламберової силою.Далі використовуватимемо лише останній термін.
Рівняння (13.3), що виражає принцип Даламбер в символьній формі, називають рівнянням кінетостатикиматеріальної точки.
Легко отримати узагальнення принципу Даламбер для механічної системи (системи пматеріальних точок).
Для будь-якої до-ї точки механічної системи виконується рівність (13.3):
де ? до -рівнодіюча заданих (активних) сил, що діють на до-ю точку; N до -рівнодіюча реакцій зв'язків, накладених на до-юточку; Ф до = - та до- Даламберова сила до-ї точки.
Очевидно, якщо умови врівноваженості (13.4) виконуються для кожної трійки сил F*, N* : , Ф* (до = 1,. .., п), то і вся система 3 псил
є врівноваженою.
Отже, при русі механічної системи в кожний момент часу прикладені до неї активні сили, реакції зв'язків і сили Дамберів точок системи утворюють врівноважену систему сил.
Сили системи (13.5) вже не є схожими, тому, як відомо зі статики (п. 3.4), необхідні та достатні умови її врівноваженості мають такий вигляд:
Рівняння (13.6) називають рівняннями кінетостатики механічної системи. Для розрахунків використовують проекції цих векторних рівнянь на осі, що проходять через моментну точку. О.
Зауваження 1. Оскільки сума всіх внутрішніх сил системи, а також сума їх моментів щодо будь-якої точки дорівнюють нулю, то в рівняннях (13.6) достатньо враховувати лише реакції зовнішніхзв'язків.
Рівняння кінетостатики (13.6) зазвичай використовують для визначення реакцій зв'язків механічної системи, коли рух системи задано, а тому прискорення точок системи та залежні від них Даламберові сили відомі.
приклад 1.Знайти реакції опор Аі Увалу при його рівномірному обертанні з частотою 5000 об/хв.
З валом жорстко пов'язані точкові маси гп= 0,1 кг, т 2 =Вага: 0,2 кг. Відомі розміри АС - CD - DB = 0,4 м, h= 0,01 м. Масу валу вважати дуже малою.
Рішення.Щоб скористатися принципом Даламбер для механічної системи, що складається з двох точкових мас, вкажемо на схемі (рис. 13.2) задані сили (сили тяжіння) Gi, G 2 реакції зв'язків N4, N # і Даламберові сили Ф |, Ф 2 .
Напрями Даламбсрових сил протилежні прискоренням точкових мас ть т 2уякі рівномірно описують кола радіусу hнавколо осі АВвалу.
Знаходимо величини сил тяжіння та Даламбсрових сил:
Тут кутова швидкість валу зі- 5000* л/30 = 523,6 с Проеціюючи рівняння кінетостатики (13.6) на декартові осі Ах, Ay, Az, Отримаємо умови врівноваженості плоскої системи паралельних сил Gi, G 2 , 1Чд, N tf , Фь Ф 2:
З рівняння моментів знаходимо N в = - + - 1 - - - 2 --- =
(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w „
272 Н, а з рівняння проекції на
вісь Ay: Na = -N B + G, + G 2 + Ф, -Ф 2 = 272 + 0,98 +1,96 + 274-548 = 0,06 Н.
Рівняння кінетостатики (13.6) можна використовувати для отримання диференціальних рівнянь руху системи, якщо скласти їх так, що реакції зв'язків виключаються і в результаті з'являється можливість отримати залежності прискорень від заданих сил.