Проста математика теореми байєсу. Формула повної ймовірності, формула байєса Теорема повної ймовірності формула байєса

При виведенні формули ймовірності передбачалося, що ймовірності гіпотез відомі до досвіду. Формула Байєса дозволяє проводити переоцінку початкових гіпотез у світлі нової інформації, що полягає в тому, що подія сталося. Тому формулу Байєса називають формулою уточнення гіпотез.

Теорема (Формула Байєса). Якщо подія може відбуватися лише з однією з гіпотез
, які утворюють повну групу подій, то ймовірність гіпотез за умови, що подія сталося, обчислюється за формулою

,
.

Доведення.

Формула Байєса чи байесовський підхід до оцінки гіпотез грає значної ролі економіки, т.к. дає можливість коригувати управлінські рішення, оцінки невідомих параметрів розподілу ознак, що вивчаються в статистичному аналізі і.т.п.

приклад. Електролампи виготовляються на двох заводах. Перший завод виробляє 60% загальної кількості електроламп, другий – 40%. Продукція першого заводу містить 70% стандартних ламп, другого – 80%. До магазину надходить продукція обох заводів. Лампочка, куплена в магазині, виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що лампа виготовлена ​​першому заводі.

Запишемо умову завдання, вводячи відповідні позначення.

Дано: подія полягає в тому, що стандартна лампа.

Гіпотеза
полягає в тому, що лампа виготовлена ​​на першому заводі

Гіпотеза
полягає в тому, що лампа виготовлена ​​на другому заводі.

Знайти
.

Рішення.

5. Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі

Розглянемо схему незалежних випробуваньабо схему Бернуллі, яка має важливе наукове значення та різноманітні практичні застосування.

Нехай проводиться незалежних випробувань, у кожному з яких може статися певна подія .

Визначення. Випробування називаютьсянезалежними якщо в кожному з них подія

, що не залежить від того з'явилася чи не з'явилася подія
у інших випробуваннях.

приклад. На випробувальний стенд поставлено 20 ламп розжарювання, які випробовуються під навантаженням протягом 1000 годин. Імовірність того, що лампа витримає випробування, дорівнює 0,8 і не залежить від того, що сталося з іншими лампами.

У цьому прикладі під випробуванням розуміється перевірка лампи на її здатність витримати навантаження протягом 1000 годин. Тому кількість випробувань дорівнює
. У кожному окремому випробуванні можливі лише два результати:

Визначення. Серія повторних незалежних випробувань, у кожному з яких подія
настає з однією і тією ж ймовірністю
, яка не залежить від номера випробування, називаєтьсясхемою Бернуллі.

Ймовірність протилежної події позначають
, причому, як було доведено вище,

Теорема. В умовах схеми Бернуллі ймовірність того, що при незалежних випробуваннях подія з'явиться
раз, визначається за формулою

де
кількість проведених незалежних випробувань;

кількість появи події
;

ймовірність настання події
в окремому випробуванні;

ймовірність не настання події
в окремому випробуванні;

ймовірність того, що в незалежних випробуваннях події
станеться

разів.

Формула (1) називається формулою Бернуллі або біноміальною формулою , т.к. її права частина є
членом бінома Ньютона

.

Теорему приймемо без підтвердження.

приклад. Здійснюється 6 пострілів за мету. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,7. знайти ймовірність того, що відбудеться 2 влучення.

Запишемо, передусім, умову завдання, запроваджуючи відповідні позначення.

Дано: подія
попадання при окремому пострілі;

Знайти

Рішення.

При виведенні формули ймовірності передбачалося, що подія А, Імовірність якого слід визначити, могло статися з однією з подій Н 1 , Н 2 , ... , Н n, що утворюють повну групу попарно несумісних подій У цьому ймовірності зазначених подій (гіпотез) відомі заздалегідь. Припустимо, що зроблено експеримент, в результаті якого подія Анастало. Ця додаткова інформація дозволяє провести переоцінку ймовірностей гіпотез Н i ,вирахувавши Р(Ні/А).

або, скориставшись формулою повної ймовірності, отримаємо

Цю формулу називають формулою Байєса або теоремою гіпотез. Формула Байєса дозволяє «переглянути» ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат досвіду, в результаті якого з'явилася подія А.

Ймовірності Р(Н i)− це апріорні ймовірності гіпотез (вони обчислені до досвіду). Імовірності ж Р(Ні/А)− це апостеріорні ймовірності гіпотез (вони обчислені після досвіду). Формула Байєса дозволяє обчислити апостеріорні ймовірності за їх апріорними ймовірностями та за умовними ймовірностями події А.

приклад. Відомо, що 5% всіх чоловіків та 0.25% всіх жінок дальтоніки. Навмання обрана особа за номером медичної картки страждає на дальтонізм. Яка ймовірність того, що це чоловік?

Рішення. Подія А– людина страждає на дальтонізм. Простір елементарних подій для досвіду – обрано людину за номером медичної картки – Ω = ( Н 1 , Н 2 ) складається з 2 подій:

Н 1 −обраний чоловік,

Н 2 − обрана жінка.

Ці події можуть бути обрані як гіпотези.

За умовою завдання (випадковий вибір) ймовірності цих подій однакові та рівні Р(Н 1 ) = 0.5; Р(Н 2 ) = 0.5.

При цьому умовні ймовірності того, що людина страждає на дальтонізм, рівні відповідно:

Р(А/Н 1 ) = 0.05 = 1/20; Р(А/Н 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Оскільки відомо, що обраний людина дальтонік, т. е. подія сталося, то використовуємо формулу Байєса для переоцінки першої гіпотези:

приклад.Є три однакові на вигляд ящики. У першому ящику 20 білих куль, у другому – 10 білих та 10 чорних, у третій – 20 чорних куль. З вибраного навмання ящика вийняли білу кулю. Обчислити ймовірність того, що кулю вийнято з першої скриньки.

Рішення. Позначимо через Аподія – поява білої кулі. Можна зробити три припущення (гіпотези) про вибір скриньки: Н 1 ,Н 2 , Н 3 − вибір відповідно першої, другої та третьої скриньки.

Оскільки вибір будь-якого з ящиків рівноможливий, то ймовірності гіпотез однакові:

Р(Н 1 )=Р(Н 2 )=Р(Н 3 )= 1/3.

За умовою завдання ймовірність вилучення білої кулі з першої скриньки

Імовірність вилучення білої кулі з другої скриньки

Імовірність вилучення білої кулі з третьої скриньки

Шукану ймовірність знаходимо за формулою Байєса:

Повторення випробувань. Формула Бернуллі.

Проводиться n випробувань, у кожному з яких подія може статися чи відбутися, причому ймовірність події А кожному окремому випробуванні постійна, тобто. не змінюється від досвіду до досвіду. Як знайти ймовірність події? А в одному досвіді ми вже знаємо.

Представляє особливий інтерес можливість появи певного числа разів (m разів) події А в n дослідах. подібні завдання вирішуються легко, якщо випробування є незалежними.

Опр.Кілька випробувань називаюсь незалежними щодо події А якщо ймовірність події А в кожному з них не залежить від результатів інших дослідів.

Імовірність Р n (m) настання події А рівно m разів (ненастання n-m разів, подія) у цих n випробуваннях. Подія А з'являється в різних послідовностях m раз).

Формула Бернуллі.

Очевидні такі формули:

Р n (m менше k разів у n випробуваннях.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - ймовірність настання події А більше k разів у n випробуваннях.1) n = 8, m = 4, p = q = ½,

Сибірський державний університет телекомунікацій та інформатики

Кафедра вищої математики

з дисципліни: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

«Формула повної ймовірності та формула Бейєса(Байєса) та їх застосування»

Виконав:

Керівник: професор Б.П.Зеленцов

Новосибірськ, 2010

Вступ 3

1. Формула повної ймовірності 4-5

2. Формула Байєса (Бейєса) 5-6

3. Завдання з рішеннями 7-11

4. Основні сфери застосування формули Байєса (Бейєса) 11

Висновок 12

Література 13

Вступ

Теорія ймовірностей одна із класичних розділів математики. Вона має тривалу історію. Основи цього розділу науки було закладено великими математиками. Назву, наприклад, Ферма, Бернуллі, Паскаля.
Пізніше розвиток теорії ймовірностей визначилися на роботах багатьох учених.
Великий внесок у теорію ймовірностей зробили вчені нашої країни:
П.Л.Чебишев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.М.Колмогоров. Імовірнісні та статистичні методи в даний час глибоко проникли у додатки. Вони використовуються у фізиці, техніці, економці, біології та медицині. Особливо зросла їх у зв'язку з розвитком обчислювальної техніки.

Наприклад, вивчення фізичних явищ проводять спостереження чи досліди. Їхні результати зазвичай реєструють у вигляді значень деяких спостережуваних величин. При повторенні дослідів виявляємо розкид їх результатів. Наприклад, повторюючи вимірювання однієї і тієї ж величини одним і тим же приладом при збереженні певних умов (температура, вологість тощо), ми отримуємо результати, які хоч трохи, але все ж таки відрізняються один від одного. Навіть багаторазові виміри не дають змоги точно передбачити результат наступного виміру. У цьому сенсі кажуть, що результат виміру є випадковою. Ще більш наочним прикладом випадкової величини може бути номер виграшного квитка в лотереї. Можна навести багато інших прикладів випадкових величин. Все ж таки у світі випадковостей виявляються певні закономірності. Математичний апарат вивчення таких закономірностей і дає теорія ймовірностей.
Отже, теорія ймовірностей займається математичним аналізом випадкових подій пов'язаних із нею випадкових величин.

1. Формула повної ймовірності.

Нехай є група подій H 1 ,H 2 ,..., H n, що має наступні властивості:

1) всі події попарно несумісні: H i

H j=Æ; i, j=1,2,...,n; i¹ j;

2) їхнє об'єднання утворює простір елементарних результатів W:

.

Рис.8

У цьому випадку говоритимемо, що H 1 , H 2 ,...,H nутворюють повну групу подій. Такі події іноді називають гіпотезами.

Нехай А- Деяка подія: АÌW (діаграма Венна представлена ​​малюнку 8). Тоді має місце формула повної ймовірності:

P(A) = P(A/H 1)P(H 1) + P(A/H 2)P(H 2) + ...+P(A/H n)P(H n) =

Доведення. Очевидно: A =

, причому всі події ( i = 1,2,...,n) попарно несумісні. Звідси за теоремою складання ймовірностей отримуємо

P(A) = P(

) + P( ) +...+ P(

Якщо врахувати, що з теореми множення P(

) = P(A/H i) P(H i) ( i= 1,2,...,n), то з останньої формули легко отримати наведену вище формулу ймовірності.

приклад. У магазині продаються електролампи виробництва трьох заводів, причому частка першого заводу – 30%, другого – 50%, третього – 20%. Шлюб у їхній продукції становить відповідно 5%, 3% та 2%. Якою є ймовірність того, що випадково обрана в магазині лампа виявилася бракованою.

Нехай подія H 1 полягає в тому, що обрана лампа зроблена на першому заводі, H 2 на другому, H 3 – на третьому заводі. Очевидно:

P(H 1) = 3/10, P(H 2) = 5/10, P(H 3) = 2/10.

Нехай подія Аполягає в тому, що обрана лампа виявилася бракованою; A/H iозначає подію, що полягає в тому, що обрана бракована лампа з ламп, вироблених на iом заводі. З умови завдання випливає:

P (A/ H 1) = 5/10; P(A/ H 2) = 3/10; P(A/ H 3) = 2/10

За формулою повної ймовірності отримуємо

2. Формула Байєса (Бейєса)

Нехай H 1 ,H 2 ,...,H n- повна група подій та АÌ W – певна подія. Тоді за формулою для умовної ймовірності

(1)

Тут P(H k/A) – умовна ймовірність події (гіпотези) H kабо ймовірність того, що H kреалізується за умови, що подія Асталося.

По теоремі множення ймовірностей чисельник формули (1) можна подати у вигляді

P = P = P(A/H k)P(H k)

Для представлення знаменника формули (1) можна використати формулу повної ймовірності

P(A)

Тепер із (1) можна отримати формулу, звану формулою Байєса:

За формулою Байєса обчислюється ймовірність реалізації гіпотези H kза умови, що подія Асталося. Формулу Байєса ще називають формулою ймовірності гіпотезЙмовірність P(H k) називають апріорною ймовірністю гіпотези H k, а ймовірність P(H k/A) – апостеріорною ймовірністю.

Теорема. Імовірність гіпотези після випробування дорівнює добутку ймовірності гіпотези до випробування на відповідну їй умовну ймовірність події, що сталася при випробуванні, поділеному на повну ймовірність цієї події.

приклад.Розглянемо наведене вище завдання про електролампи, тільки змінимо питання задачі. Нехай покупець купив електролампу у цьому магазині, і вона виявилася бракованою. Знайти можливість того, що ця лампа виготовлена ​​на другому заводі. Величина P(H 2) = 0,5 в даному випадку це апріорна ймовірність події, що полягає в тому, що куплена лампа виготовлена ​​на другому заводі. Отримавши інформацію про те, що куплена лампа бракована, ми можемо виправити нашу оцінку можливості виготовлення цієї лампи на другому заводі, обчисливши апостеріорну ймовірність цієї події.

Випишемо формулу Байєса для цього випадку

З цієї формули отримуємо: P(H 2 /A) = 15/34. Як видно, отримана інформація призвела до того, що ймовірність події, що цікавить нас, виявляється нижче апріорної ймовірності.

3. Завдання із рішеннями.

Завдання 1.До магазину надійшла нова продукція із трьох підприємств. Процентний склад цієї продукції наступний: 20% – продукція першого підприємства, 30% – продукція другого підприємства, 50% – продукція третього підприємства; далі, 10% продукції першого підприємства вищого ґатунку, на другому підприємстві - 5% і на третьому - 20% продукції вищого ґатунку. Знайти ймовірність того, що випадково куплена нова продукція виявиться найвищого гатунку.

Рішення.Позначимо через Уподія, що полягає в тому, що буде куплено продукцію вищого гатунку, через

позначимо події, які полягають у купівлі продукції, що належить відповідно до першого, другого та третього підприємств.

Можна застосувати формулу повної ймовірності, причому у наших позначеннях:

Підставляючи ці значення у формулу повної ймовірності, отримаємо ймовірність:

Завдання 2.Один із трьох стрільців викликається на лінію вогню і робить два постріли. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,3, для другого - 0,5; для третього – 0,8. Мета не вражена. Знайти ймовірність того, що постріли зроблено першим стрільцем.

Сигнал та шум. Чому одні прогнози здійснюються, а інші – ні Сільвер Нейт

Проста математика теореми Байєса

Якщо філософське підґрунтя теореми Байєса напрочуд глибоке, то її математика приголомшливо проста. У своїй базовій формі це лише алгебраїчне вираз з трьома відомими змінними і однією невідомою. Однак ця проста формула здатна призвести до інсайтів у прогнозах.

Теорема Байєса прямо пов'язана з умовною імовірністю. Іншими словами, вона дозволяє розрахувати ймовірність будь-якої теорії чи гіпотези, якщостанеться якась подія. Уявіть собі, що ви живете з партнером і, повернувшись додому з відрядження, виявляєте незнайому пару спідньої білизни у власному гардеробі. Можливо, ви поставите запитання: яка ймовірність того, що ваш партнер вас обманює? Умоваполягає в тому, що ви знайдете білизну; гіпотезаполягає в тому, що ви зацікавлені оцінити ймовірність того, що вас дурять. Бажаєте – вірте, хочете – ні, але теорема Байєса здатна дати вам відповідь на питання такого роду – за умови того, що ви знаєте (або хочете оцінити) три якості.

Насамперед ви повинні оцінити ймовірність появи білизни як умова правильності гіпотези -тобто за умови, що вам зраджують.

Для вирішення цієї проблеми давайте припустимо, що ви жінка, а ваш партнер - чоловік, а предметом суперечки є пара трусиків. Якщо він вам зраджує, то нескладно уявити, як у ваш гардероб могли потрапити чужі трусики. Але, навіть якщо (або навіть особливо в тому випадку, якщо) він вам змінює, ви можете очікувати, що він поводиться досить обережно. Давайте скажемо, що ймовірність появи трусиків за умови, що він вас обманює, становить 50%.

По-друге, ви маєте оцінити ймовірність появи білизни за умови те, що гіпотеза неправильна.

Якщочоловік вам не зраджує, повинні бути інші, більш безневинні пояснення появи трусиків у вашому гардеробі. Деякі з них можуть виявитися досить неприємними (наприклад, це могли бути його власні трусики). Можливо, що його багаж був помилково переплутаний із чужим. Можливо, що в його будинку з якихось причин цілком безневинно заночувала якась ваша подруга, якій ви довіряєте. Трусики могли б бути подарунком вам, який він забув упакувати. Жодна з цих теорій не позбавлена ​​вад, хоча часом пояснення в стилі «моє домашнє завдання з'їв собака» справді виявляється правдою. Ви оцінюєте їхню сукупну ймовірність у 5 %.

Третє і найважливіше, що вам потрібно – це те, що байєсівці називають апріорною ймовірністю(або просто апріорі). Як ви оцінювали ймовірність його зради до того, як знайшли білизну? Зрозуміло, вам складно зберігати об'єктивність оцінки зараз, після того, як ці трусики з'явилися в полі вашого зору (в ідеалі ви оцінюєте цю ймовірність до того, як починаєте вивчати свідчення). Але іноді оцінювати ймовірність подібних подій можна емпірично. Наприклад, у низці досліджень було показано, що протягом будь-якого випадково взятого року своїм подружжю змінює близько 4% одружених партнерів(570), так що ми візьмемо цю цифру за апріорну ймовірність.

Якщо ви зробили оцінку всіх цих значень, то можете застосувати теорему Байєса для оцінки апостеріорної ймовірності. Саме в цій цифрі ми й зацікавлені найбільше – наскільки велика ймовірність того, що нам зраджують, за умови, що ми знайшли чужу білизну?

Розрахунок і проста формула алгебри, що дозволяє його зробити, наведені в табл. 8.2.

Таблиця 8.2.Приклад розрахунку ймовірності зради за теоремою Байєса

Виявляється, що ймовірність зради все одно досить мала – 29%. Це може здатися нелогічним: хіба трусики не є досить вагомим доказом? Можливо, такий результат пов'язаний з тим, що ви використовували дуже низьке апріорне значення ймовірності його зради.

Хоча у невинної людини може бути значно менше варіантів розумних пояснень появи трусиків, ніж у винної, ви спочатку вважали її невинною, і це вплинуло на результат розрахунку за рівнянням.

Коли ми апріорно у чомусь впевнені, ми можемо виявити дивовижну гнучкість навіть при появі нових свідчень. Одним із класичних прикладів таких ситуацій є виявлення раку грудей у ​​жінок віком від 40 років. На щастя, ймовірність, що у жінки після 40 років розвинеться рак грудей, досить невелика і становить приблизно 1,4% (571). Проте чому дорівнює ймовірність позитивного результату її маммограмме?

Дослідження показують, що навіть якщо у жінки ніраку, то маммограма помилково покаже його наявність у 10% випадків (572). З іншого боку, якщо вона має рак, маммограма виявить його приблизно 75 % випадків(573). Побачивши цю статистику, ви можете вирішити, що позитивний результат маммограм означає, що все дуже погано. Однак розрахунок за теоремою Байєса з використанням цих цифр дозволяє зробити інший висновок: ймовірність наявності раку грудей у ​​жінки віком за 40 за умови, що має позитивну маммограму, все ще становить приблизно 10%. В даному випадку такий результат розрахунку за рівнянням обумовлений тим, що досить небагато молодих жінок мають рак грудей. Саме тому багато лікарів рекомендують жінкам не починати регулярно робити маммограми до 50-річного віку, після досягнення якого апріорна ймовірність раку грудей значно збільшується (574).

Проблеми такого роду, поза всяким сумнівом, складні. Під час нещодавно проведеного дослідження статистичної грамотності американців їм наводили цей приклад із раком грудей. І виявилося, що лише 3 % їх змогли правильно розрахувати значення ймовірності(575). Іноді, трохи сповільнившись та спробувавши візуалізувати цю проблему (як показано на рис. 8.2), ми можемо легко перевірити реальністю свої неточні апроксимації. Візуалізація допомагає нам легше побачити загальну картину – оскільки рак грудей зустрічається у молодих жінок вкрай рідко, сам факт позитивного результату маммограми ще нічого не говорить.

Мал. 8.2.Графічне зображення вихідних даних для теореми Байєса на прикладі з мамограмою

Однак ми зазвичай схильні орієнтуватися на найновішу чи найдоступнішу інформацію, і загальна картина починає губитися. Розумні гравці на зразок Боба Вулгаріса навчилися вміло користуватися подібними недоліками нашого мислення. Вулгаріс зробив вигідну ставку на Lakers частково тому, що букмекери приділили занадто багато уваги декільком першим іграм Lakers і змінили ставки на виграш командою титулу з 4 до 1 до 65 до 1. Однак насправді команда грала не гірше, ніж могла грати хороша команда у разі травми одного із її зіркових гравців. Теорема Байєса вимагає від нас уважніше продумувати проблеми такого роду. Вона може виявитися вкрай корисною для виявлення випадків, коли наші апроксимації, засновані на чуття, виявляються занадто грубими.

Але я не хочу сказати, що наші апріорні очікування завжди домінують над новими свідченнями або теорема Байєса завжди призводить до нелогічних, на перший погляд, результатів. Іноді нові свідчення виявляються настільки значущими для нас, що переважують все інше, і ми можемо практично миттєво змінити свою думку і стати повністю впевненими у події, ймовірність якої вважали майже нульовою.

Давайте розглянемо похмуріший приклад – атаки 11 вересня. Більшість із нас, прокинувшись того дня вранці, надавало практично нульового значення ймовірності того, що терористи почнуть розбивати літаки про хмарочоси на Манхеттені. Однак ми визнали очевидну можливість терористичної атаки після того, як перший літак врізався у Світовий торговельний центр. І в нас зникли будь-які сумніви в тому, що на нас був напад, після того як літак врізався в другу вежу. Теорема Байєса здатна відобразити цей результат.

Допустимо, до зіткнення першого літака з вежею наші розрахунки ймовірності терористичної атаки на висотні будівлі Манхеттена становили лише 1 шанс із 20 тис., або 0,005%. Однак ми також повинні були вважати досить низькою ймовірність ситуації, коли літак зіткнувся б з вежею Світового торгового центру помилково. Цю цифру можна розрахувати емпірично. За період тривалістю 25 тис. днів до подій 11 вересня, протягом яких здійснювалися польоти над Манхеттеном, відбулося всього два подібні випадки (576): зіткнення з Емпайр-стейт-білдинг в 1945 р. і з вежею на Уолл-стріт, 40, в 1946 р. Отже, можливість подібного інциденту становила приблизно 1 шанс із 12 500 у будь-який випадковий день. Якщо за цими цифрами зробити розрахунки з використанням теореми Байєса (табл. 8.3a), то ймовірність терористичної атаки підвищувалася з 0,005 до 38% на момент зіткнення першого літака з будинком.

Таблиця 8.3.

Однак ідея, закладена в теорему Байєса, полягає в тому, що ми не коригуємо свої розрахунки ймовірності лише один раз. Ми робимо це постійно в міру появи нових свідчень. Таким чином, наша апостеріорна ймовірність терористичної атаки після зіткнення першого літака, що дорівнює 38%, стає нашою. апріорнийможливістю зіткнення з другим.

І якщо ви ще раз проведете розрахунки після зіткнення другого літака з вежею Світового торгового центру, то побачите, що ймовірність терористичної атаки 99,99% змінюється майже повною впевненістю у цій події. Один нещасний випадок у яскравий сонячний день у Нью-Йорку був вкрай малоймовірний, але другий практично не міг не відбутися (табл. 8.3б), як ми раптово та з величезним жахом зрозуміли.

Таблиця 8.3б.Приклад розрахунку ймовірності терористичної атаки за теоремою Байєса

Я свідомо вибрав як приклади досить складні випадки – терористичні атаки, рак, подружня зрада – оскільки хочу продемонструвати масштаб проблем, до вирішення яких може бути застосоване байєсовське мислення. Теорема Байєса – це чарівна формула. У її найпростішій формулі, яку ми наводимо в цій книзі, використовуються прості арифметичні дії зі складання, віднімання, поділу та множення. Але для того, щоб вона дала нам корисний результат, ми повинні забезпечити її інформацією, зокрема нашими розрахунками апріорних ймовірностей.

Однак теорема Байєса змушує нас думати про ймовірність подій, що відбуваються у світі, навіть коли йдеться про питання, які ми не хотіли б вважати виявом випадковості. Вона не вимагає, щоб ми сприймали світ як внутрішньо, метафізичноневизначений: Лаплас вважав, що це, починаючи від орбіт планет і закінчуючи рухом дрібних молекул, управляється впорядкованими ньютонівськими правилами. Проте він відіграв важливу роль у розвитку теореми Байєса. Швидше можна сказати, що ця теорема пов'язана з епістемологічнійневизначеністю – межами наших знань.

Цей текст є ознайомлювальним фрагментом.З книги Газета Завтра 156 (48 1996) автора Завтра Газета

ПРОСТА АРИФМЕТИКА (Росія та СНД) Ю. Бялий 18 листопада - У Верховній Раді Білорусі розкол: 75 депутатів підписали вимогу оголосити Лукашенку імпічмент, а 80 депутатів - заявили про вірність курсу президента. - На знак незгоди з курсом Лукашенка подали у відставку

З книги Газета Завтра 209 (48 1997) автора Завтра Газета

НИЗША МАТЕМАТИКА Денис Тукмакова стояв на зупинці в очікуванні автобуса і марно намагався зрозуміти параграф із підручника з вищої математики, який нам задали на сьогодні. Я щось читав про значення синуса, коли почув запитання: "Вибачте, хто автор цього підручника?" Я

З книги Зрозуміти Росію розумом автора Калюжний Дмитро Віталійович

Наслідки «гіркої теореми» В умовах вільного переміщення капіталів жоден інвестор, ні наш, ні зарубіжний, не вкладатиме коштів у розвиток практично жодного виробництва на території Росії. Жодних інвестицій у нашу промисловість немає, і не буде.

З книги Словниковий запас автора Рубінштейн Лев Семенович

1.5. Аналіз «Гіркої теореми» Паршева

З книги Літературна Газета 6281 (№ 26 2010) автора Літературна газета

Проста історія Останнім часом посилено заговорили про історію. Тобто не про історію як таку, а про те, як цю історію викладати допитливому юнацтву. Найтонша матерія, як це завжди буває, - це історія найновіша. А де тонко. ну і так далі. І правда: як

З книги Вікілікс. Компромат на Росію автора Автор невідомий

Проста та страшна правда Бібліоман. Книжкова дюжина Блокадний щоденник. - Таллінн - СПб.: Таллінське суспільство жителів блокадного Ленінграда; Інформаційно-видавничий центр Уряду Санкт-Петербурга "Петроцентр", 2010. - 410 с.: Іл. багато

З книги Споживання [Хвороба, що загрожує світу] автора Ван Девід

Зростання затримок із візами – недоброзичливість чи проста некомпетентність? 19. (C) Зростання занепокоєння викликає і те, що все складніше стає отримати таджицьку візу – причому не тільки для персоналу американських НКО, але і для співробітників європейських НКО,

З книги Президенти RU автора Мінкін Олександр Вікторович

З книги Розпад світової доларової системи: найближчі перспективи. автора Маслюков Ю. Д.

Проста система 25 листопада 1994 року, «МК» Така мазь затягне рану кіркою, Але прихований гній вам виїсть все всередині. Шекспір. Гамлет Під прицільним вогнем 1941-го Анатолій Папанов воював у штрафному батальйоні. Коли він 1980-го розповідав мені про війну, здавалося, я все розумію. Папанов,

З книги Літературна Газета 6461 (№ 18 2014) автора Літературна газета

3.1. Проста неграмотність Розглядаючи описувані короткострокові загрози США (в економічній сфері проявляються через загрозу долару), слід перш за все відкинути ті з них, які викликані простою неписьменністю авторів, що їх висувають. Розмови про те, що нові

З книги Найцікавіша історія в історії людства автора Делягін Михайло Геннадійович

Наслідки з «теореми меншості» Що нам заважає бути разом у житті та на екрані У лютому ми з Олександром Прохановим виступали у Західному Сибіру. З різними книгами приїхали, але питання із зали: лише Україна. Олександр Андрійович із подихом визнавав: "Західники

З книги Сигнал та шум. Чому одні прогнози справджуються, а інші – ні автора Сільвер Нейт

Голка Кощія не проста, нафтова - Зрозуміло, про санкції ми вже говорили. Що буде з нафтовими цінами після замирення Заходу з Іраном. Вони знизяться, але не критично. І не факт, що надовго, тому що ціна нафти визначається на спеціально вибраному дуже вузькому сегменті

З книги Чого не знає сучасна наука автора Колектив авторів

Неймовірна спадщина Томаса Байєса Томас Байєс був англійським священиком, який народився чи то в 1701, чи то в 1702 р. Про життя його відомо досить мало, хоча він подарував своє ім'я цілому напрямку у статистиці і, можливо, найвідомішій її теоремі. Незрозуміло навіть,

З книги Залізний бульвар автора Лур'є Самуїл Аронович

Коли статистика відхилилася від принципів Байєса Англійський статистик і біолог на ім'я Рональд Еймлер (Р. А.) Фішер був, можливо, основним інтелектуальним суперником Томаса Байєса, незважаючи на те, що він народився в 1890 р., майже через 120 років після його смерті. Він виявив

З книги автора

Що цінують у науці найбільше? Очевидно, те, що вона може прогнозувати майбутнє. Саме за цією ознакою більшість людей відокремлюють «науку» від «ненауки». Якщо ви кажете: "Можливо, це буде так, хоча, може, і інакше", на вас у

З книги автора

ТЕОРЕМИ ЧААДАЄВА Масон. Франкомовний літератор. Написав сторінок триста, надрукував – тридцять, із них прочитані багатьма десять; за які десять сторінок запідозрений у русофобії; там було щось на зразок примітки, ніби відступ від предмета мови:

Події утворюють повну групуякщо хоча б одне з них обов'язково відбудеться в результаті експерименту і попарно несумісні.

Припустимо, що подія Aможе наступити тільки разом з одним з кількох попарно несумісних подій, що утворюють повну групу. Будемо називати події ( i= 1, 2,…, n) гіпотезамидопиту (апріорі). Імовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності :

Приклад 16Є три урни. У першій урні знаходяться 5 білих та 3 чорних кулі, у другій – 4 білих та 4 чорні кулі, а у третій – 8 білих куль. Навмання вибирається одна з урн (це може означати, наприклад, що здійснюється вибір із допоміжної урни, де знаходяться три кулі з номерами 1, 2 та 3). З цієї урни навмання витягується куля. Яка ймовірність того, що він виявиться чорним?

Рішення.Подія A– витягнуто чорну кулю. Якщо було б відомо, з якої урни витягається куля, то ймовірність можна було б обчислити за класичним визначенням ймовірності. Введемо припущення (гіпотези) щодо того, яка урна обрана для вилучення кулі.

Куля може бути витягнута або з першої урни (гіпотеза), або з другої (гіпотеза), або з третьої (гіпотеза). Так як є однакові шанси вибрати будь-яку зі скриньок, то .

Звідси слідує що

приклад 17.Електролампи виготовляються на трьох заводах. Перший завод виробляє 30% загальної кількості електроламп, другий – 25%,
а третій – решту. Продукція першого заводу містить 1% бракованих електроламп, другого – 1,5%, третього – 2%. До магазину надходить продукція всіх трьох заводів. Якою є ймовірність того, що куплена в магазині лампа виявилася бракованою?

Рішення.Припущення необхідно запровадити щодо того, на якому заводі було виготовлено електролампу. Знаючи це, ми зможемо знайти можливість того, що вона бракована. Введемо позначення для подій: A– куплена електролампа виявилася бракованою, – лампа виготовлена ​​першим заводом, – лампа виготовлена ​​другим заводом,
– лампа виготовлена ​​третім заводом.

Шукану ймовірність знаходимо за формулою повної ймовірності:

Формула Байєса. Нехай - повна група попарно несумісних подій (гіпотези). А- Випадкова подія. Тоді,

Останню формулу, що дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А, називають формулою Байєса .

приклад 18.До спеціалізованої лікарні надходять у середньому 50 % хворих із захворюванням До, 30% - з захворюванням L, 20 % –
із захворюванням M. Ймовірність повного лікування хвороби Kдорівнює 0,7 для хвороб Lі Mці ймовірності відповідно дорівнюють 0,8 і 0,9. Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. Знайдіть ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання K.

Рішення.Введемо гіпотези: – хворий страждав на захворювання До L, – хворий страждав на захворювання M.

Тоді за умовою завдання маємо. Введемо подію А- Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. За умовою

За формулою повної ймовірності отримуємо:

За формулою Байєса.

Приклад 19.Нехай в урні п'ять куль та всі припущення про кількість білих куль рівноможливі. З урни навмання взято кулю, він виявився білим. Яке припущення про початковий склад урни найімовірніше?

Рішення.Нехай – гіпотеза, яка у тому, що у урні білих куль , т. е. можна зробити шість припущень. Тоді за умовою завдання маємо.

Введемо подію А- навмання взята куля біла. Обчислимо. Оскільки , то за формулою Байєса маємо:

Таким чином, найбільш вірогідною є гіпотеза, тому що .

Приклад 20Два із трьох незалежно працюючих елементи обчислювального пристрою відмовили. Знайдіть ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірності відмови першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють 0,2; 0,4 та 0,3.

Рішення.Позначимо через Аподія – відмовили два елементи. Можна зробити такі гіпотези:

– відмовили перший та другий елементи, а третій елемент справний. Оскільки елементи працюють незалежно, застосовна теорема множення: .

Оскільки при гіпотезах подія Адостовірно, то відповідні умовні ймовірності дорівнюють одиниці: .

За формулою повної ймовірності:

За формулою Байєса, ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи.