44 acréscimos físicos ao canto integral inurl livre. Definição geométrica do valor da integral. Embrulho de obsyag tila

41,1. Esquemas de armazenamento integral

Não precisa saber o significado de um tamanho geométrico ou físico A (área de uma figura, volume de til, uma pegada de uma linha em uma placa vertical, etc.), amarrado com a serpente geral de um inverno independente. Transferido, bem, o valor de A é aditivo, isto é, E. Tal, quando rozbittі vіdrіzka [a; b] pelo ponto h є (a; b) na parte [a; seu; b] o valor do valor A, em todos os casos como [a; b], dorіvnyu sumі її significando, scho іdpovіdaut [a; seu; b].

Para o conhecimento do valor de A, é possível ceruvatizar um de dois esquemas: Esquema I (ou método das somas integrais) e esquema II (ou método diferencial).

O primeiro esquema é baseado na designação da integral de canto.

1. Pontos x 0 = a, x 1, ..., x n = b para quebrar em [a; b] em n partes. Na verdade, o valor de A sobe para n "suplementos elementares" ΔAi (i = 1, ..., n): А = ΔA 1 + ΔА 2 + ... + ΔА n.

2. Demonstrar a pele "dodanok elementar" na visão da criação do deyakoi funktsii (já que deve partir da mente das tarefas), calculado no ponto mais importante do resultado geral para a resistência do iogue: ΔA i ≈ ƒ (ci) Δx i.

Com um valor próximo conhecido de ΔA i, vamos supor que um arco seja perdoado: um arco em um pequeno retardo pode ser substituído por um acorde, que é puxado junto; A mudança na velocidade em uma data pequena pode ser feita muito rapidamente, etc.

Otrimamo próximo ao valor de A na soma integral:

3. Shukan é o valor de A antes do limite da soma integral, ou seja, E.

Os significados "método das somas", como bacimo, são usados na apresentação da integral, como sobre a soma de um número infinitamente grande de números infinitamente pequenos.

O esquema I da bola está preso para a configuração de uma integral de canto geométrica e física.

Outro esquema é apenas uma modificação do esquema I e é chamado de "método diferencial" ou "método de ver ordens diferentes indefinidamente pequenas":

1) em vidrizka [a; b] valores vibramalmente conservadores de xe exibição das alterações na exibição [a; NS]. Em geral, o valor de A torna-se uma função de x: A = A (x), ou seja, Vvazhamo, uma parte do valor shukan de A não é uma função de A (x), de x є é um dos parâmetros do valor de A;

2) sabemos a parte principal do incremento ΔA ao alterar x por um pequeno valor Δx = dx, ou seja, o dA diferencial da função A = A (x) é conhecido: dA = ƒ (x) dx, de tarefas, funções de mudança (aqui você também pode pedir ajuda);

3) vazayuchi, scho dA ≈ ΔА em Δх → 0, o shukan sabe o valor da integração dA nos intervalos de a a b:

41,2. Calculando a área de figuras planas

coordenadas retangulares

Como já está estabelecido (div. "Integral sensorial geométrica"), a área do trapézio curvo, o "vishche" alinhado do eixo abscis (ƒ (x) ≥ 0), de volta à integral do canto comum:

A fórmula (41.1) é delimitada por meio do esquema de armazenamento I - o método da soma. Fórmula (41.1), esquema vicorista II. Deixe o trapézio curvo ser circundado por linhas y = ƒ (x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (div. Fig. 174).

Para a área bem conhecida do trapézio S do vicon do início da operação:

1. Vіzmemo dovіlne x Î [a; b] e assumiremos que S = S (x).

2. Damo o argumento x pririst Δx = dx (x + Δx є [a; b]). A função S = S (x) é obter um aumento de ΔS, que é uma área de um "trapézio curvo elementar" (uma pequena imagem dele).

Área diferencial dS є parte da cabeça do incremento ΔS em Δх → 0, і, obviamente, na área da estrada do retângulo com a base dx e a altura y: dS = y dx.

3. Integrando a diferenciação de igualdade nas fronteiras de x = a a x = b, obcecado

Obviamente, o trapézio curvilíneo é arredondado "abaixo" do eixo Ox (ƒ (x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

As fórmulas (41.1) e (41.2) podem ser combinadas em uma:

A área da figura, rodeada por curvas y = = fι (x) і у = ƒг (x), linhas x = a і х = b (atrás de ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (div . Fig. 175), você pode saber por trás da fórmula

Se a figura for plana, tenho uma forma "dobrável" (div. Fig. 176), depois reta, paralela ao eixo Oy, e depois cortada em pedaços, para que você possa usar as mesmas fórmulas.

Como o trapézio curvo é circundado por linhas retas y = s ey = d, vissu Oy e x = φ (y) ≥ 0 curva ininterrupta (div. Fig. 177), então a área está atrás da fórmula

Eu, estreito, como um trapézio curvilíneo rodeado por uma curva, dado parametricamente

linhas retas x = aih = bі vіssu Oh, então a área її está atrás da fórmula

de a e β são determinados a partir da equivalência x (a) = a і x (β) = b.

Butt 41,1. Para saber a área da figura, circundada pelo vissu Oh e pelo gráfico da função y = x 2 - 2x em x.

Solução: Figura maє viglyad, imagens do bebê 178. É conhecido na área S:

Butt 41,2. Conte a área da estatueta, circundada por uma elipse x = a cos t, y = b sen t.

Decisão: É conhecido de um grupo de 1/4 da área S. Aqui x muda de 0 para a, do mesmo, t muda de 0 para 0 (div. Fig. 179). isso é conhecido:

Em tal classificação. Portanto, S = π аВ.

coordenadas polares

Conhecemos a área S do setor curvo, ou seja, uma figura plana, entrelaçada com uma linha ininterrupta r = r (φ) e dois nós φ = a і φ = β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - método diferencial.

1. Tomemos uma parte da área S de Shukan como uma função do kut φ, ou seja, S = S (φ), se um ≤ φ ≤ β (se φ = a, então S (a) = 0, se φ = β, então S (β) = S).

2. Se o corte polar atual φ tem um aumento de Δφ = dφ, então a área do AS aumentará para a área do “setor curvo elementar” OAB.

Diferencial dS є a parte da cabeça do incremento ΔS em dφ → 0 і áreas de estradas do setor circular Sobre o AC (sombreado por minuto) do raio r com a aresta central dφ. Tom

3. Integrando o alinhamento entre os limites de φ = a a φ = β,

Butt 41.3. Conheça a área da figura, cercada por um "trojan de três pétalas" r = acos3φ (div. Fig. 181).

Rishennya: Sabe-se que há uma seção da área de metade de um pelust "Troyandi", ou seja, 1/6 de toda a área da estatueta:

isto é. Otzhe,

Como a figura é plana, "dobro" a forma, depois em voltas, saindo dos pólos e indo para os setores curvos, até fixar a fórmula para a área conhecida. Então, para uma figura, uma imagem em um bebê 182, maєmo:

41,3. Cálculo do arco de uma curva plana

coordenadas retangulares

Sejam coordenadas em linha reta, uma curva plana AB é dada, igual a (x), de a≤x≤ b.

A partir da linha do arco AB, a fronteira cresce, até ser pragmática até que a linha laman seja inscrita no arco, se o número de pistas laman não estiver entre o crescimento e o número de linhas laman não for igual a zero. Será mostrado que se a função y = ƒ (x) і її é herdada de "= ƒ" (x) não é interrompida pelo caminho [a; b], então a curva AV é maє dovzhinu, rіvnu

Esquema de Zastosuєmo I (método da soma).

1. Pontos x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Dovzhin Jordi (Abolanki Laman) ΔL 1 pode ser encontrado atrás do teorema de Pitágoras com um tricot com pernas Δx i і Δу i:

De acordo com o teorema de Lagrange sobre as funções extras de resistência Δу i = ƒ "(з i) Δх i, de ci є (x i-1; x i).

e depois de todos os lamanos M 0 M 1 ... M n estrada

3.Lina eu AB torto, para viznachennyam, estrada

Notável, quando ΔL i → 0 também і Δx i → 0 ΔLi = eu, também, | Δx i |<ΔL i).

função não é interrompido com base em [a; b], de modo que, atrás da pia, a função ƒ "(x) não seja interrompida. Otzhe, іnuє entre a soma integrali (41,4), se max Δx i → 0 :

Em tal classificação, mas em uma gravação rápida eu =

Se a equação da curva AB for dada na forma paramétrica

de x (t) і y (t) - funções contínuas com funções ininterruptas і х (а) = а, х (β) = b, então dovzhina eu AV torto está por trás da fórmula

A fórmula (41.5) pode ser cortada da fórmula (41.3) definindo x = x (t), dx = x "(t) dt,

Butt 41,4. Conheça o jantar de uma estaca do Radius R.

Solução: sabemos 1/4 parte do її dozhini do ponto (0; R) ao ponto (R; 0) (div. Fig. 184). Então iaque então

significar, eu= 2π R. Se você escrever uma aposta na visão paramétrica x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π), então

O cálculo do arco pode ser baseado no método diferencial. Será mostrado que é possível rejeitar a fórmula (41.3), tendo estagnado o esquema II (método diferencial).

1. O valor de x є [a; b] і tela claramente visível [a; NS]. Novo valor eu uma nova função de x, tobto eu = eu(NS) ( eu(A) = 0 і eu(B) = eu).

2. Nós sabemos o diferencial dl funções eu = eu(X) ao alterar x por um pequeno valor Δx = dx: dl = eu"(X) dx. Nós sabemos eu"(X), substitua o arco infinitesimal MN pelo acorde Δ eu, Contração do arco qiu (div. Fig. 185):

3. Integra dl entre de a a b, obcecado

paridade é chamada de fórmula diferencial de arco em coordenadas em linha reta.

Então yak y "x = -dy / dx, então

Restando a fórmula є teorema de Pitágoras para triciclo infinitamente pequeno MST (div. Fig. 186).

coordenadas polares

Deixe a curva AB ser igual em coordenadas polares r = r (φ), e≤φ≤β. É certo que r (φ) і r "(φ) não é interrompido pela direção [a; β].

Se nas igualdades x = rcosφ, y = rsinφ, onde as coordenadas polares e cartesianas são usadas, o parâmetro é igual a φ, então a curva AB pode ser definida parametricamente

Fórmula de Zastosovuchi (41.5),

Butt 41,5. Conheça a quantidade de cardióide r = = a (1 + cosφ).

Solução: Cardióide r = a (1 + cosφ) ma viglyad, imagens em um bebê 187. Vona é simétrica ao eixo polar. Sabemos metade da quantidade total de cardioide:

Nesta classificação, 1 / 2l = 4a. Portanto, l = 8а.

41,4. Tila obsyagu calculada

O cálculo da quantidade de dinheiro para cada área do perereziv paralelo

Não é necessário saber o volume do piso V, além disso, na área S da seção transversal do piso, as áreas perpendiculares ao eixo principal, por exemplo, o eixo do Boi: S = S (x), a ≤ x ≤ b.

1. Através de um ponto suficiente x є desenhe um plano Π, perpendicular ao eixo Ox (div. Fig. 188). Em termos de S (x), a área é invadida por uma área inteira; S (x) vazhaєmo ver e mudar sem interrupção ao mudar. Por meio de v (x), é significativo observar parte do corpo, como mentir mais do que a área P. x] o valor v é a função de x, ou seja, v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V).

2. Conhecemos o dV diferencial da função v = v (x). Win é uma "bola elementar" do chão, colocada entre áreas paralelas, que cobre Boi nos pontos x і х + Δх, que pode ser tomada aproximadamente sobre o cilindro com a base S (x) і altura dx. Para isso, o volume diferencial dV = S (x) dx.

3. Conhecido para o shukan o valor de V pelo caminho de integração dA nos limites de a a B:

A fórmula de Otriman é chamada de fórmula obsyagu tila na área de cruzamentos paralelos.

Butt 41 .6. Conheça obsyag elipsoyda

Solução: Rozsіkayuchi elіpsoїd área, área paralela Oyz e em primeiro lugar ≤х≤ a), elips otrimaєmo (div. fig. 189):

A área da elipse

Tom, pela fórmula (41.6),

Embrulho de obsyag tila

Não se aproxime do eixo Oh para envolver um trapézio curvo, rodeado por uma linha ininterrupta y = ƒ (x) 0, com linhas retas a ≤ x ≤ bі longas x = a і x = b (div. Fig. 190) . Otrimana do envolvimento da figura é chamado de envolvimento. Peretin ts'go til com uma área perpendicular ao eixo do Boi, traçada através de um certo ponto x do eixo do Boi (x Î [UMA; b]), є colo com raio у = ƒ (x). Da mesma forma, S (x) = π y 2.

Fórmula Zastosovyuchi (41.6) obsyagu til na área de cruzamentos paralelos, pode ser reconhecido

Como um trapézio curvo é circundado por um gráfico, não sem interrupção da função = φ (y) ≥ 0 e retas x = 0, y = c,

y = d (s< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Butt 41,7. Para saber o volume do til, coloque-se nos envoltórios da figura, circundada pelas linhas em torno do eixo Oy (div. Fig. 191).

Decisão: Para a fórmula (41.8), sabemos:

41,5. Envolvimento de área de superfície estimada

Seja a curva AB є função gráfica y = ƒ (x) ≥ 0, de x є [a; b], e a função y = ƒ (x) і її é herdada de "= ƒ" (x) não é interrompida de forma alguma.

Conhecemos a área S da superfície, definida para os envoltórios da curva AB perto do eixo Ox.

Esquema de Zastosuєmo II (método diferencial).

1. Através de um certo ponto x є [a; b] desenhe uma área Π perpendicular ao eixo de Boi. A área Π ultrapassa a superfície do envoltório ao redor da estaca com raio y = ƒ (x) (div. Fig. 192). O valor S da parte da superfície da figura é enrolado, mas para mentir mais do que a área, é uma função de x, ou seja, S = s (x) (s (a) = 0 і s (b) = S).

2. Argumento de Damo x prirista Δx = dx. Através do ponto x + dx є [a; b] um plano perpendicular ao eixo do Boi também é desenhado. A função s = s (x) é obter o aumento de Az, que é retratado no pequeno pelo visualizador "Pask".

Sabemos o diferencial da área ds, vou consertar com o peretino da figura, vamos aumentar o cone, vou consertar. dl, A radiusi é igual a y + dy. A área da segunda superfície da estrada ds = π (Y + y + tingir) dl=2π no dl + π dydl... Dydl de TV visível como ordem infinitamente pequena, ds inferior, ds aceitável = 2 π no dl, Abo, então iaque

3. Integrando a diferenciação de igualdade nas fronteiras de x = a a x = b, obcecado

Se a curva AB é dada por equações paramétricas x = x (t), y = y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, então a fórmula (41.9)

Butt 41,8. Conheça a área da superfície do cooler do raio R.

Butt 41,9. dado ciclóide

Para saber a área da superfície, defina os envoltórios em torno do eixo Oh.

Solução: Quando a metade do arco é envolvida, o ciclóide está em torno do eixo de Boi, a área da superfície é envolvida.

41,6. Adições mecânicas da integral de canto

Robô de força invernal

Deixe o ponto do material M se mover fazendo uma ponte sobre o eixo Oh antes da mudança de força F = F (x), alinhado paralelamente ao eixo. Um robô, vibrado por força quando o ponto M é deslocado da posição x = a para a posição x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Butt 41,10 O robô Yak precisa gastar, para esticar a mola em 0,05 m, se a força for 100 N para esticar a mola em 0,01 m?

Decisão: De acordo com a lei de Hooke, a força da mola, que estica a mola, é proporcional ao alongamento x, ou seja, F = KX, de k é o coeficiente de proporção. No final da tarefa de lavagem, a força F = 100 N puxa a mola para x = 0,01 m; o mesmo, 100 = k * 0,01, estrelas k = 10000; o mesmo, F = 10000x.

Shukana do robô com base na fórmula (41.10)

Butt 41,11. Para saber ao robô, se é necessário gastá-lo, passar-se ao longo da borda da ranhura do reservatório cilíndrico vertical com a altura H m e o raio da base R m.

Decisão: Um robô que é capaz de girar na altura da altura da altura do h, estrada até a altura do h. Todas as bolas de crescimento nos tanques estão localizadas nas encostas mais baixas e a altura do elevador (até a borda do reservatório) das bolas pequenas não é a mesma.

O Esquema II (método diferencial) é utilizado para a verificação da designação do conjunto. O sistema de coordenadas é introduzido conforme indicado no pequeno 193.

1. O robô, que vai ver o vikachuvannya do reservatório da bola de ridini tovshchinoyu x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Conhece-se a parte da cabeça do incremento ΔA ao mudar x pelo valor Δx = dx, ou seja, o diferencial dA da função A (x) é conhecido.

Zvazhayuchi em krykhta dx vazhaєmo, mas a bola de linha "elementar" está em um glibin x (em direção à borda do reservatório) (div. Fig. 193). Todi dA \ u003d dp * x, de dp - o que está acontecendo com a bola; vіn dorіvnyuє g * g dv, de g - acelerado vіnnogo fіdіnnya, g - іn dіdіnі, dv - obsyag bola "elementar" de rіdini (para um pouco de visões), ou seja, dp = gg dv. Obyaz para a bola designada rіdini, obviamente, dorіvnyuє π R 2 dx, de dx - a altura do cilindro (bola), π R 2 - a área do seu sono, tobto. E. Dv = π R 2 dx.

Em tal classificação, dp = gg π R 2 dx і dA = gg π R 2 dx * x.

3) integrando o recorte da paridade nas fronteiras de x = 0 a x = H, é conhecido

Shlyakh, passagens por til

Deixe o ponto material se mover ao longo da linha reta através da mudança de velocidade v = v (t). A gente conhece o caminho S, passa uma hora de t 1 até t 2.

Decisão: Da mudança física da visão simplista, da hora para o ponto em uma linha reta, “a velocidade da linha reta da estrada para o caminho simplório por hora”, isto é. Integração da diferença entre os limites de t 1 a t 2, é reconhecida

Obviamente, a fórmula pode ser eliminada usando o esquema I ou II, armazenando a integral de canto.

Butt 41,12. Conheça o caminho, passando em 4 segundos até a espiga do milho, pois a velocidade do chão é v (t) = 10t + 2 (m / s).

Decisão: Se v (t) = 10t + 2 (m / s), então uma caminhada, só passa pela espiga de um milho (t = 0) até o final do 4º segundo, estrada

Tornos Ridini em uma placa vertical

Obviamente, por causa da lei de Pascal, o aperto de uma linha em uma placa horizontal é um estágio inicial de uma linha de uma linha, quando eu pago uma taxa, e por peso - uma profundidade de linha da superfície vertical de um Sidin, que é, E. P * = h * de g * piso, g - espessura da linha, S - área da placa, h - área da superfície.

Para esta fórmula, você pode shukati a pegada da linha na placa perfurada verticalmente, de modo que a ponta fique nas pequenas inclinações.

Deixe a placa ser perfurada verticalmente na estrada, cercada pelas linhas x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) і y 2 = ƒ 2 (x); o sistema de coordenadas vibran é assim, conforme indicado no pequeno 194. Para o conhecimento da empunhadura do Ridini na placa, utiliza-se o esquema II (o método diferencial).

1. Seja a parte do valor shukano P є função de x: p = p (x), ou seja, P = p (x) - um torno em uma parte da placa, como o [a; x] o valor da ruga x, de x є [a; b] (p (a) = 0, p (b) = P).

2. Argumento Damo x prirista Δx = dx. Função p (x) para vencer? P (para um bebê - uma pequena bola de dx). Conhecemos o dp diferencial da função. Zvazhayuy em krykhta dx estaremos perto de vvazhayu o contrabando na posição vertical, todas as manchas dos quais são encontradas no mesmo glibin x, isto é. Plativka tsya é horizontal.

Todi por trás da lei de Pascal

3. Integrando o corte da paridade nos limites de x = a a x = B,

Butt 41,13. Viznachit a magnitude da aderência da unidade na roda, verticalmente no caminho, onde o raio é R, e o centro da passagem na superfície da unidade (div. Fig. 195).

O momento estático S y do sistema do eixo

Como a fila masi rozpodіlenі bezperervnim de freio deyakoi torto, então para a rotação do momento estático, integre.

Nekhai y = ƒ (x) (a≤ x≤ b) - o valor da curva de material AB. Vamos vvvat її unilateral com uma linha pós-linear g (g = const).

Para um previlny x є [a; b] na curva AB há um ponto com coordenadas (x; y). Visível na curva do dl elementar, para se vingar do ponto (x; y). Todi masa tsієї dіlyanka dorіvnyu g dl. Aceitável dl é próximo ao ponto, a partir da distância do eixo Oh para trás. O diferencial do momento estático dS x ("momento elementar") será adequado para g dly, ou seja, DS x = g dlу (div. Fig. 196).

Svidsy vyplyaє, mas o momento estático S x curvou AB a partir do eixo Oh dorivnyu

Da mesma forma, sabemos que S y:

Os momentos estáticos S x і S y tortos permitem um fácil posicionamento do centro do vagi (centro da massa).

O centro da curva plana de material pesado y = ƒ (x), x Î é chamado de ponto da área, quando Volodya é o poder ofensivo: se em todo o ponto do meio toda a massa m é dada torta, então a estática momento da estrada do ponto é como sempre coordenada torta y \ u003d ƒ (x) é muito semelhante ao eixo. Denotemos por C (x c; y c) o centro do vago da curva AB.

O centro do carro deve ser igual Zvidsi

Cálculo de momentos estáticos e coordenadas do centro do wagi de uma figura plana

Seja dada uma figura plana material (placa), rodeada por uma curva y = ƒ (x) 0 e linhas retas y = 0, x = a, x = b (div. Fig. 198).

Levaremos em consideração que a área da superfície da placa é permanente (g = const). Todi masa "todas as placas são portas g * S, ou seja, E Visível desvinculação elementar da placa perto do viglyad, neblina vertical indefinidamente alta, e será abordado por um direto.

Todi masa yogo dorivnyuє g ydx. O centro de gravidade do retângulo Z encontra-se na seção transversal das diagonais do retângulo. O ponto C vai do eixo Ox para 1/2 * y, e do eixo Oy para x (próximo; mais precisamente, no ponto de x + 1/2 Δx). Todi pelos momentos estáticos elementares dos eixos Oh e Oy

Otzhe, centro das coordenadas de wagi maє

Os valores da integral (OI) são amplamente usados em adições práticas à matemática e à física.

Na esteira do dia, na geometria, para além da OI, surgem zonas de figuras simples e superfícies dobráveis, envolventes volumétricas e formas modernas, mais curvas na zona e no espaço.

A física e a mecânica teórica de OI são usadas para calcular momentos estáticos, massas e centros de massas de curvas e superfícies de materiais, para calcular a força robótica ao longo de um caminho curvo e em.

A área da figura plana

Não tenha uma figura plana no sistema de coordenadas retangulares cartesianas $ xOy $ no topo cercado por uma curva $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, na parte inferior - por uma curva $ y = y_ ( 2) \ left (x \ right) $, e no lado direito por linhas verticais $ x = a $ і $ x = b $ aparentemente. Em uma área vipad zelosa de tal figura, vire para um adicional OI $ S = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) \ left (x \ right) -y_ ( 2) \ left (x \ right) \ right) \ cdot dx $.

Além disso, uma figura plana no sistema de coordenadas retangulares cartesiano $ xOy $ é cercada por uma curva $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $ à direita e uma curva $ x = x_ (2) \ left (y \ right) $, e abaixo e acima por linhas retas horizontais $ y = c $ і $ y = d $ como se, então a área de tal figura virará atrás do outro OI $ S = \ int \ limites _ (c) ^ (d) \ esquerda (x_ (1) \ esquerda (y \ direita) -x_ (2) \ esquerda (y \ direita) \ direita) \ cdot dy $.

Não tem uma figura plana (setor vignute), que pode ser visto em sistemas de coordenadas polares, é definido pelo gráfico da função contínua $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $, bem como dois intercâmbios para passar por $ \ phi = \ alpha $ i $ \ phi = \ beta $ está correto. A fórmula para calcular a área de tal setor curvo do ma viglyad: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2 ) \ left (\ phi \ right) \ cdot d \ phi $.

Dovzhina arco torto

$ \ Left [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ a curva é igual a $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $ em sistemas de coordenadas polares, então o arco do arco é calculado de acordo com o OI adicional $ L = \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) + \ rho "^ (2) \ left (\ phi \ right)) \ cdot d \ phi $.

Se a curva for definida igual a $ y = y \ left (x \ right) $ no lado $ \ left $, então o segundo arco é calculado para o OI adicional $ L = \ int \ limits _ (a) ^ ( b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

$ \ Left [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ a curva é dada parametricamente, de modo que $ x = x \ left (t \ right) $, $ y = y \ left (t \ right) $, então o arco її é calculado para o OI adicional $ L = \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x "^ (2) \ left (t \ right) + y" ^ (2) \ left (t \ right)) \ cdot dt $.

Enumeração do obsyagu tila atrás das áreas de perereziv paralelo

Não é necessário saber o volume do andar espaçoso, cujas coordenadas dos pontos nos satisfazem com $ a \ le x \ le b $, e para os quais em cada área existe uma cruz em $ S \ left (x \ right) $ com áreas perpendiculares ao eixo $ Ox $.

A fórmula para calcular tal tila maє viglyad é $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Embrulho de obsyag tila

Vamos para $ \ left $, uma função não-intermitente não negativa $ y = y \ left (x \ right) $ é fornecida, que cria um trapézio curvo (CRT). Se você envolver o MCT em torno do eixo $ Ox $, então você finge ser justo, chamado pela quebra.

Numeric obsyagu tila wrapping є vamos limitar o número da quantidade numerada de corpo por trás das áreas dadas de transições paralelas. Como a fórmula do independente $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Não tenha uma figura plana no sistema de coordenadas retangulares cartesianas $ xOy $ no topo cercado por uma curva $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, na parte inferior - por uma curva $ y = y_ ( 2) \ left (x \ right) $, de $ y_ (1) \ left (x \ right) $ і $ y_ (2) \ left (x \ right) $ - nenhuma função sem interrupção, e vertical errado e direito linhas $ x = a $ і $ x = b $ com certeza. Todi obsyag til, adotado pelos envoltórios da figura da figura em torno do eixo $ Ox $, volta OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) ^ (2) \ left (x \ right) -y_ (2) ^ (2) \ left (x \ right) \ right) \ cdot dx $.

Não tem uma figura plana no sistema de coordenadas retangulares cartesianas $ xOy $ à direita é cercado por uma curva $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $, errado - uma curva $ x = x_ ( 2) \ left (y \ right) $, de $ x_ (1) \ left (y \ right) $ і $ x_ (2) \ left (y \ right) $ - nenhuma função sem interrupção, e abaixo e acima por linhas horizontais $ y = c $ і $ y = d $ com certeza. Todi obsyag til, definido para envolver o eixo $ Oy $, virar OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) ^ (2) \ left (y \ right) -x_ (2) ^ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

A área da superfície é envolvida

Vamos para $ \ left $ uma função não negativa $ y = y \ left (x \ right) $ com um simples $ y "\ left (x \ right) $ ininterrupto dado. $, Então ele próprio é definido para apenas empacotar , e o arco do MCT está em sua superfície. \ direita) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ esquerda (x \ direita)) \ cdot dx $.

Admite-se que a curva $ x = \ phi \ left (y \ right) $, de $ \ phi \ left (y \ right) $ - é dada na aresta $ c \ le y \ le d $ é um não -função negativa, envolve o eixo $ Oy $. No final do intervalo da área de superfície do corpo do conjunto, a embalagem é torcida OI $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ phi \ left (y \ direita) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ esquerda (y \ direita)) \ cdot dy $.

Suplementos físicos OI

Para o detector de distância, no momento da hora $ t = T $ com uma mudança na fluidez do ponto material $ v = v \ left (t \ right) $ do ponto material, quando a queda começa no momento da hora $ t = t_ (0) $, o vicorista é OI $ S = \ int \ limits _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
Para calcular a força robótica, $ F = F \ left (x \ right) $, para alcançar o ponto material, mover-se para trás da linha reta do eixo $ Ox $ do ponto $ x = a $ ao ponto $ x = b $ (força diretamente para sair do caminho) vikoristovuyu OI $ A = \ int \ limits _ (a) ^ (b) F \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Momentos estáticos dos eixos coordenados da curva de material $ y = y \ left (x \ right) $ para o intervalo $ \ left $ são girados pelas fórmulas $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ ( a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.
O centro de um material torto é um ponto, no qual todo o mundo é habilmente classificado de tal forma que os momentos estáticos do ponto ao longo dos eixos coordenados são ajustados aos momentos estáticos gerais de todos os pontos tortos como um todo .

Fórmulas para calcular as coordenadas para o centro de uma massa plana curva $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left ( x \ direita)) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $ і $ y_ ( C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx ) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $.

Momentos estáticos de uma figura plana material no visualizador CMT com um número de eixos coordenados giram pelas fórmulas $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ direita) \ cdot dx $.
Coordene o centro de uma figura plana massiva no visualizador do MCT, definido pela curva $ y = y \ left (x \ right) $ para o intervalo $ \ left $, calculado de acordo com as fórmulas $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) ) \ cdot dx) $ і $ y_ (C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ esquerda (x \ direita) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ esquerda (x \ direita) \ cdot dx) $.

Tópico 6.10. Acréscimos geométricos e físicos à integral do canto

1. A área de um trapézio curvo, entrelaçado por uma curva y = f (x) (f (x)> 0), por linhas retas x = a, x = b і afiando [a, b] eixos Ox, calculado pela fórmula

2. A área da figura, rodeada por curvas y = f (x) і y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Se a curva é dada por parâmetros paramétricos iguais x = x (t), y = y (t), então a área do trapézio curvo, que é cercado por uma curva reta e linhas retas x = a, x = b, está localizado atrás da fórmula

4. Nekhai S (x) - a área do piso é perpendicular ao eixo Ox, apenas a parte do piso, colocada entre as áreas do eixo perpendicular x = a і x = b, está localizada atrás da fórmula

5. Não faça trapézio curvo, rodeado por uma curva y = f (x) і retas y = 0, x = a і x = b, enrole em torno do eixo Oh, até o contorno a ser calculado de acordo com a fórmula

6. Não faça trapézio curvo, rodeado por uma curva х = g (y) і

linhas retas x = 0, y = c і y = d, envolva o eixo O y, todі envolva o contorno a ser calculado de acordo com a fórmula

7. Se uma curva plana é trazida para um sistema de coordenadas retangular e é igual a y = f (x) (ou x = F (y)), então o ganho do arco é definido pela fórmula

Головна> Palestras

Aula 18. Complementos do integral de canto.

18.1. Enumeração de áreas de figuras planas.

Aparentemente, uma integral cantante na borda da área do trapézio curvo, circundada por um gráfico da função f (x). Se o gráfico de costura for inferior ao eixo Ox, to f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, então a área é marcada "+".

Para o conhecimento da área total, a fórmula é vitoriosa.

A área das estatuetas, circundada por linhas deyakim, pode ser conhecida tanto por meio de integrais cantantes, quanto por linhas comuns.

Butt. Conheça a área das estatuetas, circundadas pelas linhas y = x, y = x 2, x = 2.

A área de Shukana (sombreada na figura) pode ser encontrada atrás da fórmula:

18,2. Conhecimento da área do setor torto.

Para a área conhecida do setor curvo, um sistema de coordenadas polares é introduzido. Rivnyannya torto, que irá entrelaçar o setor em todo o sistema de coordenadas, ma viglyad  = f (), de  - raio dovzhyna - vetores, mas o pólo único do próximo ponto da curva, e  - raio de kut nahila - o vetor para o polar ...

A área do setor curvo pode ser encontrada por trás da fórmula

18,3. O cálculo da curva é torto.

y y = f (x)

S i y i

Dovzhina lamanoi linea, yaka vidpovidak duzi, talvez você conheça iaque
.

Todi dovzhina arc dorivnyu
.

Três mirkuvan geométricos:

Na mesma hora

Todi pode ser mostrado

Tobto

Se a curva é dada parametricamente, então, com base nas regras para calcular o antigo parametricamente, é

de x =  (t) і у =  (t).

o que é dado curva espaçosa, І х =  (t), у =  (t) і z = Z (t), então

A curva de Yakscho está definida em coordenadas polares, então

,  = f ().

bunda: Saiba o valor da aposta dada à família x 2 + y 2 = r 2.

1 caminho Vislovimo de rіvnyannya zminnu.

Eu sei que vou

Todi S = 2r. Fórmula Otrimalnovydom dozhini cola.

2 maneiras Se você receber uma linha em sistemas de coordenadas polares, então ela está obcecada: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, de modo que a função  = f () = r,
Todi

18,4. Volume calculado

O cálculo do obsyagu tila atrás das áreas dadas do perereziv paralelo.

Vamos tilo obsyag V. A área de qualquer recessão transversal do til Q, na forma de uma função ininterrupta Q = Q (x). Rozib'єmo tilo no "shari" com travessias transversais, que passam pelos pontos x i rozbittya vіdrizka. Oscilações para algum tipo intermediário de função Q (x) não são interrompidas, então é aceita para a mais nova para o menor valor. Significativamente, їх é derivado de Mi і m i.

Se no cich o maior e o menor tombamento se os cilindros forem construídos com eixos paralelos, então as oscilações dos cilindros serão semelhantes entre si M i x i m i x i aqui i - x i = x.

Se você forneceu esse incentivo para todos os tipos de rositta, tire os cilindros, os pedidos de tais informações
і
.

Quando pragmático a zero, crocus rosbitta , ts sumi pode causar uma borda zagalny:

Nessa categoria, o obsyag tila pode ter conhecimento por trás da fórmula:

Em um pequeno número de fórmulas, aquelas que são necessárias para o conhecimento da função Q (x) são necessárias para o conhecimento da função, mas é problemático para os corpos dobráveis.

bunda: Saber sobre 'um kuli radius R.

Nas abas transversais do coul, há uma estaca de raio variável. Ao mesmo tempo, a partir das coordenadas do riacho x raio tsei, siga a fórmula
.

Função Todi da área de sobrerretina do ma viglyad: Q (x) =
.

Otrimumo ob'єm kuli:

bunda: Para saber sobre a grande dimensão do quadrado do espaço S.

Quando virados por áreas perpendiculares à altura, com o passar do tempo, podemos ver figurinhas, algumas delas. Coeficientes para as necessidades dessas figuras para transporte x / H, de x - vão da área ao topo da pirâmide.

Geometria da vista, mostrando a área de figuras adicionais para o transporte das instalações na praça, tobto

Seremos capazes de reconhecer a função das áreas da comitiva:

Sabe-se sobre o obsyag do piramidi:

18,5. Embalagem de obsyag til.

A curva é visível, dada igual ay = f (x). Admite-se que a função f (x) seja não intermitente. À medida que desenho um trapézio curvilíneo com os princípios básicos aeb, envolvo o eixo embalagem tilo.

y = f (x)

Fragmentos de peretina de pele com área x = const є colo de raio
Então, a embalagem obsyag tila pode ser facilmente encontrada por trás da fórmula otriman vische:

18.6. A área da superfície é envolvida.

M i B

valor: Envolvimento de superfície plana AB torto próximo ao eixo dado chama de limite, até que a área da superfície do envoltório de lamanichs, inscrita na curva AB, seja empurrada para zero.

Eleve um arco AB em n partes pelos pontos M 0, M 1, M 2, ..., M n. As coordenadas dos vértices são do rimano lamano, as coordenadas x i і y i. Quando enrolada em torno do eixo lamano, a superfície é visível, que pode ser dobrada a partir das superfícies bichy dos cones truncados, cuja área é a estrada P i. O qia da área pode ser conhecido pela fórmula:

Aqui S i é o skin Jordan.

Teorema de Lagrange de Zastosov (div. Teorema de Lagrange) Antes do anúncio
.

1. A área das figuras planas.

A área do trapézio curvo, rodeado por uma função não negativa f (x), Vissy abscis e reto x = a, x = b, Iniciar iaque S = ∫ a b f x d x.

A área do trapézio torto

Área de Figuri, interligada por função f (x),, Comece pela fórmula S = Σ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - Σ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где XI- funções zero. Em outras palavras, você precisa contar a área do centro da figura, você precisa quebrá-la zeros de função f (x) em parte, integre a função f na pele do viyshov da proeminência da constância do sinal, a área ao redor das bordas da integral na direção, em algumas funções f receber sinais e reconhecer do primeiro amigo.

2. A área do setor torto.

A área do setor torto ρ = ρ (φ) em sistemas de coordenadas polares, de ρ (φ) - sem interrupção e não negativo em [α; β] função. Figura, rodeado por uma curva ρ (φ) і troca φ = α , φ = β , Deve ser chamado de setor curvo. A área do setor curvo da estrada S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.

3. Envolvimento de Obsyag Tila.

Embrulho de obsyag tila

Deixe-o ser enrolado em torno do eixo OX trapézio curvo, entrelaçado sem interrupção na forma função f (x)... Yogo obsyag vire a fórmula V = π ∫ a b f 2 x d x.

Antes das tarefas sobre o conhecimento do volume do corpo por trás da área de transbordamento transversal

Nehay tilo é colocado entre as áreas x = aі x = b, E a área é cortada pela área, então passe pelo ponto x, - sem interrupção para o função σ (x)... Todi yogo obsyag road V = ∫ a b σ x d x.

4. Dovzhina arco torto.

Não forneça uma curva r → t = x t, y t, z t t = αі t = β vire pela fórmula S = ∫ α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Arco Dovzhina de um Zokrem plano torto, dovzhina plano torto, como definir na área de coordenadas OXY rivnyannyam y = f (x), a ≤ x ≤ b, Swing pela fórmula S = ∫ a b 1 + f 'x 2 dx.

5. A área da superfície da embalagem.

A área da superfície do envoltório Deixe a superfície do envoltório ser definida no gráfico OX do eixo da função y = f (x), a ≤ x ≤ b, Eu funciono f Vou sem interrupção para uma série de mensagens. A área real da superfície é envolvida pela fórmula Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f 'x 2 d x.