Diya sobre vetores dobráveis. Operações sobre vetores de poder: oferta adicional e multiplicidade. Kuta significativo entre reto e quadrado

valor Em ordem, o número de (x 1, x 2, ..., x n) n números disponíveis é chamado vetor n-dimensional, E os números x i (i =) - componentes, abo coordenadas,

Butt. Além disso, por exemplo, a fábrica de automóveis é responsável pela substituição de 50 automóveis de passageiros, 100 vans, 10 ônibus, 50 conjuntos de peças de reposição para automóveis de passageiros e 150 kits de vans e ônibus no, 10, 50, 150), lá são cinco componentes.

Designação. Os vetores são designados em letras minúsculas em negrito ou letras da borda ou seta para cima, por exemplo, uma abo... Dois vetores são chamados Rivnim, Se o fedor for o mesmo, o número de componentes é o mesmo.

Os componentes do vetor podem ser minimizados, por exemplo, (3, 2, 5, 0, 1)і (2, 3, 5, 0, 1) vetores різні.
Operações sobre vetores. queijo x= (X 1, x 2, ..., x n) o númeroλ ser chamado de vetorλ x= (Λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Bolsax= (X 1, x 2, ..., x n) і y= (Y 1, y 2, ..., y n) é chamado de vetor x + y= (X 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Vetores espaciais. N -espaço vetorial mundial R n Ele começa como um vetor sem função de todos os n-mundos, para os quais os valores de operação são multiplicados em um determinado número e dobrados.

Ilustração econômica. Ilustração econômica do espaço vetorial n-world: espaço de bênçãos (bens) pid mercadoria seremos razoáveis ​​se for bom para o serviço de que precisávamos estar em liquidação na hora do canto dos ratos cantores. É admissível que o número de bens óbvios seja n; número de pele deles, pribani vivemos, são caracterizados por um conjunto de bens

x= (X 1, x 2, ..., x n),

de x i denotam o número do i-ésimo bem, preenchido com os vivos. Respeitaremos, para que todos os camaradas tenham o poder de sua própria identidade, para que se possa comprar, senão um pouco da pele deles. Para todos você pode pegar bens є vetores para o espaço de bens C = ( x= (X 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i =).

Independência de linhagem. sistema e 1 , e 2 , ... , e vetores m n-dimensionais são chamados line-fallow, Eu sei esses númerosλ 1, λ 2, ..., λ m Eu gostaria de ver isso de uma maneira do zeroλ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... + λ m e m = 0; Na visão dada, um sistema de vetores é dado a ser chamado quadrado linear, Portanto, é impossível dizer que a paridade é menor que uma vez, se tudo ... Sentido geométrico de linhagem de vetores em R 3, interpretados como imagens dirigentes, explicam esses teoremas.

Teorema 1. O sistema, que pode ser armazenado a partir de um vetor, é linearmente depositado apenas uma vez e somente se o vetor for zero.

Teorema 2. Para que dois vetores sejam alinhados com pousio, é necessário e suficiente que os fedores sejam colineares (paralelos).

Teorema 3 ... Para que três vetores sejam alinhados com pousio, é necessário e suficiente que o fedor seja coplanar (repousar na mesma área).

Direitos e vida três vetores. Três vetores não coplanares a, b, c ser chamado direito, Vou espalhar da espiga de rykhny zalnogo contornando os vetores a, b, c na ordem designada, deve ser feito atrás da linha do ano. B іnshomu vipad a, b, c -liva trika... Todos os direitos (chi livi), três vetores são chamados igualmente orієntovanimi.

Base e coordenadas. Triyka e 1, e 2 , e 3 vetores não coplanares em R 3 ser chamado base, E os mesmos vetores e 1, e 2 , e 3 - linha de base... ser vetor uma pode ser uma única classificação de expansões em vetores de base, de modo que as representações do visualizador

uma= X 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

os números x 1, x 2, x 3 na planilha (1.1) são chamados coordenadasuma na base e 1, e 2 , e 3 eu começo uma(X 1, x 2, x 3).

Base ortonormal. vetor yaksho e 1, e 2 , e 3 pares perpendiculares e perpendiculares à pele deles, então a base é chamada ortonormal, E as coordenadas x 1, x 2, x 3 - retangular. O vetor de base da base ortonormal será definido como i, j, k.

Vamos permitir que esteja no espaço R 3 vibrano sistema de coordenadas cartesianas retangulares à direita (0, i, j, k}.

Vector Vitvir. queijo cottage vetor uma por vetor b ser chamado de vetor c Como começar com as próximas três mentes:

1. Vetor Dovzhin c numericamente a área do paralelogramo induzida em vetores umaі b, ou seja
c= | A || b | pecado ( uma^b).

2. Vector c perpendicular aos vetores da pele umaі b.

3. Vector uma, bі c, Tomado na ordem designada, validar o direito dos três.

Para criação de vetores c insira o valor c =[ab] abo
c = a × b.

vetor yaksho umaі b colinear, então pecado ( a ^ b) = 0 і [ ab] = 0, zokrem, [ aa] = 0. Criar vetores vetoriais: [ eu j]=k, [jk] = eu, [ki]=j.

vetor yaksho umaі b dado na base i, j, k coordenadas uma(A 1, a 2, a 3), b(B 1, b 2, b 3), então

Zmіshane tvіr. Vetor Yaksho dobutok dois vetores umaі b escalar multiplicado pelo terceiro vetor c, então esse conjunto de três vetores será chamado com queijo eu denotado pelo símbolo uma b c.

vetor yaksho a, bі c na base i, j, k dado por suas coordenadas
uma(A 1, a 2, a 3), b(B 1, b 2, b 3), c(C 1, c 2, c 3), então

.

Zmіshane tvіr é geometricamente mais simples tlumachennya - um escalar inteiro, em valor absoluto, volume dorіvnyuє de paralelepípedo, solicitado em três vetores dados.

Se o vetor confirma o direito dos três, então o número é mais positivo, igual ao volume declarado; que trika a, b, c - liva então a b c<0 и V = - a b c, Even V =| A b c |.

As coordenadas dos vetores, que são usadas nos problemas da primeira distribuição, são atribuídas à base ortonormal correta. Vetor único codirecional para vetor uma, denotado pelo símbolo uma O. símbolo r=OM o vetor de raio do ponto M é denotado pelos símbolos a, AB ou| A |, | AB |são chamados de vetores de módulos umaі AB.

bunda 1.2. Conhecer vetores kut mіzh uma= 2m+4nі b= m-n, de mі n - vetores únicos e corte mij mі n estrada 120 o.

Decisão... Mahmo: cos φ = ab/ Ab, ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; uma 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4 + 16 (-0,5) + 16 = 12, o que significa a =. b = ; b 2 =
= (M-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2 (-0,5) +1 = 3, mesmo b =. Custo restante: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Aplicativo 1.3.vetor knowchi AB(-3, -2,6) i AC(-2,4,4), conta até o comprimento do AD do triciclo ABC.

Decisão... Ou seja, a área do triciclo ABC a S, podemos defini-la:
S = 1/2 AC DC. Todi AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB ×AC |. AC = AB + BC, Vetor médio AC coordenadas maє
. .

bunda 1.4 ... Dados dois vetores uma(11,10,2) i b(4,0,3). Conheça um único vetor c, ortogonal aos vetores umaі bі conjugações de modo que três vetores sejam ordenados a, b, c marcador certo.

Decisão.Significando as coordenadas do vetor c uma dada base ortonormal correta em termos de x, y, z.

restos c ⊥ a, c ⊥b, então ca= 0, cb= 0. Para as mentes das tarefas, é necessário, para c = 1 e a b c >0.

Sistema Maєmo de equivalentes para o significado de x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

O primeiro e o outro igual ao sistema podem ser reconhecidos como z = -4/3 x, y = -5/6 x. Fornecido yez na terceira vez, matimemo: x 2 = 36/125, estrelas
x =± ... vikoristovuyu umov a b c> 0,

Para viraziv urahuvannyam para zey é regravável negar a inércia da vigília: 625/6 x> 0, estrelas vyplya, scho x> 0. Otzhe, x =, y = -, z = -.

O vetor geométrico é chamado de conjugação da forma. Para a descrição do significado dos vetores vikoristovuyt; ...

Ao final do vetor, eu o chamo de ponto da espiga e ponto do final do vetor. Começaremos a nos deter no vetor, por que simplesmente AB, a.

O vetor é chamado de nulo, de forma que tanto a orelha quanto a extremidade são perdidas. Tal vetor não é simples, yogi dovzhina dorіvnyuє zero, significa yogi yak.

Os vetores são chamados de colineares, pois o fedor está em uma linha reta ou em linhas retas paralelas. Poznachayut tse yak.

Os vetores são chamados de coplanares, pois o fedor está na mesma área.

Dois vetores são chamados de rіvnyi, como o fedor é colinear, eles podem ser iguais, diretos.

Chamamos um vetor que pode ser movido no espaço aberto em uma direção paralela.

Significativamente, para um vetor vil, a orelha pode ser puxada para baixo de um ponto do espaço.

Nadal, estaremos certos com vetores vilny.

Operações lineares em vetores e potência

Operações lineares em vetores є vetores de dobramento і multiplicação de um vetor por um número.

A soma de dois vetores geométricos é chamada de vetor, que pode ser seguida pela regra do triciclo ou pela regra do paralelogramo.

1. De acordo com a regra do trikutnik

Transferência paralela da soma da extremidade do vetor da espiga do vetor. Todi sumyu + vetor nazvatimo , Uma orelha de um vetor e o fim de um vetor.

2. Atrás da regra do paralelogramo

Transferência paralela de uma orelha de vetor e uma orelha de um vetor. Dobuduєmo um paralelogramo nas bordas dos vetores. Somando os vetores, nomearemos o vetor, que é a diagonal do paralelogramo, cuja orelha será retirada da orelha dos vetores.

O poder de vetores adicionais.

1. Comutação

2. Associação

3. A existência de um vetor zero tal que

4. Para qualquer vetor, o vetor oposto () é tal que

Com a ajuda das autoridades, a adição de vetores também pode ser trazida, para quaisquer vetores e para qualquer vetor dado, que, sendo dobrado com, dá um vetor.

Esse vetor é chamado de diferença geométrica de vetores i:

O criador de um vetor com base em um número é um vetor, que é um mestre, que é uma boa adição de números e diretamente, que pode ser usado diretamente a partir de um vetor, que é, e se opõe a, qual.

Poder para adicionar um vetor a um número.

5. Associação de cofatores

6. A distributividade dos vetores soma é muitas vezes multiplicada pelo número

7. Distribuição de muitos números de soma

8.Isnuvannya número 1, mas não muda o vetor ao multiplicar

Todos os poderes das operações lineares são rejeitados dos poderes geométricos dos vetores.

É possível injetar inakshe. A devoção ao poder do poder é a base para a designação de vetores.

Viznachennya.

Seja sukupnist ob'ktyv, para aqueles que introduziram uma medida de igualdade, bem como a operação de somar e multiplicar o número, que está satisfeito com as autoridades 1-8, a ser chamado espaço vetorial linear.

Os elementos desse espaço são chamados de vetores ou pontos do espaço.

Aplicar espaços vetoriais lineares

1. Sem todos os vetores geométricos.

2. Sem todos os números. Aparentemente, yogo abo.

3. Bezlich todos os pares de números válidos. Significativamente yogo.

Nekhai = i = - elementos da multiplicidade. Chamemos os números de і as coordenadas dos vetores і. Os vetores e são vvazhayutsya iguais, que são iguais às coordenadas, tobto e

Somando os vetores em i, nomearemos o vetor, que possui as coordenadas i.

Com esta introdução de operações lineares, toda potência 1-8 e espaço podem ser cobertos com espaço vetorial linear.

4. Sem todo o conjunto de n números. Vamos começar algo inestimável. Com os elementos de uma multiplicidade є digite os números.

10.Vetores de add-on escalar

Como as operações não lineares em vetores, TV escalar e add-on de vetor são facilmente visíveis, os mais frequentemente são usados ​​em add-ons.

Um corte entre dois vetores será denominado corte, o que não altera p.

Vetores Kut mіzh significarão

O acréscimo escalar de dois vetores geométricos é um número, como o acréscimo adicional de dois vetores geométricos ao corte do cosseno entre eles:

Yaksho, então, porque ,

yaksho, então, porque ,

yaksho, então, porque ...

a) a projeção ortogonal do vetor na reta, que é especificada pelo vetor, chamaremos o número

b) Da mesma forma, o número = є é a projeção ortogonal do vetor à reta.

O valor do escalar criar slid, scho

Slidstvo.

Add-on escalar de dois vetores não nulos para zero todi e apenas todі, se os vetores forem ortogonais (kut entre eles são dorіvnyu).

O poder da criação escalar.

comutatividade

1) Comunidade

2) Distributividade dos vetores shodo sumi

4), yaksho i, yaksho

Os poderes 1-4 são obtidos dos poderes geométricos dos vetores.

Vetores Coot mіzh.

Conhecer mais vetores e complementos escalares pode ser conhecido a partir de vetores. Sim ta tudo bem , então

11. Poder dobutok e yogo do vetor, Calculado através de coordenadas

O vetor de um vetor por um vetor é chamado de vetor (que significa yogo), mentes.

valor: queijo cottage vetor em uma aposta ordenada de vetores em aeb, um vetor é denominado

O poder do vetor cria:

Solidificado 2: Em sistemas de coordenadas cartesianas (base eu, j, k), A = ( x 1, y 1, z 1), B = ( x 2, y 2, z 2}

=> [uma,b] =

=

12. Vetores tvіr Zmіshane.

valor: com queijo na ordem de três vetores em a, b e c é chamado de número , Incl. = (, C).

endurecido: = V uma , b , c, Yaksho a, b, c - os direitos do triyka, abo = -V uma , b , c, Yaksho a, b, c - lіva tіyka. aqui V uma , b , c- obsyag paralelepado, solicitado nos vetores a, be c. (Se a, be c coplanaridade, então V a, b, c = 0.)

Solidificado: Em sistemas de coordenadas cartesianas, onde a = ( x 1, y 1, z 1), B = ( x 2, y 2, z 2},

s = ( x 3, y 3, z 3}, => = .

As estatísticas são fáceis de entender, pois é possível girar com vetores no solo e no espaço aberto. Poder distante e avassalador de operações em vetores e motivado por geométricos. Também pode ser mostrado que o poder de operações sobre vetores é imposto ao poder de operações com a ajuda de virazs, para vingança sobre vetores.

Para um maior conhecimento do material, recomenda-se estudá-lo na memória do professor, o dado do vetor estatístico é o principal valor.

Navegação lateral.

A operação de dobrar dois vetores é a regra de um trikutnik.

É mostrado como ver dobrando dois vetores.

A soma dos vetores é exibida da seguinte forma: a partir de um determinado ponto A, um vetor, igual, distante de um ponto B, é depositado vetor, igual, e o vetor é soma de vetores... Esta forma de dobrar dois vetores é chamada regra trikutnik.

Há um dobramento visual no uso de vetores colineares na área de acordo com a regra do triciclo.

E na poltrona abaixo, a adição de vetores co-direcionais e anti-retos é mostrada.

A adição de vários vetores é a regra do bagatokutnik.

Com base na operação aberta, adicionando dois vetores, podemos adicionar três vetores e mais. No final do dia, os dois primeiros vetores são formados, o terceiro vetor pode ser alcançado para o resultado, e os trimestres e até agora são alcançados.

A adição de alguns vetores à visão para atacar pelo impulso. Do ponto A atual da área, para a vastidão existe um vetor que é igual à primeira adição, do segundo ponto aparece o vetor, igual ao outro, do terceiro ponto, e até agora. Vamos lá, o ponto B é o fim do último vetor inserido. Vou resumir todos os vetores no futuro.

A adição de vários vetores na área desta forma é chamada regra bagatokutnik... Guiado pela ilustração da regra do bagatokutnik.

O dobramento de vários vetores no espaço aberto é absolutamente análogo.

A operação de multiplicação de um vetor por um número.

Doença infecciosa multiplique vetor por número.

Multiplicando o vetor pelo número k expansão do vetor por um fator de k para k> 1, ou uma contração em tempos em 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

Por exemplo, se o vetor for multiplicado pelo número 2, precisaremos alterá-lo e salvá-lo diretamente, e se o vetor for multiplicado por um terço, iremos alterá-lo para o outro. Esperançosamente com o propósito de ilustrar isso.

O poder das operações sobre os vetores.

Em seguida, iniciamos a operação de adição de vetores e a operação de multiplicação de um vetor por um número. Ao mesmo tempo, para quaisquer vetores e números reais significativos, é possível, por motivos geométricos adicionais, fundamentar o início o poder das operações sobre os vetores... Deyakі é óbvio a partir deles.

Os vislumbres do poder nos dão o poder de recriar o virazi vetor.

O poder de comutatividade e associatividade da operação de adição de vetores para permitir o dobramento de vetores em uma pré-ordem.

A operação de encontrar vetores como tal é muda, como o desenvolvimento de vetores e soma de vetores і.

Olharei para o poder percebido das operações em vetores, podemos nas virases, como nos vingar de sumi, diferenciar vetores e criar vetores em números, bem como em virases numéricas.

Pego na bunda.

Imagens - tse v_drizok, que é muito simples. O final do vetor é espalhado com a seta, a espiga é o ponto. Módulo vetorial (valor absoluto)- Dovzhina ts'go endireitou vidrizka.

Yakscho uma espiga de vetor para se livrar dele no final, podemos fazer isso vetor nulo.

Dois vetores є Rivnim, Yaksho їkh dovzhina é o mesmo e o fedor pode ser do mesmo simples. O fedor a cheirar quando transferido.

Pequeno vetor de bebê uma para o vetor b... vetor c Eu não estou dorіvnyuє, então o yak de endireitar o protótipo de motocicl

vetor -c- vetor tse c, Ale protilezhny em frente. Todi

projeção vetorial

A projeção do vetor no eixo não é positivamente significativa se o vetor for direcionado diretamente para fora do eixo. Significado negativo - em protylezhny vypad.

O vetor projetado é deslocado para o céu Boi e de graça Oi... Para aparar a projeção, é necessário tirar a coordenada da espiga das coordenadas do final do vetor. No eixo do OX: s x = x-x 0, no eixo do OU: s y = y-y 0.

Coloque claramente

Okremі vipadki, se a projeção estiver ligada Boi abo Oi zero.

Soma dos vetores do armazém ao longo dos eixos para o vetor dado, tobto

Vetores Suma

Regra do paralelograma: diagonal de um paralelogramo é a soma de dois vetores de uma espiga.

Regra do Trikutnik: do final do primeiro vetor, outro vetor, até o final do vetor, a orelha do primeiro vetor, e o final do final do outro vetor.

As regras nas pontas são claramente visíveis.

novos vetores

Vіdnіmannya vektorіv - a soma de vetores positivos e negativos.

Um vetor é chamado de retificação do espaço euclidiano reto, no qual uma extremidade (ponto A) é chamada de espiga do vetor, e a outra extremidade (ponto B) é a extremidade do vetor (Fig. 1). O vetor significa:

Se a orelha e o final do vetor são classificados, o vetor é chamado vetor zero eu sei 0 .

Butt. Pegue uma espiga de coordenadas vetoriais ma no espaço de dois mundos UMA(12,6), e o final do vetor são as coordenadas B(12.6). O vetor Todi é um vetor zero.

dovzhina vidrizka AB ser chamado módulo (Dozhinoy, a norma) Vetores, quero dizer | uma| Vector dozhini único vetor... O valor absoluto do vetor é caracterizado diretamente: o vetor é direto para UMA antes B... Um vetor é chamado de vetor, opressivo vetor.

Dois vetores são chamados colinear, Iaksho fedor para mentir em uma linha reta ou em linhas retas paralelas. Na pequena figo. 3 vetores chervoni são colineares, então o fedor fica em uma linha reta, e os vetores azuis são colineares, então o fedor fica em linhas retas paralelas. Dois vetores colineares são chamados no entanto, endireitou, Yaksho їх kіntsі encontra-se de um lado em linha reta, bem na parte inferior da orelha. Dois vetores colineares são chamados protolezhnoy endireitou, Yakshko їkh kіntsі mentem nas bordas dos lados, bem na parte inferior da orelha. Se dois vetores colineares estão na mesma linha reta, então o fedor é chamado de mesma linha reta, como se uma das mudanças, aprovamos um vetor para se vingar do proeminente, aprovamos o outro vetor. Na primeira vista, os vetores são chamados de protylezhnoy reta. Na pequena Fig. 3, os vetores azuis são, no entanto, endireitados, e os vetores vermelhos são endireitados prototipicamente.

Dois vetores são chamados Rivnim contanto que o fedor possa ser encontrado nos mesmos módulos. Na pequena Fig. 2, os vetores são iguais aos mesmos módulos.

vetor são chamados coplanar Se o fedor estiver na mesma área ou em áreas paralelas.

V n No mundo do espaço vetorial, é fácil ver, sem todos os vetores, a ponta da espiga da espiga de coordenadas. Esse vetor pode ser escrito na visão ofensiva:

(1)

de x 1, x 2, ..., x n coordenadas do ponto final do vetor x.

O vetor de entradas no visualizador (1) é chamado vetor linha, E o vetor, entradas no visualizador

(2)

ser chamado vector-stovpc.

número n ser chamado rozmіrnistyu (ordenadamente) Vetores. Yaksho então o vetor será chamado vetor zero(Vetor de ponto de espiga de Tom scho ) dois vetores xі y Rivni Todi e Tylki Todi, desde que existam itens semelhantes.