adsby.ru → Фізика

Різні способи доказу теореми Піфагора: приклади, опис та відгуки. Знамениті теореми (теорема Піфагора) Повідомлення піфагор та його теорема

Переконайтеся, що цей трикутник є прямокутним, оскільки теорема Піфагора застосовна тільки до прямокутних трикутників.

У прямокутних трикутниках один із трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

Прямий кут прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.Позначте сторони трикутника.

Катети позначте як "а" і "b" (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як "с" (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута).Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти.

Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) потрібно знайти.
Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, що дорівнює 3. У цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.

Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції (якщо вам надано значення одного з непрямих кутів).Підставте у формулу a 2 + b 2 = c 2 дані значення (або знайдені вами значення).

Пам'ятайте, що a і b – це катети, а з – гіпотенуза. У нашому прикладі напишіть:.

3² + b² = 5²Зведіть у квадрат кожну відому сторону.

Або ж залиште ступеня – ви можете звести числа у квадрат пізніше.

У прикладі напишіть: 9 + b² = 25.Відокремте невідому сторону на одній стороні рівняння.

Для цього перенесіть відомі значення на інший бік рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузу, то в теоремі Піфагора вона вже відокремлена з одного боку рівняння (тому робити нічого не потрібно).

У нашому прикладі перенесіть 9 на правий бік рівняння, щоб відокремити невідоме b². Ви отримаєте b? = 16.Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння.

На даному етапі на одній стороні рівняння є невідоме (у квадраті), а на іншій стороні - вільний член (число). 4 .

Використовуйте теорему Піфагора у повсякденному житті, оскільки її можна застосовувати у великій кількості практичних ситуацій.

Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники у повсякденному житті - у будь-якій ситуації, в якій два предмети (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з'єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).
- Приклад: дані сходи, притулені до будівлі. Нижня частина сходів знаходиться за 5 метрів від основи стіни. Верхня частина сходів знаходиться за 20 метрів від землі (вгору по стіні). Яка довжина сходів?
  - "за 5 метрів від основи стіни" означає, що а = 5; «знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b = 20 (тобто вам дано два катети прямокутного трикутника, оскільки стіна будівлі та поверхня Землі перетинаються під прямим кутом). Довжина сходів є довжиною гіпотенузи, яка невідома.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - з = √425 з = 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює.

20,6 метрів

Теорема Піфагора всім відома зі шкільної доби. Видатний математик довів велику гіпотезу, якою нині користуються багато людей. Звучить правило так: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. За багато десятиліть жоден математик не зумів переперечити це правило. Адже Піфагор довго йшов до своєї мети, щоб у результаті креслення мали місце у повсякденному житті.
Невеликий вірш до цієї теореми, який вигадали невдовзі після доказу, безпосередньо доводить властивості гіпотези: «Піфагорові штани на всі боки рівні». Це двострочко відклалося у пам'яті у багатьох – до цього дня вірш згадують при обчисленнях.
Ця теорема отримала назву «Піфагорові штани» внаслідок того, що при кресленні посередині виходив прямокутний трикутник, з боків якого розташовувалися квадрати. На вигляд це креслення нагадувало штани - звідси і назва гіпотези.
Піфагор пишався розробленою теоремою, адже ця гіпотеза відрізняється від нею подібних до максимальної кількості доказів. Важливо: рівняння було занесено до книги рекордів Гіннеса внаслідок 370 правдивих доказів.Гіпотезу доводило безліч математиків і професорів з різних країн багатьма способами
Нині нікому невідомий доказ теореми самим Піфагором. Факти про докази математики сьогодні не відомі нікому. Вважається, що доказ креслень Евклідом - це є доказ Піфагора. Однак деякі вчені сперечаються з цим твердженням: багато хто вважає, що Евклід самостійно довів теорему, без допомоги творця гіпотези.
Нинішні вчені виявили, що великий математик був не першим, хто відкрив цю гіпотезу.. Рівняння було відоме ще задовго до відкриття Піфагором. Цей математик зумів лише поєднати гіпотезу.
Піфагор не давав рівнянню назву «Теорема Піфагора». Ця назва закріпилася після «гучного дворядчя». Математик лише хотів, щоб його старання та відкриття дізнався весь світ та користувався ними.
Моріц Кантор - великий математик знайшов і розглянув на стародавньому папірусі записи з кресленнями. Незабаром після цього Кантор зрозумів, що ця теорема була відома єгиптянам ще 2300 років до нашої ери. Тільки тоді нею ніхто не скористався і не намагався довести.
Нинішні вчені вважають, що гіпотеза була відома ще у 8 столітті до нашої ери. Індійські вчені на той час виявили приблизне обчислення гіпотенузи трикутника, наділеного прямими кутами. Щоправда на той час ніхто не зміг довести напевно рівняння за приблизними обчисленнями.
Великий математик Бартель Ван дер Варден після доказу гіпотези уклав важливий висновок: «Заслуга грецького математика вважається не відкриттям напряму та геометрії, а лише її обґрунтуванням У руках Піфагора були обчислювальні формули, які ґрунтувалися на припущеннях, неточних обчисленнях та невиразних уявленнях. Однак видатному вченому вдалося перетворити на точну науку».
Відомий поет сказав, що у день відкриття свого креслення він спорудив бикам славну жертву. Саме після відкриття гіпотези пішли чутки, що жертвопринесення ста бугаїв «пішло мандрувати сторінками книг і видань». Дотепники досі жартують, що з того часу всі бики бояться нового відкриття.
Доказ того, що не Піфагор придумав вірш про штани, щоб довести висунуті їм креслення: за життя великого математика штанів ще не було. Вони були вигадані за кілька десятиліть.
Пекка, Лейбніц та ще кілька вчених намагалися довести раніше відому теорему, проте це нікому не вдавалося.
Назва креслень "теорема Піфагора" означає "переконання промовою". Так перекладається слово Піфагор, яке взяв математик як псевдонім.
Роздуми Піфагора про власне правило: секрет сущого землі криється в цифрах. Адже математик, спираючись на свою гіпотезу, вивчив властивості чисел, виявив парність і непарність, створив пропорції.

Цікаві факти про теорему Піфагора: дізнаємося нове про відому теорему (15 фото) онлайн хорошої якості. Залишіть будь ласка вашу думку у коментарях! Нам важлива кожна думка.

Як пояснити, наприклад, таку виняткову увагу з боку математиків і любителів математики до теореми Піфагора? Чому багато хто з них не задовольнявся вже відомими доказами, а знаходив свої, довівши за двадцять п'ять порівняно доступних для огляду століть кількість доказів до кількох сотень?
Коли йдеться про теорему Піфагора, незвичайне починається з її назви. Вважається, що сформулював її вперше аж ніяк не Піфагор. Сумнівним вважають і те, що він надав її доказ. Якщо Піфагор - реальна особа (деякі сумніваються навіть у цьому!), то жив він, швидше за все, у VI-V ст. до зв. е. Сам він нічого не писав, називав себе філософом, що означало, в його розумінні, «що прагне мудрості», заснував піфагорійський союз, члени якого займалися музикою, гімнастикою, математикою, фізикою та астрономією. Очевидно, був він і чудовим оратором, про що свідчить наступна легенда, що стосується перебування його в місті Кротоні: «Перша поява Піфагора перед народом у Кротоні почалася промовою до юнаків, в якій він так суворо, але разом з тим і так захоплююче виклав обов'язки юнаків, що старі у місті просили не залишити їх без повчання. У цій другій промові він вказував на законність і чистоту вдач, як на основи сімейства; у наступних двох він звернувся до дітей та жінок. Наслідком останньої промови, в якій він особливо засуджував розкіш, було те, що до храму Гери були доставлені тисячі дорогоцінних суконь, бо жодна жінка не наважувалася більше показуватися в них на вулиці...» Проте ще в другому столітті нашої ери, тобто через 700 років, жили і творили цілком реальні люди, неабиякі вчені, що знаходилися явно під впливом піфагорійського союзу і відносяться з великою повагою до того, що згідно з легендою створив Піфагор.
Безсумнівно також, що інтерес до теореми викликається і тим, що вона займає в математиці одне з центральних місць, і задоволенням авторів доказів, які подолали труднощі, про які добре сказав римський поет Квінт Горацій Флакк, який жив до нашої ери: «Важко добре висловити загальновідомі факти» .
Спочатку теорема встановлювала співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі та катетах прямокутного трикутника:
.
Алгебраїчне формулювання:
У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Тобто позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b: a 2 +b 2 =c 2 . Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання є більш елементарним, воно не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.
Зворотний теорема Піфагора. Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, такий, що
a 2 + b 2 = c 2 існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

Докази

На даний момент у науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.
Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема воно не використовує поняття площі фігури.
Нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо її основу через H. Трикутник ACH подібний до трикутника ABC по двох кутах.
Аналогічно, трикутник CBH подібний до ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

або

Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.

Доказ через рівнодоповнюваність

1. Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку.
2. Чотирьохкутник із сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90°, а розгорнутий кут - 180°.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

Що й потрібно було довести.

Докази через рівноскладність

Приклад одного з таких доказів вказано на кресленні праворуч, де квадрат, побудований на гіпотенузі, перестановкою перетворюється на два квадрати, побудованих на катетах.

Доказ Евкліда

Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні. Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах. Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що й даний прямокутник дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK. Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB=AK,AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °). Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне. Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах.

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи доказу – симетрія та рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (оскільки трикутники ABC і JHI рівні по побудові). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI та GDAB. Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.

Міська науково-практична конференція

«Старт у науку»

Знамениті теореми (теорема Піфагора)

Секція «Створювальна сила

великих відкриттів у математиці»

3.4 Застосування у мобільному связи……………………………………………………….26

Заключение……………………………………………………………………………………………27

Список литературы…………………………………………………………………………………...29

Вступ.

Важко знайти людину, яка має ім'я Піфагора не асоціювалося б з теоремою Піфагора. Мабуть, навіть ті, хто у своєму житті назавжди розпрощався з математикою, зберігають спогади про «піфагорові штани». Причина такої популярності теореми Піфагора трієдіна: це простота – краса – значимість. Насправді теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечливих почав і надає їй особливої привабливої сили, робить її красивою. Але, крім того, теорема Піфагора має величезне значення: вона застосовується в геометрії буквально на кожному кроці, і той факт, що існує близько 500 різних доказів цієї теореми (геометричних, алгебраїчних, механічних тощо), свідчить про величезну кількість її конкретних реалізацій. Відкриття теореми Піфагор оточене ореолом красивих легенд.

Сьогодні теорема Піфагора виявлена в різних приватних завданнях і кресленнях: і в єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета першого (бл. 2000 до н.е.), і в вавилонських клинописних табличках епохи царя Хаммурапі (XVIII ст. до н.е.). , та у давньоіндійському геометрично-теологічному трактаті VII – V ст. до зв. е. "Сульва сутра" ("Правила мотузки"). У найдавнішому китайському трактаті «Чжоу-бі суань цзінь», час створення якого точно не відомий, стверджується, що у XII ст. до зв. е. китайці знали властивості єгипетського трикутника, а до VI ст. до зв. е. - І загальний вигляд теореми. Незважаючи на все це, ім'я Піфагора настільки міцно сплавилося з теоремою Піфагора, що просто неможливо уявити, що це словосполучення розпадеться. Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор дав перший доказ теореми, що носить його ім'я. На жаль, від цього доказу також не збереглося жодних слідів.

За висловом відомого вченого І. Кеплера, «геометрія володіє двома скарбами - теоремою Піфагора і золотим перетином, і якщо перший з них можна порівняти з мірою золота, то другий - з дорогоцінним каменем ...».

Теорема Піфагора - одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії.

Один американський математик, наш сучасник, близько 20 років збирав різні способи доказу теореми Піфагора, і зараз його колекція містить близько 300 різних доказів. Це говорить про те, що давня теорема актуальна та цікава людям досі.

У шкільному курсі геометрії з допомогою теореми Піфагора вирішуються лише математичні завдання. На жаль, питання практичного застосування теореми Піфагора не розглядається.

В даний час загальне визнання отримало те, що успіх розвитку багатьох галузей науки і техніки залежить від розвитку різних напрямів математики. Важливою умовою підвищення ефективності виробництва є широке впровадження математичних методів у техніку та народне господарство, що передбачає створення нових, ефективних методів якісного та кількісного дослідження, що дозволяють вирішувати завдання, що висуваються практикою.

Об'єкт дослідження: теорема Піфагор.

Предмет дослідження: різні інтерпретації та методи підтвердження теореми Піфагора, її застосування під час вирішення практичних завдань.

Вивчаючи додаткову літературу з обраної теми, було висунуто гіпотези:

1) існують інші інтерпретації теореми Піфагора;

2) теорема Піфагора застосовується при вирішенні багатьох практичних завдань .

Мета дослідження: уважно вивчивши формулювання теореми Піфагора, проаналізувати докази та використовуючи узагальнення, запропонувати інші інтерпретації теореми Піфагора, а також з'ясувати сфери застосування теореми Піфагора.

Для досягнення мети було поставлено такі завдання:

1. Провести аналіз історії виникнення теореми Піфагора.

2. Дослідити різні способи доказу та розглянути інші інтерпретації теореми Піфагора.

3. Показати практичне застосування теореми Піфагора.

У першому розділі дослідницької роботи розглядаємо історію виникнення теореми Піфагора.

У другому розділі ми розглянемо різні методи підтвердження теореми Піфагора.

У третій главі ми розглянемо різні інтерпретації теореми Піфагора.

Розглянемо деякі класичні докази теореми Піфагора, відомі з давніх трактатів. Зробити це корисно ще й тому, що у сучасних шкільних підручниках надається алгебраїчний доказ теореми. При цьому безслідно зникає первозданная геометрична аура теореми, губиться та нитка Аріадни, яка вела древніх мудреців до істини, а цей шлях майже завжди виявлявся найкоротшим і завжди красивим.

Розділ 1. Історія виникнення теореми Піфагора.

1.1. Біографія Піфагора.

Великий учений Піфагор народився близько 570 р. до зв. е. на острові Самос. Батьком Піфагора був Мнесарх, різьбяр дорогоцінним камінням. А ім'я матері Піфагора невідоме. За багатьма античними свідченнями, хлопчик, що народився, був казково гарний, а незабаром виявив і свої неабиякі здібності. Серед вчителів юного Піфагора традиція називає імена старця Гермодаманта та Ферекіда Сіросського (хоча і немає твердої впевненості в тому, що саме Гермодамант та Ферекід були першими вчителями Піфагора). Цілі дні проводив юний Піфагор біля ніг старця Гермодаманта, слухаючи мелодії кіфари та гекзаметрів Гомера. Пристрасть до музики та поезії великого Гомера Піфагор зберіг на все життя. І, будучи визнаним мудрецем, оточеним натовпом учнів, Піфагор починав день зі співу однієї з пісень Гомера. Ферекид був філософом і вважався засновником італійської школи філософії. Таким чином, якщо Гермодамант увів юного Піфагора в коло муз, то Ферекід звернув його розум до логосу. Ферекід направив погляд Піфагора до природи і в ній одній радив бачити свого першого та головного вчителя. Але як би там не було, невгамовній уяві юного Піфагора дуже скоро стало тісно на маленькому Самосі, і він вирушає до Мілету, де зустрічається з іншим вченим – Фалесом. Фалес радить йому вирушити за знаннями в Єгипет, що Піфагор і зробив.

У 548 р. до зв. е. Піфагор прибув у Навкратіс – самоську колонію, де було, хто має притулок і їжу. Вивчивши мову та релігію єгиптян, він їде до Мемфісу. Незважаючи на рекомендаційний лист фараона, хитромудрі жерці не поспішали розкривати Піфагору свої таємниці, пропонуючи йому складні випробування. Але спричинений прагненням до знань, Піфагор подолав їх усі, хоча за даними розкопок єгипетські жерці не багато чого могли його навчити, тому що в той час єгипетська геометрія була суто прикладною наукою (що задовольняла потребу того часу в рахунку та у вимірі земельних ділянок). Тому, навчившись усьому, що дали йому жерці, він, втікши від них, рушив на батьківщину в Елладу. Однак, пройшовши частину шляху, Піфагор вирішується на сухопутну подорож, під час якої його захопив у полон Камбіз, цар Вавилона, що прямував додому. Не варто драматизувати життя Піфагора у Вавилоні, тому що великий володар Кір був терпимий до всіх бранців. Вавилонська математика була, безперечно, більш розвиненою (прикладом цьому може бути позиційна система обчислення), ніж єгипетська, і Піфагору було чого повчитися. Але 530 р. до зв. е. Кір рушив у похід проти племен у Середню Азію. І, користуючись переполохом у місті, Піфагор втік на батьківщину. А на Самосі на той час царював тиран Полікрат. Звичайно ж, Піфагора не влаштовувала життя придворної статі раба, і він пішов у печери на околицях Самоса. Після кількох місяців домагань з боку Полікрата Піфагор переселяється в Кротон. У Кротоні Піфагор заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства чи таємного чернечого ордена («піфагорійці»), члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя. Це був одночасно і релігійний союз, політичний клуб, і наукове суспільство. Треба сказати, що деякі з принципів, що проповідуються Піфагором, гідні наслідування і зараз.

Минуло 20 років. Слава про братерство рознеслася по всьому світу. Якось до Піфагору приходить Кілон, людина багата, але зла, бажаючи п'яну вступити в братство. Отримавши відмову, Кілон розпочинає боротьбу з Піфагором, скориставшись підпалом його будинку. Під час пожежі піфагорійці врятували життя своєму вчителеві ціною своєю, після чого Піфагор засумував і незабаром наклав на себе руки.

1.2. Історія виникнення теореми Піфагора.

Зазвичай відкриття теореми Піфагора приписують давньогрецькому філософу та математику Піфагору. Але вивчення вавилонських клинописних таблиць та давньокитайських рукописів показало, що це твердження було відоме задовго до Піфагора, можливо, за тисячоліття до нього. Заслуга Піфагора полягала в тому, що він відкрив доказ цієї теореми.

Теорему Піфагора називають ще «теоремою нареченої». Справа в тому, що в «Початках» Евкліда вона ще називається, як «теорема німфи», просто її креслення дуже схоже на бджілку або метелика, а греки їх називали німфами. Але коли араби перекладали цю теорему, то подумали, що німфа – це наречена. Отак і вийшла «теорема нареченої». Крім цього, в Індії її ще називали «правилом мотузки».

Історичний огляд виникнення теореми почнемо з давнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5: «Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4». У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 32 + 42 = 52 було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е.., за часів царя Аменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або «натягувачі мотузок», будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5. Дуже легко можна відтворити спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці з відривом 3м від кінця і 4 м від другого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. Відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображують столярну майстерню.

Геометрія в індусів, як і в єгиптян і вавилонян, була пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Стародавній Індії вже близько 18 ст. до зв. е.

У першому російському перекладі евклідових «Початок», зробленому, теорема Піфагора викладено так: «У прямокутних трикутниках квадрат із боку, що протилежить прямому куту, дорівнює сумі квадратів із сторін, що містять прямий кут».

Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх «Початків». З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у «Початках» належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже зберегла достовірних даних про життя Піфагора та її математичної діяльності. Проте легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Розповідають, що на честь цього відкриття Піфагор приніс у жертву 100 бугаїв.

Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого – на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив такий висновок:

«Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор та піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку».

Глава 2. Різні методи підтвердження теореми Піфагора.

2.1. Формулювання та особливості теореми Піфагора.

Теорема Піфагора – одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

Спочатку теорема встановлювала співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі та катетах прямокутного трикутника: "У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів".

Алгебраїчне формулювання: «У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів».

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a та b, отримуємо: a2 + b2 = c2.

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання є більш елементарним, воно не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.

Варто зазначити, що формулювання теореми дане в шкільному підручнику спочатку звучало зовсім не так. Наведемо переклади формулювань теореми Піфагора з різних джерел:

1. У Евкліда ця теорема говорить: «У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут».

2. Латинський переклад арабського тексту Аннаїріці (близько 900 р. н. е.), зроблений Герхардом Кремонським (початок 12 ст), говорить: «У кожному прямокутному трикутнику квадрат, утворений на боці, натягнутій над прямим кутом, дорівнює сумі двох квадратів , Утворених на двох сторонах, що укладають прямий кут».

3. У Geometria Gulmonensis (близько 1400) теорема читається так: «Отже, площа квадрата, виміряного по довгій стороні, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні по двох сторонах його, що примикають до прямого кута».

4. У першому російському перекладі евклідових «Початок», зробленому з грецької («Евклідових почав вісім книг, що містять в собі основу геометрії», Санкт-Петербург, 1819), теорема Піфагора викладена так: «У прямокутних трикутниках квадрат із боку, що протилежить прямому куті, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут».

Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косінусів, що встановлює співвідношення між сторонами довільного трикутника, а також відома теорема Піфагора не тільки на площині, а й у просторі: «Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірювань».

Також вірне зворотне твердження (зване теоремою зворотної теоремі Піфагора): «Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, такий, що a² + b² = c², існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c».

Проте, відомо, що вона застосовувалася на вирішення різних завдань задовго до Піфагора древніми єгиптянами, вавилонянами, китайцями, індусами та інші древніми народами.

У другому розділі ми розглянули різні методи підтвердження теореми Піфагора. Піфагор спочатку був доведений лише окремий випадок теореми: ним розглядався рівнобедрений прямокутний трикутник. Креслення, яке використовують для доказу цього випадку, жартома називають «піфагорові штани» і додають: на всі боки рівні.

Знайомлячись з різними способами доказу теореми Піфагора, ми помітили, що з них засновані на властивості рівноскладених фігур, інші – на доповненні до рівних фігур, а треті – на властивості рівновеликих постатей (рівні площі, що мають). У цій роботі ми розглянули лише кілька способів доказу знаменитої теореми, проте їх є набагато більше.

Вивчивши історію відкриття теореми Піфагора, з'ясувалося, що Піфагор відкрив не саму теорему, та її доказ. Дослідивши різні методи доказу теореми Піфагора, виявилося, що таких доказів величезна кількість і розділити їх можна на:

§ доказ методом добудови

§ доказ методом розкладання

§ алгебраїчний метод доказу

§ векторний доказ

§ доказ за допомогою подібності та ін.

У третій главі ми розглянули кілька елементарних прикладів практичних завдань, у яких під час вирішення застосовується теорема Піфагора.

З'ясувавши практичну значимість теореми Піфагора, виявилося, що теорема має велике застосування у повсякденному житті різних галузях людської діяльності: астрономії, будівництві, мобільного зв'язку, архітектурі.

Отже, в результаті проведеного дослідження ми знайшли інші інтерпретації теореми Піфагора і з'ясували деякі сфери застосування теореми. Нами зібрано та оброблено багато матеріалу з літературних джерел та Інтернету на цю тему. Ми вивчили деякі історичні відомості про Піфагора та його теорему, розглянули ряд історичних завдань застосування теореми Піфагора. Через війну вирішення поставлених завдань дійшли висновку, що висунуті нами гіпотези знайшли підтвердження. Так, справді, з допомогою теореми Піфагора можна вирішувати як математичні завдання. Теорема Піфагора знайшла своє застосування у будівництві та архітектурі, мобільному зв'язку.

Результатом нашої роботи є:

§ набуття навички роботи з літературними джерелами;

§ придбання навичок пошуку потрібного матеріалу в Інтернеті;

§ ми навчилися працювати з великим обсягом інформації, відбирати потрібну інформацію.

Список літератури.

1. Алексєєв. Підготовка до ЄДІ: навчально-методичний посібник, М., 2011.

2. Болтянський та рівноскладені фігури. М., 1956.

3. Ван-дер-Варден наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилону та Греції. М., 1959.

4. Ще раз про теорему Піфагора / / Навчально-методична газета «Математика, № 4, 2005.

5. , Яценко довідник школяра. М., 2008.

6. Теорема Піфагора. М., 1960.

7. Декілька способів доказу теореми Піфагора // Навчально-методична газета Математика, № 24, 2010.

8. Вивчаємо геометрію, М., 2007.

9. Ткачова математика. М., 1994.

10. Про теорему Піфагора та способи її доказу Г. Глейзер, академік РАВ, Москва

11. Теорема Піфагора і трійки Піфагора глава з книги Д. В. Аносова «Погляд на математику і щось з неї»

12. Сайт про теорему Піфагора з великою кількістю доказів, матеріал узятий із книги В. Літцмана.

13. http://encyklopedia. *****/bios/nauka/pifagor/pifagor. html

14. http://moypifagor. *****/use. htm

15. http://moypifagor. *****/література. htm

теорема Піфагора: Сума площ квадратів, що спираються на катети ( aі b), дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі ( c).

Геометричне формулювання:

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

Алгебраїчне формулювання:

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b :

a 2 + b 2 = c 2

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, вона вимагає поняття площі . Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотня теорема Піфагора:

Докази

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо її основу через H. Трикутник ACHподібний до трикутника ABCпо двох кутах. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

Докази методом площ

Доказ через рівнодоповнюваність

Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку 1.
Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьох трикутників і двох внутрішніх квадратів.

Що й потрібно було довести.

Докази через рівноскладність

Елегантний доказ за допомогою перестановки

Доказ Евкліда

Креслення до доказу Евкліда

Ілюстрація до доказу Евкліда

Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.

Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що й даний прямокутник дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.

Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB=AK,AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °).

Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне.

Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея цього доказу додатково проілюстрована за допомогою анімації, яка розташована вище.

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи доказу – симетрія та рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CIрозсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (оскільки трикутники ABCі JHIрівні за побудовою). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і GDAB . Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.

Доказ методом нескінченно малих

Наступний доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX ст.

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих прирощень сторін зі a(використовуючи подобу трикутників):

Доказ методом нескінченно малих

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

Більше загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетов

Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо

c 2 = a 2 + b 2+ constant.

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді

c 2 = a 2 + b 2 .

Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від прирощення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один із катетів не відчуває прирощення (в даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо

Варіації та узагальнення

Якщо замість квадратів побудувати на катетах інші подібні фігури, то вірно наступне узагальнення теореми Піфагора: У прямокутному трикутнику сума площ подібних фігур, побудованих на катетах, дорівнює площі фігури, побудованої на гіпотенузі.Зокрема:
- Сума площ правильних трикутників, побудованих на катетах, дорівнює площі правильного трикутника, побудованого на гіпотенузі.
- Сума площ півколів, побудованих на катетах (як діаметрі), дорівнює площі півкола, побудованого на гіпотенузі. Цей приклад використовується при доказі властивостей фігур, обмежених дугами двох кіл і носять ім'я гіпократових луночек.

Історія

Чу-пей 500-200 до н. Зліва напис: сума квадратів довжин висоти та основи є квадрат довжини гіпотенузи.

У давньокитайській книзі Чу-пей йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5: У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 + 4 + 5 = було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е.., за часів царя Аменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. Відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображують столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, що відноситься до часу Хаммурабі, тобто до 2000 до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу у деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого – на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив такий висновок:

Література

Російською мовою

Скопець З. А.Геометричні мініатюри. М., 1990
Єленьський Щ.Слідами Піфагора. М., 1961
Ван-дер-Варден Б. Л.Пробуджена наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилону та Греції. М., 1959
Глейзер Г. І.Історія математики у школі. М., 1982
Ст Літцман, «Теорема Піфагора» М., 1960.
- Сайт про теорему Піфагора з великою кількістю доказів матеріал узятий із книги В.Літцмана, велика кількість креслень представлена у вигляді окремих графічних файлів.
Теорема Піфагора і трійки Піфагора глава з книги Д. В. Аносова «Погляд на математику і щось з неї»
Про теорему Піфагора та способи її доказу Г. Глейзер, академік РАВ, Москва

Англійською

Теорема Піфагора на WolframMathWorld (англ.)
Cut-The-Knot, секція присвячена теоремі піфагора, близько 70 доказів та додаткова інформація (англ.)

Wikimedia Foundation.