Серединний перпендикуляр гіпотенузи прямокутного ab прямокутного трикутника abc. Презентація: Розв'язання задач з геометрії. Чудові точки трикутника

Опис презентації з окремих слайдів:

1 слайд

Опис слайду:

Розв'язання задач з геометрії Підготовка до ЄДІ Планиметрія Вчитель математики МАОУ ЗОШ № 13 с поглибленим вивченнямокремих предметів м.Тамбова Є.В.Кіріна

2 слайд

Опис слайду:

Деякі теореми Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини. Три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Точка перетину бісектрис є центром вписаного кола. Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Три серединні перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці, що є центром описаного кола.

3 слайд

Опис слайду:

Теорема про пропорційність відрізків, що висікаються на сторонах кута паралельними прямими. Сторони кута, що перетинаються поруч паралельних прямих, розсікаються ними пропорційні частини. Ознаки подоби трикутників. Два трикутники подібні, якщо виконано хоча б одну з умов: два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника; дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути, укладені між пропорційними сторонами, дорівнюють; три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника. Властивості таких трикутників. У подібних трикутниках подібні елементи (наприклад, медіани, висоти, периметри, Радіуси вписаного та описаного кіл і ін.) відносяться як подібні сторони, і це відношення дорівнює коефіцієнту подібності. Площі таких трикутників ставляться як квадрати подібних сторін, тобто. відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

4 слайд

Опис слайду:

Завдання 1. Периметр прямокутного трикутникадорівнює 60 см. Знайти його сторони, якщо висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см. Рішення. Складемо і вирішимо систему: Вирішуючи систему, знаходимо сторони: 15 см, 20 см, 25 см. Відповідь: 15 см, 20 см, 25 см.

5 слайд

Опис слайду:

Завдання 2. У трикутнику АВС сторона АВ = 6, сторона АС = 9. З вершини проведена пряма, що проходить через середину бісектриси АL. У якому відношенні ця пряма поділяє площу трикутника АВС? Рішення. Нехай D – середина бісектриси AL, К – точка перетину BD та АС. Проведемо LM//ВК. Нехай АК = х. По теоремі Фалеса АК = КМ, тому КМ = х. За якістю бісектриси BL:LC=АВ:АС=6:9=2:3. А К С В M L D x

6 слайд

Опис слайду:

По теоремі про пропорційність відрізків, що висікаються на сторонах кута паралельними прямими, маємо: КМ: МС = BL: LC =. Т.о., тоді Відповідь: 2:5

7 слайд

Опис слайду:

Завдання 3. Через точку, взяту всередині трикутника, проведено три прямі, паралельні його сторонам. Ці прямі розбивають трикутник на шість частин, три з яких трикутники з площами S1, S2, S3. Знайти площу S трикутника. Рішення. Трикутник МРО подібний до трикутника АВС з коефіцієнтом подібності і цей коефіцієнт дорівнює, тобто. А Е С В M Р D О N Q S S S

8 слайд

Опис слайду:

Проводимо аналогічні міркування для трикутників DQO та OEN, отримуємо: Складаємо ці рівності та, враховуючи, що AD+DQ+QC=AC, отримуємо: . Звідси Відповідь:

9 слайд

Опис слайду:

Завдання 4. На сторонах АВ та ВС трикутника АВС побудовано квадрати ABDE та BCKM. Довести, що відрізок DM удвічі довший за медіану ВР трикутника АВС. Рішення. Продовжимо відрізок ВР та відкладемо РТ=ВР. Розглянемо трикутники DBM та ВСТ. Відрізки ВМ і ВС дорівнюють як сторони квадрата, АВ=СТ – як протилежні сторони паралелограма АВСТ. Крім того,

10 слайд

Опис слайду:

Завдання 5. На стороні АС трикутника АВС взято точку D. Через неї проведено дві прямі, паралельні сторонам трикутника. Ці прямі розбивають трикутник на три частини – один паралелограм та два трикутники, площі яких рівні S1 та S2. Знайти площу паралелограма. Рішення. Нехай х – потрібна площа паралелограма PBQD. Зазначимо, ∆APD~∆ABC з коефіцієнтом подібності. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, крім того, площа ABC дорівнює S1+S2+x. Тому (1) Аналогічно (2) А В С D P Q S S x

11 слайд

Опис слайду:

Складаючи почленно рівності (1) і (2), отримуємо: Знаходимо х з цієї рівності та отримуємо, що Відповідь:

12 слайд

Завдання № 16. Планіметрія з підтвердженням.

57. Одне коло вписано у прямокутну трапецію, а друге стосується більшої бічної сторони та продовжень основ.

а) Доведіть, що відстань між центрами кіл дорівнює більшій бічній стороні трапеції.
б) Знайдіть відстань від вершини одного з прямих кутів трапеції до центру другого кола, якщо точка торкання першого кола з більшою бічною стороною трапеції ділить її на відрізки, рівні 2 і 50.

58. У гострокутному трикутникуABC проведено висотиAK іCM. На них із точокM іK опущені перпендикуляриME іKH відповідно.
а) Доведіть, що пряміEH іAC паралельні.
б) Знайдіть відношенняEH іAC , якщо∠ ABC = 45 °
Відповідь: б) 1:2

59. КрапкаМ – середина гіпотенузиАВ трикутникаАВС . Серединний перпендикуляр до гіпотенузи перетинає катетНД у точціN .

а) Доведіть, що∠ CAN = ∠ CMN
б) Знайдіть відношення радіусів кіл, описаних біля трикутниківANB іCBM , якщоtg BAC = 4/3.

Відповідь: б) 5:4

60. У рівнобедреній трапеціїABCD заснуванняAD вдвічі більше підставиBC .
а) Доведіть, що висотаCH AD на відрізки, один з яких утричі більший за інший.
б) НехайO - точка перетину діагоналей трапеціїABCD . Знайдіть відстань від вершиниC до середини відрізкаOD , якщоBC=16 іAB=10.
Відповідь: б) 4

61. У трапеціїABCD заснуванняAD вдвічі більше підставиBC. Усередині трапеції взяли крапкуM так, що кутиABM іDCM прямі.
а) Доведіть, щоAM=DM .
б) Знайдіть кутBAD якщо кутADC дорівнює 70 °, а відстань від точкиM до прямоїAD одно боціBC .
Відповідь: б) 65 °

62. Біля гострокутного трикутникаABC описано коло з центромO. На продовженні відрізкаAO за крапкуO відзначено точкуK так що ∠BAC + ∠ AKC = 90 °.
а) Доведіть, що чотирикутникOBKC вписаний.
б) Знайдіть радіус кола, описаного біля чотирикутникаOBKC, якщоcos ∠ BAC=3/5, а BC = 48.
Відповідь: б)25

63. У рівнобедреній трапеціїABCD заснуванняAD втричі більше за основуBC .
а) Доведіть, що висотаCH трапеції розбиває основуAD на відрізки, один з яких удвічі більший за інший.
б) Знайдіть відстань від вершиниC до середини діагоналіBD, якщоAD =15 іAC =2√61.
Відповідь: б) 6

64. У трапеціїABCD бічна сторонаAB перпендикулярна до основ.
З точкиA на бікCD опустили перпендикулярAH . На стороніAB відзначено точкуE так, що пряміCD іCE перпендикулярні.
а) Доведіть, що пряміBH іED паралельні.
б) Знайдіть відношенняBH доED , якщо∠ BCD = 120 °.
Відповідь: б) 3:4

65. У трикутникуABC кутABC тупий,H - точка перетину продовжень висот, кутAHC дорівнює 60 °.
а) Доведіть, що кутABC дорівнює 120 °.
б) ЗнайдітьBH , якщоAB =7, BC =8.

66. У трапеціїABCD з основамиНД іAD кутиABD іACD прямі.
а) Доведіть, щоАВ = CD .
б) ЗнайдітьAD , якщоAB = 2, BC = 7.
Відповідь: б) 8

67. КрапкаЕ - середина сторониBС квадратаАВСD . Серединні перпендикуляри до відрізківАЕ іЄС перетинаються у точціO .
а) Доведіть, що∠ AOE = 90 °.
б) ЗнайдітьBO : OD .
Відповідь: б) 3:1

68. КрапкаO - центр кола, описаного біля гострокутного трикутникаABC , аBH - Висота цього трикутника.
а) Доведіть, що кутиABH іCBO рівні.
б) ЗнайдітьBH , якщоAB =8, BC =9, BH = BO .
Відповідь: б) 6

69. У опуклому чотирикутникуABCD відомі сторони та діагональ:AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Доведіть, що навколо цього чотирикутника можна описати коло.
б) ЗнайдітьBD .
Відповідь: б) 55/7

70. ЧотирьохкутникABCD вписаний у коло радіусуR = 8. Відомо, щоAB = BC = CD =12.
а) Доведіть, що пряміBC іAD паралельні.
б) ЗнайдітьAD.
Відповідь: б) 9

71. Коло з центромПро 1 стосується підставНД іAD та збокуАВ трапеціїABCD . Коло з центромO 2 стосується сторінНД , CD іAD . Відомо щоАВ = 10, НД = 9, CD = 30, AD = 39.
а) Доведіть, що прямаПро 1 Про 2 паралельна основам трапеціїАВСD .
б) ЗнайдітьПро 1 Про 2 .
Відповідь: б) 4

72. Коло з центром у точціO висікає на всіх сторонах трапеціїABCD рівні хорди.
а) Доведіть, що бісектриси всіх кутів трапеції перетинаються в одній і тій самій точці.
б) Знайдіть висоту трапеції, якщо коло перетинає бічну сторонуAB у точкахK іL так щоAK = 11, KL = 10, LB = 4.
Відповідь: б) 24

73. Коло проходить через вершиниA , B іD паралелограмаABCD , перетинає бікBC у точкахB іE і перетинає бікCD у точкахK іD .
а) Доведіть, щоAE = AK .
б) ЗнайдітьAD , якщоCE =10, DK = 9 та cos∠ BAD =0,2.
Відповідь: б) 40

74. Висоти тупокутного трикутникаАВС з тупим кутомАВС перетинаються у точцін. КутАНС дорівнює 60 градусів.
а) Доведіть, що кутАВС дорівнює 120 градусів
б) ЗнайдітьВН , якщоАВ = 7, ВС = 8.

75. У трапеціюABCD з основамиНД іAD вписано коло з центромО, СН - Висота трапеції,Е - Точка перетину діагоналей.
а) Доведіть, що ∠OHC= ∠ ADC / 2.
б) Знайдіть площу чотирикутникаСЕОН, якщо відомо, що ∠BAD = 90 °,BC =9, AD =18.
Відповідь: б) 21

76. Серединний перпендикуляр до сторониАВ трикутникаАВС перетинає бікАС у точціD. Коло з центромО, вписана в трикутникADB , стосується відрізкаAD у точціР , а прямаВР перетинає бікАВ у точціДо.
а) Доведіть, що близько чотирикутникаВДОК можна описати коло.
б) Знайдіть радіус цього кола, якщоАВ = 10, АС = 8, НД = 6.

77. Коло, вписане в трикутникABC, стосується сторінBC іAC у точкахM іN відповідно,E іF - середини сторінAB відповідно. ПряміMN іEF перетинаються у точціD.
а) Доведіть, що трикутникDFN рівнобедрений.
BED , якщоAB = 20 і∠ ABC = 60 ° .

78. Медіани AA 1 , BB 1 , CC 1 трикутникаABC перетинаються у точціM . Відомо щоAC = 3МБ.

а) Доведіть, що трикутникABC прямокутний.

б) Знайдіть суму квадратів медіан AA 1 і CC 1 якщо відомо, щоAC = 12.

Відповідь: б) 180

79. ЧотирьохкутникABCD вписаний у коло. Діаметр CC 1 перпендикулярний стороніAD і перетинає її в точціM , а діаметр DD1 перпендикулярний стороніAB і перетинає її в точціN .

а) Нехай AA 1 також діаметр кола. Доведіть, що∠ DNM = ∠ BA1 D1 .

б) Знайдіть кути чотирикутникаABCD , якщо кутCDB вдвічі менше кутаADB.

Відповідь: б) 72 °, 126 °, 108 °, 54 °

80. У прямокутному трикутникуABC з прямим кутомC відомі сторониAC = 12, BC = 5. Окружність радіусом 0,5 з центромO на стороніBC проходить через вершинуC . Друге коло стосується катетаAC , гіпотенузи трикутника, а також зовнішнім чином стосується першого кола.

а) Доведіть, що радіус другого кола менший, чим1/5 довжини катетаAC .

б) Знайдіть радіус другого кола.

Відповідь: б) 2

81. Коло з центромO проходить через вершиниB іC більшої сторони прямокутної трапеціїABCD і стосується бічної сторониAD у точціT.

а) Доведіть, що кутBOC вдвічі більше кутаBTC.

б) Знайдіть відстань від точкиT до прямоїBC , якщо підстави трапеціїAB іCD рівні 4 та 9 відповідно.

Відповідь: б) 6

82. Коло з центромO , вписана в трикутникABC , стосується його сторінBC, AB іAC у точкахK, L іM відповідно. ПрямаKM вдруге перетинає в точціP коло радіусуAM з центромA .

а) Доведіть, що прямаAP паралельна прямийBC .

б) Нехай∠ ABC = 90 °, AM = 3 , CM = 2 , Q - точка перетину прямихKM іAB , аT -Така точка на відрізкуPQ, що∠ OAT = 45 °. ЗнайдітьQT.

83. На гіпотенузіAB та на катетахBC іAC прямокутного трикутникаABC відзначені точкиM , N іK відповідно, причому прямаKN паралельна прямийAB іBM = BN = KN/ 2. КрапкаP - середина відрізкаKN .

а) Доведіть, що чотирикутникBCPM - рівнобедрена трапеція.

б) Знайдіть площу трикутникаABC , якщоBM=1 і∠ BCM=15 °.

84. У прямокутному трикутникуABC крапкаM лежить на катетеAC , а крапкаN лежить на продовженні катетаBC за крапкуC , причомуCM=BC іCN=AC. ВідрізкиCP іCQ - бісектриси трикутниківACB іNCM відповідно.

а) Доведіть, щоCP іСQ перпендикулярні.

б) ЗнайдітьPQ , якщоBC=3, аAC=5.

Відповідь: б) 15/4

85. Дана трапеціяABCD з основамиBC іAD . КрапкиM іN є серединами сторінAB іCD відповідно. Коло, що проходить через точкиB іЗ , перетинає відрізкиBM іCN у точкахP іQ (відмінних від кінців відрізків).

а) Доведіть, що точкиM , N , P іQ лежать на одному колі.

б) Знайдіть радіус кола, описаного біля трикутникаMPQ , якщо прямаDP перпендикулярна до прямоїPC , AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.

Відповідь: б) 85/12

86. УпрострокутномутрикутникуABC , ∠A= 60 °.ВисотиBN іCM трикутникаABC перетинаються у точціH . КрапкаO - центр кола, описаного біля ∆ ABC.

а) Доведіть, щоAH=AO.

б) Знайдіть площу ∆ AHO, якщоBC=6√3, ∠ABC= 45 °.

Відповідь: б) 9

87. КрапкаO - центр вписаний у трикутникABC кола. ПрямаOB вдруге перетинає описане у цього трикутника коло в точціP .

а) Доведіть, що∠ POC=∠ PCO.
б) Знайдіть площу трикутникаAPC якщо радіус описаний біля трикутникаABC кола дорівнює 4, а∠ ABC=120 °.

Відповідь: б) 12√3

88. Біля гострокутного трикутникаABC з різними сторонами описали коло з діаметромBN . ВисотаBH перетинає це коло в точціK .

а) Доведіть, щоAN = CK .

б) ЗнайдітьKN , якщо∠ BAC =35 °, ∠ ACB =65 °, а радіус кола дорівнює 12.

Прответ: б) 12

89. Близько ∆ABC описано коло. ПрямаBO , деO - центр вписаного кола, вдруге перетинає описане коло в точціP .

а) Доведіть, щоOP = AP.

б) Знайдіть відстань від точки 3

Підготовка до профільного рівня єдиного державного іспиту з математики. Корисні матеріали з планиметрії, відеорозбір завдань та добірка завдань минулих років.

Корисні матеріали

Добірки відео

Як прокачати геометрію

Якщо з планіметрією у вас все зовсім погано, а потрібно її «затягнути», і ви готові витратити на це значний час, тобто гарна книжка – Гордін. Планіметрія. Працювати з нею треба так. За кожною темою:

читаєте теорію (зазвичай, пара абзаців);
вивчаєте розібрані приклади;
намагаєтесь вирішувати останні 3-5 завдань «другого» рівня;
якщо вони вийшли, то переходьте до наступної теми (третій рівень дивитися необов'язково);
якщо вони не вирішуються, то намагаєтесь вирішити завдання з початку другого рівня;
якщо виходить, то вирішуєте всі завдання другого рівня (якщо їх багато, то можна йти через одну-дві);
якщо майже все виходить, переходьте до наступної теми;
якщо багато завдань незрозуміло як вирішувати, то відмовляєте весь «перший» рівень (там зовсім прості одноходові завдання, але вирішення таких завдань дозволить вам дізнатися про основні ідеї вирішення задач з цієї теми).

Важливо!Читати рішення наприкінці книжки можна лише у двох випадках. Або ви вирішили завдання і хочете дізнатися про авторське рішення, або ви довго намагалися і у вас зовсім немає ідей. Довго - це подумати над завданням мінімум півгодини, відкласти, повернутися через день-два, подумати ще мінімум півгодини. І так 3-4 рази, паралельно відмовляючи прості завдання на ту саму тему. Якщо ви дивитися рішення завдання відразу, не намагаючись її вирішувати, толку від цього не буде.

Все про прямокутний трикутник

Теорема Менела

Чудові точки трикутника

Теореми синусів та косінусів

Формула Герону

Як знайти довжину бісектриси, медіани та висоти

Відеорозбір завдань

Два кола стосуються зовнішнім чином у точці $K$. Пряма $AB$ стосується першого кола в точці $A$, а другий - у точці $B$. Пряма $BK$ перетинає перше коло в точці $D$, пряма $AK$ перетинає друге коло в точці $C$.
а) Доведіть, що прямі $AD$ та $BC$ паралельні.
б) Знайдіть площу трикутника $AKB$, якщо відомо, що радіуси кіл дорівнює 4 і 1.

Окружність висікає на всіх сторонах трапеції ABCD рівні відрізки.
а) Доведіть, бісектриси всіх кутів трапеції перетинаються в одній точці.
б) Нехай коло перетинає бічну сторону $AB$ у точках $K$ і $L$ отже $AK = 23$, $KL = 4$ і $LB = 2$. Знайдіть висоту трапеції.

а) Доведіть, що навколо цього чотирикутника можна описати коло.
б) Знайдіть $BD$.

а) Доведіть, що кут $ABC$ дорівнює $120^(\circ)$.
б) Знайдіть $BH$, якщо $AB = 7$, $BC = 8$.

а) Доведіть, що $angle CAN = angle CMN$.
б) Знайдіть відношення радіусів кіл, описаних біля трикутників $ANB$ і $CBM$, якщо $\mathrm(tg) \angle BAC = \dfrac43$.

а) Доведіть, що точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ і $H$ лежать на одному колі.
б) Знайдіть $A_1H$, якщо $BC = 2 \sqrt3$.

а) Доведіть, що $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
б) Знайдіть відношення $CK$ і $KE$, якщо $\angle ECD = 15^(\circ)$.

а) Доведіть, що прямі $EH$ та $AC$ паралельні;
б) Знайдіть відношення $EH: AC$, якщо кут $ABC$ дорівнює $30^(\circ)$.

Добірка завдань

Точки $M$ і $N$ -- середини відповідно бічних сторін $AB$ і $CD$ трапеції $ABCD$. Коло проходить через точки $B$ і $C$ перетинає відрізки $MB$ і $CN$ у точках $P$ і $Q$ відповідно.
а) Доведіть, що $M$, $P$, $Q$ і $N$ лежать на одному колі.
б) Знайдіть довжину відрізка $QN$. Якщо $BC=4(,)5$, $AD=21(,)5$, $AB=26$, $CD=25$, а кут $CPD$ - прямий. (ЄДІ-2019, дострокова хвиля)
У трикутнику $ABC$ кут $B$ тупий, $H$ -- точка перетину висот, кут $AHC$ дорівнює $60^(\circ)$.
а) Доведіть, що кут $ABC$ дорівнює $120^(\circ)$.
б) Знайдіть $BH$, якщо $AB = 7$, $BC = 8$. (ЄДІ-2018, дострокова хвиля)
Точка $O$ -- центр кола, описаного біля гострокутного трикутника $ABC$, а $BH$ -- висота цього трикутника.
а) Доведіть, що кути $ABH$ і $CBO$ рівні.
б) Знайдіть $BH$, якщо $AB = 16$, $BC = 18$, $BH = BO$. (ЄДІ-2018, основна хвиля, резервний день)
У опуклому чотирикутнику $ABCD$ відомі сторони та діагональ: $AB = 3$, $BC = CD = 5$, $AD = 8$, $AC = 7$.
а) Доведіть, що навколо цього чотирикутника можна описати коло.
б) Знайдіть $BD$. (ЄДІ-2018, дострокова хвиля, резервний день)
У трапеції $ABCD$ з основами $BC$ і $AD$ кути $ABD$ і $ACD$ прямі.
а) Доведіть, що $AB = CD$.
б) Знайдіть $AD$, якщо $AB = 2$, $BC = 7$. (ЄДІ-2018, основна хвиля)
Чотирикутник $ABCD$ вписаний у коло радіуса 8. Відомо, що
а) Доведіть, що прямі $BC$ та $AD$ паралельні.
б) Знайдіть $AD$. (ЄДІ-2018, основна хвиля)
Окружність з центром $O_1$ стосується основ $BC$ і $AD$ і збоку $AB$ трапеції $ABCD$. Окружність із центром $O_2$ стосується сторін $BC$, $CD$ і $AD$. Відомо, що $ AB = 10 $, $ BC = 9 $, $ CD = 30 $, $ AD = 39 $.
а) Доведіть, що пряма $O_1O_2$ паралельна основам трапеції $ABCD$.
б) Знайдіть $O_1O_2$. (ЄДІ-2018, основна хвиля)
Окружність висікає по всіх сторонах трапеції $ABCD$ рівні відрізки.
а) Доведіть, бісектриси всіх кутів трапеції перетинаються в одній точці.
б) Нехай коло перетинає бічну сторону $AB$ у точках $K$ і $L$ отже $AK = 23$, $KL = 4$ і $LB = 2$. Знайдіть висоту трапеції. (ЄДІ-2018, основна хвиля)
Точка $E$ - середина сторони $BC$ квадрата $ABCD$. Серединні перпендикуляри до відрізків $AE$ і $EC$ перетинаються у точці $O$.
а) Доведіть, що $angle AOE = 90^(\circ)$.
б) Знайдіть $BO: OD$. (ЄДІ-2018, основна хвиля, резервний день)
Точка $M$ - середина гіпотенузи $AB$ трикутника $ABC$. Серединний перпендикуляр до гіпотенузи перетинає катет $BC$ у точці $N$.
а) Доведіть, що $angle CAN = angle CMN$.
б) Знайдіть відношення радіусів кіл, описаних біля трикутників $ANB$ і $CBM$, якщо $\mathrm(tg) \angle BAC = \dfrac43$. (ЄДІ-2017)
У трикутнику $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ і $C_1$ -- середини сторін $BC$, $AC$ і $AB$ відповідно, $AH$ -- висота, $\angle BAC = 60^(\ circ)$, $\angle BCA = 45^(\circ)$.
а) Доведіть, що точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ і $H$ лежать на одному колі.
б) Знайдіть $A_1H$, якщо $BC = 2 \sqrt3$. (ЄДІ-2017)
Крапка $E$ -- середина бокової сторони $CD$ трапеції $ABCD$. На стороні $AB$ взяли точку $K$, отже прямі $CK$ і $AE$ паралельні. Відрізки $CK$ і $BE$ перетинаються у точці $O$.
а) Доведіть, що $CO = KO$.
б) Знайти відношення основ трапеції $BC$ і $AD$, якщо площа трикутника $BCK$ становить $0,009$ площі трапеції $ABCD$. (ЄДІ-2017)
Два кола з центрами $O_1$ і $O_2$ перетинаються в точках $A$ і $B$, причому точки $O_1$ і $O_2$ лежать по різні боки від прямої $AB$. Продовження діаметра $CA$ першого кола і хорди $CB$ цього кола перетинають друге коло в точках $D$ і $E$ відповідно.
а) Доведіть, що трикутники $CBD$ і $O_1AO_2$ подібні.
б) Знайдіть $AD$, якщо $\angle DAE = \angle BAC$, радіус другого кола втричі більший за радіус першого і $AB = 3$. (ЄДІ-2017)
У прямокутному трикутнику $ABC$ проведена висота $CH$ з вершини прямого кута. У трикутники $ACH$ і $BCH$ вписані кола з центрами $O_1$ і $O_2$ відповідно, що стосуються прямої $CH$ у точках $M$ і $N$ відповідно.
а) Доведіть, що прямі $AO_1$ та $CO_2$ перпендикулярні.
б) Знайдіть площу чотирикутника $MO_1NO_2$, якщо $AC = 20$ і $BC = 15$. (ЄДІ-2017)
Точки $E$ і $K$ -- відповідно середини сторін $CD$ і $AD$ квадрата $ABCD$. Пряма $BE$ перетинається з прямої $CK$ у точці $O$.
а) Доведіть, що навколо чотирикутника $ABOK$ можна описати коло.
б) Знайдіть $AO$, якщо сторона квадрата дорівнює 1. (ЄДІ-2017)
Точка $O$ - центр кола, описаного біля гострокутного трикутника $ABC$, $I$ - центр вписаного в нього кола, $H$ - точка перетину висот. Відомо, що $angle BAC = angle OBC + angle OCB$.
а) Доведіть, що точка $I$ лежить на колі, описаному біля трикутника $BOC$.
б) Знайдіть кут $OIH$, якщо $\angle ABC = 55^(\circ)$. (ЄДІ-2016)
У трикутнику $ABC$ проведено висоти $AK$ і $CM$. На них із точок $M$ та $K$ опущені перпендикуляри $ME$ та $KH$ відповідно.
а) Доведіть, що прямі $EH$ та $AC$ паралельні;
б) Знайдіть відношення $EH: AC$, якщо кут $ABC$ дорівнює $30^(\circ)$. (ЄДІ-2016)
У трикутнику $ABC$ кут $ABC$ дорівнює $60^(\circ)$. Окружність, вписана в трикутник, стосується сторони $AC$ у точці $M$.
а) Доведіть, що відрізок $BM$ не більший за потрійний радіус, вписаний у трикутник кола.
б) Знайдіть $\sin \angle BMC$ якщо відомо, що відрізок $BM$ у 2,5 рази більший за радіус вписаний у трикутник кола. (ЄДІ-2016)
Квадрат $ABCD$ вписаний у коло. Хорда $CE$ перетинає його діагональ $BD$ у точці $K$.
а) Доведіть, що $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
б) Знайдіть відношення $CK$ і $KE$, якщо $\angle ECD = 15^(\circ)$. (ЄДІ-2016)
У прямокутному трикутнику $ABC$ точки $M$ і $N$ - середини гіпотенузи $AB$ і катета $BC$ відповідно. Бісектриса кута $BAC$ перетинає пряму $MN$ у точці $L$.
а) Доведіть, що трикутники $AML$ і $BLC$ подібні.
б) Знайдіть відношення площ цих трикутників, якщо $\cos \angle BAC = \dfrac(7)(25)$. (ЄДІ-2016)
Коло стосується сторони $AC$ гострокутного трикутника $ABC$ і поділяє кожну зі сторін $AB$ і $BC$ на три рівні частини.
а) Доведіть, що трикутник $ABC$ рівнобедрений.
б) Знайдіть, у якому відношенні висота цього трикутника поділяє сторону $BC$. (ЄДІ-2016)
У прямокутному трикутнику $ABC$ з прямим кутом $C$ точки $M$ і $N$ - середини катетів $AC$ і $BC$ відповідно, $CH$ - висота.
а) Доведіть, що прямі $MH$ та $NH$ перпендикулярні.
б) Нехай $P$ - точка перетину прямих $AC$ і $NH$, а $Q$ - точка перетину прямих $BC$ і $MH$. Знайдіть площу трикутника $PQM$, якщо $AH = 4$ і $BH = 2$. (ЄДІ-2016)
На катетах $AC$ і $BC$ прямокутного трикутника $ABC$ як на діаметрах побудовані кола, що вдруге перетинаються в точці $M$. Крапка $Q$ лежить на меншій дузі $MB$ кола з діаметром $BC$. Пряма $CQ$ вдруге перетинає коло з діаметром $AC$ у точці $P$.
а) Доведіть, що прямі $PM$ та $QM$ перпендикулярні.
б) Знайдіть $PQ$, якщо $AM = 1$, $BM = 3$, а $Q$ - середина дуги $MB$. (ЄДІ-2016)
Два кола стосуються внутрішнім чином. Третє коло стосується перших двох та їх лінії центрів.
а) Доведіть, що периметр трикутника з вершинами в центрах трьох кіл дорівнює діаметру найбільшого з цих кіл.
б) Знайдіть радіус третього кола, якщо відомо, що радіуси перших двох дорівнюють 6 і 2.
Хорди $AD$, $BE$ і $CF$ кола ділять один одного на три рівні частини.
а) Доведіть, що це хорди рівні.
б) Знайдіть площу шестикутника $ABCDEF$, якщо точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ послідовно розташовані на колі, а радіус кола дорівнює $2\sqrt(21)$.
Дано рівнобедрений трикутник $ABC$ з основою $AC$. Вписана в нього коло з центром $O$ стосується бічної сторони $BC$ у точці $P$ і перетинає бісектрису кута $B$ у точці $Q$.
а) Доведіть, що відрізки $PQ$ та $OC$ паралельні.
б) Знайдіть площу трикутника $OBC$, якщо точка $O$ ділить висоту $BD$ трикутника щодо $BO: OD = 3: 1$ і $AC = 2$.

Трикутникомназивається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки. Крапки називаються вершинамитрикутника, а відрізки – його сторонами.

Медіанатрикутника - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони цього трикутника.

Властивості медіан трикутника

Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіннятрикутник.

Весь трикутник ділиться своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Бісектриса

Бісектриса кута- це промінь, що виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить цей кут навпіл. Бісектриса трикутниканазивається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні цього трикутника.

Властивості бісектрис трикутника

Висота

ВисотоюТрикутник називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону цього трикутника.

Властивості висот трикутника

У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібні до вихідного.

У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники.

Серединний перпендикуляр

Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, називають серединним перпендикуляромдо відрізка .

Властивості серединних перпендикулярів трикутника

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Правильне і зворотне твердження: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі щодо нього.

Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника, є центром кола, описаного біля цього трикутника.

Середня лінія

Середньою лінією трикутниканазивається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

Властивість середньої лінії трикутника

Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює половині цієї сторони.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює діаметру описаного біля трикутника кола:

Теорема косінусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Формули площі трикутника

Довільний трикутник

a, b, c -сторони; - кут між сторонами aі b;- напівпериметр; R -радіус описаного кола; r -радіус вписаного кола; S -площа; h a - a.

S = ah a

S = ab sin

S= pr

Прямокутний трикутник

a, b -катети; c -гіпотенуза; h c - висота, проведена до сторони c.

S = ch c

Рівносторонній трикутник

Чотирикутники

Чотирьохкутникомназивається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків. При цьому жодні три з даних точок не лежать на одній прямій, а відрізки, що їх з'єднують, не перетинаються.

Дві несуміжні сторони чотирикутника називаються протилежними.Дві вершини, які не є сусідніми, називаються також протилежними.

Чотирикутники бувають опуклі (як ABCD)і невипуклі (A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Види чотирикутників

Паралелограм

Паралелограмомназивається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Властивості паралелограма

протилежні сторони рівні;

протилежні кути рівні;

діагоналі точкою перетину діляться навпіл;

сума кутів, що прилягають до однієї сторони, дорівнює 180 °;

сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2 ).

Ознаки паралелограма

Чотирьохкутник є паралелограмом, якщо:

Дві його протилежні сторони рівні та паралельні.

Протилежні сторони попарно рівні.

Протилежні кути попарно рівні.

Діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Трапеція

Трапецієюназивається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші непаралельні.

Паралельні сторони трапеції називаються її підставами,а непаралельні сторони - бічними сторонами.Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньої лінії.

Трапеція називається рівнобедреної(або рівнобокий), якщо її бічні сторони рівні.

Трапеція, один із кутів якої прямий, називається прямокутної.

Властивості трапеції

її середня лінія паралельна основам і дорівнює їх напівсумі;

якщо трапеція рівнобока, її діагоналі рівні і кути при підставі рівні;

якщо трапеція рівнобока, то біля неї можна описати коло;

якщо сума підстав дорівнює сумі бічних сторін, то до неї можна вписати коло.

Ознаки трапеції

Чотирьохкутник є трапецією, якщо його паралельні сторони не рівні

Прямокутник

Прямокутникомназивається паралелограм, у якого всі кути прямі.

Властивості прямокутника

всі властивості паралелограма;

діагоналі рівні.

Ознаки прямокутника

Паралелограм є прямокутником, якщо:

Один із його кутів прямий.

Його діагоналі рівні.

Ромб

Ромбомназивається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба

Усі властивості паралелограма;

діагоналі перпендикулярні;

діагоналі є бісектрисами його кутів.

Ознаки ромба

Паралелограм є ромбом, якщо:

Дві його суміжні сторони рівні.

Його діагоналі перпендикулярні.

Одна з діагоналей є бісектрисою його кута.

Квадрат

Квадратомназивається прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості квадрата

всі кути квадрата прямі;

діагоналі квадрата рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути квадрата навпіл.

Ознаки квадрата

Прямокутник є квадратом, якщо він має якусь ознаку ромба.

Основні формули

S = d 1 d 2 sin

S = ah a

S = ab sin

S = d 1 d 2 sin

S = ah a

S = a 2 sin

S = d 1 d 2

S = a 2

Планіметрія. Завдання.

Сторона трикутника дорівнює 21, а дві інші сторони утворюють кут 60 o і відносяться як 3:8. Знайдіть ці сторони.

a) Доведіть, що BL: LC = 2: 1.

б) Знайдіть площу трикутника BLK.

У рівнобедреному трикутнику ABC AC- заснування. На продовженні сторони CBза крапку Увідзначено точку Dтак, що кут CADдорівнює куту ABD.

а) Доведіть, що ABбісектриса кута CAD.

б) Знайдіть довжину відрізка AD,якщо бічна сторона трикутника АВСдорівнює 5, яке основа дорівнює 6.

У гострокутному трикутнику ABCпроведено висоти AMі CN.

а) Доведіть, що кути ACBі MNBрівні.

б) Обчисліть довжину сторони АСякщо відомо, що периметр трикутника ABCдорівнює 25 см, периметр трикутника BMNдорівнює 15 см, а радіус кола, описаного біля трикутника BMNдорівнює 3 см.

Площа трикутника АВСдорівнює 72, а сума довжин сторін АСі НДдорівнює 24.

а) Доведіть, що трикутник АВСпрямокутний.

б) Знайдіть сторону квадрата, вписаного в трикутник АВСякщо відомо, що дві вершини цього квадрата лежать на стороні АВ.

Основи трапеції дорівнюють 3 см і 5 см. Одна з діагоналей трапеції дорівнює 8 см, кут між діагоналями дорівнює 60 o . Знайдіть периметр трапеції.

У прямокутному трикутнику ABC точки M та N – середини гіпотенузи AB та катета BC відповідно. Бісектриса кута BAC перетинає пряму MN у точці L .

а) Доведіть, що трикутники AML та BLC подібні.

б) Знайдіть відношення площ цих трикутників, якщо.