44 fyzických prírastkov do speváckeho integrálneho livre. Geometrická definícia hodnoty integrálu. Obsyag tila obal

41,1. Integrované schémy ukladania

Nepotrebujete poznať význam geometrickej alebo fyzickej veľkosti A (plocha figúrky, objem til, úchop čiary na zvislej doske atď.), Súvisia s obecným hadom nezávislej zimy. Prenesená, hodnota A je aditívna, to znamená E. Takáto, keď rozbittі vіdrіzka [a; b] bodom h є (a; b) na časti [a; jeho; b] hodnota hodnoty A, vo všetkých prípadoch ako [a; b], dorіvnyu sumі її význam, scho іdpovіdaut [a; jeho; b].

Na poznanie hodnoty A je možné keruvatizovať jednu z dvoch schém: schéma I (alebo metóda integrálnych súčtov) a schéma II (alebo diferenciálna metóda).

Prvá schéma je založená na označení speváckeho integrálu.

1. Bodky x 0 = a, x 1, ..., x n = b, ktoré sa majú rozdeliť na [a; b] na n častí. V skutočnosti hodnota A stúpa na n „elementárnych doplnkov“ ΔAi (i = 1, ..., n): А = ΔA 1 + ΔА 2 + ... + ΔА n.

2. Ukážte „elementárny dodanok“ pokožky z hľadiska vytvorenia deyakoi funktsii (ako by mal vychádzať z mysle úloh), vypočítaného v najdôležitejšom bode všeobecného výsledku pre vytrvalosť jogína: ΔA i ≈ ƒ (ci) Δx i.

So známou blízkou hodnotou ΔA i predpokladajme, že oblúk je odpustený: oblúk pri malom oneskorení môže byť nahradený súzvukom, ktorý je ťahaný k sebe; Zmenu rýchlosti v malý dátum je možné vykonať veľmi rýchlo atď.

Otrimamo sa blíži k hodnote A v integrálnom súčte:

3. Shukan je hodnota A pred hranicou integrálneho súčtu, t.j. E.

Významy „metóda súčtov“, podobne ako bacimo, sa používajú pri prezentácii integrálu, podobne ako súčtu nekonečne veľkého počtu nekonečne malých čísel.

Schéma I lopty je zaseknutá pre nastavenie geometrického a fyzického zmäteného speváckeho integrálu.

Ďalšia schéma je len modifikáciou schémy I a nazýva sa „diferenciálna metóda“ alebo „metóda videnia neobmedzene malých rôznych rádov“:

1) na vidrizka [a; b] vibramálne konzervatívne hodnoty x a zobrazenie zmien na displeji [a; NS]. Všeobecne platí, že hodnota A sa stáva funkciou x: A = A (x), tj, Vvazhamo, časť shukanskej hodnoty A nie je funkciou A (x), de x є je jedným z parametrov hodnoty A;

2) poznáme hlavnú časť prírastku ΔA pri zmene x o malú hodnotu Δx = dx, t.j. je známy diferenciál dA funkcie A = A (x): dA = ƒ (x) dx, de úlohy, funkcie zmeny (tu môžete tiež požiadať o pomoc);

3) vvazayuchi, scho dA ≈ ΔA pri Δх → 0, šukan pozná hodnotu integrácie dA v intervaloch od a do b:

41.2. Výpočet plochy plochých figúr

obdĺžnikové súradnice

Ako je už stanovené (div. „Geometrický senzorický integrál“), oblasť zakriveného lichobežníka, usporiadané „vishche“ osi abscis (ƒ (x) ≥ 0), späť k spoločnému speváckemu integrálu:

Vzorec (41.1) je lemovaný uložením schémy I - metóda súčtu. Vzorec (41.1), vikristická schéma II. Zakrivené lichobežník nech je obklopený čiarami y = ƒ (x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (div. Obr. 174).

Pre známu oblasť S lichobežníka vikonu nástupu operácie:

1. Vіzmemo dovіlne x Î [a; b] a budeme predpokladať, že S = S (x).

2. Damo argument x pririst Δx = dx (x + Δx є [a; b]). Funkciou S = S (x) je dosiahnuť zvýšenie ΔS, čo je oblasť „elementárneho zakriveného lichobežníka“ (jeho malý obrázok).

Diferenciálna plocha dS є hlavná časť prírastku ΔS pri Δх → 0, і, samozrejme, v oblasti cesty obdĺžnika so základňou dx a výškou y: dS = y dx.

3. Integrácia diferenciácie rovnosti v hraniciach od x = a do x = b, posadnutý

Krivočiary lichobežník je očividne zaoblený „pod“ osou Ox (ƒ (x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Vzorce (41.1) a (41.2) je možné spojiť do jedného:

Plocha figúrok obklopená krivkami y = = fι (x) і у = ƒг (x), čiarami x = a і х = b (za ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) ( div. Obr. 175), môžete vedieť za vzorcom

Ak je postava plochá, mám „skladací“ tvar (div. Obr. 176), potom rovný, rovnobežný s osou Oy a potom rozrezaný na kúsky, aby bolo možné použiť rovnaké vzorce.

Pretože je zakrivené lichobežník obklopené priamkami y = s і y = d, vіssu Oy a neprerušene zakrivené х = φ (y) ≥ 0 (div. Obr. 177), potom je za vzorcom oblasť її

Ja, narézny, ako krivočiary lichobežník obklopený krivkou, danou parametricky

rovné čiary x = aih = bі vіssu Oh, potom je oblasť behind za vzorcom

de a a β sú určené z ekvivalencie x (a) = a і x (β) = b.

Zadok 41,1. Poznáte oblasť figúrky, obklopenú vissu Oh a graf funkcie y = x 2 - 2x pri x.

Riešenie: Figura maє viglyad, obrázky na dieťati 178. V oblasti S je známe:

Zadok 41.2. Spočítajte plochu figúrky obklopenú elipsou x = a cos t, y = b sin t.

Rozhodnutie: Je známe zo skupiny 1/4 oblasti S. Tu x sa zmení z 0 na a, z toho istého sa t zmení z 0 na 0 (div. Obr. 179). je známe:

V takej hodnosti. Preto S = π аВ.

polárne súradnice

Poznáme oblasť S zakriveného sektora, tj. Plochý obrazec, prekladaný neprerušovanou čiarou r = r (φ) a dvoma zámenami φ = a і φ = β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - diferenciálna metóda.

1. Vezmime časť oblasti Shukan S ako funkciu kut φ, to znamená S = S (φ), ak a ≤ φ ≤ β (ak φ = a, potom S (a) = 0, ak φ = β, potom S (β) = S).

2. Ak súčasný polárny rez φ získa nárast Δφ = dφ, potom sa oblasť AS zvýši na oblasť „elementárneho zakriveného sektora“ OAB.

Diferenciál dS є hlavná časť prírastku ΔS pri dφ → 0 a oblasti vozoviek kruhového sektora O AU (na najmenších výhrach je tieňované) polomeru r so stredovým okrajom dφ. Tom

3. Integrácia zarovnania medzi hranicami od φ = a do φ = β,

Zadok 41,3. Spoznajte oblasť figúrok, obklopenú „trojkvetým trójanom“ r = acos3φ (div. Obr. 181).

Rozhodnutie: Je známe, že je známa plocha polovice jednej šupky „Trojandi“, to znamená 1/6 celej plochy figúrky:

to je. Otzhe,

Keď je postava plochá, „poskladám“ tvar a potom postupne vychádzam z pólov a idem do zakrivených sektorov, kým neopravím vzorec pre známu oblasť. Takže pre figúru obrázok o dieťati 182, maєmo:

41,3. Výpočet oblúka plochého krivého

obdĺžnikové súradnice

Nech je v súradniciach priamky daná plochá krivka AB, rovná sa (x), de a≤x≤ b.

Od čiary oblúka AB hranica rastie, až kým nie je pragmatická, kým sa do oblúka nezapíše lamanová čiara, ak počet pruhov lamana nie je medzi rastom a počet pruhov najväčšej lanky je pragne. na nulu. Ukáže sa, že ak je funkcia y = ƒ (x) і її zdedená z "= ƒ" (x) nie je prerušená spôsobom [a; b], potom je krivka AV väčšia ako dovzhinu, rіvnu

Zastosuєmo schéma I (metóda súčtu).

1. Bodky x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Dovzhin jordi (Abolanka Lamano) ΔL 1 môže byť známy pre vetu Pythagoras s trikotom s nohami Δx i і Δу i:

Podľa Lagrangeovej vety o kintsevových extra funkciách Δу i = ƒ "(з i) Δх i, de ci є (x i-1; x i).

a koniec koncov lamanos M 0 M 1 ... M n cesta

3. Lina l krivý AB, pre viznachennyam, cesta

Pozoruhodné je, že keď ΔL i → 0 tiež і Δx i → 0 ΔLi = aj ja, | Δx i |<ΔL i).

funkciu neprerušované počas [a; b], aby za drezom nebola prerušená funkcia ƒ "(x). Otzhe, іnuє medzi integrálnym súčtom (41,4), ak max Δx i → 0 :

V takom poradí, ale v rýchlom zázname l =

Ak je rovnica krivky AB daná v parametrickom tvare

de x (t) і y (t) - spojité funkcie s neprerušovanými funkciami і х (а) = а, х (β) = b, potom dovzhina l krivý AV je za formulkou

Vzorec (41.5) je možné orezať zo vzorca (41.3) nastavením x = x (t), dx = x "(t) dt,

Zadok 41,4. Zoznámte sa s večerou na kôl Radiusa R.

Riešenie: Poznáme 1/4 časti її dozhini z bodu (0; R) do bodu (R; 0) (div. Obr. 184). Tak ako potom

znamenať, l= 2π R. Ak napíšete podiel v parametrickom zobrazení x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π), potom

Výpočet oblúka môže byť založený na diferenciálnej metóde. Ukáže sa, že je možné odmietnuť vzorec (41.3) so stagnujúcou schémou II (diferenciálna metóda).

1. Hodnota x є [a; b] і dobre viditeľný displej [a; NS]. Nová hodnota l nová funkcia od x, tobto l = l(NS) ( l(A) = 0 a l(B) = l).

2. Poznáme diferenciál dl funkcie l = l(X) pri zmene x o malú hodnotu Δx = dx: dl = l„(X) dx. Vieme l"(X), nahraďte nekonečne malý oblúk MN súzvukom Δ l, Zmršťovací oblúk qiu (div. Obr. 185):

3. Integruje dl medzi a až b, posadnutý

parita sa nazýva oblúkový diferenciálny vzorec v obdĺžnikových súradniciach.

Takže yak y "x = -dy / dx, potom

Zostávajúci vzorec є Pythagorova veta pre neurčito malú trojkolku MST (div. Obr. 186).

polárne súradnice

Nech je krivka AB nastavená rovnako v polárnych súradniciach r = r (φ) a≤φ≤β. Je pravda, že r (φ) і r "(φ) nie je prerušený smerom [a; β].

Ak je v rovniciach x = rcosφ, y = rsinφ, kde sa používajú polárne a karteziánske súradnice, parameter je rovný φ, potom krivku AB je možné nastaviť parametricky

Zastosovuchiho vzorec (41,5),

Zadok 41,5. Poznáte množstvo kardioidu r = = a (1 + cosφ).

Riešenie: Kardioidná r = a (1 + cosφ) ma viglyad, obrazy na dieťati 187. Vona je symetrická k polárnej osi. Poznáme polovicu z celkového množstva kardioidií:

V tomto poradí 1 / 2l = 4a. Preto l = 8а.

41,4. Vypočítaná obsyagu tila

Výpočet sumy peňazí pre každú oblasť paralelného pererezivátu

Nepotrebujete poznať objem podlahy V, navyše v oblasti S prierezu podlahy oblasti kolmé na hlavnú os, napríklad os Ox: S = S (x), a ≤ x ≤ b.

1. Prostredníctvom dostatočného bodu x є nakreslite rovinu Π, kolmú na os Ox (div. Obr. 188). Pokiaľ ide o S (x), oblasť je prekročená o celú oblasť; S (x) je doma skvelý a pri prebaľovaní sa mení bez prerušenia. Prostredníctvom v (x) má zmysel vymeniť si časť tela, ako klamať viac ako oblasť P. x] hodnota v je funkciou x, to znamená v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V).

2. Poznáme diferenciál dV funkcie v = v (x). Win je „elementárna guľa“ podlahy, ležiaca medzi rovnobežnými oblasťami, ktorá v bodoch x і х + Δх zatieňuje Ox, čo je možné približne prevziať valec so základňou S (x) і výškou dx. K tomu diferenciálny objem dV = S (x) dx.

3. Šukanovi je známa hodnota V cestou integrácie dA v hraniciach od a do B:

Otrimanov vzorec sa v oblasti rovnobežných krížení nazýva vzorec obsyagu tila.

Zadok 41 .6. Poznáte obsyag elipsoyda

Riešenie: Rozsіkayuchi elіpsoїd oblasť, paralelná oblasť Oyz a na prvom mieste ≤х≤ a), otrimaєmo elipsa (div. obr. 189):

Oblasť elipsy

Tom, podľa vzorca (41,6),

Obsyag tila obal

Nepribližujte sa k osi Oh, aby ste obalili zakrivené lichobežník, obklopené neprerušovanou čiarou y = ƒ (x) 0, s dlhou a ≤ x ≤ bі rovnými čiarami x = a і x = b (div. Obr. 190 ). Otrimana z obalu postavy sa nazýva obal. Peretin ts'go til s oblasťou kolmou na os Ox, ťahanou cez určitý bod x osi Ox (x Î [A; b]), є colo s polomerom у = ƒ (x). Z toho istého S (x) = π y 2.

Pozná sa vzorec Zastosovyuchi (41.6) obsyagu til v oblasti rovnobežných križovatiek

Pretože je zakrivené lichobežník obklopené grafom, nie bez prerušenia funkcie = φ (y) ≥ 0 a priamky x = 0, y = c,

y = d (s< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Zadok 41,7. Ak chcete poznať objem til, nastavte ho na zábaly figúrok, obklopené čiarami okolo osi Oy (div. Obr. 191).

Rozhodnutie: Pre vzorec (41,8) poznáme:

41,5. Odhadovaný obal povrchu

Nech krivka AB є grafová funkcia y = ƒ (x) ≥ 0, de x є [a; b], a funkcia y = ƒ (x) і її je zdedená z "= ƒ" (x) nie je nijako prerušená.

Poznáme oblasť S povrchu, nastavenú na obaly zakrivenej AB blízko osi Ox.

Zastosuєmo schéma II (diferenciálna metóda).

1. Prostredníctvom určitého bodu x є [a; b] nakreslite oblasť Π kolmú na os Ox. Plocha Π preteká povrchom obalu okolo kolíka s polomerom y = ƒ (x) (div. Obr. 192). Hodnota S povrchovej časti obrázku je zabalená, ale aby ležala viac ako plocha, je funkciou x, t.j. S = s (x) (s (a) = 0 a s (b) = S).

2. Damo argument x pririst Δx = dx. Prostredníctvom bodu x + dx є [a; b] nakreslí sa tiež rovina kolmá na os Ox. Funkciou s = s (x) je získať zvýšenie Az, ktoré je na malom zobrazené divákom „Pask“.

Poznáme diferenciál oblasti ds, opravím to peretínom figúry, zvýšime kužeľ, opravím. dl, Polomeri sa rovná y + dy. Plocha druhého povrchu cesty ds = π (Y + y + D Y) dl=2π o dl + π dydl... Otvorte televízny dydl ako nekonečne malú objednávku, nižšie ds, prijateľné ds = 2 π o dl, Abo, tak ako

3. Integrácia diferenciácie rovnosti v hraniciach od x = a do x = b, posadnutý

Ak je krivka AB daná parametrickými ekvivalentmi x = x (t), y = y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, potom vzorec (41,9) pre plochu obtočeného povrchu

Zadok 41,8. Poznáte plochu chladiča s polomerom R.

Zadok 41,9. daný cykloid

Ak chcete poznať plochu povrchu, nastavte obaly okolo osi Oh.

Riešenie: Keď je obalená polovica oblúka, cykloid je okolo osi Ox, povrchová plocha je obalená.

41,6. Mechanické doplnky speváckeho integrálu

Robot zimnej sily

Nech sa hmotný bod M pohybuje premosťovaním osi Oh pred zmenou sily F = F (x) zarovnanej rovnobežne s osou. Robot vibrujúci silou, keď je bod M posunutý z polohy x = a v polohe x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Butt 41,10 Robot Yaku potrebuje vynaložiť, schob na natiahnutie pružiny o 0,05 m, ak je sila 100 N na natiahnutie pružiny o 0,01 m?

Rozhodnutie: Za Hookovým zákonom je sila pružiny, ktorá napína pružinu, úmerná rozťahovaniu x, t.j. F = KX, de k je koeficient proporcionality. Na konci umývacej úlohy ťahá sila F = 100 N pružinu na x = 0,01 m; to isté, 100 = k * 0,01, hviezdy k = 10 000; to isté, F = 10 000 x.

Shukana robota na základe vzorca (41.10)

Zadok 41.11. Vedieť robotovi, ak je potrebné ho minúť, previesť cez okraj drážky zvislý valcový zásobník s výškou H m a polomerom základne R m.

Rozhodnutie: Robot, ktorý je schopný zapnúť výšku výšky výšky h, cestu do výšky h. Všetky rastové gule v nádržiach sú umiestnené na nižších svahoch a výška zdvihu (k okraju nádrže) malých loptičiek nie je rovnaká.

Na overenie stanoveného označenia sa používa schéma II (diferenciálna metóda). Súradnicový systém je zavedený tak, ako je to naznačené na málo 193.

1. Robot, scho vidieť vikachuvannya z tanku loptu ridini tovshchinoyu x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Je známa hlavná časť prírastku ΔA pri zmene x o hodnotu Δx = dx, tj. Je známy diferenciál dA funkcie A (x).

Zvazhayuchi na krykhta dx vazhaєmo, takže „elementárna“ guľa linky je umiestnená na jednom meradle (smerom k okraju nádrže) (div. Obr. 193). Todi dA \ u003d dp * x, de dp - ktorá guľa ts'go; vіn dorіvnyu g * g dv, de g - zrýchlené vіnnogo fadіnnya, g - zdatnosť rіdini, dv - obsyag „elementárnej“ gule rіdini (pre malé vízie), to znamená dp = gg dv. Dodržiavajte určené loptičky rіdini, samozrejme, dorіvnyuє π R 2 dx, de dx - výška valca (gule), π R 2 - oblasť vášho spánku, tobto. E. Dv = π R 2 dx.

V takom poradí dp = gg π R 2 dx a dA = gg π R 2 dx * x.

3) integrácia rozdielu medzi hranami od x = 0 do x = H, je to známe

Shlyakh, pasáže til

Hmotný bod nech sa pohybuje po priamke meniacou sa rýchlosťou v = v (t). Poznáme cestu S, prechádza hodinu od t 1 do t 2.

Rozhodnutie: Z fyzickej zmeny jednoduchého pohľadu, z hodiny na bod v jednej priamke, „rýchlosť priamky na ceste k jednoduchej trase za hodinu“, to znamená. Rozpozná sa integrácia rozdielu medzi hranicami od t 1 do t 2

Vzorec je zrejmé, že je možné vylúčiť pomocou schémy I alebo II, v ktorej je uložený spevácky integrál.

Zadok 41.12. Poznáte cestu, ktorá prejde za 4 sekundy k klasu, pretože rýchlosť podlahy je v (t) = 10t + 2 (m / s).

Rozhodnutie: Ak v (t) = 10t + 2 (m / s), potom prechádzka, prejde iba klasom (t = 0) do konca 4. sekundy, cesta

Zverák Ridini na zvislej doske

Očividne je kvôli Pascalovmu zákonu priľnavosť čiary na vodorovnej doske drahou čiarou priamky, keď platím poplatok, a podľa hmotnosti - hĺbka čiary od zvislého povrchu Sidina, je, E. P * = h * de g * podlaha, g - hrúbka čiary, S - plocha dosky, h - hĺbka zeme.

Pre tento vzorec môžete shukati uchopenie čiary na zvisle vyvrtanej doske tak, aby bod ležal na malých svahoch.

Nechajte dosku vyvŕtať vertikálne do cesty, obklopenú čiarami x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) і y 2 = ƒ 2 (x); vibranov súradnicový systém je taký, ako je uvedené na malom 194. Na poznanie úchopu Ridiniho na platni sa používa schéma II (diferenciálna metóda).

1. Nech časť hodnoty shukanoi P є funguje od x: p = p (x), tj. P = p (x) - zverák na časti platne, podobne ako ten [a; x] hodnota vrásky x, de x є [a; b] (p (a) = 0, p (b) = P).

2. Damo argument x pririst Δx = dx. Funkcia p (x) na výhru? P (pre dieťa - malá gulička dx). Poznáme diferenciálny dp funkcie. Hrkajúc na dx krykhta, budeme blízko štvorca s obdĺžnikom, ktorého všetky škvrny sa nachádzajú na rovnakom glybíne, to znamená, že platňa je vodorovná.

Todi za Pascalovým zákonom

3. Integrácia orezania parity v hraniciach od x = a do x = B,

Zadok 41,13. Viznachit veľkosť záberu pohonu na kolese, zvisle v dráhe, kde polomer je R, a stred Pass na povrchu pohonu (div. Obr. 195).

Statický moment S y systému osi

Ako kriví masi rozpodіlenі bezperervnim hodnosť uzdu deyakoi, potom pre rotáciu statického momentu integrujte.

Nekhai y = ƒ (x) (a≤ x≤ b) - hodnota materiálovej krivky AB. Budeme vvvat її jednostranné s postlineárnou priamkou g (g = const).

Pre predchádzajúci x є [a; b] na krivke AB je bod so súradnicami (x; y). Viditeľné na krivke elementárneho dl, aby ste pomstili bod (x; y). Todi masa tsієї dіlyanka dorіvnyu g dl. Prijateľné dl je blízko bodu, zo vzdialenosti od osi Oh k chrbtu. Diferenciál statického momentu dS x („elementárny moment“) bude vhodný pre g dly, tj DS x = g dlу (div. Obr. 196).

Svidsy vyplyaє, ale statický moment S x zakrivený AB od nápravy Oh dorivnyu

Podobne poznáme S y:

Statické momenty S x і S y krivé umožňujú ľahké umiestnenie centra vagi (stredu hmoty).

Stred plochej krivky ťažkého materiálu y = ƒ (x), x Î sa nazýva bod oblasti, keď je útočná sila Volodya: ak je v celom bode stredu daná celá hmotnosť m pokrivená, potom statická moment dráhy bodu je ako vždy súradnica krivá y \ u003d ƒ (x) je veľmi podobná osi. Označme C (x c; y c) stred vagi krivky AB.

Stred pošvy by mal byť rovnaký Zvidsi

Výpočet statických momentov a súradníc stredu wagi plochej figúry

Nech je daná hmotná plochá postava (doska), obklopená krivkou y = ƒ (x) 0 a priamkami y = 0, x = a, x = b (div. Obr. 198).

Budeme brať do úvahy, že povrch dosky je trvalý (g = konšt.). Todi masa “všetky dosky sú dvere g * S, t.j. E Viditeľné elementárne vyžarovanie platne v blízkosti viglyadu, neobmedzene vysoký vertikálny smog a bude k nemu pristupovať priamy pohyb.

Teraz môžete jogog dorivnyuє g ydx. Ťažisko obdĺžnika Z leží na priereze uhlopriečok obdĺžnika. Bod C ide od osi Ox k 1/2 * y a od osi Oy k x (zatvorenie; presnejšie v bode x + 1/2 Δx). Todi za elementárne statické momenty osí Oh a Oy

Otzhe, centrum súradníc wagi maє

Hodnoty integrálu (OI) sú široko používané v praktických doplnkoch matematiky a fyziky.

V dôsledku dňa sa v geometrii, mimo OI, nachádzajú oblasti jednoduchých postáv a skladacích plôch, objemy obalových a veľkoplošných tvarov, viac kriviek v oblasti a v priestore.

Fyzika a teoretická mechanika OI sa používajú na výpočet statických momentov, hmotnosti a centier hmotností kriviek a povrchov materiálu, na výpočet robotickej sily pozdĺž zakrivenej dráhy a in.

Plocha plochých figúrok

V karteziánskej obdĺžnikovej súradnicovej sústave nemá plochú figúrku $ xOy $ v hornej časti je obklopená krivkou $ y = y_ (1) \ vľavo (x \ vpravo) $, v spodnej časti - krivkou $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $, a na pravej strane zvislými čiarami $ x = a $ і $ x = b $ zrejme. V horlivej vipádovej oblasti takejto figúrky sa otočte o ďalší OI $ S = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) \ left (x \ right) -y_ ( 2) \ vľavo (x \ vpravo) \ vpravo) \ cdot dx $.

Plochá postava v karteziánskom obdĺžnikovom súradnicovom systéme $ xOy $ je tiež obklopená krivkou $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $ napravo, krivkou $ x = x_ (2) \ left ( y \ right) $, a pod a nad horizontálnymi rovnými čiarami $ y = c $ і $ y = d $ ako keby, potom sa plocha takéhoto obrázku otočí za ostatné OI $ S = \ int \ limity _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) \ left (y \ right) -x_ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

Nemajú plochý obrázok (vignutový sektor), ktorý je možné zobraziť v polárnych súradnicových systémoch, je určený grafom spojitej funkcie $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $, ako aj dvoma prestupnými uzlami prejsť $ \ phi = \ alpha $ i $ \ phi = \ beta $ je správne. Vzorec na výpočet plochy takého zakriveného sektora viglyad: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2 ) \ left (\ phi \ right) \ cdot d \ phi $.

Dovzhin oblúk krivý

$ \ Vľavo [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ krivka je nastavená na rovné $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $ v polárnych súradnicových systémoch, potom sa oblúkový oblúk vypočíta podľa dodatočného OI $ L = \ int \ limits _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) + \ rho " ^ (2) \ left (\ phi \ right)) \ cdot d \ phi $.

Ak je krivke daná rovná $ y = y \ left (x \ right) $ na riadku $ \ left $, potom sa oblúkový oblúk vypočíta pre dodatočnú OI $ L = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ vľavo (x \ vpravo)) \ cdot dx $.

$ \ Vľavo [\ alpha, \; \ Beta \ right] $ krivka je daná parametricky tak, že $ x = x \ vľavo (t \ vpravo) $, $ y = y \ vľavo (t \ vpravo) $, potom sa pre ďalší OI vypočíta oblúk її $ L = \ int \ limity _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x " ^ (2) \ left (t \ right) + y" ^ (2) \ left (t \ right)) \ cdot dt $.

Výpočet obsyagu tila za oblasťami paralelného pererezivu

Nepotrebujeme poznať objem priestrannej podlahy, súradnice bodov, s ktorými sme spokojní s $ a \ le x \ le b $ a pre ktoré je v každej oblasti krížik v $ S \ vľavo (x \ right) $ s oblasťami kolmými na os $ Ox $.

Vzorec na výpočet takejto tila maє viglyad je $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Obsyag tila obal

Poďme na $ \ left $, je daná nezáporná neprerušovaná funkcia $ y = y \ left (x \ right) $, ktorá vytvára zakrivený lichobežník (CRT). Ak obalíte MCT okolo osi $ Ox $, potom predstierate, že ste spravodliví, nazývaný zalamovaním.

Numerický obal obyagu tila є obmedzíme počet očíslovaných objemov tela za danými oblasťami paralelných prechodov. Rovnako ako vzorec mavericku $ V = \ int \ limits _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ vľavo (x \ vpravo) \ cdot dx $.

V karteziánskej obdĺžnikovej súradnicovej sústave nemá plochú figúrku $ xOy $ v hornej časti je obklopená krivkou $ y = y_ (1) \ vľavo (x \ vpravo) $, v spodnej časti - krivkou $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $, de $ y_ (1) \ left (x \ right) $ і $ y_ (2) \ left (x \ right) $ - žiadna funkcia bez prerušenia, a nesprávne a pravé zvislé čiary $ x = a $ і $ x = b $ určite. Todi obsyag til, set to wraps around the axis $ Ox $, turn OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) ^ (2) \ left (x \ right) -y_ (2) ^ (2) \ left (x \ right) \ right) \ cdot dx $.

Nemáte plochú figúrku v karteziánskom obdĺžnikovom súradnicovom systéme $ xOy $ vpravo je obklopená krivkou $ x = x_ (1) \ vľavo (y \ vpravo) $, v zlom - krivka $ x = x_ ( 2) \ left (y \ right) $, de $ x_ (1) \ left (y \ right) $ і $ x_ (2) \ left (y \ right) $ - no function without interruption, and below and above by horizontálne čiary $ y = c $ і $ y = d $ určite. Todi obsyag til, obdarený obalmi figúrok okolo osi $ Oy $, otoč OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) ^ (2) \ left (y \ right) -x_ (2) ^ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

Oblasť povrchu je zabalená

Poďme na $ \ left $ a nezápornú funkciu $ y = y \ left (x \ right) $ s neprerušeným jednoduchým $ y "\ left (x \ right) $ je daný. $, Potom je sám nastavený len na zalamovanie , a oblúk MCT je na jeho povrch. \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

Pripúšťa sa, že krivka $ x = \ phi \ left (y \ right) $, de $ \ phi \ left (y \ right) $ - je uvedená na okraji $ c \ le y \ le d $ je non -negatívna funkcia, zalomte okolo osi $ Oy $. Na konci rozsahu plochy nastaveného tela je obal skrútený OI $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limits _ (c) ^ (d) \ phi \ left (y \ right) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ left (y \ right)) \ cdot dy $.

Fyzické doplnky OI

Pre detektor vzdialenosti v čase v hodine $ t = T $ so zmenou tekutosti hmotného bodu $ v = v \ vľavo (t \ vpravo) $ od hmotného bodu, keď pokles začína v čase hodiny $ t = t_ (0) $, vicoristom je OI $ S = \ int \ limits _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
Na výpočet robotickej sily platí, že $ F = F \ vľavo (x \ vpravo) $, aby sa dosiahol hmotný bod, aby sa pohyboval po priamke od osi $ Ox $ z bodu $ x = a $ do bodu $ x = b $ (priamo to znamená dostať sa z cesty) vikoristovuyu OI $ A = \ int \ limits _ (a) ^ (b) F \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Statické momenty zo súradnicových osí materiálovej krivky $ y = y \ vľavo (x \ vpravo) $ v intervale $ \ vľavo $ sa otáčajú podľa vzorcov $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limity _ (a ) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limity _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.
Stred krivého materiálu je bod, v ktorom je celý svet šikovne zoradený do takej polohy, že statické momenty bodu pozdĺž súradnicových osí sú prispôsobené všeobecným statickým momentom všetkých krivých celkov ako celku. .

Vzorce na výpočet súradníc do stredu plochej zakrivenej hmoty $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $ і $ y_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) (\ int \ limity _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ vľavo (x \ vpravo)) \ cdot dx) $.

Statické momenty hmotnej plochej figúrky v zobrazovači CMT s počtom súradnicových osí sa otáčajú podľa vzorcov $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx $ і $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Súradnica stredu masívnej plochej figúry v divákovi MCT, nastavená krivkou $ y = y \ left (x \ right) $ do intervalu $ \ left $, vypočítaného podľa vzorcov $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limits _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right ) \ cdot dx) $ і $ y_ (C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limits _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot dx) $.

Téma 6.10. Geometrické a fyzické doplnky k speváckemu integrálu

1. Plocha zakriveného lichobežníka, preložená krivkou y = f (x) (f (x)> 0), rovnými čiarami x = a, x = b a obruba [a, b] os Ox, vypočítané podľa vzorca

2. Plocha figúrok obklopená krivkami y = f (x) і y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Ak je krivka daná parametrickými rovnakými parametrami x = x (t), y = y (t), potom oblasť zakriveného lichobežníka, ktorý je obklopený priamkou a priamkami x = a, x = b, sa nachádza za vzorcom

4. Nekhai S (x) - plocha podlahy je kolmá na os Ox, za vzorcom sa nachádza iba časť podlahy položená medzi oblasťami kolmej osi x = a і x = b

5. Nechoďte zakrivené lichobežník, obklopený krivkou y = f (x) і rovné čiary y = 0, x = a і х = b, zabaľte okolo osi Oh, takto sa vypočítava obal podľa vzorca

6. Nechoďte zakrivené lichobežník, obklopené krivkou х = g (y) і

rovné čiary x = 0, y = c і y = d, zalomenie okolo osi O y, todі zalomenie obalového obvodu sa vypočíta podľa vzorca

7. Ak je plochá krivka privedená do obdĺžnikovej súradnicovej sústavy a je daná rovná y = f (x) (alebo x = F (y)), potom je zisk oblúka určený vzorcom

Головна> Prednášky

Prednáška 18. Doplnky speváckeho integrálu.

18.1. Výpočet plôch plochých figúr.

Zdanlivo spevavý integrál na okraji oblasti zakriveného lichobežníka, obklopený grafom funkcie f (x). Ak je graf šitia nižší ako os vola, tobto f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, potom je oblasť označená „+“.

Pokiaľ ide o znalosť celkovej plochy, vzorec je víťazný.

Oblasť figurín, obklopenú deyakimskými líniami, možno poznať za pomoci speváckych integrálov, ako aj zo spoločných línií.

Zadok Poznáte oblasť figúrok obklopenú čiarami y = x, y = x 2, x = 2.

Oblasť Shukana (na obrázku tieňovaná) nájdete za vzorcom:

18.2. Znalosť oblasti krivého sektora.

Pre známu oblasť zakriveného sektora je zavedený polárny súradnicový systém. Rivnyannya kríva, čo bude prepletať sektor v celom súradnicovom systéme, pričom viglyad  = f (), de  - dovzhyna radius - vektory, ale jeden pól od nasledujúceho bodu krivky, a  - rádius nahila - vektor k polárnemu ...

Plochu zakriveného sektora nájdete za vzorcom

18.3. Výpočet krivky je krivý.

y y = f (x)

S i y i

Dovzhina lamanoi linea, yaka vidpovidak duzi, možno poznáte jaka
.

Todi dovzhina arc dorivnyu
.

Tri geometrické mirkuvan:

V rovnakú hodinu

Todi sa dá ukázať

Tobto

Ak je krivka zadaná parametricky, potom na základe pravidiel pre výpočet starého parametricky je

de x =  (t) і у =  (t).

čo je dané priestranná krivka, І х =  (t), у =  (t) і z = Z (t), potom

Je nastavená Yaksho krivka polárne súradnice potom

,  = f ().

zadok: Poznáte výšku vkladu venovanej rodine x 2 + y 2 = r 2.

1 spôsob Vislovimo z rіvnyannya zminnu.

Viem, že pôjdem

Todi S = 2r. Otrimalnovydom formula dozhini cola.

2 spôsob Ak dostaneme čiaru v polárnych súradnicových systémoch, potom je posadnutá: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, takže funkcia  = f () = r,
Todi

18.4. Vypočítaný objem

Výpočet obsyagu tila za rôznymi oblasťami paralelného pererezivu.

Nerobte si starosti s problémom V. Oblasť akéhokoľvek priečneho prekrývania tela Q vo forme neprerušovanej funkcie Q = Q (x). Rozib'єmo tilo na "shari" s priečnymi ohybmi, ktoré prechádzajú bodmi x i rozbittya vіdrizka. Oscilácie pre nejaký prechodný typ funkcie Q (x) nie sú prerušované, potom sú akceptované pre najnovšiu s najmenšou hodnotou. Je príznačné, že їх je odvodené od M i і m i.

Ak sa na cich prevráti najviac a najmenšie, ak sú valce postavené s rovnobežnými osami, potom budú výkyvy valcov navzájom podobné M i x i i m i x i tu i - x i = x.

Ak ste poskytli také povzbudenie pre všetky typy rositty, vyberte fľaše, žiadosti o tieto informácie
і
.

Keď je pragmatický až nulový krokus rosbitta , tsi sumi môže spôsobiť zagalny hranicu:

V takom poradí možno obsyag tila nájsť v poznatkoch za vzorcom:

V malom počte vzorcov sú tie, ktoré sú potrebné pre znalosť funkcie Q (x), nevyhnutné pre znalosť funkcie, ale pre skladacie telesá sú problematické.

zadok: Viete o polomere R. um kuli R.

Pri priečnych priečnych klapkách coula je cola s premenlivým polomerom. Súčasne zo súradníc toku x polomer tsei postupujte podľa vzorca
.

Funkcia Todi oblasti overretinu, ktorá viglyad: Q (x) =
.

Otrimuєmo ob'єm kuli:

zadok: Vedieť o veľkej veľkosti štvorca priestoru S.

Keď sú v určitom časovom období prevrátené oblasťami kolmými na výšku, môžeme vidieť figuríny, niektoré z nich. Koeficienty pre potreby týchto údajov pre dopravu x / H, de x - idú z oblasti na vrchol pyramídy.

Geometria domu, kde sa pre pohodlie námestia berie do úvahy plocha podobných čísel, tobto

Budeme schopní rozpoznať funkciu oblastí sieťoviny:

Je známe o obsyag pіramidi:

18.5. Obsyag do zabalenia.

Krivka je viditeľná, daná sa rovná y = f (x). Pripúšťa sa, že funkcia f (x) nie je prerušovaná dlhší čas. Keď kreslím krivočiary lichobežník so základmi a a b omotajte okolo osi tilo balenie.

y = f (x)

Fragmenty kožného peretínu s plochou x = konšt. Kolomeru polomeru
Potom sa za formulou otriman vische ľahko nachádza obal obsyag tila:

18.6. Oblasť povrchu je zabalená.

M i B

hodnota: Obal na plochý povrch Krivý AB blízko danej osi nazýva hranicu, kým plocha povrchu obalu lamanichov, zapísaná v krivke AB, nie je posunutá nadol na nulu, najbežnejšie ziny lamanichov.

Zdvihnite oblúk AB na n častí podľa bodov M 0, M 1, M 2, ..., M n. Súradnice vrcholov pochádzajú z rimano lamano, súradnice x i і y i. Keď je omotaný okolo osi lamano, je viditeľný povrch, ktorý je možné zložiť z povrchov bichy skrátených kužeľov, ktorých oblasťou je cesta P i. Qia oblasti môže byť známa vzorcom:

Tu S i je koža jordi.

Zastosovova Lagrangeova veta (div. Lagrangeova veta) Pred vyhlásením
.

1. Plocha plochých figúrok.

Oblasť zakriveného lichobežníka, obklopená nezápornou funkciou f (x), Vissy abscis a rovno x = a, x = b, Začnite jak S = ∫ a b f x d x.

Oblasť krivej hrazdy

Oblasť figúrok, prepojená funkciou f (x),, Začnite podľa vzorca S = Σ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - Σ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i- nulové funkcie. Inými slovami, je potrebné počítať plochu stredu figurín, je potrebné sa vymaniť funkčné nuly f (x)čiastočne integrovať funkciu f na koži viyshova význačnosť stálosti znaku, oblasť okolo okrajov integrálu v smere, na niektorých funkciách f dostávajte znamenia a rozpoznajte ich od prvého priateľa.

2. Plocha zakriveného sektora.

Oblasť krivého sektora ρ = ρ (φ) v polárnych súradnicových systémoch, de ρ (φ) - bez prerušenia a bez záporného zapnutia [α; β] funkciu. Figura, obklopený krivkou ρ (φ) a výmeny φ = α , φ = β Hovorí sa mu zakrivený sektor. Plocha zakriveného sektora cesty S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.

3. Obsyag tila obal.

Obsyag tila obal

Nechajte ho omotať okolo osi OX zakrivené lichobežník, prekladajte bez prerušenia tvaru funkciu f (x)... Yogo obsyag otočiť vzorec V = π ∫ a b f 2 x d x.

Pred úlohami o znalosti objemu tela za oblasťou priečneho prepísania

Nehay tilo je položený medzi oblasťami x = aі x = b, A oblasť je orezaná oblasťou, takže prejdite bodom X, - bez prerušenia funkciu σ (x)... Todi yogo obsyag road V = ∫ a b σ x d x.

4. Dovzhina oblúk krivý.

Nedávajte krivku r → t = x t, y t, z t t = αі t = β otočíme podľa vzorca S = ∫ α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Dovzhina oblúk plochého krivého Zokrem, plochý krivý dovzhina, ako nastaviť na súradnicovú oblasť OXY rivnyannyam y = f (x), a ≤ x ≤ b, Swing podľa vzorca S = ∫ a b 1 + f 'x 2 dx.

5. Plocha povrchu obalu.

Plocha povrchu obalu Nechajte povrch obalu nastaviť na osovom OX grafe funkcie y = f (x), a ≤ x ≤ b, Fungujem f Pôjdem bez prerušenia na celý koniec. Skutočná plocha povrchu je obalená vzorcom Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f 'x 2 d x.