Podzemna etaža je naravnost na trgu. Vzporedna poravnava krivulj različnega reda Poravnava ravnih črt v odsekih

Krivulja drugačnega reda- geometrijsko mesto točke na ravnini, pravokotne koordinate

ki so zadovoljni z vnemo za ogled:

v tem primeru se najame eden od koeficientov a 11, a 12, a 22 ni enako nič.

Invariantne krivulje drugačnega reda.

Vrsta krivulje je pod 4 invariantami, ki kažejo spodaj:

Invariant na vrtenje in vrtenje koordinatnega sistema:

Invariant na rotacijo koordinatnega sistema ( napivinvariant):

Za transformacijo krivulj drugačnega reda pogledamo trdno telo A*S.

Zagalne enaka krivulji drugega reda izgleda takole:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Yakshcho A*C > 0 eliptični tip. Bodite bolj eliptični

rivnyannya - rang primarne elipse ali degenerirane elipse (točke) ali manifesta

elipsa (v tem primeru poravnava ne pomeni geometrijske slike na površini);

Yakshcho A*C< 0 , potem se pojavi ljubosumje v obliki ljubosumja hiperbolični tip. Bodite bolj hiperbolični

Črta izraža preprosto hiperbolo ali degenerirano hiperbolo (dve ravni črti, ki se izmenjujeta);

Yakshcho A * C = 0, potem črta drugačnega reda ne bo osrednja. Ta vrsta ljubosumja se imenuje

enako parabolični tip in izrazite na ravnini preprosto parabolo ali 2 vzporednika

(bodisi se izogibajte) ravnim črtam ali pa se upogibajte na površini dane geometrijske slike;

Yakshcho A*C ≠ 0, bo krivulja drugačnega reda

Ta članek nadaljuje temo ravnega izravnavanja na ravni površini: poglejmo to vrsto ravnega izravnavanja, kot je ravno izravnavanje. Navedimo izrek in ga dokažimo; Ugotovimo, kaj je drugače pri neposredni poravnavi in ​​kako narediti prehode iz hrbtne poravnave v druge vrste neposredne poravnave. Celotna teorija je podkrepljena z ilustracijami in najbolj praktičnimi navodili.

Naj ima ravnina premočrtni koordinatni sistem O x y .

1. izrek

Ne glede na to, ali je enaka prvemu koraku, izgleda kot A x + B y + C = 0 de A, B, C – aktivni števili (A in B nista enaki nič) pomenita ravno črto v pravokotnem koordinatnem sistemu. na letalu. Na svoj način, naj bo ravna črta v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini, je označena z enačbami, ki izgledajo kot A x + B y + C = 0 z danim nizom vrednosti A, B, C .

Dokončano

Izrek je naveden v dveh točkah in iz njih ga bomo dokazali.

1. Dokažimo, da raven A x + B y + C = 0 pomeni premico na ravnini.

Začnimo s točko M 0 (x 0 , y 0), katere koordinate označujejo nivo A x + B y + C = 0 . Izberi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Vidno z leve in desne strani nivoja A x + B y + C = 0 z leve in desne strani nivoja A x 0 + B y 0 + C = 0 je odstranjen nov nivo, ki izgleda kot A ( x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . To je enakovredno A x + B y + C = 0.

Odstranitev poravnave A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 є potrebna in zadostna mentalna pravokotnost vektorjev n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Breztočka M (x, y) torej določa premico v premočrtnem koordinatnem sistemu, pravokotno na smer vektorja n → = (A, B). Predvidevamo lahko, da temu ni tako, ampak da vektorji n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) niso bili pravokotni in enaki A (x - x 0) + B(y - y 0) = 0 ne bi bilo res.

Zato premica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 pomeni delovanje premice v premočrtnem koordinatnem sistemu na ravnino, nato pa enakovredno premica A x + B y + C = 0 pomeni enako ravno črto. Tako smo zaključili prvi del izreka.

1. Dokažimo, da je neposredno v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini možno nastaviti nivoje prve stopnje A x + B y + C = 0.

Določen v pravokotnem koordinatnem sistemu na pravokotni ravnini a ; točko M 0 (x 0 , y 0), skozi katero poteka ta premica, in usmeri normalni vektor te premice n → = (A, B) .

Predpostavimo tudi, da je točka M (x, y) ravna plavajoča vejica. V tem primeru sta vektorja n → = (A, B) і M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) pravokotna drug na drugega, njihova skalarna telesna enota pa je nič:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepišemo enačbo A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, pomembno C: C = - A x 0 - B y 0 in v končnem rezultatu je enačba A x + B y + C = 0 odstranili.

Tako smo razložili tako del izreka kot celoten izrek v celoti.

Viznachennya 1

Rivnyanna, kako izgleda A x + B y + C = 0 – tse zadnja soba naravnost na ravnini v premočrtnem koordinatnem sistemuOxy.

Na podlagi zgornjega izreka lahko sklepamo, da so naloge na ravnini fiksnega premočrtnega koordinatnega sistema, premice in vzporednice neločljivo povezane. V nasprotnem primeru neposredni izhod ustreza zunanji liniji; Direktna linija je podana direktni liniji.

Dokaz izreka tudi pokaže, da sta koeficienta A in B, ko se spremenita x in y, koordinati normalnega vektorja premice, ki je podana vzporednim nivojem premice A x + B y + C = 0 .

Oglejmo si posebno zadnjico ravne črte.

Naj bo nastavljena raven 2 x + 3 y - 2 = 0, ki je označena z ravno črto v danem pravokotnem koordinatnem sistemu. Normalni vektor premice je vektor n → = (2, 3) . Ravna linija na stolu je jasno definirana.

To lahko potrdimo tudi na naslednji način: premico, ko sedimo na stolu, označujejo vzporednice 2 x + 3 y - 2 = 0. Koordinate vseh točk dane premice označujejo to premico .

Enačbo λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 lahko odstranimo tako, da pomnožimo napačne dele neposredne enačbe s številom λ, ki ni enako nič. Izpeljava nivoja je enakovredna izhodnemu nivoju, zato na površini opisujemo isto premico.

Vicennia 2

Zunaj hodnika ravna črta– to je premica A x + B y + C = 0, v kateri sta števili A, B odšteti od nič. V drugih primerih je izravnava nerazumljivo.

Oglejmo si vse različice nevokalne dobesedne ravne črte.

1. Če je A = 0, ≠ 0, C ≠ 0, je skrita enačba videti kot B y + C = 0. Takšna nenavadna poravnava nastavi ravni koordinatni sistem O x y v ravno črto, ki je vzporedna z osjo O x, pri čemer pusti za seboj morebitno efektivno vrednost x, spremembo vrednosti y v prihodnosti -C B. V nasprotnem primeru navidezno nasprotni nivo premice A x + B y + C = 0, če je A = 0, B ≠ 0, določa geometrično lokacijo točke (x, y), katere koordinate sta enaki istemu številu -C B.
2. Če je A = 0, B ≠ 0, C = 0, je neenaka enačba videti kot y = 0. Takšna neenaka izravnava pomeni celotno absciso O x.
3. Če je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, je nemogoče določiti natančno poravnavo A x + C = 0, ki določa ravno črto, vzporedno z ordinatno osjo.
4. Naj bo A ≠ 0, B = 0, C = 0, potem bo neenakomerna poravnava videti kot x = 0, in to je poravnava koordinatne črte O y.
5. Recimo, ko je A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, je enačba zunaj sveta videti kot A x + B y = 0. In ceremonialno pomeni naravnost, kot bi šel skozi koordinate. Pravzaprav par števil (0, 0) dokazuje enakost A x + B y = 0, fragmenti A · 0 + B · 0 = 0.

Grafično prikazujemo vse vrste neenakomernih direktnih poravnav.

Zadnjica 1

Jasno je, da je podana premica, ki je vzporedna z ordinatno osjo in poteka skozi točko 2 7 - 11. Treba je zapisati natančno vrednost dane vrstice.

Odločitev

Ravna črta, vzporedna z ordinatno osjo, je definirana kot A x + C = 0, pri čemer je A ≠ 0. Tudi miselna naloga koordinat točke, skozi katero poteka premica, in koordinate te točke nakazujejo umom neenakomerno enačbo A x + C = 0, torej. prava vnema:

A 2 7 + C = 0

C lahko ocenite, če A podate vrednost, ki ni nič, na primer A = 7. V tem primeru lahko izpeljemo: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 . Ko se zavedamo razlike med koeficientoma A in C, ju nadomestimo z enačbo A x + C = 0 in odstranimo potrebno enačbo premice: 7 x - 2 = 0

Zadeva: 7 x - 2 = 0

Zadnjica 2

Stol je upodobljen neposredno, potrebno je zapisati njegov položaj.

Odločitev

Pozicioniran stol nam omogoča enostavno prevzemanje izhodnih podatkov za najpomembnejše opravilo. Mi bachimo na stolu, ki ima premico, vzporedno z osjo O x, ki poteka skozi točko (0, 3) .

Neposredno, ker je abscis vzporeden z očesom, pomeni, da je nasprotna smer enaka B y + C = 0. Vrednosti B in C so znane. Koordinate točke (0, 3), dokler dana premica poteka skozi njo, bodo zadovoljne s poravnavo premice B y + C = 0, potem je pravična poravnava: · 3 + C = 0. Nastavite katero koli vrednost, razen nič. Recimo, Y = 1, če smo enaki 3 + Z = 0, lahko poznamo Z: Z = - 3. Na podlagi vrednosti i 3 je potrebno izravnati ravno črto: y - 3 = 0.

Zadeva: y - 3 = 0.

Ravna črta, ki poteka skozi dano točko na ravnini

Če je podana ravna črta, ki poteka skozi točko M 0 (x 0 , y 0), potem njene koordinate označujejo ravno črto, torej. Pravilnost enakosti: A x 0 + B y 0 + C = 0. Jasno je, da sta levi in ​​desni del celotne poravnave ravna. Zavrnjeno: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0 središče je enakovredno izhodu halal, ki poteka skozi točko M 0 (x 0, y 0) in normalni vektor n → = (A, B).

Rezultat, ki smo ga vzeli, omogoča zapis neposredne poravnave premice z danimi koordinatami normalnega vektorja premice in koordinatami točke premice.

Zadnjica 3

Dana je točka M 0 (- 3, 4), skozi katero poteka premica, in normalni vektor premice n → = (1, - 2) . Potrebno je zapisati poravnavo dane črte.

Odločitev

Izhodi vam omogočajo, da izvlečete potrebne podatke za izračun: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Todi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Zgodbo bi lahko napisali tudi drugače. Zunanja črta ravne črte je videti kot A x + B y + C = 0. Normalni vektor vam omogoča, da odštejete vrednosti koeficientov A in B na naslednji način:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Zdaj poznamo vrednost Z in točko M 0 (- 3, 4) podaja um, ki naj poteka skozi premico. Koordinate te točke označujejo poravnavo x - 2 · y + C = 0, torej. - 3 - 2 · 4 + C = 0. Zvezdica Z = 11. Potrebna premica izgleda takole: x - 2 · y + 11 = 0.

Zadeva: x - 2 y + 11 = 0.

Zadnjica 4

Dana je premica 2 3 x - y - 1 2 = 0 in točka M 0, ki leži na tej premici. Absciznih točk je več in obstaja ustrezna - 3. Izračunati je treba ordinato dane točke.

Odločitev

Podajte koordinate točke M0 kot x0 in y0. Izhodni podatki kažejo, da je x0 = -3. Če točka leži na dani premici, potem njene koordinate kažejo pravilno poravnavo premice. Potem bo vnema:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Pomembno y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Zadeva: - 5 2

Prehod iz zakonske ravni neposredne na druge vrste ravni neposredne in nazaj

Kot vemo, je večina vrst nivelmanov enakih in enakih naravnost na ravnini. Izbira ljubosumja, da leži v glavah naloge; Izberete lahko tisto, ki vam najbolj ustreza. Tu resnično potrebuješ veščino pretvarjanja enakosti ene vrste v enakost druge vrste.

Najprej si oglejmo prehod z dobesedne ravni na obliko A x + B y + C = 0 na kanonično raven x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Če je A ≠ 0, je prenosljiv dodatno z B y na desni del stopnje halal. Na levi strani nosite A za roke. Rezultat je mogoče izpeljati: A x + C A = - B y.

To ljubosumje lahko zapišemo kot razmerje: x + C A - B = y A.

Ko je B ≠ 0, se samo dodatek A x odstrani z leve strani dobesedne enačbe, preostanek pa se prenese na desno stran in se odšteje: A x = - B y - C . Nosimo - za roke, potem: A x = - B y + C B.

Zapišimo vnemo kot razmerje: x - B = y + C B A .

Formule si seveda ni treba zapomniti. Dovolj je poznati algoritem, ki deluje pri prehodu z uradne ravni na kanonično.

Zadnjica 5

Nameščen je nivo črte ravne črte 3 y - 4 = 0. Treba jih je predelati s kanonične ravni.

Odločitev

Izhod zapišemo kot 3 y - 4 = 0. Naslednji korak je sledenje algoritmu: leva stran je prikrajšana za dodatni vnos 0 x; in na desni strani je naboj - 3 za roke; izpeljan: 0 x = - 3 y - 43.

Zapišimo enačbo kot razmerje: x - 3 = y - 430. Tako smo vzeli kanonično obliko enačbe.

Različica: x - 3 = y - 4 3 0.

Če želite spremeniti ravno črto v parametrično črto, najprej ustvarite prehod v kanonični videz in se nato premaknite s kanonične ravne črte na parametrično črto.

Zadnjica 6

Direktna črta je podana z enakimi 2 x – 5 y – 1 = 0 . Zapišite parametrično izravnavo neposrednih vrednosti.

Odločitev

Možen je prehod z galalne ravni na kanonično:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Zdaj sprejemamo užaljene dele odstranjenega kanoničnega enakopravnega razmerja z enakimi:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Zadeva:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Linearno poravnavo je mogoče pretvoriti v neposredno poravnavo s koeficientom rezanja y = k x + b ali le, če je B ≠ 0. Za premik na levo stran ne smete prenesti dodatnih podatkov na desno. Odstranljivo: B y = - A x - C. Ločimo lahko napačne dele umaknjene enakosti na B, odšteto od nič: y = - A B x - C B .

Zadnjica 7

Nivo črte ravne črte je nastavljen: 2 x + 7 y = 0. To razmerje je treba spremeniti v razmerje z globalnim koeficientom.

Odločitev

Tu so posebni koraki, potrebni za algoritem:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Zadeva: y = - 2 7 x.

Iz neposredne enačbe lahko preprosto odstranite enačbo iz odsekov v obliki x a + y b = 1. Da bi naredili tak prehod, prenesemo število C iz desnega dela ljubosumja, ločimo žaljive dele doseženega ljubosumja na – C in v skladu s tem prenesemo iz znaka koeficienta, ko se x in y spremenita:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Zadnjica 8

Treba je spremeniti vodoravno poravnavo ravne črte x - 7 y + 1 2 = 0 poravnavo ravne črte v odsekih.

Odločitev

Premaknjeno za 1 2 na desno stran: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Razdeljeno na -1/2 enakih delov: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

Zadeva: x-1 2 + y 1 14 = 1 .

Težko je izvesti prehod prehoda: z drugih ravni na prehod.

Ravno malino v kosih in rozino s faktorjem rezanja lahko preprosto pretvorite na pultu tako, da preprosto zberete vsa skladišča na levi strani grape:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonična bitka je poustvarjena v kuhinji po naslednji shemi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C =

Če želite preiti iz parametričnih, morate iti na kanoničnega in nato na začetnega:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Zadnjica 9

Določite parametrično poravnavo premice x = - 1 + 2 · y = 4. Treba je zapisati skrito vrednost neposredne linije.

Odločitev

Možen je prehod s parametričnih ravni na kanonične:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Preidimo s kanoničnega na pogovorno:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Zadeva: y - 4 = 0

Zadnjica 10

Poravnava ravne črte je podana v odsekih x 3 + y 1 2 = 1. Potreben je prehod na formalno obliko poravnave.

Odločitev:

Prepišimo samo poklon potrebnemu pogledu:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Zadeva: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Zložljiva ravna črta

Predvsem smo govorili o tistih, ki jih lahko zapišemo z danimi koordinatami normalnega vektorja in koordinatami točke, skozi katero poteka premica. Ta premica je enaka A(x – x 0) + B (y – y 0) = 0. Tam smo pobrali odlično zadnjico.

Zdaj pa si poglejmo zložljive zaloge, za katere je treba najprej določiti koordinate normalnega vektorja.

rit 11

Dana je premica, ki je vzporedna s premico 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tudi iz točke M 0 (4, 1) poteka ravna črta. Potrebno je zapisati poravnavo dane črte.

Odločitev

Glavna stvar je, da nam poveste o tistih, ki so neposredno vzporedne, tako kot je normalni vektor raven, kar je treba zapisati, vzemimo ravni vektor n → = (2 , - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Zdaj poznamo vse potrebne podatke, da je primerjava jasna:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Zadeva: 2 x - 3 y - 5 = 0.

Zadnjica 12

Podana je premica, ki poteka skozi koordinatni koren pravokotno na premico x - 2 3 = y + 4 5. Potrebno je upogniti črto dane ravne črte.

Odločitev

Normalni vektor dane premice bo normalni vektor premic x - 2 3 = y + 4 5.

Todi n → = (3, 5) . Potem pojdi naravnost skozi koordinato. skozi točko O (0, 0). Raven prepognjene črte je podana z ravno črto:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vídpovid: 3 x + 5 y = 0

Če ste v besedilu označili uslugo, si jo oglejte in pritisnite Ctrl+Enter

Kot je prikazano zgoraj, lahko neposredno poravnavo zapišemo v treh oblikah: neposredno poravnavo, parametrično neposredno poravnavo in kanonično ravno poravnavo. Oglejmo si prehod od ravne črte v eni vrsti do ravne črte v drugem videzu.

Najprej je pomembno opozoriti, da ko določite poravnavo premice v parametrični obliki, določite točko, skozi katero poteka premica in direktni vektor premice. Zanj ni pomembno, da vrstico zapiše v kanonični obliki.

zadnjica.

Premica je podana v parametrični obliki

Odločitev.

Pojdite naravnost skozi točko
in je neposredni vektor
. No, kanonična pravičnost je jasno vidna

.

Problem prehoda s kanoničnih premic na parametrične premice je rešen na podoben način.

Prehod s kanoničnih ravni na neposredne ravni je viden spodaj na zadnjici.

zadnjica.

Glede na kanonično premico

.

Zapišite direktno črto.

Odločitev.

Zapišimo kanonične stopnje neposredno v obliki sistema dveh stopenj

.

Z izločitvijo pasic tako, da oba dela prve stopnje pomnožimo s 6, druge stopnje pa s 4, razveljavimo sistem.

.

.

Ravni sistem je odstranjen.

Oglejmo si prehod od parametričnih premic k parametričnim in kanoničnim premicam. Za pisanje kanoničnih in parametričnih smeri premic morate poznati točko, skozi katero premica poteka, in vektor premice. Kako določiti koordinate dveh točk
і
, ki leži na premici, potem lahko kot direktni vektor m vzamemo vektor
. Koordinate dveh točk, ki ležita na premici, lahko izpeljemo kot rešitev sistema poravnave, kar pomeni nasprotno poravnavo premice. Yaku je točka, skozi Yaku vodi ravna črta, po njej lahko greste s točke
і
. Zgornje je ilustrirano z zadnjice.

zadnjica.

Glede na direktno linijo

.

Odločitev.

Poznamo koordinate dveh točk, ki ležita na ravni črti, kot rezultat tega sistema poravnave. S spoštovanjem
, prekličemo nivojski sistem

.

Virus tega sistema poznamo
. Ozhe, pika
ležijo na ravni črti. S spoštovanjem
, prekličemo nivojski sistem

,

Očitno vemo
. Ozhe, pojdi naravnost skozi bistvo
. Todi jak neposredni vektor lahko vzamete vektor

.

Ozhe, pojdi naravnost skozi bistvo
in je neposredni vektor
. No, parametrična ravna črta izgleda takole

.

Potem bodo kanonične enakosti neposredne zapisane kot

.

Drug način iskanja direktnega vektorja temelji neposredno na vzporednih ravninah, kar temelji na dejstvu, da so v tem primeru določene ravninske ravnine in s tem normale na te ravnine.

Naj se pojavi temna stran ravne črte

і - normale na prvo in druge ravnine, očitno. Todi vektor
Lahko ga vzamete kot ravni vektor. Pravzaprav je ravna črta, ki je črta prečnice teh ravnin, neposredno pravokotna na vektorje. і . No, to je kolinearno vektorju.
In ta vektor lahko vzamemo kot ravni vektor. Oglejmo si zadnjico.

zadnjica.

Glede na direktno linijo

.

Zapišite parametrične in kanonične premice.

Odločitev.

Premica med ravninami in normalami
і
. Beremo jak neposredni vektor neposredni vektor

Poznamo točko, ki leži na premici. Poznamo točko, ki leži na premici. Pojdimo
. Nato odstranimo sistem

.

Virus sistem, vemo
.Ozhe, pika
ležijo na ravni črti. Nato lahko parametrično izravnavo premice zapišemo kot

.

Vidne so kanonične ravne črte

.

V redu, lahko greste na kanonične ravni tako, da vklopite eno od ravni na eni ravni in nato še eno spremembo. Poglejmo to metodo z zadnjice.

zadnjica.

Glede na direktno linijo

.

Neposredno zapišite kanonične enakosti.

Odločitev.

Vključeno iz druge enake mere, dodajanje naslednjemu prvemu, pomnoženo z več. Ni mogoče zavrniti

.

.

Zdaj ga lahko izklopimo z druge ravni. , Po dodajanju na novo raven, pomnoženo z dvema. Ni mogoče zavrniti

.

.

Neposredna linija je očitno kanonična

.

.

.

Povedali so nam, da je krivulja algebre drugačnega reda označena z algebrskimi enačbami drugačnega reda Xі pri. Zagalom je napisan takole:

A X 2+V xy+ Z pri 2+D x+E l+ F = 0, (6)

Še več, A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (zato števila A, B, C čez noč ne postanejo nič). Dodanki A X 2, V xy, W pri 2 se imenujejo višji člani čina, št

klical diskriminatorČigavo ljubosumje. Rivnyanna (6) se imenuje Zagalnym Rivnyany krivulja drugačnega reda.

Za predhodno pregledane krivulje:

Elips: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = -1,

barva X 2 + pri 2 = A 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = – A 2 d = 1>0;

Hiperbola: Þ A = , B = 0, C = - , D = E = 0, F = -1,

d = -.< 0.

parabola: pri 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = -2 R, E = F = 0, d = 0,

X 2 = 2RU A = 1B = C = D = 0, E = -2 R, F = 0, d = 0

Krivulje, pripisane enakim (6), se imenujejo osrednji krivimi, yakscho d10. Če je d>0, potem krivulja eliptično vrsta, kot d<0, то кривая hiperbolično vrsto. Krivulje, za katere je d = 0, so krivulje parabolični vrsto.

Poročali so, da je vrstica drugačnega vrstnega reda v pride kar bo Kartezični koordinatni sistem je podan algebrskim elementom drugačnega reda. Nekateri sistemi imajo zložen videz (na primer (6)), drugi pa enostavnejši videz, na primer (5). Zato je enostavno videti tak koordinatni sistem, v katerem je narisana krivulja zapisana z najbolj preprostimi (na primer kanoničnimi) izrazi. Prehod iz enega koordinatnega sistema, v katerem je krivulja podana na enak pogled (6), v drugega, kjer ima enak pogled enostavnejši pogled, imenujemo reorganizacija koordinat.

Oglejmo si glavne vrste koordinat.

JAZ. Ponovno ustvarjanje prenosa koordinatne osi (z neposrednim prihrankom). Naj ima izhodni koordinatni sistem XOU točka M koordinate ( X, priX¢, pri¢). S katedre lahko vidite, da so koordinate točke M v različnih sistemih povezane s povezavami

(7) ali (8).

Formuli (7) in (8) imenujemo formuli za transformacijo koordinat.

ІІ. Obračanje koordinatne osi na rezu a. Ker ima izhodni koordinatni sistem XOU točka M koordinate ( X, pri), v novem koordinatnem sistemu XO¢U pa so koordinate ( X¢, pri¢). Nato so povezave med temi koordinatami izražene s formulami

, (9)

drugače

S pomočjo obračanja koordinat lahko nivo (6) pripeljemo do enega od napredujočih kanoničen Rivnjan.

1) - elipsa,

2) - hiperbola,

3) pri 2 = 2px, X 2 = 2RU– parabola

4) A 2 X 2 – b 2 l 2 = 0 – par ravnih črt, ki se prekrivata (slika a)

5) l 2 – a 2 = 0 - par vzporednih črt (slika b)

6) x 2 –a 2 = 0 - par vzporednih črt (slika c)

7) l 2 = 0 - izogibajte se ravnim linijam (vse OX)

8)x 2 = 0 - ravne črte se izogibajo (vsi operacijski ojačevalniki)

9) a 2 X 2 + b 2 l 2 = 0 - točka (0, 0)

10) očitna elipsa

11)y 2 + a 2 = 0 - par očitnih ravnih črt

12) x 2 + a 2 = 0 par ravnih črt.

Vsaka od teh vrstic je povezana z vrsticami drugačnega reda. Linije, ki so označene z rangi 4 – 12, se imenujejo virogenimi krivulje drugačnega reda.

Oglejmo si zadnjico preoblikovanja zagalne krivulje krivulje v njeno kanonično obliko.

1) 9X 2 + 4pri 2 – 54X + 8pri+ 49 = 0 Þ (9 X 2 – 54X) + (4pri 2 + 8pri) + 49 = 0 Þ

9(X 2 – 6X+ 9) + 4(pri 2 + 2pri+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9( X –3) 2 + 4(pri+ 1) = 36, Þ

.

Se strinjamo X¢ = X – 3, pri¢ = pri+ 1, je kanonična poravnava elipse zavrnjena . Gorečnost X¢ = X – 3, pri¢ = pri+ 1 označuje transformacijo prenosa koordinatnega sistema v točki (3, -1). Ker smo uporabili stari in novi koordinatni sistem, upodabljanje elipse ni pomembno.

2) 3pri 2 +4X– 12pri+8 = 0. Kabriolet:

(3pri 2 – 12pri)+ 4 X+8 = 0

3(pri 2 – 4pri+4) - 12 + 4 X +8 = 0

3(y – 2) 2 + 4(X –1) = 0

(pri – 2) 2 = – (X – 1) .

Se strinjamo X¢ = X – 1, pri¢ = pri– 2, raven parabole je odpravljena pri¢ 2 = – X¢. Izbrana zamenjava pomeni prenos koordinatnega sistema na točko O¢(1,2).

Če je na območju uveden PDSC, mora nivo prve stopnje temeljiti na natančnih koordinatah in

, (5)

de і takoj ne doseže ničle, kar pomeni ravno.

Pravilna in prelomna točka: v PDSC se lahko neposredno dodeli vrstnikom prve stopnje obrazca (5).

Spoštovanje do vrste (5) se imenuje neposredno .

Okoli padca stopnje (5) je prikazano v naslednji tabeli.

	vrednosti koeficientov	Rivnanja neposredno	Ravni položaj
			Pojdite naravnost skozi koordinatni storž
			Neposredno vzporedno z osjo
			Neposredno vzporedno z osjo
			Preide naravnost v lov
			Preide naravnost v lov

Premica s koeficientom rezanja in ordinato storža.

U glom nahilu naravnost v os
imenovan najmanjši kut
, kar zahteva obračanje celotne abscise proti puščici letnice, dokler ne teče od ravne črte (slika 6). Neposredno, karkoli neposredno ga označuje Kutovym koeficient , Kar kaže tangenta kuta nahilu
To je naravnost naprej, torej.

.

Vijaki ne postanejo več ravni, pravokotni na os
mejnega koeficienta ni.

Direktna linija, ki ima rezalni koeficient in vse se trese
v točki, katere ordinata je prastara (Pochatkov ordinat) , dogovorite se z gledalcem

.

Rivnyannya naravnost iz izrezov

Rivnyanyam neposredno iz potaknjencev se imenuje ljubosumje na videz

, (6)

de і
Očitno obstajata vsaj dva odseka, ki se sekata z ravno črto na koordinatnih oseh, vzetih iz simbolov.

Rivnyannya je ravna, da gre skozi katero koli točko v kateri koli smeri. Ravni snop

Rivnyannya ravna črta, ki poteka skozi to točko
in obstaja rezalni koeficient Prijavite se pri Viglyada

. (7)

Ravni snop imenujemo zbirka ravnin, ki potekajo skozi eno točko
središče žarka. Če poznamo koordinate središča žarka, lahko premico (8) vidimo kot ravno gredo, delce katerega koli ravnega nosilca lahko odstranimo iz ravne črte (8) za ustrezno vrednost koeficienta rezanja. (Os nastavite naravnost, vzporedno z osjo
njeno ljubosumje
).

Kot vidimo skrito poravnavo dveh ravnih črt, ki ležita v snopu
in (ustvarjajo žarek), nato razmerje katere koli premice, iz katere lahko na prvi pogled zapišemo žarek

Rivnyannya naravnost, skozi dve točki

Premica, ki poteka skozi dve dani točki
і
, morda videti

.

Yakscho točke
і
srednja premica, vzporedna z osjo

ali sekire

, potem je podobnost takšne neposredne črte jasno zapisana v obliki

drugače
.

Medsebojna ločitev dveh ravnih črt. Izrežite med ravnimi črtami. Upoštevajte vzporednice. Perpendikularnost uma

Medsebojna retuša dveh ravnih črt, podanih s skritimi enakostmi

і ,

predstavljeni v naslednji tabeli.

Pid kjer sta dve ravni črti To je seveda eden od sosednjih rezov, ustvarjenih med njihovim prehodom. Gostiry kut med ravnimi črtami
m
je označen s formulo

.

Spoštovani, želite, da je ena od teh ravnih črt vzporedna z osjo
, potem formula (11) nima smisla, zato bomo uporabili zagalny enake ravne črte

ta .

Formula (11) Vidim

.

Upoštevajte vzporednice:

drugače
.

Perpendikularnost uma:

drugače
.

Normalna poravnava je ravna. Točke postavite v linijo z ravno črto. Simetrale Rivnyannya

Normalna poravnava je ravna lahko vidim

de
golob pravokotnice (normale), spuščen od začetka koordinat na ravni črti,
najbližjo pravokotno na os
. Da poravnam podzemno raven
če želite videti normalno, morate žaljivi del ljubosumja (12) pomnožiti s običajni množitelj
ob znaku protilega znaku prostega člana .

Vidstan pege
ravni pogled poznate formule

. (9)

Rivnyannya simetrale rezov med ravnimi črtami
і :

.

Zavdannya 16. Dana je čista
. Linearna pobočja so ravna, kot da gredo skozi točko
vzporedno z direktnim.

Odločitev. Za miselnim paralelizmom ravnih črt
. Za glavno nalogo bomo uporabili ravno črto, ki gre skozi to točko
neposredno pri tsomu (8):

.

Poznamo natančen koeficient cene. Za katero vrsto pravne ravnine (5) preidimo na poravnavo s koeficientom rezanja (6) (spremenljivo skozi ):

Otje,
.

Zavdannya 17. Vedite bistvo
, simetrična točka
To je naravnost naprej
.

Odločitev. Da bi spoznali točko, ki je simetrična točki To je naravnost naprej (Slika 7) je potrebno:

1) spustite pike neposredno pravokotno,

2) poznati osnovo te navpičnice
točka ,

3) na razširjeni pravokotni na odsek reza
.

Torej, zapišimo ravno črto, ki poteka skozi točko pravokotno na dano premico. V ta namen je hitrost premice skozi dano točko v dani smeri (8):

.

Nadomestite koordinate točke
:

. (11)

Koeficient rezanja je znan iz pravokotnosti ravnih črt:

.

Koeficient rezanja teh neposrednih podatkov

,

No, rezalni koeficient pravokotne ravne črte

.

Vstavimo ga v enačbo (11):

Ugotovimo bistvo
točka prečke dane premice in pravokotne premice. Torej to je bistvo Da sta oba ravna, njuni koordinati ustrezata enakima. Če želite najti koordinate točke prečke, morate ustvariti sistem črt, sestavljen iz črt teh črt:

Sistemske rešitve
,
, potem.
.

Krapka ê sredi reza
, Todi iz formul (4):

,
,

poznamo koordinate točke
:

Na ta način obdobje šukane
.

Zavdannya 18.Nagibi so ravni, kot bi šli skozi točko
in se dviga iz koordinatne točke trikutnika s površino, ki je večja od 150 kvadratnih metrov. (slika 8).

Odločitev. Za rešitev težave lahko uporabite ravno črto "v odsekih" (7):

. (12)

Bo točka
leži na ravni črti, potem bodo njene koordinate zadovoljile poravnavo ravne črte:

.

Območje trikubitusa, ki se pojavi kot ravna črta od koordinatne točke, se izračuna po formuli:

(snemalni modul, fragmenti і lahko negativno).

Na ta način je bil vzpostavljen sistem za prilagajanje parametrov і :

Ta sistem je enakovreden dvema sistemoma:

Prve sistemske rešitve
,
і
,
.

Rešitve za drug sistem
,
і
,
.

Eksplicitno ugotovljene vrednosti izravnave (12):

,
,
,
.

Zapišimo naslednje vrstice:

,
,
,
.

Zavdannya 19. Izračunaj razdaljo med vzporednicama
і
.

Odločitev. Stojte med vzporednima črtama in razdaljo med točkama ene ravne črte in druge ravne črte.

Vibermo direktno točka
Seveda lahko določite tudi eno koordinato, tako npr
potem
.

Zdaj vemo, kje so točke do ravne črte naslednja formula (10):

.

Na ta način se postavite med te vzporedne ravne črte.

Zavdannya 20. Poiščite premico, ki poteka skozi točko premice
і
(Ne poznam točke križa) to

Odločitev. 1) Zapišimo poravnavo snopa ravnih črt z znanimi regulatorji (9):

Potem je tu pravo ljubosumje

Take vrednosti je treba poznati
і , pri katerem bo ravni žarek šel skozi točko
, tj. koordinate krivca bodo zadostile ravni (13):

Morebiti znano
na raven (13) in se po poenostavitvi neposredno odstrani:

.

.

Miselni paralelizem ravnih črt pospeši:
. Ugotovimo, kakšni so koeficienti za direktno і . Maemo, kaj?
,
.

Otje,

Pomen si je mogoče zamisliti
v vrstici (13) in preprosto odstranimo črto premice
.

Ohranjanje za neodvisno krepost.

Zavdannya 21. Ravni klanci za prehod skozi točke
і
: 1) s koeficientom; 2) pod zemljo; 3) "na rezalnih robovih".

Zavdannya 22. Linearna pobočja so ravna, kot da gredo skozi točko in naredi vse
kut
, kot 1)
,
; 2)
,
.

Zavdannya 23. Zapiši enake stranice romba z diagonalama 10 cm in 6 cm, pri čemer za celotno vzamemo veliko diagonalo.
, in menshu
za celoto
.

Zavdannya 24. Enakostranski tricutnik
Na drugi strani, ki je enaka 2 enoti, razprostrite, kot je prikazano na majhni 9. Gube na isti strani.

Zavdannya 25. Skozi točko
narišite ravno črto, ki se pojavi na pozitivni strani koordinat rezalne ravnine.

Zavdannya 26. Poiščite območje trikubitusa, ki se nahaja pred koordinatno črto:

1)
; 2)
.

Zavdannya 27.Napiši premico, ki poteka skozi točko In kaže se iz koordinatne točke trikutnika, ki je bolj položna od prejšnje. , yakscho

1)
,
kv. od.; 2)
,
kv. od.

Zavdannya 28. Glede na vrh trikutanega
. Poiščite raven srednje črte, vzporedno s stranjo
, yakscho