Razširi polinom na polje realnih števil. Številni členki so koničasti in nezašiljeni. Bogati izrazi na področju racionalnih števil
Izraz nad obročem celih števil se imenuje primitiven, saj je največji del njegovih koeficientov enak 1. Bogat člen z racionalnimi koeficienti je enotno predstavljen z dodatkom pozitivnega racionalnega števila, ki ga imenujemo zmіstom bogati član in primitivni bogati član. Dodatek primitivnih bogatih članov je primitivni bogati član. To dejstvo implicira, da je polinom s celimi koeficienti vsiljen nad poljem racionalnih števil in je vsiljen nad obročem celih števil. Na ta način se naloga razširitve polinoma na množitelje, tako da ne deluje v polju racionalnih števil, zmanjša na podoben problem v obroču celih števil.
Let - bogat izraz s celimi koeficienti in namesto 1 ter - njegov racionalni koren. Predstavljajmo si koren polinoma kot ulomek. bogat član f(x) se zdi ustvarjanje primitivnih polinomov. Otje,
A. upravitelj številk in poslovni vodja,
B. znamennik – dilnik
C. za poljubno celoto k pomembnost f(k) – celo število, ki ga lahko brez presežka delimo z ( pr-a).
Seznami moči vam omogočajo, da obveščate o nalogi identifikacije racionalnega korena bogatega člana do konca iskanja. Podoben pristop lahko uporabimo za razširjeni polinom f na množitelje, da ne bi krmarili po polju racionalnih števil s Kroneckerjevo metodo. Ali je bogat član? f(x) korak n očitno potem eden od večkratnikov morda nima višje stopnje n/2. Ta množitelj je pomemben skozi g(x). Ker so vsi koeficienti polinomov cela števila, potem za vsako celoto a pomembnost f(a) razdeliti brez presežka na g(a). Vibemo m= 1+n/2 različna cela števila a jaz, jaz=1,…,m. Za številke g(a i) obstaja končno število možnosti (število članov katerega koli števila, ki ni nič, je bistveno), prav tako obstaja končno število bogatih članov, ki so lahko partnerji f(x). Po nadaljnji preiskavi bomo bodisi dokazali nedolžnost bogatega člana ali pa ju bomo razdelili na dva bogata člana. Pred množiteljem kože je shema jasno navedena, dokler vsi množitelji ne postanejo bogati člani, tako da niso inducirani.
Nereducibilnost realnih polinomov nad poljem racionalnih števil je mogoče ugotoviti z uporabo preprostega Eisensteinovega kriterija.
Pojdimo f(x) polinom nad obročem celih števil. Kaj je preprosto število str, kaj
I. Vsi koeficienti polinoma f(x), se poleg koeficienta na višji ravni delijo na str
II. Koeficient za višjo raven ni razdeljen na str
III. Veljavni član ne pripada
Todi je bogat član f(x) je nevoden po polju racionalnih števil.
Opozoriti je treba, da Eisensteinov kriterij zagotavlja dovolj dokazov za nezmanjšanje bogatih članov, vendar ni potreben. Tako bogat izraz ni uporaben na področju racionalnih števil, vendar ne izpolnjuje Eisensteinovega kriterija.
Bogat člen po Eisensteinovem kriteriju ni inducibilen. No, nad poljem racionalnih števil obstajajo nereducibilni členi velike stopnje n, de n biti naravno število večje od 1.
Polje se imenuje zaprta algebra, saj ima lahko vsak polinom nad tem poljem, ki ni enak konstanti, vsaj en koren. Iz Bezoutovega izreka takoj sledi, da je v takem polju vsak nekonstanten bogat člen mogoče razširiti v tri linearne multiplikatorje. V čigavem smislu so algebraično zaprta polja preprostejša, manj algebraično zaprta. Vemo, da nad poljem realnih števil ne obstaja kvadratni trinom s korenom, zato samo polje ℝ ni zaprta algebra. Izkazalo se je, da ne traja dolgo, dokler se algebra ne zapre. Z drugimi besedami: tisti, ki so živeli, bi o rivalstvu na skrivaj govorili na štiri oči, mi pa bi takoj trčili v vrzel polinomskih rivalstev.
TEMELJNI TEOREM ALGEBRI.Če kateri koli polinom nad poljem ℂ ni enak konstanti, lahko obstaja en kompleksen koren.
DOKAZI. Vsak polinom, ki ni enak konstanti, nad poljem kompleksnih števil je mogoče razširiti na seštevanje linearnih množiteljev:
Tukaj je višji koeficient polinoma, - vse različne kompleksne korenine polinoma, - njihove množitve. Za to je krivo ljubosumje
Dokaz posledice je okorna indukcija za korakom bogatega člena.
Na drugih področjih stanje ni tako dobro v smislu razporeditve bogatih članov. Rečemo, da bogat izraz ni določljiv, saj najprej ni konstanta, ampak ga z drugimi besedami ni mogoče razčleniti med bogate člane nižjih ravni. Razume se, da ne sme biti induciran noben linearni polinom (nad katerim koli poljem). Rezultat je mogoče preoblikovati na naslednji način: nereducirani obogateni členi nad poljem kompleksnih števil z enim samim vodilnim koeficientom (alias: unitarni) so izvlečeni iz obogatenih členov obrazca ().
Zložljivost kvadratnega trinoma je enaka prisotnosti vsaj enega korena. Če pretvorimo enačbo v pogled, lahko sklepamo, da je koren kvadratnega trinoma enak, če je diskriminant kvadrat katerega koli elementa polja K (tukaj se predpostavlja, da je 2≠ 0 za polje K). Zvezdice se lahko odstranijo
PREDLOG, PROŠNJA, PROŠNJA. Kvadratni trihi nad poljem K, yaku 2 ≠ 0, priznano za tilki tilki, če ni veliko Korinnya v polovici k. Tselno ni možgansko polje Hyodnoye Elentent polja K. Zokremama, nad poljem kvadratni trichlen , kot in samo, kot.
Sedaj sta nad poljem realnih števil dve vrsti členov, ki nista vidni: - linearni in kvadratni ter negativna diskriminacija. Izkazalo se je, da ti dve vrsti napadov vključujeta odsotnost številnih sklepov, ki niso usmerjeni čez ℝ.
TEOREM. Vsak polinom nad poljem realnih števil je mogoče razširiti v linearne multiplikatorje in kvadratne multiplikatorje z negativnimi diskriminanti:
Tukaj so vsi različni aktivni koreni bogatega člena, njihove množitve, vsi diskriminanti so manjši od nič in vsi kvadratni trinomi so različni.
Lemo bomo takoj obvestili
LEMA.Če ga ima kdo, potem je dobljeno število tudi koren polinoma.
Dokončano. Pustite in kompleksni koren bogatega člana. Todi
kjer smo vikoristi oblasti od prejema. Otje, . Sam Tim je korenina bogatega člana. □
Dokaz izreka. Dovolj je dokazati, da je vsak obogateni člen, ki ga ni mogoče reducirati na polje realnih števil, linearen ali kvadraten z negativno diskriminanto. Ne pripeljimo bogatega člana z enim samim seniorskim količnikom. Včasih je nemogoče narediti nekaj aktivnega. Recimo, v redu. Pomemben je zaradi katerega koli kompleksnega korena tega bogatega izraza, ki je osnova glavnega izreka algebre kompleksnih števil. Fragmenti so torej nereducibilni (čudovit Bezoutov izrek). Torej, glede na Lemi, bo to še ena korenina bogatega člana, urejena.
Bogat član ima efektivni koeficient. Poleg tega je smiselna primerjava z Bezoutovim izrekom. Ker obstaja en sam višji koeficient nerazložljivo, potem je ljubosumje odpravljeno. Diskriminanta tega polinoma je negativna, kot je tudi v dvogovornih korenih.
PRIJAVITE SE. A. Razčlenimo polinom na množitelje, da ne preobremenimo. Med členi konstantnega člena 6 najdemo koren bogatega člena. Pretvorimo ga tako, da sta 1 in 2 radikala. Sam Tim je bogat član. Ko smo delili, vemo
Ostanek razširitve po polju, saj je diskriminanta kvadratnega trinoma negativna in se zato ne more razširiti naprej po polju realnih števil. Razširitev istega bogatega člena na polje kompleksnih števil lahko odpravimo, ko poznamo kompleksni koren kvadratnega trinoma. Smrad je bistvo. Todi
Razgrnem ta bogat član
B. Razgradnja po poljih aktivnih in kompleksnih števil. Ker ta bogat izraz nima aktivnih korenin, ga je mogoče razstaviti na dva kvadratna trinoma z negativnimi diskriminanti
Ker se pri zamenjavi z bogatim izrazom ne spremeni, je treba s takšno zamenjavo kvadratni trinom prenesti naprej in nazaj. Zvidsi. Ekvivalentni koeficienti pri nadzoru, sedaciji, . Iz razmerja (s substitucijo je možno in rezidualno, .
Postavite čez polje aktivnih številk.
Za razgradnjo tega polinoma na kompleksna števila je potrebno primerjati. Posvetilo se mi je, kaj bo s koreninami. Vse različne korenine so nam odstranjene. Otje,
Reševanje nalog s kompleksnimi števili. Enostaven za izračun
In najdemo drugo rešitev za problem razširitve bogatega izraza na polje realnih števil.
Konec robota -
Ta tema sodi v ta razdelek:
Računalniška algebra je temeljna
Uvod.. Tečaj temeljne in aplikacije računalniške algebre za študente, specializirane za uporabno matematiko..
Če potrebujete dodatno gradivo o tej temi ali če niste našli tistega, kar ste iskali, vam priporočamo, da hitro preiščete našo bazo podatkov:
Kaj lahko storimo z odstranjenim materialom:
Če je bilo to gradivo zanimivo za vas, ga lahko shranite na svojo stran v družabnem omrežju:
| Tweet |
Vse teme v tem razdelku:
N.I.Dubrovin
Spaske Gorodishche 2012 Zmist Intro. 4 Seznam pomenov izrazov. 5 1 Malenkosti o BASIC-u. 6 2 Naivna teorija mnogoterosti. 9
Malenkosti o BASIC-u
Matematika se lahko ukvarja s predmeti, kot so števila različne narave (naravna, namenska, racionalna, učinkovita, kompleksna), številni členi ene in več spremenljivk, matrika.
Naivna teorija mnogoterosti
Matematično besedilo je sestavljeno iz vrednosti in teles. Dejanja vztrajanja pri pomembnosti in pomembnosti ter zavezanosti drugim afirmacijam se imenujejo eden od naslednjih izrazov:
Kartezijanske stvaritve
Par ali preprosto par elementov je urejen, kar je ena temeljnih konstrukcij v matematiki. Lahko si jo predstavljate kot prijateljico z dvema mestoma – prvim in drugim. V matematiki to ni zelo pogosto
Naravna števila
Števila (1,2,3, ...), ki jih lahko odštejemo z eno operacijo seštevanja, imenujemo naravna števila in jih označujemo z ℕ. Aksiomatski opis naravnih števil je lahko takšen (div.
Rekurzija
Od aksiomov N1-N3 do tistih, ki jih poznamo vsi iz cob šole, operacije seštevanja in množenja naravnih števil, izenačevanja naravnih števil med seboj in moči v obliki "spremembe mesta dodankovih vsot niso
Red na neosebnih naravnih številih Popolnost naravnih števil Popolnost celih števil Evklidov algoritem Matrična interpretacija evklidskega algoritma Elementi logike Vyslovluvalny oblike Matrična algebra Uradniki Linearne transformacijske ravnine Kompleksna števila Konstrukcija polja kompleksnih števil Iskanje kompleksnih števil Trigonometrična oblika za zapis kompleksnih števil Kompleksni eksponent Razpletanje kvadratnih ravnin EKVIVALENČNI IZREK Nezmanjšani izraz- bogat član, ki ni razčlenjen na netrivialne bogate člane. Številni členi niso podani z elementi, ki niso podani, obroči polinomov. Nereducibilni veččlen nad poljem je veččlen Bogat izraz f nad poljem F se imenuje brez predsodkov (žal), ker ima pozitiven korak in nima netrivialnih partnerjev (bodisi katerega koli partnerja ali povezave z njim ali z njim) Predlog 1 Pojdimo R- Nepogonski i A- Bodi polinom obroča F[x]. Todi chi R razdeliti A, oz Rі A- Odpustita drug drugemu. Predlog 2 Pojdimo f∈ F[x], i stopnja f = 1, zato je f bogat člen, ki ga ni mogoče inducirati. Na primer: 1. Vzemimo polinom x+1 nad poljem Q. Ta korak je višji od 1, zato ne pojdite tja. 2. x2 +1 – nevodeno, ker koren ni pomemben SLU. Različica sistema. Zaspano, noro, pesmi in nepomembni sistemi. Enakovredni sistemi Sistem linearnih poravnav nad poljem F s spremenljivko x1, xn imenujemo sistem v obliki A 11
X 1
+ … + a 1n x n= b 1
……………………….. a m1 x 1
+ … + a mn x n= b m DEA vem,b jaz∈ F, m je število enakih, n pa število neznank. Na kratko lahko sistem qiu zapišemo takole: ai1x1 + … + a v x n= b jaz (i = 1,…m.) Ta SLU je umivalnica z n prostimi spremenljivimi x 1, .... Xn. SLN delimo na nesmiselne (ne morem se odločiti) in špilne (pesmi in nepomembnosti). Spalni sistem se imenuje pevski sistem, ker ima eno samo rešitev; Če ima dve različni odločitvi, se imenuje neodločena. Na primer: nad poljem Q x + y = 2 - absurden sistem x – y = 0 - celotna skladba (x, y = ½) 2х + 2у = 2 – spalnica nepomembna Dva sistema L.U. Ekvivalentni sta, saj se rešitvam teh sistemov izogibamo, tako da so rešitve enega sistema hkrati tudi rešitve drugih. Sistem, ki je enak podatkom, je mogoče izpeljati: 1. zamenjava ene od enakih vrednosti tega enakega, množenje števila z zamenjavo ničle. 2. zamenjava ene od ravni z vsoto drugih ravni sistema. Rešitev SLE se izvaja po Gaussovi metodi. 45* Elementarna poustvarjanje sistemov linearnih rangov (slu). Gaussova metoda. Def.Z osnovnimi poustvaritvami S.L.U n-sya takšne poustvarjanja: 1. Množenje ene od sistemskih ravni sistema z ničelnim elementom polja. 2. Dodatki k enemu z nivoja sistema drugega nivoja, pomnoženi z elementom polja. 3. Dodajanje ali izklop iz sistema neničelnega nivoja 0*х1+0*х2+…+0*хn=0 4.
Menjava enakih PredlogNaj bo sistem (**) odstranjen iz sistema (*) za dodatno končno številko. Element-njihovo preoblikovanje. Todi sistem (**) ~ sistem (*). (Ni dokumenta) Namestnik Pri snemanju sistema linearnih nivojev se uporablja matrični zapis. a11 a12 … a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 ………………….... …
Am1 am2 ... amn vn Zadnjica: 1) 2x1 - x3 = 120-11 x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0 3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2 2) 1 0 1 x1 = 1 0 1 2 x2 = 2 3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3 0 1 -1 3 x2-x3 = 3 x2 = 3 + x3 Gaussova metoda Predlog Pustite sistem (*) (a) če se vsi prosti člani strinjajo 0 vsi v = 0 število odločitev = F n (b) k vk = 0 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = vk = 0 (ni rešitve) 2.
niso vsi aij=0 (a) v sistemu obstaja raven oblike 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = vk = 0 0 (b) ni takih rangov b1. Vključno z neničelno stopnjo. Poznamo najmanjši indeks i1, tako da pri xij = 0 ne obstajajo vsi koeficienti. 0……0……….. …. Drug niz ničel je i1. 0……0…..*=0….. …. 0……0 ...……… … 1. s preurejanjem nivojev je mogoče doseči a1i1 = 0 0….. 0… a1i1 = 0….….(1). :=(priloženo) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1 A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( pogosto 0…. 0… а2i1… 0…..0..0… …. Matrix) 0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… …. 0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 …. S končnim številom rezov lahko odstranimo sistem, da se ujema z obliko 0х1+0х2+…+0хn=вк=0 0ali 0……0 1………….. L1 “direktna Gaussova poteza” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. "Vhod 0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..Gauss” 0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0.... .. .............................. .... ............................................ .. 0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 .. Zmínní xi1, ...... xik se imenujejo opojni, reshta brezplačno. k=n => c-pesem k 2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1 3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2 Nad poljem realnih števil je vsak nereducibilni polinom ene spremenljivke stopnje 1 ali 2, polinoma 2. stopnje pa ni mogoče usmerjati čez polje R niti ali samo, če obstaja negativna diskriminanta, na primer polinom je neusmerljiv o nad poljem realnih števil, fragmenti njegovega diskriminantnega negativa. Emisensteinov kriterij, znak nedolžnosti bogatega člana, je dobil ime po nemškem matematiku Ferdinandu Eisensteinu. Ne glede na (tradicionalno) ime je samo po sebi znak, da je dovolj inteligenten - sploh pa ni nujno, kot bi lahko domnevali, izhajajoč iz matematične zamenjave besede "merilo". Izrek (Eisensteinov kriterij).
Nehai je bogat člen nad faktorialnim obročem R ( n>0) in kateri koli nereducibilni element str prišli do tega zaključka: Ne deli z str, Delite naprej str iz kakršnega koli razloga jaz pogled 0
prej n- 1, Chi se ne deli na. Todi bogat član posredno čez F zasebno obročno polje R. Preiskava. Nad katerim koli poljem algebrskih števil se pojavi nereducibilnost velikega člena katere koli vnaprej določene ravni; na primer bogat član, de n> 1 ta strЇ deyake je preprosto število. Oglejmo si uporabo tega kriterija, če je R obroč celih števil, F pa polje racionalnih števil. Nanesite ga: Bogat izraz ne sme biti usmerjen čez Q. Ne ciljajte penisa pod kol. Res je, če je induciran, potem je induciran bogat člen in preostali vsi koeficienti, razen prvega, so binomski, tako da jih je mogoče deliti z str, preostali koeficient pa je amen str Pred tem pa se ne delite na tiste po Eisensteinovem kriteriju in ne bodite pretirano pristranski. Naslednjih pet bogatih članov prikazuje dejanja elementarne moči bogatih članov, ki ni inducirana: Nad obročem Z celih števil sta prva dva člena koničasta, preostala dva nista koničasta. (Tretja beseda je polinom nad celimi števili). Nad poljem Q racionalnih števil so prvi trije bogati členi vodeni, druga dva sta nevodena. Nad poljem R realnih števil je prvih nekaj členov prikazanih ali ne. Polje realnih števil ima neusmerjene linearne člene in kvadratne člene brez realnih korenin. Na primer, razširitev polinoma v polju realnih števil izgleda takole. Neupravičeni množitelji v tej postavitvi so bogati z izrazi, zato se ne dajte napeljati. Nad poljem C kompleksnih števil je prikazanih pet obogatenih izrazov. Pravzaprav lahko isto vrsto konstantnega polinoma nad C faktoriziramo v obliki: de n- korak penisa, a- Seniorski koeficient, - Koren polinoma. Zato so isti nereducibilni členi bogati z linearnimi polinomi (glavni izrek algebre).
Za bogate ljudi obstaja linearni red. Recimo, da n
V sferi naravnih števil je vedno možna ista operacija. To nam daje pravico, da uvedemo razmerje deljivosti: recimo, da število n deli število m, saj je m=nk za katero koli vrsto k∈
Bistveno skozi - obroč celih števil. Izraz “obroč” pomeni, da se nahajamo desno od anonimke R, v kateri sta dve operaciji – seštevanje in množenje, ki sta urejeni z enakimi pravicami.
Podan je par celih števil (m,n). Pomembno je, da je n presežek s številom 1. Prvi korak k evklidskemu algoritmu je deliti m z n s presežkom, nato pa presežek deliti s presežkom, tako da lahko naredimo nov seštevek, medtem ko še vedno odstranjevanje novega
Dajmo matrično interpretacijo evklidskega algoritma (prihodnji odstavek o matrikah div). Prepišimo zaporedje razdelkov iz pogleda presežne matrike: Snovi v koži
Matematiki pravilno delajo s predmeti, kot so na primer števila, funkcije, matrike, premice na ravnini itd., in prav tako delajo pravilno s formulami. Vyslovlyuvannya je dejanje potrditve
Chi viraz bude vislovlyuvannyam? Ne, ta vnos je v obliki z eno spremembo. Če namesto spreminjanja nadomestka za sprejemljive vrednosti, potem so razlike jasno opredeljene kot
Matrična algebra nad obročem R (R je obroč celih števil, polje racionalnih števil, polje realnih števil) je najbolj razširjen algebrski sistem z nespremenljivo operacijo.
Vrednost kvadratne matrike A je označena numerična karakteristika. Poglejmo matriko majhnih dimenzij 1,2,3: VREDNOST. Pu
Jasno je, da ne glede na to, ali gre za transformacijo ravnine, prihrani razdaljo, bodisi vzporedni prenos na vektor ali vrtenje okoli točke Pro na rezu α ali pa je simetrija očitno ravna
Ta razdelek ima samo eno polje - polje kompleksnih števil ℂ. Z geometričnega vidika je vono ravnina, z algebraičnega vidika pa v središču
Pravzaprav smo področje kompleksnih števil poznali že v prejšnjem odstavku. Če pogledamo Vinyatkova, je pomembnost polja kompleksnih števil posledica njegove nemedianske konstrukcije. Oglejmo si prostor
Polje kompleksnih števil nam daje novo moč - manifestacijo neidentičnega, neprekinjenega avtomorfizma (izomorfizma vin). Kompleksno število imenujemo prej pridobljeno število in prikaz
Kompleksno število si lahko predstavljamo kot vektor. Dovžinov vektor, tj. količino imenujemo modul kompleksnega števila in označujemo. Vrednost se imenuje norma števila, včasih jo je težje določiti
Pravilo (2) odstavka nam daje pravico do vrednotenja eksponenta čisto eksplicitnega števila: Dejansko ima na ta način funkcija petja tako moč: &
Linearni polinom ima vedno koren. Kvadratni trinom ima vedno koren nad poljem realnih števil. Poiščimo kvadratni trinom nad poljem kompleksnih števil (). Konvoj
Naj “ ” pomeni ekvivalenco na množici M. Za element je pomemben skozi ekvivalenčni razred. Todi brezosebni M je razdeljen na enotne razrede enakovrednosti; kožni element z M z
spremembe nad poljem in preprost element obroča 
, torej nepredstavljeno v videzu dela, kjer so i bogati z izrazi s koeficienti, nadomeščenimi s konstantami.