adsby.ru → Fizika

Različni načini dokazovanja Pitagorovega izreka: aplikacije, opisi in metode. Znani izreki (Pitagorov izrek) Uvod v Pitagoro in njegov izrek

Ugotovite, ali je to trikutano drevo pravokotno, saj Pitagorov izrek velja le za pravokotno trikukutinejo.

Pri ravnih kotletih je eden od treh izrezov vedno 90 stopinj.

Ravni rez ravnega rezalnika je označen s simbolom, ki izgleda kot kvadrat, in ne z ukrivljenim videzom, ki označuje posredne rezine. Označite stranice trireza.

Noge so znane kot "a" in "b" (katete so stranice, ki se prekrivajo pod ravnim rezom), hipotenuza pa je znana kot "c" (hipotenuza je največja stranica ravnega reza, ki leži nasproti ravni rez). Upoštevajte, da morate vedeti, na kateri strani je trikat.

Pitagorov izrek vam omogoča, da veste, katera stran rektikutanega trikupusa (saj sta znani dve drugi strani). Zato je treba vedeti, na kateri strani (a, b, c).
Na primer, podana je hipotenuza, ki je višja od 5, in podan je krak, ki je višji od 3. V tem primeru morate poznati drugi krak. K tej zadnjici se bomo vrnili pozneje.

Ker sta drugi dve strani neznani, je treba poznati ravnotežje ene od neznanih strani, da bi lahko dokazali Pitagorov izrek. V ta namen se naučite osnovnih trigonometričnih funkcij (saj ste dobili vrednost ene od posrednih funkcij). Nadomestite formulo a 2 + b 2 = c 2 za dane vrednosti (ali vrednosti, ki ste jih našli).

Ne pozabite, da sta a in b kateta, h pa hipotenuza. V naši aplikaciji napišite:.

3² + b² = 5² Z zunanjo stranjo kože naredite kvadrat.

V nasprotnem primeru izpolnite korak - številke v kvadratu lahko izračunate pozneje.

V primeru zapišite: 9 + b² = 25. Postavite nevidno stran na eno stran ravnine.

Če želite to narediti, prenesite iste vrednosti na drugo raven. Če poznate hipotenuzo, potem je v Pitagorovem izreku že okrepljena na eni strani (ničesar ni treba storiti).

V našem primeru premaknite 9 na desno stran ravnine, da povečate neznano b². Ali odvzamete b? = 16. Iz obeh strani enačbe izvlecite kvadratni koren.

Na tej stopnji je na eni strani neznan izraz (v bližini kvadrata), na drugi strani pa izraz (število). 4 .

Uporabite Pitagorov izrek v vsakdanjem življenju, saj ga je mogoče uporabiti v številnih praktičnih situacijah.

V ta namen se naučite prepoznati ravno krojene pletenine v vsakdanjem življenju – v vsaki situaciji, ko se dva predmeta (ali črti) premikata pod ravno črto, tretji predmet (ali črta) pa povezuje (z diagonalami) vrhove dva prva predmeta (ali črte), lahko uporabite Pitagorov izrek, da poiščete neznano stran (saj sta vidni drugi dve strani).
- Zadnjica: podatki se spustijo, umiri se, dokler se ne zbudiš. Spodnji del klančin se nahaja 5 metrov nad podnožjem stene. Zgornji del rampe se nahaja 20 metrov nad tlemi (navkreber po steni). Kakšen je datum srečanja?
  - "5 metrov od podnožja stene" pomeni, da je a = 5; "biti 20 metrov nad tlemi" pomeni, da je b = 20 (potem imate dve nogi ravnega rezalnika, drobci stene in površine Zemlje se bodo premikali pod ravnim rezom). Dan zbiranja je dan hipotenuze, ki je neznana.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - z = √425 z = 20,6. Na ta način se bliža obletnica srečanja.

20,6 metrov

Pitagorov izrek za vse v šoli. Ugledni matematik je prišel do velike hipoteze, ki jo mnogi izkoriščajo. Pravilo zveni takole: kvadrat hipotenuze trikutanega rektuma je enak vsoti kvadratov nog. Temu pravilu matematik že več kot desetletje ne more nasprotovati. In Pitagora je živel dovolj dolgo, da je dosegel cilj, tako da bi rezultat stola imel malo mesta v vsakdanjem življenju.
Majhen dosežek je doseči ta izrek, ki si ga šele po dokazu niso mogli predstavljati, da bi takoj spravili na moč hipotezo: "Pitagorove hlače so na vseh straneh enake." Ta dvovrstica je bila postavljena v spomin bogatih - do danes bodo ugibali pri izračunih.
Ta izrek je povzročil ime "Pitagorejske hlače" zaradi dejstva, da bi, ko bi sedel na stolu na sredini, nastal pravokoten tridel, s kvadrati, ki segajo iz njegovih strani. Po videzu je stol napovedal hlače - zvezde in imena hipotez.
Pitagora je napisal razdrobljen izrek in tudi ta hipoteza je razširjena od podobnih do največjega števila dokazov. Pomembno: Rivalry je bil uvrščen v Guinnessovo knjigo rekordov za 370 resničnih dokazov. Hipotezo so na mnogo načinov razvili matematiki in profesorji iz različnih držav.
Ninin dokaz nikomur neznanega izreka samega Pitagore. Dejstva o dokazih matematike danes niso znana nikomur. Pomembno je, da je Evklidov dokaz stola Pitagorov dokaz. Vendar so ljudje vedno oporekali tem trditvam: pomembno je, da je Evklid samostojno razvil izrek, brez pomoči ustvarjalca hipoteze.
Danes se je pokazalo, da veliki matematik ni bil prvi, ki je odkril to hipotezo.. Rivne so poznali že dolgo preden ga je odkril Pitagora. Ta matematik je dovolj pameten, da sprejme hipotezo.
Pitagora ni dal naslova "Pitagorov izrek". To ime se je prijelo po "grobnem plemiču". Matematik ne želi svojih prizadevanj, da bi odkrito prepoznal ves svet in imel od njih korist.
Moritz Cantor - veliki matematik je vedel in, ko je pogledal starodavni papirus, zapise stolov. Nezabar Poslya Cantor je spoznal, da so ta izrek poznali Egipčani že leta 2300 pr. Samo da nikogar ni motila in nikogar ni poskušala spraviti skozi.
Ljudje še vedno cenijo, da je hipoteza obstajala že v 8. stoletju pr. Indijske študije v tistem času so razkrile približno oceno hipotenuze trikutane rastline, obdarjene z ravnim rezom. Res je, da takrat nihče ni mogel prinesti melodičnega ljubosumja za približne izračune.
Veliki matematik Bartel van der Waerden je po dokazovanju hipoteze podal pomembno točko: »Zasluga grškega matematika se ne ceni neposredno po geometriji, ampak še bolj po izračunih. V rokah Pitagore so bile računske formule, ki so temeljile na predpostavkah, netočnih izračunih in neskladnih pojavih. Vendar se je znani znanstvenik odločil, da jo bo preoblikoval v eksaktno znanost.”
Vidomy poje in pravi, da je na dan otvoritve svojega krsta dal veličastno žrtev. Tudi po tem, ko je bila postavljena hipoteza, je obstajal občutek, da je žrtvovanje stotih bogijev "začelo posegati v hrbtne strani knjig in znamenitosti." Tehnologi še cvrti, odslej pa se vsi bojijo novega izbruha.
Dokaz, da se ni Pitagora domislil hlač, da bi mu stoli viseli: v življenju velikega matematika še ni bilo hlač. Smrad je bil viden skoraj deset let.
Pekka, Leibniz in peščica drugih so poskušali dokazati že znani izrek, a se nihče ni mogel upreti.
Ime stola "Pythagorean theorem" pomeni "ponovna pretvorba promocije". Tako se prevaja beseda Pitagora, pri čemer je matematik vzet za psevdonim.
Pomislite na Pitagorovo pravilo o moči: skrivnost obstoja zemlje se razkrije v številih. Je tudi matematik, ki se opira na svoje hipoteze, sprejema moč števil, razkriva pare in nepare, ustvarja razmerja.

Tukaj je nekaj dejstev o Pitagorovem izreku: izvemo nekaj novega o tem izreku (15 fotografij) na spletu dobre kakovosti. Prosimo, pustite svoje misli v komentarjih! Misli vaše kože so za nas pomembne.

Kako si lahko razložimo na primer takšno spoštovanje Pitagorovega izreka med matematiki in ljubitelji matematike? Zakaj se jih toliko ni zadovoljilo z že znanimi dokazi, ampak so našli svoje in število dokazov povečali na nekaj sto v petindvajsetih, enako dostopnih za pregled?
Ko govorimo o Pitagorovem izreku, je naravno, da začnemo z njegovim imenom. Pomembno je, da tega ni prvi formuliral Pitagora. Tiste, ki so dali dokaze, spoštujejo dvomljivi. Ker je Pitagora resnična oseba (vsi dvomijo, kdo ve!), potem je živ, bolj kot karkoli drugega, v 6.-5. zveneti
e. Ker sam ni napisal ničesar, se je imenoval filozof, kar je v njegovem razumevanju pomenilo, "kaj je bistvo modrosti", saj je zaspal v Pitagorejski zvezi, katere člani so študirali glasbo, gimnastiko, matematiko, fiziko in astronomija. Očitno je bil čudežni govornik, o katerem obstaja legenda, da je bil v mestu Crotonia: »Prvi nastop Pitagore pred prebivalci Crotonia se je začel z razglasom pred mladimi, v katerem je vino tako in tako pljuskalo viklav oba 'jezika mladih, za katera so starešine kraja prosili, naj ju brez kesanja ne odvzamejo. Ta druga promocija je nakazovala zakonitost in čistost razdeljevanja, ki temelji na družini; Naslednji dve ženski sta se razjezili na svoje otroke in ženske. Kot rezultat zadnje promocije, v kateri smo še posebej cenili razkošje, je bilo v Gerijev tempelj dostavljenih na tisoče dragih oblačil, da se vsaka ženska ne bi več upala v njih pokazati na ulici ...« Prote v še eno stoletje našega eri, takrat so v 700 skalah v določenih časih živeli in delali popolnoma resnični ljudje, ki so bili očitno pod vplivom Pitagorejske unije, in z velikim ponosom se vidi, da je Pitagora ustvaril legendo.
Nedvomno zanimanje za izrek vzbuja dejstvo, da zavzema eno osrednjih mest v matematiki, in zadovoljstvo avtorjev dokazov, da so premagali težave, o čemer je to dobro povedal rimski pevec Kvint Horacij je Flaccus, ki živi v naši dobi: "Pomembno je prijazno govoriti o dejstvih iz zakulisja."
.
Od začetka je izrek vzpostavil razmerje med ploščinami kvadratov, tvorjenih na hipotenuzi in krakih rektuma trikutano:
Algebraična formula:
Nato označujemo dolžino hipotenuze trikutaneuma skozi c in dolžino katet skozi a in b: a 2 + b 2 = c 2. Očitno je formulacija izreka enakovredna, druga formulacija pa je bolj elementarna, vendar ne posreduje enostavnejšega koncepta. To drugo trditev je mogoče ponovno preveriti, ne da bi vedeli karkoli o območju in obstoječih straneh ravno rezane trikutane rastline.
Vorotny Pitagorov izrek. Za poljubna tri pozitivna števila a, b in c, tako da
a 2 + b 2 = c 2 Sestavljen je iz premočrtnega trikota s katetama a in b ter hipotenuzo c.

Dokaži

Trenutno je v znanstveni literaturi zapisanih 367 dokazov tega izreka. Jasno je, da je Pitagorov izrek en sam izrek z velikim številom dokazov. To raznolikost je mogoče pojasniti samo s temeljnimi posledicami izreka za geometrijo.
Očitno jih je konceptualno mogoče razdeliti na majhno število razredov. Najpogostejši med njimi so: dokazi po metodi ploščin, aksiomatski in eksotični dokazi (na primer s pomočjo diferencialnih enačb).

Skozi podobne drese

Naslednji dokaz algebraične formule je najpreprostejši izmed dokazov, ki bodo neposredno povezani z aksiomom. Zokrema ni vikoristični koncept ploske figure.
Naj bo ABC ravno rezilo z ravnim rezom C. Narišimo višino iz C in bistveno njegovo osnovo skozi H. Trikotnik ACH je podoben trikotniku ABC v dveh rezih.
Podobno je trikotnik CBH podoben ABC. Vivši termini

zanikal

Kaj je enakovredno

Stisni, odnesi

drugače

Dokažite z metodo ploščine

Spodnji dokazi, ne glede na svojo preprostost, sploh niso tako enostavni. Vsi so zmagoviti proti avtoritetam, katerih dokazi so podobni dokazu samega Pitagorovega izreka.

Dokaz z zanesljivostjo

1. Gojimo ravno rezane trikutle, kot je prikazano na otroštvu.
2. Rezalnik s stranicami in kvadratom, odlomki vsote dveh ostrih rezov so 90°, razširjeni rez pa 180°.
3. Ploščina vseh figur je na eni strani enaka ploščini kvadrata na drugi strani (a+b), na drugi strani pa vsota ploščin štirih trikuletov. in notranji kvadrat.

Kaj je bilo treba vzgojiti.

Dokaz skozi doslednost

Zadek enega od teh dokazov je naveden na desnem fotelju, de kvadrat, na hipotenuzi, s preureditvijo se pretvori v dva kvadrata, na straneh.

Evklidov dokaz

Ideja Evklidovega dokaza je v sedanjosti: poskušali bomo dokazati, da je polovica ploščine kvadrata, generiranega na hipotenuzi, enaka vsoti polovice ploščin kvadratov, generiranih na nogah, in nato površina velikega kvadrata in dveh majhnih kvadratov enake velikosti. Oglejmo si Evilov stol. Na tem smo postavili kvadrate na stranice pravokotnega trikota in potegnili z vrha pravokotnega reza C, pravokotno na hipotenuzo AB, nato pa smo kvadrat ABIK, na hipotenuzi, razrezali na dva pravokotnika - BHJI oziroma HAKJ . Izkazalo se je, da so površine teh ravnih rezalnikov popolnoma enake površinam kvadratov, oblikovanih na ustreznih krakih. Poskusimo dokazati, da je površina kvadrata DECA enaka površini ravnega rezalnika AHJK. Iz tega razloga so povezani naslednji sklepi: Površina trikutanega kvadrata je enaka višini osnova, da je danski ravni rezalnik enaka polovica površine hrbta nogo pokonci. Zato je površina trikubitule enaka polovici višine baze. Iz tega sledi, da je območje trikutanega ACK enako kot območje trikutanega AHK (ni upodobljen pri otroku), ki je po drugi strani enaka polovici površine rektutana AHJK. Dokažimo zdaj, da je ploščina trikuba ACK tudi polovica ploščine kvadrata DECA. Edina stvar, ki je potrebna za ta razvoj, je prinesti ljubosumje trikutikul ACK in BDA (fragmenti površine trikutikule BDA so enaki polovici površine kvadrata za navedeno moč). Ljubosumje je očitno, hlačne nogavice so na obeh straneh enake in med seboj pletene. Sama - AB=AK,AD=AC - enakost izrezov CAK in BAD zlahka dosežemo z metodo rukhu: trikutikel CAK obrnemo za 90° proti enoletni puščici, potem je očitno, da sta nasprotni strani oba trikutikula, ki ju vidimo, bosta potekala skupaj (rez na vrhu kvadrata - 90°). Razprava o enakomernosti površine kvadrata BCFG in rektuma BHJI je popolnoma podobna. Sam Tim je odkril, da je površina kvadrata, ki je oblikovana na hipotenuzi, vsota ploščine kvadratov, ki so oblikovani na nogah.

Dokaz o Leonardu da Vinciju

Glavna elementa dokaza sta simetrija in tok.

Če pogledamo fotelj, kot je razvidno iz simetrije, rez CI deli kvadrat ABHJ na dva dela (fragmenta kvadrata ABC in JHI sta dnevno enaka). Z vrtenjem za 90 stopinj proti letnici povečamo enakomernost osenčenih likov CAJI in GDAB. Zdaj je jasno, da je površina figure, ki smo jo zasenčili, enaka polovici površine kvadratov, ki jih najdemo na nogah, in površini zunanjega trikuputa. Po drugi strani pa je več kot polovica površine kvadrata, dobljenega na hipotenuzi, plus površina trikupute. Preostali čas za dokazovanje ostane pri bralcu.

Znanstvena in praktična konferenca Miska

"Začni za znanost"

Znani izreki (Pitagorov izrek)

Rubrika »Ustvarjalna moč

veliki dosežki v matematiki"

3.4 Status mobilnih komunikacij……………………………………………………….26

Zaključek………………………………………………………………………………………27

Literatura………………………………………………………………………………...29

Vstop

Pomembno je vedeti, da ime Pitagora ni povezano s Pitagorejskim izrekom. Morda tisti, ki so se v življenju poslovili od matematike, prihranijo misli o "Pitagorovih hlačah". Razlog za tako priljubljenost Pitagorovega izreka je trojni: preprostost – lepota – pomen. Pravzaprav je Pitagorov izrek preprost, vendar ni očiten. Ta kombinacija dveh superljubečih prsti ji daje posebno blagodejno moč in jo naredi lepo. Poleg tega je Pitagorov izrek velikega pomena: v geometriji je uveljavljen dobesedno na kožo, dejstvo, da obstaja približno 500 različnih dokazov tega izreka (geometrijskih, algebrskih, tudi njih), pa priča o velikem številu specifičnih izvedbe. Bistvo Pitagorovega izreka je okrašeno z avro čudovitih legend.

Ta pitagorejski izrek je razkrit v različnih zasebnih sobanah in sobanah: v egipčanski klinopisni tablici na papirusu faraona Amenemheta Prvega (okoli 2000 pr. n. št.) in v babilonskih klinopisnih tablicah iz obdobja kralja Ham murapi (XVIII. stoletje pr. n. št.). . , in v stari indijski geometrično-teološki razpravi VII - V st. zveneti

e. "Sulva Sutra" ("Pravila Motuzke"). V najnovejši kitajski razpravi »Zhou Bi Xuan Jin«, katere sestava zagotovo ni znana, je potrjeno, da je v 12. st. zveneti

To pomeni, da so Kitajci poznali moč egipčanskega trikutnika in do VI. zveneti

e. - I zagalni pogled na izrek. Ne glede na vse se je ime Pitagora tako zlilo s Pitagorovim izrekom, da je enostavno nemogoče dojeti, da bo ta beseda razpadla. Danes je splošno sprejeto, da je Pitagora dal prvi dokaz izreka, ki nosi njegovo ime. Žal tudi o tem dokazu ni bilo sledi.

Za besedo znanega znanstvenika I. Keplerja, "geometrija Volodya je sestavljena iz dveh zakladov - Pitagorejskega izreka in zlatega vretenca, in kot prvega od njih lahko primerjamo s svetom zlata, drugega z dragim kamnom ..."

Pitagorov izrek je eden najpomembnejših in, lahko bi rekli, najpomembnejši izrek geometrije. Pomen tega je, da je večina geometrijskih izrekov mogoče izpeljati iz njega in iz njega.

Neki ameriški matematik, naš sošolec, je približno 20 let zbiral različne načine za dokazovanje Pitagorovega izreka in nekoč je njegova zbirka vsebovala približno 300 različnih dokazov. Kaj naj rečem o tistih, da je stari izrek pomemben in uporaben za današnje ljudi.

Pri šolskem tečaju geometrije s pomočjo Pitagorovega izreka ni matematičnih nalog. Na žalost praktični pomen Pitagorovega izreka ni viden.

V tem času so skrivno znanje zavrnili tisti, ki so uspeli razviti bogata področja znanosti in tehnologije, da bi ležala v razvoju različnih področij matematike. Pomemben miselni napredek učinkovitosti odkrivanja je široko sprejetje matematičnih metod v tehnologiji in ljudski vladavini, ki prinaša ustvarjanje novih, učinkovitih metod natančnega in kompleksnega raziskovanja, ki omogočajo Ishuvati zadannya, scho hang prakso.

Predmet raziskave: Pitagorov izrek.

Predmet raziskovanja: različne interpretacije in metode potrjevanja Pitagorovega izreka, ki so uveljavljene pri najbolj praktičnih nalogah. .

Meta-raziskava: natančno preučiti formulacijo Pitagorovega izreka, analizirati dokaze in dokaze Pitagorejskega izreka, vzpostaviti druge interpretacije Pitagorovega izreka in tudi identificirati področja definicije Pitagorovega izreka.

Za dosego cilja so bile postavljene naslednje naloge:

1. Izvedite analizo zgodovine Pitagorovega izreka.

2. Sledite različnim metodam dokazovanja in si oglejte druge interpretacije Pitagorovega izreka.

3. Pokažite praktično veljavnost Pitagorovega izreka.

V prvem delu tega dela si lahko ogledamo zgodovino Pitagorovega izreka.

V drugem razdelku si bomo ogledali različne metode za potrditev Pitagorovega izreka.

V tretjem poglavju si ogledamo različne interpretacije Pitagorovega izreka.

Poglejmo klasične dokaze Pitagorovega izreka, povzete iz starodavnih razprav. Zanimivo je tudi, da znajo današnji šolski učitelji izrek dokazati algebraično. S tem se brez sledu izgubi prvobitni geometrični avro teorije, uniči se tista Ariadnina nit, ki je starodavne modrece vodila do resnice, in ta pot se lahko še kdaj zdi najkrajša in vedno lepša.

Oddelek 1. Zgodovina Pitagorovega izreka.

1.1. Biografija Pitagore.

Veliki učenci Pitagore so se rodili okoli leta 570 r. zveneti

Pri 548 rub. zveneti

e. Pitagora je prispel v Naukrat - lastno kolonijo, kjer sta bila telo in jež. Ko so sprejeli vero Egipčanov, so odšli v Memphis. Ne glede na faraonovo priporočilno pismo, zviti svečeniki niso hiteli, da bi Pitagori razkrili svoje skrivne prostore in ga naučili težavnosti testiranja. Da ne bi škodili znanju, si je Pitagora dvignil brke, da bi pridobil podatke iz izkopavanj, egipčanske žrtve se niso mogle veliko naučiti, saj je bila takrat egipčanska geometrija uporabna znanost (ki je zadovoljevala potrebe tistega časa v svet zemljišč). Tom, ko je izvedel, kaj so mu dale žrtve, je odtekel iz njih in uničil patristiko v Helladi. Ko pa je Pitagora opravil del poti, se je odpravil po kopnem in ob eni uri pokopal Kambiza, babilonskega kralja, ter odšel naravnost domov. Ni dobro dramatizirati Pitagorovega življenja v Babiloniji, saj je bil veliki Volodar Kir toleranten do vseh bitk. Babilonska matematika je bila nedvomno naprednejša (primer bi lahko bil položajni sistem računanja), nižja egipčanska matematika in Pitagora bi se opiral nanjo. Ale 530 rub. zveneti

e. mesto je bilo uničeno med pohodi proti plemenom v Srednji Aziji. In sredi nemira na tem območju se je Pitagora pognal v domovinsko vojno. In takrat je na Samosu vladal tiran Polikrat. Seveda Pitagora ni vladal življenju dvornega sužnja, niti ni živela pri štedilniku na obrobju Samosa. Po večmesečnem preganjanju s strani Polikrata se je Pitagora preselil v Croton. V Krotoniji je Pitagora zaspal na podlagi versko-etične bratovščine tajnega črnega reda (»pitagorejcev«), katerega člani so se zavezali, da bodo vodili tako imenovani pitagorejski način življenja. To je hkrati verska zveza, politični klub in znanstveno partnerstvo. Povedati je treba, da se dejanja načel, ki jih pridiga Pitagora, občasno podedujejo.

Pitagorovo teorijo pripisujejo starogrškemu filozofu in matematiku Pitagori. Vendar pa je študija babilonskih klinopisnih tabel in starodavnih kitajskih rokopisov pokazala, da je bila ta trditev znana že dolgo pred Pitagoro, morda tisoč let pred tem. Pitagorova zasluga je bila v tem, da je odkril dokaz tega izreka.

Pitagorov izrek se imenuje tudi "imenovani izrek". Na desni, v Evklidovih »Cobsih« se imenuje tudi »teorem o nimfah«, le da so njihovi fotelji zelo podobni bjilki ali snežnemu metežu, Grki pa so jih imenovali nimfe. Ko so Arabci ponovili ta izrek, so mislili, da je nimfa dobila ime. Tako je nastal "imenovani izrek". Temu so v Indiji rekli tudi »pravilo motuzke«.

Zgodovinski pogled na izvor teorema sega v starodavno Kitajsko. Tu si Chupeijeva matematična knjiga zasluži posebno spoštovanje. Čigavo delo gre takole o pitagorejskem dresu s stranicami 3, 4 in 5: »Če je v skladišču postavljen ravni rez, bo črta, ki povezuje konce njegovih stranic, 5, če je osnova 3, in višina je 4." Ta knjiga vsebuje majhnega otroka, ki steče do enega od naslanjačev hindujske geometrije Baskhari.

Cantor (največji nemški zgodovinar matematike) ugotavlja, da so enačbo 32 + 42 = 52 poznali že Egipčani okoli leta 2300 pr. e.., za ure kralja Amenemheta I. (od papirusa 6619 do berlinskega muzeja). Po Kantorju so bili harpedonapti ali »motocikli za zategovanje« neposredni rezi s pomočjo ravnih rezov s stranicami 3, 4 in 5. To metodo je mogoče enostavno ustvariti. Vzemite trak 12 m dolgega traku in ga privežite nanj vzdolž barvne vezice z navijalko 3 m na enem koncu in 4 m na drugem. Med stranicami klina 3 in 4 metre se bo pojavil raven rez. Harpedonaptam bi se lahko zoperstavili, ker bi jih s svojim načinom spodbudili, da bi postali opazni, saj bi hitro zarezali na primer z leseno koso, ki bi jo zlepili skupaj z vsem orodjem za obdelavo lesa. Obstajajo egipčanski malčki, na katerih je takšno orodje nabrušeno, na primer malčki, ki predstavljajo mizarsko delavnico.

O Pitagorovem izreku vemo več med Babilonci. V enem besedilu, ki sega v čas Hamurabija, nato v leto 2000 pr. To pomeni, da približamo izračun hipotenusa trikutanega rektuma. V tem primeru ne morete reči, da je Dvorichch lahko izvedel izračune z ravno rezanimi trikutanimi rastlinami, na skrajnem koncu, na koncih.

Geometrija je bila pri Hindujcih, tako kot pri Egipčanih in Babiloncih, povezana s kultom. Prav presenetljivo je, da so izrek o kvadratu hipotenuze poznali že v starodavni Indiji okoli 18. stoletja. zveneti

V prvem ruskem prevodu evklidskih »Cobs«, sestavljenem, je Pitagorov izrek naveden takole: »V pravokotni trikutaneji je kvadrat s strani, ki ustreza ravnemu robu, enaka vsota kvadratov s stranic, kar ustreza ravnemu robu."

Nina ve, da je ta izrek odkril Pitagora. Vendar nekateri spoštujejo, da je bil Pitagora prvi, ki je podal ta dokončen dokaz, medtem ko mu drugi pripisujejo to zaslugo. Apostolska dela pripisujejo Pitagori dokaz, ki ga Evklid črpa iz prve knjige svojih »Cob«. Po drugi strani pa Prokl trdi, da dokaz za "Stržek" pripada samemu Evklidu. Pravzaprav je zgodovina matematike v veliki meri ohranila zanesljive podatke o Pitagorovem življenju in njegovih matematičnih dejavnostih. Ta legenda razkriva okoliške okoliščine, ki so spremljale izrek. Pravijo, da je v čast čigavega poklona Pitagora od žrtve prinesel 100 dolarjev.

Van der Waerden (nizozemski matematik) je po eni strani opiral na trenutno znanje egipčanske in babilonske matematike, po drugi strani pa na kritično uporabo orehov, pripravil naslednji oris:

»Zasluga prvih grških matematikov, kot so bili Tales, Pitagora in Pitagorejci, ni odkritje matematike, temveč bolj sistematizacija in razmejitev. V naših rokah so se kalkulativni recepti, ki temeljijo na neverjetnih pojavih, spremenili v eksaktno znanost.«

Poglavje 2. Različne metode za potrditev Pitagorovega izreka.

2.1. Oblikovanje in značilnosti Pitagorovega izreka.

Pitagorov izrek je eden glavnih izrekov evklidske geometrije, ki določa razmerje med stranicami pravokotnega trikupusa.

Od začetka je izrek vzpostavil razmerje med ploščinami kvadratov, tvorjenih na hipotenuzi in krakih rektikutine: "V rektumu je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov obeh krakov."

Algebraična formulacija: "V pravokotnem trikutanem kvadratu je kvadrat hipotenusa enak vsoti kvadratov dolžina nog."

Potem, ko smo označili dolžino hipotenuze trikutule skozi c in dolžino katet skozi a in b, lahko sklepamo: a2 + b2 = c2.

Varto poudarja, da je formulacija izreka, podana v šolskem učbeniku, sprva zvenela popolnoma napačno. Preuredimo formulo Pitagorovega izreka v druge izraze:

1. Evklid ima ta izrek, da pravi: "Pri ravnem rezu je kvadrat stranice, raztegnjene nad ravnim rezom, primerljiv s kvadrati na straneh, ki postavljajo ravni rez."

2. Latinski prevod arabskega besedila Annairitsa (približno 900 R. A.D.), ki ga je razširil Gerhard iz Cremona (kob 12. stoletja), pravi: »Kožni ravno izrezan trikubitus ima kvadrat, kreacije na strani, raztegnjene čez ravno rez, starodavna vsota dveh kvadratov, Kreacije so na dveh straneh, zato jih je treba položiti naravnost.«

3. V Geometria Gulmonensis (okoli 1400) se izrek glasi takole: »Potem je površina kvadrata, ki je na obeh straneh, tako velika kot površina dveh kvadratov, ki sta na obeh straneh njega, ki mejijo na ravni rob."

4. V prvem ruskem prevodu Evklidovih »Cobs«, sestavljenem iz grščine (»Evklidski začetki vseh knjig, ki vsebujejo osnovo geometrije«, Sankt Peterburg, 1819), je Pitagorov izrek naveden takole: »V ravno rezani kvadratni kutniki s strani, sho, da sledite ravnemu rezu, enako število kvadratov na straneh, da postavite ravni rez.«

Pitagorov izrek dopolnjuje kosinusni izrek, ki ugotavlja razmerje med stranicama trikubitusa, in tudi Pitagorov izrek ne samo na ravnini, temveč tudi na prostoru: »Kvadrat je diagonala« Ta paralelepiped je enak vsota njegovih kvadratov."

Obstaja tudi pravi obrat trditve (imenovan Pitagorov obratni izrek): »Za vsako trojko pozitivnih števil a, b in c, tako da je a² + b² = c², obstaja pravokoten trikotnik s krakoma a in b ter hipotenuza c."

Proteja, je jasno, da so jo na podlagi različnih ukazov davno pred Pitagoro ustanovili stari Egipčani, Babilonci, Kitajci, Indijci in druga stara ljudstva.

V drugem razdelku smo si ogledali različne metode za potrditev Pitagorovega izreka. Pitagora je od vsega začetka pokazal le zaključek izreka: videl je ravno izrezano trikutano enakostranično stegnenico. Fotelj, s katerim dokazujejo ta padec, pogosto imenujejo "Pitagorejske hlače" in dodajajo: na vseh straneh enakovredni.

Ko smo se seznanili z različnimi metodami dokazovanja Pitagorovega izreka, smo ugotovili, da nekatere od njih temeljijo na moči enakih številk, druge - na dodatnih enakih številkah, tretje pa na moči enakih številk (enakih številk). in predel, ki oteče). Tukaj smo videli več kot nekaj načinov za dokazovanje slavnega izreka in še veliko jih je.

Po preučevanju zgodovine Pitagorejskega izreka je postalo jasno, da Pitagora ni odkril samega izreka, ampak dokaz. Po pregledu različnih metod dokazovanja Pitagorovega izreka se je izkazalo, da je takih dokazov veliko in jih lahko razdelimo na:

§ dokazovanje po metodi prebudov

§ dokaz z metodo razpleta

§ algebraična metoda dokazovanja

§ vektorski dokaz

§ dokaz za dodatno podobnost in drugo.

V tretjem poglavju smo si ogledali nekaj elementarnih aplikacij praktičnih nalog, pri katerih bo najverjetneje uporabljen Pitagorov izrek.

Ko smo spoznali praktičen pomen Pitagorovega izreka, se je izkazalo, da ima izrek velik pomen v vsakdanjem življenju na različnih področjih človekove dejavnosti: astronomija, vsakdanje življenje, mobilne komunikacije, arhitektura ip.

Prav tako smo kot rezultat preiskave našli druge interpretacije Pitagorovega izreka in identificirali področja veljavnosti izreka. Na to temo smo zbrali in zbrali ogromno gradiva iz literarnih virov in interneta. Prebrali smo številna zgodovinska dejstva o Pitagori in njegovem izreku ter si ogledali številna zgodovinska dejstva o Pitagorovem izreku. Skozi vojno so se obnovili najpomembnejši ukazi, tako da so se hipoteze, ki smo jih postavljali, potrdile. S pomočjo Pitagorejskega izreka ga je pravzaprav mogoče interpretirati kot matematično teorijo. Pitagorov izrek je našel svojo uporabo v vsakdanjem življenju, arhitekturi in mobilnih komunikacijah.

Rezultat našega dela je:

§ začeti z literarnimi veščinami;

§ začetek iskanja zahtevanega gradiva na internetu;

§ Naučili smo se ravnati z veliko količino informacij, selekcionirati želene informacije.

Seznam literature.

1. Aleksejev. Priprava na EDI: osnovni metodološki priročnik, M., 2011.

2. Boltyansky in enakomerno zložene figure. M., 1956.

3. Van der Waerden znanost. Matematika starega Egipta, Babilona in Grčije. M., 1959.

4. Še enkrat o Pitagorovem izreku // Osnovno-metodični časopis "Matematika", št. 4, 2005.

5. , Yatsenko je vodja šolarja. M., 2008.

6. Pitagorov izrek. M., 1960.

7. Več načinov za dokazovanje Pitagorovega izreka // Navchalno-metodični časopis Matematika, št. 24, 2010.

8. Vivchaemo geometrija, M., 2007.

9. Tkachova matematika. M., 1994.

10. O Pitagorejskem izreku in metodah njegovega dokaza G. Glaser, akademik Ruske akademije znanosti, Moskva

11. Pitagorov izrek in pitagorejski trojčki, poglavje iz knjige D. V. Anosova “Pogled na matematiko in kaj je za njo”

12. Stran o Pitagorovem izreku z velikim številom dokazov, gradivo vzeto iz knjige V. Litzmana.

13. http://enciklopedija. *****/bios/nauka/pifagor/pifagor. html

14. http://moypifagor. *****/uporaba.

htm

15. http://moypifagor. *****/literatura. htm Pitagorov izrek : vsota kvadratov, ki se spiralno zavihajo na stranice (і a b ), površina kvadrata, ustvarjenega na hipotenuzi ().

Več geometrijske formulacije:

Bulin izrek je na začetku formuliran takole:

Algebraična formula: ), površina kvadrata, ustvarjenega na hipotenuzi ( Tobto, ki je označil dovzhno hipotenusa trikutaneuma skozi : vsota kvadratov, ki se spiralno zavihajo na stranice (і a :

: vsota kvadratov, ki se spiralno zavihajo na stranice ( 2 + a 2 = ), površina kvadrata, ustvarjenega na hipotenuzi ( 2

, in dovzhini katetіv skozi

Obe formulaciji izreka sta enakovredni, druge formulacije pa so bolj elementarne in pomenijo enostavnejši koncept. To drugo trditev je mogoče ponovno preveriti, ne da bi vedeli karkoli o območju in obstoječih straneh ravno rezane trikutane rastline.

Dokaži

Pitagorov izrek:

Očitno jih je konceptualno mogoče razdeliti na majhno število razredov. Najpogostejši med njimi so: dokazi po metodi ploščin, aksiomatski in eksotični dokazi (na primer s pomočjo diferencialnih enačb).

Skozi podobne drese

Naslednji dokaz algebraične formule je najpreprostejši izmed dokazov, ki bodo neposredno povezani z aksiomom. Zokrema, to ni Vikoristov koncept ploske figure. Pojdimo ABC je ravni rez trikutnik je ravni rez C je ravni rez trikutnik je ravni rez. Preverimo višino in pomembna njena osnova skozi H . Tricutnik ACH Pojdimo podoben trikutniku po dva kosca. Podobno kot trikutnik CBH Pojdimo podobno

. Vivši termini

zanikal

Kaj je enakovredno

Dokažite z metodo ploščine

Stisni, odnesi

Dokaz z zanesljivostjo

Spodnji dokazi, ne glede na svojo preprostost, sploh niso tako enostavni. Vsi so zmagoviti proti avtoritetam, katerih dokazi so podobni dokazu samega Pitagorovega izreka.
Gojimo enake ravno rezane trikutle, kot je prikazano pri otroku 1. ), površina kvadrata, ustvarjenega na hipotenuzi ( Chotirikutnik s stranicami
Je kvadraten, fragmenti vrečke dveh ostrih rezov so 90 °, odprti rez pa 180 °.

Ploščina vseh figur je enaka, na eni strani ploščina kvadrata na drugi strani (a+b), na drugi strani pa vsota ploščine štirih trikupusov in dveh notranji kvadrati.

Dokaz skozi doslednost

Kaj je bilo treba vzgojiti.

Zadek enega od teh dokazov je naveden na desnem fotelju, de kvadrat, na hipotenuzi, s preureditvijo se pretvori v dva kvadrata, na straneh.

Evklidov dokaz

Eleganten dokaz za dodatne permutacije

Fotelj k Evklidovemu dokazu

Oglejmo si Evilov stol. Na tem smo postavili kvadrate na stranice pravokotnega trikota in potegnili z vrha pravokotnega reza C, pravokotno na hipotenuzo AB, nato pa smo kvadrat ABIK, na hipotenuzi, razrezali na dva pravokotnika - BHJI oziroma HAKJ . Izkazalo se je, da so površine teh ravnih rezalnikov popolnoma enake površinam kvadratov, oblikovanih na ustreznih krakih.

Poskusimo dokazati, da je površina kvadrata DECA enaka površini ravnega rezalnika AHJK. Iz tega razloga so povezani naslednji sklepi: Površina trikutanega kvadrata je enaka višini osnova, da je danski ravni rezalnik enaka polovica površine hrbta nogo pokonci. Zato je površina trikubitule enaka polovici višine baze. Iz tega sledi, da je območje trikutanega ACK enako kot območje trikutanega AHK (ni upodobljen pri otroku), ki je po drugi strani enaka polovici površine rektutana AHJK.

Dokažimo zdaj, da je ploščina trikuba ACK tudi polovica ploščine kvadrata DECA. Edina stvar, ki je potrebna za ta razvoj, je prinesti ljubosumje trikutikul ACK in BDA (fragmenti površine trikutikule BDA so enaki polovici površine kvadrata za navedeno moč). Ljubosumje je očitno, hlačne nogavice so na obeh straneh enake in med seboj pletene. Sama - AB=AK,AD=AC - enakost izrezov CAK in BAD zlahka dosežemo z metodo rukhu: trikutikel CAK obrnemo za 90° proti enoletni puščici, potem je očitno, da sta nasprotni strani oba trikutikula, ki ju vidimo, bosta potekala skupaj (rez na vrhu kvadrata - 90°).

Razprava o enakomernosti površine kvadrata BCFG in rektuma BHJI je popolnoma podobna.

Sam Tim je odkril, da je površina kvadrata, ki je oblikovana na hipotenuzi, vsota ploščine kvadratov, ki so oblikovani na nogah. Zamisel o tem dokazu je nadalje ponazorjena z dodatno animacijo, ki je prikazana zgoraj.

Dokaz o Leonardu da Vinciju

Glavna elementa dokaza sta simetrija in tok.

Oglejmo si fotelj, kot je razvidno iz simetrije, stranski pogled je ravni rez trikutnik je ravni rezjaz secira kvadrat ABin pomembna njena osnova skoziJ na dva nova dela (drobci trikuletov ABje ravni rez trikutnik je ravni rezі Jin pomembna njena osnova skozijaz ljubosumje za vsak dan). Z vrtenjem za 90 stopinj proti letnici povečamo enakomernost osenčenih številk je ravni rez trikutnik je ravni rezAJjaz і GDAB . Zdaj je jasno, da je površina figure, ki smo jo zasenčili, enaka polovici površine kvadratov, ki jih najdemo na nogah, in površini zunanjega trikuputa. Po drugi strani pa je več kot polovica površine kvadrata, dobljenega na hipotenuzi, plus površina trikupute. Preostali čas za dokazovanje ostane pri bralcu.

Dokaz z metodo neskončno malega

Vnaprejšnji dokaz dodatnih diferencialnih enačb se pogosto pripisuje slavnemu angleškemu matematiku Hardyju, ki je živel v prvi polovici 20. stoletja.

Dojenčku se pokaže stol, ki gleda, in varovanje spremeni stran : vsota kvadratov, ki se spiralno zavihajo na stranice (, lahko zabeležimo datum razmerja za neskončno majhne prirastke stranic hі : vsota kvadratov, ki se spiralno zavihajo na stranice ((vikoristi in podobni trikutniki):

Dokaz z metodo neskončno malega

Drobljenje po metodi polzamenljivih, poznamo

Pomembnejši način spreminjanja hipotenuze je povečanje obeh strani

Integracija podatkov enaka in vikorista cob misli, odpravljena

), površina kvadrata, ustvarjenega na hipotenuzi ( 2 = : vsota kvadratov, ki se spiralno zavihajo na stranice ( 2 + a 2+ konstanta.

Na ta način pridemo do pomembne veje

), površina kvadrata, ustvarjenega na hipotenuzi ( 2 = : vsota kvadratov, ki se spiralno zavihajo na stranice ( 2 + a 2 .

Ne glede na vse, kvadratna vsebnost formule ostanka vedno kaže linearno sorazmernost med stranicami trikuta in prirastki, tako kot je znesek povezan z neodvisnimi prispevki iz prirastka trikuta.

Najpreprostejši dokaz lahko zavrnemo, če upoštevamo, da ena od nog ne kaže prirastka (v tem primeru noga a). Rezultati za konstanto integracije so odstranjeni

Različice in prilagajanje

Če so namesto kvadratov na straneh druge podobne figure, bo zagotovo prišel Pitagorov izrek: Trikutaneum rektuma ima območje podobnih figur, oblikovanih na nogah, in starodavno območje figure, oblikovano na hipotenuzi. Zokrema:
- Vsota površin pravilnih trikukutin, postavljenih na noge, je enaka površini pravilnih trikukutin, postavljenih na hipotenuzo.
- Vsota površine injekcij, narejenih na nogah (kot v premeru), tradicionalna površina injekcij, narejenih na hipotenuzi. Ta zadnjica se uporablja za dokazovanje moči figur, obdanih z loki dveh stebrov in nosijo imena Hipokratove lunule.

Zgodovina

Chu-pei 500-200 pr Levo zapisano: vsota kvadratov dolžine višine in osnove je kvadrat dolžine hipotenuze.

Starodavna kitajska knjiga Chu-pei pripoveduje o pitagorejskem trikutu s stranicami 3, 4 in 5: Ta ista knjiga vsebuje otroka, ki teče z enim od naslanjačev indijske geometrije Bašarija.

Cantor (največji nemški zgodovinar matematike) ugotavlja, da so enačbo 3 + 4 + 5 = poznali že Egipčani okoli leta 2300 pr. e.., za ure kralja Amenemheta I. (od papirusa 6619 do berlinskega muzeja). Po Kantorju so bili harpedonapti ali napenjanje motusov neposredni rezi za pomočjo ravno rezanih trikutanih s stranicami 3, 4 in 5.

To metodo je zelo enostavno ustvariti. Vzemite kolut 12 m traku in ga privežite nanj z barvno vezico na 3 m stojalu. z enega konca in 4 metre z drugega. Med stranicami zagozde 3 in 4 metre se pojavi raven rez. Harpedonaptam bi lahko blokirali, ker bi jih njihova metoda spodbudila, da bi postali opazni, saj bi hitro zarezali na primer z leseno koso, ki bi bila zlepljena skupaj z vso leseno pohištvo. Obstajajo egipčanski malčki, na katerih je takšno orodje nabrušeno, na primer malčki, ki predstavljajo mizarsko delavnico.

O Pitagorovem izreku vemo več med Babilonci. V enem besedilu, ki sega v čas Hamurabija, nato v leto 2000 pr. To pomeni, da približamo izračun hipotenusa trikutanega rektuma. S tega vidika ni treba posebej poudarjati, da je Dvorichya lahko delal na izračunih z ravno rezanimi trikutanimi rastlinami, v nekaterih primerih na skrajnem koncu. Van der Waerden (nizozemski matematik) je po eni strani opiral na trenutno znanje egipčanske in babilonske matematike, po drugi strani pa na kritično uporabo orehov, pripravil naslednji oris:

Literatura

ruski jezik

Skopet Z.A. Geometrijske miniature. M., 1990
Yelensky Shch. Sledi Pitagore. M., 1961
Van der Waerden B. L. Znanost je prebujena. Matematika starega Egipta, Babilona in Grčije. M., 1959
Glazer G. I. Zgodovina matematike v šoli. M., 1982
St. Litzman, "Pitagorov izrek" M., 1960.
- Stran o Pitagorovem izreku z velikim številom dokazov, gradivo, pridobljeno iz knjige V. Litzmana, veliko število stolov je predstavljeno v naslednjih grafičnih datotekah.
Poglavje Pitagorov izrek in Pitagorovi trojčki iz knjige D. V. Anosova "Pogled na matematiko in kaj je s tem"
O Pitagorejevem izreku in metodah njegovega dokaza G. Glaser, akademik Ruske akademije znanosti, Moskva

angleščina

Pitagorov izrek na WolframMathWorld
Cut-The-Knot, razdelek, posvečen Pitagorovemu izreku, skoraj 70 dokazov in dodatne informacije (angleščina)

Fundacija Wikimedia.