Теорія імовірності. Базові терміни та поняття. Основні поняття теорії ймовірностей та математичної статистики

Елементи теорії ймовірностей.

Основні поняття комбінаторики.Завдання, при вирішенні яких доводиться складати різні комбінації з кінцевого числа елементів та проводити підрахунок числа всіх можливих таких комбінацій, називаються комбінаторними.

Цей розділ математики знаходить широке практичне застосування у багатьох питаннях природознавства та техніки.

Розміщення. Нехай є безліч, що містить nелементів. Кожне його впорядковане підмножина, що містить по mелементів, називається розміщеннямз nелементів по mелементів.

З визначення випливає, що і що розміщення з nелементів по m– це m-елементні підмножини, що відрізняються складом елементів або порядком їхнього прямування.

Кількість розміщень з nелементів по mелементів у кожному позначаються та обчислюються за формулою.

Кількість розміщень з nелементів по mелементів у кожному одно твору mпослідовно спадних натуральних чисел, з яких більше є n.

Для кратності твору перших nнатуральних чисел прийнято позначати ( n-факторіал):

Тоді формулу числа розміщень з nелементів по mелементів можна записати в іншому вигляді: .

приклад 1.Скільки способами з групи, що включає 25 студентів, можна вибрати актив групи у складі старости, заступника старости та профоргу?

Рішення. Склад активу групи є впорядкованою множиною з 25 елементів по три елементи. Значить. Потрібне число способів дорівнює числу розміщень з 25 елементів по три елементи в кожному: , або .

приклад 2.Перед випуском група студентів у 30 осіб обмінялася фотографіями. Скільки всього було роздано фотографій?

Рішення. Передача фотографії одним студентом іншому є розміщення із 30 елементів по два елементи. Кількість фотографій, що шукається, дорівнює числу розміщень з 30 елементів по два елементи в кожному: .

Перестановки. Розміщення з nелементів по nелементів називаються перестановкамиз nелементів.

З визначення випливає, що перестановки є окремим випадком розміщень. Так як кожна перестановка містить усі nелементів безлічі, то різні перестановки відрізняються один від одного лише порядком елементів.

Число перестановок з nелементів даної множини позначають і обчислюють за формулою

приклад 3.Скільки чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4 без повторень?

Рішення. За умовою дано безліч із чотирьох елементів, які потрібно розмістити у певному порядку. Отже, потрібно знайти кількість перестановок із чотирьох елементів: , тобто. із цифр 1. 2, 3, 4 можна скласти 24 чотиризначні числа (без повторень цифр)

приклад 4.Скільки можна розсадити 10 гостей по десяти місцях за святковим столом?

Рішення. Кількість способів, що шукається, дорівнює числу перестановок з десяти елементів: .

Поєднання. Нехай є безліч, що складається з nелементів. Кожна його підмножина, що складається з mелементів, називається поєднаннямз nелементів по mелементів.

Таким чином, поєднання з nелементів по mелементів – це все m-Елементні підмножини n-елементної множини, причому різними множинами вважаються тільки ті, які мають неоднаковий склад елементів.

Підмножини, що відрізняються один від одного порядком прямування елементів, не вважаються різними.

Число підмножин по mелементів у кожному, що містяться в множині nелементів, тобто. число поєднань з nелементів по mелементів у кожному, позначають та обчислюють за формулою: або .

Число поєднань має таку властивість: ().

Приклад 5.Скільки ігор мають провести 20 футбольних команд в однокруговому чемпіонаті?

Рішення. Бо гра будь-якої команди Aз командою Bзбігається з грою команди Bз командою A, то кожна гра є поєднання з 20 елементів по 2. шукане число всіх ігор дорівнює числу поєднань з 20 елементів по 2 елементи в кожному: .

Приклад 6.Скількими способами можна розподілити 12 осіб з бригад, якщо в кожній бригаді по 6 осіб?

Рішення. Склад кожної бригади є кінцевим безліччю з 12 елементів по 6. значить, число способів, що шукається, дорівнює числу поєднань з 12 елементів по 6 в кожному:
.

Випадкові події Імовірність події.Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності у випадкових подіях. До основних понять теорії ймовірностей відносяться випробування та події.

Під випробуванням (досвідом)розуміють реалізацію даного комплексу умов, внаслідок якого безперервно станеться якась подія.

Наприклад, кидання монети – випробування; поява герба мул та цифри – події.

Випадковою подієюназивається подія, пов'язане з цим випробуванням, яке при здійсненні випробування може відбутися, а може і не відбутися. Слово "випадкове" для стислості часто опускають і говорять просто "подія". Наприклад, постріл по меті – це досвід, випадкові події у цьому досвіді – попадання в ціль чи промах.

Подія в даних умовах називається достовірним, якщо в результаті досвіду воно безупинно має відбутися, та неможливимякщо воно свідомо не відбудеться. Наприклад, випадання трохи більше шести очок під час кидання однієї гральної кістки – достовірне подія; випадання десяти очок при киданні однієї гральної кістки - неможлива подія.

Події називаються несуміснимиякщо жодні з них не можуть з'явитися разом. Наприклад, потрапляння та промах при одному пострілі – це несумісні події.

Кажуть, що кілька подій у цьому досвіді утворюють повну системуподій, якщо в результаті досвіду неодмінно має статися хоча б одна з них. Наприклад, при киданні гральної кістки події, що перебувають у випаданні одного, двох, трьох, чотирьох, п'яти та шести очок, утворюють повну групу подій.

Події називаються рівноможливимиякщо жодна з них не є об'єктивно більш можливим, ніж інші. Наприклад, під час кидання монети випадання герба чи числа – події рівноможливі.

Кожна подія має якийсь ступінь можливості. Чисельний захід ступеня об'єктивної можливості події – це ймовірність події. Ймовірність події Aпозначається P(A).

Нехай із системи nнесумісних рівноможливих результатів випробування mрезультатів сприяють події A. Тоді ймовірністюподії Aназивають відношення mчисла наслідків, які сприяють події A, до всіх результатів даного випробування: .

Ця формула називається класичного визначення ймовірності.

Якщо B- Достовірна подія, то n=mі P(B)=1; якщо З- неможлива подія, то m=0і P(С)=0; якщо A- Випадкова подія, то і .

Таким чином, ймовірність події полягає в наступних межах: .

Приклад 7.Гральну кістку підкидають один раз. Знайти ймовірність подій: A- Поява парного числа очок; B- Поява не менше п'яти очок; C- Поява не більше п'яти очок.

Рішення. Досвід має шість рівноможливих незалежних результатів (поява одного, двох, трьох, чотирьох, п'яти та шести очок), що утворюють повну систему.

Події Aсприяють три результати (випадання двох, чотирьох та шести очок), тому ; події B– два результати (випадання п'яти та шести очок), тому ; події C- п'ять результатів (випадання одного, двох, трьох, чотирьох, п'яти очок), тому .

Під час обчислення ймовірності часто доводиться використовувати формули комбінаторики.

Розглянемо приклади безпосереднього обчислення ймовірностей.

Приклад 8.В урні 7 червоних куль та 6 синіх куль. З урни одночасно виймають дві кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі червоні (подія A)?

Рішення. Число рівноможливих незалежних результатів дорівнює .

Події Aсприяють результатів. Отже, .

Приклад 9.У партії із 24 деталей п'ять бракованих. З партії вибирають навмання 6 деталей. Знайти ймовірність того, що серед цих 6 деталей виявляться 2 браковані (подія B)?

Рішення. Число рівноможливих незалежних результатів дорівнює.

Підрахуємо кількість результатів m, що сприяють події B. Серед шести взятих навмання деталей має бути 2 браковані та 4 стандартні. Дві браковані деталі з п'яти можна вибрати способами, а 4 стандартні деталі з 19 стандартних деталей можна вибрати
методами.

Кожна комбінація бракованих деталей може поєднуватися з кожною комбінацією стандартних деталей, тому . Отже,
.

приклад 10.Дев'ять різних книг розставлено навмання на одній полиці. Знайти ймовірність того, що чотири певні книги виявляться поставленими поруч (подія З)?

Рішення. Тут число рівноможливих незалежних наслідків є . Підрахуємо кількість результатів т, що сприяють події З. Уявімо, що чотири певні книги пов'язані разом, тоді зв'язку можна розташувати на полиці методами (в'язка плюс інші п'ять книг). Усередині зв'язки чотири книги можна переставляти методами. У цьому кожна комбінація всередині зв'язки може поєднуватися з кожним із способів утворення зв'язки, тобто. . Отже, .

Теорія ймовірностей та математична статистика

1.ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1 Збіжність послідовностей випадкових величин та ймовірнісних розподілів

Теоретично ймовірностей доводиться мати справу з різними видами збіжності випадкових величин. Розглянемо такі основні види збіжності: за ймовірністю, з ймовірністю одиниця, в середньому порядку р, за розподілом.

Нехай, ... - Випадкові величини, задані на деякому ймовірнісному просторі (, Ф, P).

Визначення 1. Послідовність випадкових величин, … називається ймовірністю, що сходить до випадкової величини (позначення:), якщо для будь-якого > 0

Визначення 2. Послідовність випадкових величин, … називається схожа з ймовірністю одиниця (майже напевно, майже всюди) до випадкової величини, якщо

тобто. якщо безліч наслідків, для яких () не сходяться до (), має нульову ймовірність.

Цей вид збіжності позначають так: , або, або.

Визначення 3. Послідовність випадкових величин, … називається схожим у середньому порядку р, 0< p < , если

Визначення 4. Послідовність випадкових величин, називається схожою за розподілом до випадкової величини (позначення:), якщо для будь-якої обмеженої безперервної функції

Схожість по розподілу випадкових величин визначається лише термінах збіжності їх функцій розподілу. Тому про цей вид збіжності є сенс говорити і тоді, коли випадкові величини задані на різних ймовірнісних просторах.

Теорема 1.

а) Для того, щоб (Р-п.н.), необхідно і достатньо, щоб для будь-якого > 0

) Послідовність () фундаментальна з ймовірністю одиниця тоді і лише тоді, коли для будь-якого > 0.

Доведення.

а) Нехай А = (: |- | ), А = А. Тоді

Тому затвердження а) є результатом наступного ланцюжка імплікацій:

Р(: )= 0 P() = 0 = 0 Р(А) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) Позначимо = (:), = . Тоді (: (()) не фундаментальна) = і так само, як в а) показується, що (: (()) не фундаментальна) = 0 P() 0, n.

Теорему доведено

Теорема 2. (Критер Коші збіжності майже напевно)

Для того щоб послідовність випадкових величин () була схожа з ймовірністю одиниця (до деякої випадкової величини), необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальна з ймовірністю одиниця.

Доведення.

Якщо, то +

звідки випливає необхідність умови теореми.

Нехай тепер послідовність () є фундаментальною з ймовірністю одиниця. Позначимо L = (: (()) не фундаментальна). Тоді для всіх числова послідовність () є фундаментальною і, згідно з критерієм Коші для числових послідовностей, існує (). Покладемо

Так, певна функція є випадковою величиною і.

Теорему доведено.

2 Метод характеристичних функцій

Метод характеристичних функцій одна із основних засобів аналітичного апарату теорії ймовірностей. Поряд із випадковими величинами (що приймають дійсні значення) теорія характеристичних функцій потребує залучення комплекснозначних випадкових величин.

Багато визначень і властивостей, які стосуються випадкових величин, легко переносяться і комплексний випадок. Так, математичне очікування М ?комплекснозначної випадкової величини ?=?+?? вважається певним, якщо визначено математичні очікування М ?та М ?. У цьому випадку за визначенням вважаємо М ?= М ? + ?М ?. З визначення незалежності випадкових елементів випливає, що комплекснозначні величини ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2незалежні тоді і лише тоді, коли незалежні пари випадкових величин ( ?1 , ?1) та ( ?2 , ?2), або, що те саме, незалежні ?-алгебри F ?1, ?1 і F ?2, ?2.

Поряд із простором L 2дійсних випадкових величин з кінцевим другим моментом можна ввести на розгляд гільбертовий простір комплекснозначних випадкових величин ?=?+?? з М | ?|2?|2= ?2+?2, та скалярним твором ( ?1 , ?2)= М ?1?2¯ , де ?2¯ - Комплексно-сполучена випадкова величина.

При операціях алгебри вектори Rn розглядаються як алгебраїчні стовпці,

Як вектор-рядки, a * - (а1, а2, ..., аn). Якщо Rn , то їх скалярним твором (a,b) буде розумітися величина. Зрозуміло, що

Якщо аRn та R=||rij|| - матриця порядку nхn, то

Визначення 1. Нехай F = F(х1,….,хn) - n-вимірна функція розподілу (, ()). Її характеристичною функцією називається функція

Визначення 2 . Якщо? = (?1,…,?n) - випадковий вектор, визначений на імовірнісному просторі зі значеннями, його характеристичної функцією називається функція

де F? = F?(х1,….,хn) - функція розподілу вектора?=(?1, …,?n).

Якщо функція розподілу F(х) має густину f = f(х), то тоді

І тут характеристична функція не що інше, як перетворення Фур'є функції f(x).

З (3) випливає, що характеристичну функцію ??(t) випадкового вектора можна визначити також рівністю

Основні характеристики характеристичних функцій (у разі n=1).

Нехай? =? (?) - Випадкова величина, F? = F? (х) - її функція розподілу та - характеристична функція.

Слід зазначити, якщо, то.

Справді,

де скористалися тим, що математичне очікування твору незалежних (обмежених) випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Властивість (6) є ключовим за підтвердженням граничних теорем для сум незалежних випадкових величин методом характеристичних функцій. У цьому зв'язку, функція розподілу виражається через функції розподілу окремих доданків вже значно складнішим чином, саме, де знак * означає згортку розподілів.

З кожною функцією розподілу можна зв'язати випадкову величину, що має цю функцію в якості своєї функції розподілу. Тому за викладі властивостей характеристичних функцій можна обмежитися розглядом характеристичних функцій випадкових величин.

Теорема 1.Нехай? - Випадкова величина з функцією розподілу F = F (х) і - її характеристична функція.

Мають місце такі характеристики:

) Поступово безперервна по;

) є дійснозначною функцією тоді і лише тоді, коли розподіл F симетрично

) якщо для деякого n? 1 , то при всіх існують похідні та

)Якщо існує і є кінцевою, то

) Нехай всім n ? 1 та

тоді за всіх |t|

Наступна теорема показує, що характеристична функція однозначно визначає функцію розподілу.

Теорема 2 (єдиності). Нехай F і G - дві функції розподілу, що мають одну й ту саму характеристичну функцію, тобто для всіх

Теорема свідчить, що функція розподілу F = F(х) однозначно відновлюється за своєю характеристичної функції. Наступна теорема дає явне уявлення функції F через.

Теорема 3 (формула узагальнення). Нехай F = F(х) – функція розподілу та – її характеристична функція.

а) Для будь-яких двох точок a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Якщо функція розподілу F(х) має щільність f(x),

Теорема 4. Для того, щоб компоненти випадкового вектора були незалежними, необхідно і достатньо, щоб його характеристична функція була твором характеристичних функцій компонент:

Теорема Бохнера-Хінчина . Нехай - безперервна функція, Для того щоб була характеристичною, необхідно і достатньо, щоб вона була невід'ємно-визначеною, тобто для будь-яких дійсних t1, …, tn і будь-яких комплексних чисел

Теорема 5. Нехай – характеристична функція випадкової величини.

а) Якщо для деякого, то випадкова величина є ґратчастою з кроком, тобто

) Якщо двох різних точок, де - ірраціональне число, то випадкова величина? є виродженою:

де а – деяка константа.

с) Якщо, чи випадкова величина? вироджена.

1.3 Центральна гранична теорема для незалежних однаково розподілених випадкових величин

Нехай () - Послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин. Математичне очікування M= a, дисперсія D= , S = , а Ф(х) – функція розподілу нормального закону з параметрами (0,1). Введемо ще послідовність випадкових величин

Теорема. Якщо 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

У цьому випадку послідовність () називається асимптотично нормальною.

З того, що М= 1 і з теорем безперервності випливає, що поряд зі слабкою збіжністю, ФМ f() Mf() для будь-якої безперервної обмеженої f має місце також збіжність М f() Mf() для будь-якої безперервної f, такий, що |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Доведення.

Рівномірна збіжність є наслідком слабкої збіжності і безперервності Ф(х). Далі, без обмеження спільності вважатимуться а = 0, оскільки інакше можна було б розглянути послідовність (), у своїй послідовність () не змінилася б. Отже, для доказу необхідної збіжності досить показати, що (t) e, коли а = 0. Маємо

(t) = де =(t).

Так як існує М, то існує і справедливе розкладання

Отже, при n

Теорему доведено.

1.4 Основні завдання математичної статистики їх коротка характеристика

Встановлення закономірностей, яким підпорядковані масові випадкові явища, полягає в вивченні статистичних даних - результатах спостережень. Перше завдання математичної статистики - вказати способи збирання та угруповання статистичних відомостей. Друге завдання математичної статистики – розробити методи аналізу статистичних даних, залежно від цілей дослідження.

При вирішенні будь-якого завдання математичної статистики мають у своєму розпорядженні два джерела інформації. Перший і найбільш певний (явний) - це результат спостережень (експерименту) як вибірки з деякої генеральної сукупності скалярної або векторної випадкової величини. При цьому обсяг вибірки n може бути фіксований, а може й збільшуватись у ході експерименту (тобто можуть використовуватися так звані послідовні процедури статистичного аналізу).

Друге джерело - це вся апріорна інформація про цікаві властивості об'єкта, що вивчається, яка накопичена до поточного моменту. Формально обсяг апріорної інформації відображається у тій вихідній статистичній моделі, яку вибирають при вирішенні задачі. Однак і про наближене у звичайному сенсі визначення ймовірності події за результатами дослідів говорити не доводиться. Під наближеним визначенням будь-якої величини зазвичай мають на увазі, що можна вказати межі похибок, у тому числі помилка не вийде. Частота ж події випадкова за будь-якої кількості дослідів через випадковість результатів окремих дослідів. Через випадковість результатів окремих дослідів частота може значно відхилятися від ймовірності події. Тому, визначаючи невідому ймовірність події як частоту цієї події за великої кількості дослідів, не можемо вказати межі похибки і гарантувати, що помилка не вийде з цих меж. Тому в математичній статистиці зазвичай говорять не про наближені значення невідомих величин, а про їх відповідні значення, оцінки.

Завдання оцінювання невідомих параметрів виникає у випадках, коли функція розподілу генеральної сукупності відома з точністю до параметра. У цьому випадку необхідно знайти таку статистику, вибіркове значення якої для аналізованої реалізації xn випадкової вибірки можна вважати наближеним значенням параметра. Статистику, вибіркове значення якої будь-якої реалізації xn приймають за наближене значення невідомого параметра, називають його точковою оцінкою чи навіть оцінкою, а - значенням точкової оцінки. Точкова оцінка має задовольняти цілком певним вимогам у тому, щоб її вибіркове значення відповідало справжньому значенню параметра.

Можливим є й інший підхід до вирішення цієї задачі: знайти такі статистики і, щоб з ймовірністю? виконувалася нерівність:

У цьому випадку говорять про інтервальну оцінку. Інтервал

називають довірчим інтервалом з коефіцієнтом довіри?.

Оцінивши за результатами дослідів ту чи іншу статистичну характеристику, постає питання: наскільки узгоджується з досвідченими даними припущення (гіпотеза) про те, що невідома характеристика має саме те значення, яке отримано в результаті оцінювання? Так виникає другий важливий клас задач математичної статистики – завдання перевірки гіпотез.

У певному сенсі завдання перевірки статистичної гіпотези є оберненою до завдання оцінювання параметра. При оцінюванні параметра ми нічого не знаємо про його дійсне значення. При перевірці статистичної гіпотези з якихось міркувань передбачається відомим його значення і необхідно за результатами експерименту перевірити це припущення.

У багатьох завданнях математичної статистики розглядаються послідовності випадкових величин, що сходяться в тому чи іншому сенсі до певної межі (випадкової величини чи константи), коли.

Таким чином, основними завданнями математичної статистики є розробка методів знаходження оцінок та дослідження точності їх наближення до оцінюваних характеристик та розробка методів перевірки гіпотез.

5 Перевірка статистичних гіпотез: основні поняття

Завдання розробки раціональних методів перевірки статистичних гіпотез – одне з основних завдань математичної статистики. Статистичною гіпотезою (або просто гіпотезою) називають будь-яке твердження про вид або властивості розподілу випадкових величин, що спостерігаються в експерименті.

Нехай є вибірка, що є реалізацією випадкової вибірки з генеральної сукупності, густина розподілу якої залежить від невідомого параметра.

Статистичні гіпотези щодо невідомого істинного значення параметра називають параметричними гіпотезами. При цьому якщо - скаляр, то йдеться про однопараметричні гіпотези, а якщо вектор - то про багатопараметричні гіпотези.

Статистичну гіпотезу називають простою, якщо вона має вигляд

де - Деяке задане значення параметра.

Статистичну гіпотезу називають складною, якщо вона має вигляд

де - кілька значень параметра, що складається більш ніж з одного елемента.

У разі перевірки двох простих статистичних гіпотез виду

де - два заданих (різних) значення параметра, першу гіпотезу зазвичай називають основною, а другу - альтернативною, чи конкуруючої гіпотезою.

Критерієм, чи статистичним критерієм, перевірки гіпотез називають правило, яким за даними вибірки приймається рішення про справедливості або першої, або другої гіпотези.

Критерій задають за допомогою критичної множини, що є підмножиною вибіркового простору випадкової вибірки. Рішення приймають так:

)якщо вибірка належить критичній множині, то відкидають основну гіпотезу і приймають альтернативну гіпотезу;

)якщо вибірка не належить критичній множині (тобто належить доповненню множини до вибіркового простору), то відкидають альтернативну гіпотезу і приймають основну гіпотезу.

При використанні будь-якого критерію можливі помилки таких видів:

1) прийняти гіпотезу, коли правильна - помилка першого роду;

)прийняти гіпотезу, коли вірна - помилка другого роду.

Імовірності вчинення помилок першого та другого роду позначають і:

де - ймовірність події за умови, що справедлива гіпотеза

Імовірність скоєння помилки першого роду називають рівнем значущості критерію.

Величину, що дорівнює ймовірності відкинути основну гіпотезу, коли вона вірна, називають потужністю критерію.

1.6 Критерій незалежності

Є вибірка ((XY), …, (XY)) із двомірного розподілу

L з невідомою функцією розподілу, для якої потрібно перевірити гіпотезу H: де деякі одномірні функції розподілу.

Простий критерій згоди для гіпотези H можна побудувати, ґрунтуючись на методиці. Цю методику застосовують для дискретних моделей з кінцевим числом результатів, тому умовимося вважати, що випадкова величина набуває кінцевого числа s деяких значень, які позначатимемо літерами, а друга компонента - k значень. Якщо вихідна модель має іншу структуру, попередньо групують можливі значення випадкових величин окремо по першій і другій компонентам. І тут безліч розбивається на s інтервалів, безліч значення - на k інтервалів, а саме безліч значень - на N=sk прямокутників.

Позначимо через число спостережень пари (кількість елементів вибірки, що належать прямокутнику, якщо дані групуються), отже. Результати спостережень зручно розташувати як таблиці спряженості двох знаків(табл. 1.1) . У додатках і зазвичай означають дві ознаки, якими проводиться класифікація результатів спостереження.

Нехай Р, i = 1, ..., s, j = 1, ..., k. Тоді гіпотеза незалежності означає, що є s+k постійних таких, як і, тобто.

Таблиця 1.1

Сума . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Сума . . .n

Таким чином, гіпотеза H зводиться до твердження, що частоти (число їх дорівнює N = sk) розподілені за поліноміальним законом з ймовірностями наслідків, що мають зазначену специфічну структуру (вектор ймовірностей наслідків р визначається значеннями r=s+k-2 невідомих параметрів.

Для перевірки цієї гіпотези, знайдемо оцінки максимальної правдоподібності для визначальних схему невідомих параметрів. Якщо справедлива нульова гіпотеза, то функція правдоподібності має вигляд L(p)= де множник від невідомих параметрів не залежить. Звідси за методом невизначених множників Лагранжа отримуємо, що оцінки, що шукаються, мають вигляд

Отже, статистика

L() при, оскільки число ступенів свободи в граничному розподілі дорівнює N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1).

Отже, за досить великих n можна використовувати таке правило перевірки гіпотези: гіпотезу Н відкидають тоді і лише тоді, коли обчислене за фактичними даними значення t статистики задовольняє нерівності

Цей критерій має асимптотично (при) заданий рівень значущості та називається критерієм незалежності.

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

1 Розв'язання задач про типи збіжності

1. Довести, що зі збіжності майже напевно випливає збіжність за ймовірністю. Наведіть контрольний приклад, який показує, що зворотне твердження неправильне.

Рішення. Нехай послідовність випадкових величин сходить до випадкової величини x майже напевно. Значить, для будь-кого? > 0

Так, то

і зі збіжності xn до x майже напевно випливає, що xn сходить до x за імовірністю, тому що в цьому випадку

Але зворотне твердження неправильне. Нехай - послідовність незалежних випадкових величин, що мають ту саму функцію розподілу F(x), рівну нулю при х? 0 і рівну за х > 0. Розглянемо послідовність

Ця послідовність сходить до нуля за ймовірністю, оскільки

прагне до нуля за будь-якого фіксованого? в. Однак збіжність до нуля майже напевно не буде. Дійсно

прагне до одиниці, тобто з ймовірністю 1 за будь-яких і n в послідовності знайдуться реалізації, що перевершують?.

Зазначимо, що за наявності деяких додаткових умов, що накладаються на величини xn, збіжність ймовірно тягне збіжність майже напевно.

Нехай xn – монотонна послідовність. Довести, що в цьому випадку збіжність xn до x ймовірно тягне за собою збіжність xn до x з ймовірністю 1.

Рішення. Нехай xn - монотонно спадаюча послідовність, тобто. Для спрощення наших міркувань вважатимемо, що x º 0, xn ³ 0 за всіх n. Нехай xn сходить до x за ймовірністю, проте збіжність майже напевно немає. Тоді існує? > 0, таке, що з усіх n

Але й сказане означає, що за всіх n

що суперечить збіжності xn до x за ймовірністю. Таким чином, для монотонної послідовності xn, що сходить до x за ймовірністю, має місце і збіжність з ймовірністю 1 (майже напевно).

Нехай послідовність xn сходить до x за ймовірністю. Довести, що з цієї послідовності можна виділити послідовність, що сходить до x з ймовірністю 1 при.

Рішення. Нехай - деяка послідовність позитивних чисел, причому, і - такі позитивні числа, що ряд. Побудуємо послідовність індексів n1

Тоді ряд

Так як ряд сходиться, то за будь-якого? > 0 залишок ряду прагне нулю. Але тоді прагне нуля і

Довести, що з збіжності в середньому будь-якого позитивного порядку випливає збіжність за ймовірністю. Наведіть приклад, який показує, що зворотне твердження неправильне.

Рішення. Нехай послідовність xn сходить до величини x у середньому порядку р > 0, тобто

Скористаємося узагальненою нерівністю Чебишева: для довільних? > 0 і р > 0

Спрямувавши та враховуючи, що, отримаємо, що

тобто xn сходить до x за ймовірністю.

Однак збіжність ймовірно не тягне за собою збіжність в середньому порядку р > 0. Це показує наступний приклад. Розглянемо ймовірнісний простір áW, F, Rñ, де F = B – борелівська s-алгебра, R – міра Лебега.

Визначимо послідовність випадкових величин наступним чином:

Послідовність xn сходить до 0 за ймовірністю, оскільки

але за будь-якого р > 0

тобто збіжність у середньому не матиме.

Нехай, до чого всім n . Довести, що в цьому випадку xn сходить до x у середньоквадратичному.

Рішення. Зауважимо, те й. Отримаємо оцінку. Розглянемо випадкову величину. Нехай? - Довільне позитивне число. Тоді при та за.

Якщо, то й. Отже, . А оскільки? як завгодно мало і, то при, тобто в середньоквадратичному.

Довести, що й xn сходиться до x ймовірно, має місце слабка збіжність. Наведіть контрольний приклад, який показує, що зворотне твердження неправильне.

Рішення. Доведемо, що якщо, то в кожній точці х, що є точкою безперервності (це необхідна і достатня умова слабкої збіжності), – функція розподілу величини xn, а – величини x.

Нехай х - точка безперервності функції F. Якщо, то справедливо принаймні одна з нерівностей або. Тоді

Аналогічно, при справедливо хоча б одна з нерівностей або

Якщо, то для скільки завгодно малого? > 0 існує таке N, що з усіх п > N

З іншого боку, якщо х – точка безперервності то можна знайти таке? > 0, що для скільки завгодно малого

Значить, для скільки завгодно малих? і існує таке N, що за п >N

або, що те саме,

Це означає, що у всіх точках безперервності має місце збіжність та. Отже, зі збіжності ймовірно випливає слабка збіжність.

Назад твердження, взагалі кажучи, не має місця. Щоб переконатися в цьому, візьмемо послідовність випадкових величин, не рівних з ймовірністю 1 постійним і мають одну й ту саму функцію розподілу F(x). Вважаємо, що за всіх п величини і незалежні. Очевидно, слабка збіжність має місце, оскільки у всіх членів послідовності одна й та сама функція розподілу. Розглянемо:

|З незалежності та однакової розподіленості величин, випливає, що

Виберемо серед усіх функцій розподілів невироджених випадкових величин таку F(x), що буде від нуля при всіх досить малих? Тоді не прагне нуля при необмеженому зростанні п і збіжність по ймовірності мати місце не буде.

7. Нехай має місце слабка збіжність, де з імовірністю є постійна. Довести, що в цьому випадку буде сходитися до ймовірності.

Рішення. Нехай із ймовірністю 1 дорівнює а. Тоді слабка збіжність означає збіжність за будь-яких. Так, то при і при. Тобто при і за. Звідси випливає, що для будь-кого? > 0 ймовірності

прагнуть до нуля при. Це означає що

прагне до нуля при, тобто сходитися до ймовірності.

2.2 Розв'язання задач на ЦПТ

Значення гамма-функції Г(x) за x= обчислюється методом Монте-Карло. Знайдемо мінімальну кількість випробувань необхідних для того, щоб з ймовірністю 0,95 можна було очікувати, що відносна похибка обчислень буде менше одного відсотка.

Для з точністю до маємо

Відомо що

Зробивши в (1) заміну, приходимо до інтеграла по кінцевому проміжку:

У нас, тому

Як видно, уявно у вигляді, де, а розподілена рівномірно на. Нехай зроблено статистичні випробування. Тоді статистичним аналогом є величина

де, - незалежні випадкові величини з рівномірним розподілом. При цьому

З ЦПТ слід, що асимптотично нормальна з параметрами.

Значить, мінімальна кількість випробувань, що забезпечує з ймовірністю відносну похибку обчислення трохи більше.

Розглядається послідовність із 2000 незалежних однаково розподілених випадкових величин з математичним очікуванням, рівним 4, та дисперсією, що дорівнює 1,8. Середнє арифметичне цих величин є випадковою величиною. Визначити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення в інтервалі (3,94; 4,12).

Нехай, …,…- послідовність незалежних випадкових величин, мають однаковий розподіл M=a=4 і D==1,8. Тоді до послідовності () застосовна ЦПТ. Випадкова величина

Імовірність того, що набуде значення в інтервалі ():

При n=2000, 3,94 та 4,12 отримаємо

3 Перевірка гіпотез критерієм незалежності

В результаті проведеного дослідження було встановлено, що у 782 світлооких батьків сини теж мають світлі очі, а 89 світлооких батьків сини - темноокі. У 50 темнооких батьків сини також темноокі, а у 79 темнооких батьків сини - світлоокі. Чи є залежність між кольором очей батьків та кольором очей їхніх синів? Рівень довіри прийняти рівним 0,99.

Таблиця 2.1

ДітиБатькиСумаСвітлоокіТемноокіСвітлоокі78279861Темноокі8950139Сумма8711291000

H: немає залежності між кольором очей дітей та батьків.

H: є залежність між кольором очей дітей та батьків.

s=k=2 =90,6052 з першого ступеня свободи

Обчислення зроблено у програмі Mathematica 6.

Оскільки > , то гіпотезу H про відсутність залежності між кольором очей батьків і дітей, при рівні значущості, слід відхилити і прийняти альтернативну гіпотезу H.

Стверджується, що результат дії ліків залежить від способу застосування. Перевірте це твердження за даними, наведеними в табл. 2.2 Рівень довіри прийняти дорівнює 0,95.

Таблиця 2.2

РезультатСпосіб застосуванняАВСНесприятливий111716Сприятливий202319

Рішення.

Для розв'язання цього завдання скористаємося таблицею сполученості двох ознак.

Таблиця 2.3

РезультатСпосіб застосуванняСуммаАВСНесприятливий11171644Сприятливий20231962Сумма314035106

H: результат дії ліків не залежить від способу застосування

H: результат дії ліків залежить від способу застосування

Статистика обчислюється за такою формулою

s=2, k=3, =0,734626 з 2 ступенями свободи.

Обчислення зроблено у програмі Mathematica 6

По таблицях розподілу знаходимо, що.

Оскільки< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Висновок

У цій роботі наведено теоретичні викладки з розділу «Критерій незалежності», а також «Граничні теореми теорії ймовірностей», курсу «Теорія ймовірностей та математична статистика». У ході виконання роботи на практиці було перевірено критерій незалежності; також для заданих послідовностей незалежних випадкових величин було перевірено виконання центральної граничної теореми.

Ця робота допомогла вдосконалити мої знання з цих розділів теорії ймовірностей, роботи з літературними джерелами, твердо володіти технікою перевірки критерію незалежності.

ймовірнісна статистична гіпотеза теорема

Перелік посилань

1. Збірник завдань з теорії ймовірності з розв'язком. Уч. посібник/За ред. В.В. Семенець. – Харків: ХТУРЕ, 2000. – 320с.

Гіхман І.І., Скороход О.В., Ядренко М.І. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: Вища шк., 1979. – 408 с.

Івченко Г.І., Медведєв Ю.І., Математична статистика: Навч. посібник для втузів. - М: Вищ. шк., 1984. - 248с., .

Математична статистика: Навч. для вузів/В.Б. Горяїнов, І.В. Павлов, Г.М. Цвєткова та ін; За ред. В.С. Зарубіна, А.П. Крищенко. - М: Вид-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 2001. – 424с.

Репетиторство

Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?

Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.