Кут між двома прямими теорема. Кут між пересічними прямими: визначення, приклади знаходження. Як знайти точку перетину двох прямих

Дві прямі AB і CD називаються паралельними , Якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються, скільки б їх не продовжувати (AB || CD). Кут між паралельними прямими дорівнює нулю.

Довжина відрізка перпендикуляра, укладеного між двома паралельними прямими, - відстаньміж ними.

аксіома:через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.

Властивості паралельних прямих:

1. Якщо дві прямі паралельні третьої прямий, то вони паралельні між собою.

2. Якщо дві прямі перпендикулярні третій прямий, то вони паралельні один одному.

при перетині двох паралельних прямих третьою прямою,утворюються вісім кутів (рис.13), які попарно називаються:

1) відповідні кути (1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8 );

кути попарно рівні: (Https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 src = "> 5; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 6; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 7; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 8 );

2) внутрішні навхрест лежачі кути (4 і 5; 3 і 6 ); вони попарно рівні;

3) зовнішні навхрест лежачі кути(1 і 8; 2 і 7 ); вони попарно рівні;

4) внутрішні односторонні кути (3 і 5; 4 і 6 ); сума односторонніх кутів дорівнює 180°

(Https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 5 = 180 °; 4 + 6 = 180 °);

5) зовнішні односторонні кути (1 і 7; 2 і 8 ); їх сума дорівнює 180 ° (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 7 = 180 °; 2 + 8 = 180 °).

Теорема Фалеса. При перетині сторін кута паралельними прямими(Рис.16) боку кута діляться на пропорційні відрізки:

Подібні трикутники.

Два трикутника називаються подібними, Якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого. подібнібоку подібних трикутників - це сторони, що лежать навпроти рівних кутів.

https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt =" (! LANG: подібні трикутники" width="13" height="14">A = !} https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt =" (! LANG: подібні трикутники" width="13" height="14">B = B1, С = С1 !}і число k, Яке дорівнює відношенню подібних сторін трикутника називається коефіцієнтом подібності.

Ознаки подібності:

1. Якщо два кути одноготрикутника відповідно дорівнюють двом кутаміншого, то треуг-ки подібні.

2. Якщо дві сторониодного трикутника пропорційні двом сторонам другоготрикутника і кути, укладені між цими сторонами, рівні, То трикутники подібні.

3. якщо три сторони одноготрикутника пропорційні трьом сторонам іншого, То такі трикутники подібні.

Наслідки: 1.Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:

2. ставлення периметрівподібних трикутників і биссектрис, Медіан, висот і серединних перпендикулярів дорівнює коефіцієнту подібності.

На цьому уроці ми дамо визначення сонаправленнимі променів і доведемо теорему про рівність кутів з сонаправленнимі сторонами. Далі дамо визначення кута між пересічними прямими і перехресними прямими. Розглянемо, яким може бути кут між двома прямими. В кінці уроку вирішимо кілька завдань на знаходження кутів між перехресними прямими.

Тема: Паралельність прямих і площин

Урок: Кути з сонаправленнимі сторонами. Кут між двома прямими

Будь-яка пряма, наприклад ГО 1(Рис. 1.), розсікає площину на дві півплощини. якщо промені ОАі О 1 А 1паралельні і лежать в одній півплощині, то вони називаються сонаправленнимі.

промені О 2 А 2і ОАне є сонаправленнимі (Рис. 1.). Вони паралельні, але не лежать в одній півплощині.

Якщо сторони двох кутів сонаправленнимі, то такі кути рівні.

Доведення

Нехай нам дано паралельні промені ОАі О 1 А 1і паралельні промені ОВі О 1 В 1(Рис. 2.). Тобто, ми маємо два кута АОВі А 1 О 1 В 1, Чиї боку лежать на сонаправленнимі променях. Доведемо, що ці кути рівні.

На стороні променя ОАі О 1 А 1виберемо точки Аі А 1так, щоб відрізки ОАі О 1 А 1були рівні. Аналогічно, точки Ві В 1виберемо так, щоб відрізки ОВі О 1 В 1були рівні.

Розглянемо чотирикутник А 1 О 1 ОА(Рис. 3.) ОАі О 1 А 1 А 1 О 1 ОА А 1 О 1 ОА ГО 1і АА 1паралельні і рівні.

Розглянемо чотирикутник В 1 О 1 ОВ. У цьому чотирикутники боку ОВі О 1 В 1паралельні і рівні. За ознакою паралелограма, чотирикутник В 1 О 1 ОВє паралелограма. Так як В 1 О 1 ОВ- паралелограм, то сторони ГО 1і ВВ 1паралельні і рівні.

І пряма АА 1паралельна прямій ГО 1, І пряма ВВ 1паралельна прямій ГО 1, Значить прямі АА 1і ВВ 1паралельні.

Розглянемо чотирикутник В 1 А 1 АВ. У цьому чотирикутники боку АА 1і ВВ 1паралельні і рівні. За ознакою паралелограма, чотирикутник В 1 А 1 АВє паралелограма. Так як В 1 А 1 АВ- паралелограм, то сторони АВі А 1 В 1паралельні і рівні.

Розглянемо трикутники АОВі А 1 О 1 В 1.сторони ОАі О 1 А 1рівні з побудови. сторони ОВі О 1 В 1є рівними з побудови. А як ми довели, і сторони АВі А 1 В 1теж рівні. Значить, трикутники АОВі А 1 О 1 В 1рівні за трьома сторонами. У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути. Значить, кути АОВі А 1 О 1 В 1рівні, що й треба було довести.

1) Пересічні прямі.

Якщо прямі перетинаються, то ми маємо чотири різних кута. Кутом між двома прямими, Називається найменший з кутів між двома прямими. Кут між пересічними прямими аі bпозначимо α (Рис. 4.). Кут α такий, що.

Мал. 4. Кут між двома пересекающімімся прямими

2) Перехресні прямі

нехай прямі аі bперехресні. Виберемо довільну точку Про. через точку Пропроведемо пряму а 1, Паралельну прямий а, І пряму b 1, Паралельну прямий b(Рис. 5.). прямі а 1і b 1перетинаються в точці Про. Кут між двома пересічними прямими а 1і b 1, Кут φ, і називається кутом між перехресними прямими.

Мал. 5. Кут між двома перехресними прямими

Чи залежить величина кута від обраної точки О?виберемо точку Про 1. через точку Про 1проведемо пряму а 2, Паралельну прямий а, І пряму b 2, Паралельну прямий b(Рис. 6.). Кут між пересічними прямими а 2і b 2позначимо φ 1. тоді кути φ і φ 1 -кути з сонаправленнимі сторонами. Як ми довели, такі кути рівні між собою. Значить, величина кута між перехресними прямими не залежить від вибору точки Про.

прямі ОВі СDпаралельні, ОАі СDсхрещуються. Знайдіть кут між прямими ОАі СD, Якщо:

1) ∠АОВ= 40 °.

виберемо точку З. Через неї проходь пряма СD. проведемо СА 1паралельно ОА(Рис. 7.). тоді кут А 1 СD- кут між перехресними прямими ОАі СD. По теоремі про кути з сонаправленнимі сторонами, кут А 1 СDдорівнює куту АОВ, Тобто 40 °.

Мал. 7. Знайти кут між двома прямими

2) ∠АОВ= 135 °.

Зробимо те ж саме побудова (Рис. 8.). Тоді кут між перехресними прямими ОАі СDдорівнює 45 °, так як він найменший з кутів, які виходять при перетині прямих СDі СА 1.

3) ∠АОВ= 90 °.

Зробимо те ж саме побудова (Рис. 9.). Тоді всі кути, які виходять при перетині прямих СDі СА 1рівні 90 °. Шуканий кут дорівнює 90 °.

1) Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма.

Доведення

Нехай нам дано просторовий чотирикутник ABCD. M,N,K,L- середини ребер BD,AD,AC,BCвідповідно (Рис. 10.). Потрібно довести, що MNKL- паралелограм.

Розглянемо трикутник АВD. МN МNпаралельна АВі дорівнює її половині.

Розглянемо трикутник АВС. LК- середня лінія. По властивості середньої лінії, LКпаралельна АВі дорівнює її половині.

І МN, і LКпаралельні АВ. значить, МNпаралельна LКпо теоремі про три паралельних прямих.

Отримуємо, що в чотирикутнику MNKL- сторони МNі LКпаралельні і рівні, так як МNі LКрівні половині АВ. Значить, за ознакою паралелограма, чотирикутник MNKL- паралелограм, що й треба було довести.

2) Знайдіть кут між прямими АВі СD, Якщо кут МNК= 135 °.

Як ми вже довели, МNпаралельна прямій АВ. NК- середня лінія трикутника АСD, По властивості, NКпаралельна DС. Значить, через точку Nпроходять дві прямі МNі NК, Які паралельні перехресних прямих АВі DСвідповідно. Значить, кут між прямими МNі NКє кутом між перехресними прямими АВі DС. Нам дано тупий кут МNК= 135 °. Кут між прямими МNі NК- найменший з кутів, отриманих при перетині цих прямих, тобто 45 °.

Отже, ми розглянули кути з сонаправленнимі сторонами і довели їх рівність. Розглянули кути між пересічними і перехресними прямими і вирішили кілька завдань на знаходження кута між двома прямими. На наступному уроці ми продовжимо рішення задач і повторення теорії.

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : Ил.

2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. - М .: Дрофа, 1999. - 208 с .: іл.

3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх установ з поглибленим і профільним вивченням математики / Е. В. Потоскуев, Л. І. Зваліч. - 6-е видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. : Ил.

В) BCі D 1 В 1.

Мал. 11. Знайти кут між прямими

4. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с .: іл.

Завдання 13, 14, 15 стр. 54

О-о-о-о-о ... ну і жерсть, немов вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше, сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними:;

3) або перетинатися в єдиній точці:.

Довідка для чайників : Будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину, він буде зустрічатися дуже часто. Запис означає, що пряма перетинається з прямою в точці.

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді і тільки тоді, коли їх відповідні коефіцієнти пропорційні, Тобто, існує таке число «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі і складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів:. З кожного рівняння слід, що, отже, дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде одне і те ж рівняння:.

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що.

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при змінних НЕ пропорційні, Тобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувалися рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння слід, що, а з другого рівняння:, значить, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти при змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використовувати тільки що розглянуту схему вирішення. Вона, до речі, вельми нагадує алгоритм перевірки векторів на коллинеарность, який ми розглядали на уроці Поняття лінійної (не) залежності векторів. базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

, Значить, вектори НЕ колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь з покажчиками:

Решта перестрибують камінь і слідують далі, прямо до Кащею Безсмертному =)

б) Знайдемо направляючі вектори прямих:

Прямі мають один і той же спрямовує вектор, значить, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник вважати не треба.

Очевидно, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, при цьому.

З'ясуємо, чи справедливо рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо направляючі вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений з координат даних векторів:
, Отже, направляючі вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо зі співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедливо рівність. Обидва вільних члена нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє взагалі будь-яке число).

Таким чином, прямі співпадають.

відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуту задачу усно буквально в лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати що-небудь для самостійного рішення, краще закладемо ще один важливий цегла в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішої завдання суворо карає Соловей-Розбійник.

приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку.

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою. Що про неї сказано в умови? Пряма проходить через точку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що спрямовує вектор прямої «це» підійде і для побудови прямої «де».

Витягуємо спрямовує вектор з рівняння:

відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає в наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих один і той же спрямовує вектор (якщо рівняння прямій не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння.

Аналітичну перевірку в більшості випадків легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначать паралельність прямих без жодного креслення.

Приклади для самостійного рішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться змагатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну прямий, якщо

Існує раціональний і не дуже раціональний спосіб вирішення. Найкоротший шлях - в кінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них ще повернемося. Випадок співпадаючих прямих малоцікавий, тому розглянемо задачу, яка добре знайома вам зі шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

якщо прямі перетинаються в точці, то її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими- це дві пересічні (найчастіше) прямі на площині.

приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи вирішення - графічний і аналітичний.

Графічний спосіб полягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка:. Для перевірки слід підставити її координати в кожне рівняння прямої, вони повинні підійти і там, і там. Іншими словами, координати точки є рішенням системи. По суті, ми розглянули графічний спосіб вирішення системи лінійних рівняньз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але існує помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і ТОЧНИЙ креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так-то просто, та й сама точка перетину може перебувати де-небудь в тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використаний метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як вирішити систему рівнянь?

відповідь:

Перевірка тривіальна - координати точки перетину повинні задовольняти кожному рівняння системи.

приклад 5

Знайти точку перетину прямих у тому випадку, якщо вони перетинаються.

Це приклад для самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних задач, і я на цьому буду неодноразово загострювати увагу.

Повне рішення і відповідь в кінці уроку:

Ще не стоптані і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні прямі. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типовою і дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даної?

приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що. Непогано б знайти спрямовує вектор прямої. Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі:, який і буде напрямних вектором прямої.

Рівняння прямої складемо по точці і направляючої вектору:

відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да ... Помаранчеве небо, помаранчеве море, жовтогарячий верблюд.

Аналітична перевірка рішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори і за допомогою скалярного твори векторівприходимо до висновку, що прямі дійсно перпендикулярні:.

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це навіть простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад для самостійного рішення. У задачі кілька дій, тому рішення зручно оформити по пунктам.

Наше захоплюючу подорож триває:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух по перпендикуляру. Тобто, відстань від точки до прямої - це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань в геометрії зазвичай позначають грецькою буквою «ро», наприклад: - відстань від точки «ем» до прямої «де».

Відстань від точки до прямої виражається формулою

приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: Все що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдене відстань від точки до прямої - це в точності довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатій папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайної лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж кресленням:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки, яка симетрична точці відносно прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення з проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна прямій.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидва дії детально розібрані в рамках даного уроку.

3) Точка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини і одного з кінців. за формулами координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань теж одно 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути в обчисленнях, але в вишці здорово виручає мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу і знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це черговий приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут нескінченно багато способів вирішення. Розбір польотів у кінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, думаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що не кут, то косяк:


В геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не рахується кутом між пересічними прямими. А вважається таким його «зелений» сусід або протилежно орієнтований«Малиновий» кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який з 4 кутів.

Чим відрізняються кути? Орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокрутки» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком «мінус», наприклад, якщо.

Навіщо я це розповів? Начебто можна обійтися й звичайним поняттям кута. Справа в тому, що в формулах, за якими ми будемо знаходити кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірше, і має цілком конкретний геометричний сенс. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннями в загальному вигляді:

якщо прямі НЕ перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найбільш пильну увагу звернемо на знаменник - це в точності скалярний твірнапрямних векторів прямих:

Якщо, то знаменник формули наближається до нуля, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярності прямих в формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити в два етапи:

1) Обчислимо скалярний твір напрямних векторів прямих:
, Значить, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотного функції легко знайти і сам кут. При цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки і властивості елементарних функцій):

відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, так мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтації, адже в умові завдання першим номером йде пряма і «откруткі» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , А коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати необхідно з прямою .

ABі ЗDпересічені третьої прямий MN, То утворилися при цьому кути отримують попарно такі назви:

відповідні кути: 1 і 5, 4 і 8, 2 і 6, 3 і 7;

внутрішні навхрест лежачі кути: 3 і 5, 4 і 6;

зовнішні навхрест лежачі кути: 1 і 7, 2 і 8;

внутрішні односторонні кути: 3 і 6, 4 і 5;

зовнішні односторонні кути: 1 і 8, 2 і 7.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 і ∠ 8 = ∠ 6, але по доведеному ∠ 4 = ∠ 6.

Отже, ∠ 2 = ∠ 8.

3. відповідні кути 2 і 6 однакові, оскільки ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Також переконаємося в рівність інших відповідних кутів.

4. сума внутрішніх односторонніх кутів 3 і 6 буде 2d, тому що сума суміжних кутів 3 і 4 дорівнює 2d = 180 0, а ∠ 4 можна замінити ідентичним йому ∠ 6. Також переконаємося, що сума кутів 4 і 5 дорівнює 2d.

5. сума зовнішніх односторонніх кутівбуде 2d, тому що ці кути рівні відповідно внутрішнім одностороннім кутах, Як кути вертикальні.

З вище доведеного обґрунтування отримуємо зворотні теореми.

Коли при перетині двох прямих довільної третьої прямий отримаємо, що:

1. Внутрішні навхрест лежачі кути однакові;

або 2.Зовнішні навхрест лежачі кути однакові;

або 3.Відповідні кути однакові;

або 4.Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d = 180 0;

або 5.Сума зовнішніх односторонніх дорівнює 2d = 180 0 ,

то перші дві прямі паралельні.

визначення. кутом між перехресними прямими називається кут між пересічними прямими, паралельними даними перехресних прямих.

приклад. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Знайти кут між перехресними прямими A 1 Bі C 1 D. В межі CDD 1 C 1 проводимо діагональ CD 1 ; CD 1 || BA 1  (A 1 B; C 1 D) = (CD 1 ; C 1 D) = 90 0 (кут між діагоналями квадрата).

D 1 З 1 В 1 А 1

. Кут між прямою і площиною.

Якщо пряма паралельна площині або лежить в ній, то кут між даними прямими і площиною вважається рівним 0 0.

визначення. Пряма називається перпендикулярної до площини , Якщо вона перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить у цій площині. У цьому випадку кут між прямою і площиною вважається рівним 90 0.

визначення. Пряма називається похилою до деякої площини, якщо вона перетинає цю площину, але не перпендикулярна їй. MK  MN- похила до  KN – проекція MNна 

визначення. Кутом між похилою до площини і цією площиною називається кут між похилою і її проекцією на дану площину.

(MN;) = (MN;KN) = MNK= 

теорема 7 (про три перпендикуляри ) . Похила до площини перпендикулярна прямий, що у площині тоді і тільки тоді, коли проекція цієї похилої на цю площину, перпендикулярна даній прямій.

MK  MN- похила до  KN – проекція MNна  m  MNm KNm

. Відстані в просторі.

визначення. Відстанню від точки до прямої, яка не містить цю точку, називається довжина відрізка перпендикуляра, проведеного з цієї точки до даної площини.

визначення. Відстанню від точки до площини , Яка не містить цю точку, називається довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до даної площини.

Відстань між паралельними прямими дорівнює відстані від будь-якої точки однієї з цих прямих до іншої прямої.

Відстань між паралельними площинами дорівнює відстані від довільної точки однієї з площин до іншої площини.

Відстань між прямою і паралельною їй площиною дорівнює відстані від будь-якої точки цієї прямої до площини.

визначення. Відстанню між двома перехресними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

Відстань між перехресними прямими дорівнює відстані від будь-якої точки однієї з цих прямих до площини, що проходить через другу пряму паралельно першої прямої (іншими словами: відстані між двома паралельними площинами, що містять ці прямі).

V. Кут між площинами. Двогранний кут.

Якщо площини паралельні, то кут між ними вважається рівним 0 0.

визначення. двогранним кутом називається геометрична фігура, утворена двома півплощини з спільним кордоном не лежать в одній площині. напівплощини називаються гранями , А їх спільний кордон ребром двогранного кута .

визначення. Лінійним кутом двогранного кута називається кут, отриманий при перетині даного двогранного кута площиною, перпендикулярної його ребру. Всі лінійні кути даного двогранного кута рівні між собою. Величина двогранного кута дорівнює величині його лінійного кута.

приклад. дана піраміда MABCD , Основа якої - квадрат ABCD зі стороною 2, MAABC, MA = 2. Знайдіть кут нахилу грані MBCплощині підстави.  (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). Таким чином, площина MAB перетинає двогранний кут з ребром BCі перпендикулярна йому. Отже, за визначенням лінійного кута:  MBA- лінійний кут даного двогранного кута.