adsby.ru → Природа у літературі

Вказати загальне та одне приватне рішення. Лінійні рівняння. Вирішення систем лінійних рівнянь матричним методом

Сьогодні розбираємося з методом Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. Про те, що це за системи, можна почитати у попередній статті, присвяченій рішенню тих самих СЛАУ методом Крамера. Метод Гауса не вимагає якихось специфічних знань, потрібна лише уважність та послідовність. Незважаючи на те, що з точки зору математики для його застосування вистачить і шкільної підготовки, у студентів освоєння цього методу часто викликає труднощі. У цій статті спробуємо звести їх нанівець!

Метод Гауса

М етод Гауса- Найбільш універсальний метод рішення СЛАУ (за винятком дуже великих систем). На відміну від розглянутого раніше, він підходить не тільки для систем, що мають єдине рішення, але і для систем, у яких рішень безліч. Тут можливі три варіанти.

  1. Система має єдине рішення (визначник головної матриці системи не дорівнює нулю);
  2. Система має безліч рішень;
  3. Рішень немає, система несумісна.

Отже, ми маємо систему (нехай у неї буде одне рішення), і ми збираємося вирішувати її методом Гауса. Як це працює?

Метод Гауса складається з двох етапів – прямого та зворотного.

Прямий хід методу Гауса

Спочатку запишемо розширену матрицю системи. Для цього до головної матриці додаємо стовпець вільних членів.

Вся суть методу Гауса полягає в тому, щоб шляхом елементарних перетворень привести цю матрицю до ступінчастого (або як ще кажуть трикутного) вигляду. У такому вигляді під (або над) головною діагоналлю матриці мають бути одні нулі.

Що можна робити:

  1. Можна переставляти рядки матриці місцями;
  2. Якщо у матриці є однакові (або пропорційні) рядки, можна видалити їх усі, крім одного;
  3. Можна множити чи ділити рядок на будь-яке число (крім нуля);
  4. Нульові рядки видаляються;
  5. Можна додавати до рядка рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

Зворотний хід методу Гауса

Після того як ми перетворимо систему таким чином, одна невідома Xn стає відома, і можна в зворотному порядку знайти всі невідомі, що залишилися, підставляючи вже відомі ікси в рівняння системи, аж до першого.

Коли інтернет завжди під рукою, можна вирішити систему рівнянь методом Гаусса онлайн.Достатньо лише вбити в онлайн-калькулятор коефіцієнти. Але погодьтеся, набагато приємніше усвідомлювати, що приклад вирішено не комп'ютерною програмою, а Вашим власним мозком.

Приклад розв'язання системи рівнянь методом Гаусс

А тепер – приклад, щоб усе стало наочно та зрозуміло. Нехай дана система лінійних рівнянь і потрібно вирішити її методом Гауса:

Спочатку запишемо розширену матрицю:

Тепер займемося перетвореннями. Пам'ятаємо, що нам потрібно досягти трикутного вигляду матриці. Помножимо 1-ий рядок на (3). Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-го і отримаємо:

Потім помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го:

Помножимо 1-ий рядок на (6). Помножимо 2-й рядок на (13). Додамо 2-й рядок до 1-го:

Вуаля – система наведена до відповідного виду. Залишилось знайти невідомі:

Система у цьому прикладі має єдине рішення. Вирішення систем з безліччю рішень ми розглянемо в окремій статті. Можливо, спочатку Ви не знатимете, з чого почати перетворення матриці, але після відповідної практики наб'єте руку і клацатимете СЛАУ методом Гауса як горішки. А якщо Ви раптом зіткнетеся зі СЛАУ, яка виявиться надто міцним горішком, звертайтеся до наших авторів! ви можете, залишивши заявку у Заочнику. Разом ми вирішимо будь-яке завдання!

Однак на практиці широко поширені ще два випадки:

- Система несумісна (не має рішень);
– Система спільна і має безліч рішень.

Примітка : термін «спільність» має на увазі, що система має хоч якесь рішення. У ряді завдань потрібно попередньо дослідити систему на спільність, як це зробити – див. рангу матриць.

Для цих систем застосовують найбільш універсальний із усіх способів вирішення – метод Гауса. Насправді, до відповіді призведе і «шкільний» спосіб, але у вищій математиці прийнято використовувати гаусівський метод послідовного виключення невідомих. Ті, хто не знайомий з алгоритмом методу Гауса, будь ласка, спочатку вивчіть урок метод Гауса для чайників.

Самі елементарні перетворення матриці – такі самі, різниця буде наприкінці рішення. Спочатку розглянемо кілька прикладів, коли система немає рішень (несовместная).

Приклад 1

Що відразу впадає в око в цій системі? Кількість рівнянь – менше, ніж кількість змінних. Якщо кількість рівнянь менша, ніж кількість змінних, то відразу можна сказати, що система або несумісна, або має безліч рішень. І це залишилося лише з'ясувати.

Початок рішення цілком звичайний - запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) На лівій верхній сходинці нам потрібно отримати +1 або –1. Таких чисел у першому стовпці немає, тож перестановка рядків нічого не дасть. Одиниці доведеться організувати самостійно, і зробити це можна кількома способами. Я вчинив так: До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на -1.

(2) Тепер отримуємо два нулі у першому стовпці. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 5.

(3) Після виконаного перетворення завжди доцільно подивитися, а чи не можна спростити отримані рядки? Можна, можливо. Другий рядок ділимо на 2, заразом отримуючи необхідну -1 на другій сходинці. Третій рядок ділимо на -3.

(4) До третього рядка додаємо другий рядок.

Напевно, всі звернули увагу на поганий рядок, який вийшов у результаті елементарних перетворень: . Зрозуміло, що так не може бути. Справді, перепишемо отриману матрицю назад у систему лінійних рівнянь:

Якщо результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де – число, відмінне від нуля, система несумісна (немає рішень) .

Як записати закінчення завдання? Намалюємо білою крейдою: «в результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де» і дамо відповідь: система не має рішень (несумісна).

Якщо ж за умовою потрібно ДОСЛІДЖУВАТИ систему на спільність, тоді необхідно оформити рішення у більш солідному стилі із залученням поняття рангу матриці та теореми Кронекера-Капеллі.

Зверніть увагу, що тут немає жодного зворотного ходу алгоритму Гауса – рішень немає і знаходити нічого.

Приклад 2

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Знову нагадую, що ваш хід рішення може відрізнятися від мого ходу рішення, алгоритм Гауса не має сильної «жорсткості».

Ще одна технічна особливість рішення: елементарні перетворення можна припиняти одразу жяк тільки з'явився рядок виду, де. Розглянемо умовний приклад: припустимо, що після першого перетворення вийшла матриця . Матриця ще не приведена до ступінчастого вигляду, але в подальших елементарних перетвореннях немає жодної необхідності, тому що з'явився рядок виду , де . Слід одразу дати відповідь, що система несумісна.

Коли система лінійних рівнянь не має рішень – це майже подарунок, зважаючи на те, що виходить коротке рішення, іноді буквально на 2-3 дії.

Але все в цьому світі врівноважене, і завдання, в якому система має безліч рішень – якраз довше.

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Тут 4 рівнянь і 4 невідомих, таким чином, система може мати або єдине рішення, або не мати рішень, або мати безліч рішень. Як би там не було, але метод Гауса у будь-якому випадку приведе нас до відповіді. У цьому й універсальність.

Початок знову стандартний. Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Ось і все, а ви боялися.

(1) Зверніть увагу, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2, тому на лівій верхній сходинці нас влаштовує двійка. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на -4. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на -1.

Увага!У багатьох може виникнути спокуса з четвертого рядка віднятиперший рядок. Так робити можна, але не потрібно, досвід показує, що ймовірність помилки у обчисленнях збільшується у декілька разів. Тільки складаємо: До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на –1 – саме так!

(2) Останні три рядки пропорційні, два з них можна видалити.

Тут знову треба виявити підвищена увага, а чи справді рядки пропорційні? Для перестрахування (особливо, чайнику) не зайвим буде другий рядок помножити на -1, а четвертий рядок розділити на 2, отримавши в результаті три однакові рядки. І лише після цього видалити дві з них.

В результаті елементарних перетворень розширена матриця системи наведена до ступінчастого вигляду:

При оформленні завдання у зошиті бажано для наочності робити такі самі позначки олівцем.

Перепишемо відповідну систему рівнянь:

"Звичайним" єдиним рішенням системи тут і не пахне. Поганого рядка теж немає. Значить, це третій випадок, що залишився – система має нескінченно багато рішень. Іноді за умовою слід досліджувати спільність системи (тобто довести, що рішення взагалі існує), про це можна прочитати в останньому параграфі статті Як знайти ранг матриці?Але поки що розбираємо ази:

Безліч рішень системи коротко записують у вигляді так званого загального вирішення системи .

Загальне рішення системи знайдемо за допомогою зворотного ходу методу Гаусса.

Спочатку потрібно визначити, які змінні у нас є базисними, а які змінні вільними. Не обов'язково морочитися термінами лінійної алгебри, досить запам'ятати, що ось такі базисні змінніі вільні змінні.

Базисні змінні завжди сидять строго на сходах матриці..
У цьому прикладі базовими змінними є і

Вільні змінні – це все рештазмінні, яким не дісталося сходинки. У нашому випадку їх дві: вільні змінні.

Тепер потрібно Усе базисні зміннівисловити тільки через вільні змінні.

Зворотний хід алгоритму Гауса традиційно працює знизу нагору.
З другого рівняння системи виражаємо базисну змінну:

Тепер дивимося на перше рівняння: . Спочатку в нього підставляємо знайдений вираз:

Залишилося висловити базисну змінну через вільні змінні:

У результаті вийшло те, що потрібно – Усебазисні змінні (і) виражені тільки черезвільні змінні:

Власне, загальне рішення готове:

Як правильно записати загальне рішення?
Вільні змінні записуються у загальне рішення «самі собою» і суворо своїх місцях. У цьому випадку вільні змінні слід записати на другій та четвертій позиції:
.

Отримані вирази для базисних змінних і, очевидно, потрібно записати на першій та третій позиції:

Надаючи вільним змінним довільні значення, можна знайти нескінченно багато приватних рішень. Найпопулярнішими значеннями є нулі, оскільки приватне рішення виходить найпростіше. Підставимо у загальне рішення:

- Приватне рішення.

Іншою солодкою парочкою є одиниці, підставимо у загальне рішення:

- Ще одне приватне рішення.

Легко помітити, що система рівнянь має нескінченно багато рішень(оскільки вільним змінним ми можемо надати будь-якізначення)

кожнеприватне рішення має задовольняти кожномурівняння системи. На цьому ґрунтується «швидка» перевірка правильності рішення. Візьміть, наприклад, часткове рішення і підставте його в ліву частину кожного рівняння вихідної системи:

Все має зійтися. І з будь-яким отриманим вами приватним рішенням – також все має зійтися.

Але, строго кажучи, перевірка приватного рішення іноді дурить, тобто. якесь приватне рішення може задовольняти кожному рівнянню системи, а саме загальне рішення насправді знайдено неправильно.

Тому ґрунтовніша і надійніша перевірка загального рішення. Як перевірити отримане загальне рішення ?

Це нескладно, але досить нудно. Потрібно взяти вирази базиснихзмінних, у разі і , і підставити їх у ліву частину кожного рівняння системи.

У ліву частину першого рівняння системи:


У ліву частину другого рівняння системи:


Отримано праву частину вихідного рівняння.

Приклад 4

Вирішити систему методом Гаусса. Знайти спільне рішення та два приватні. Зробити перевірку загального рішення.

Це приклад самостійного рішення. Тут, до речі, знову кількість рівнянь менша, ніж кількість невідомих, а отже, відразу зрозуміло, що система буде або несумісною, або з безліччю рішень. Що важливо у самому процесі вирішення? Увага, і ще раз увага. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І ще пара прикладів для закріплення матеріалу

Приклад 5

Розв'язати систему лінійних рівнянь. Якщо система має нескінченно багато рішень, знайти два приватних рішення та зробити перевірку загального рішення

Рішення: Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) До другого рядка додаємо перший рядок. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3.
(2) До третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –5. До четвертого рядка додаємо другий рядок, помножений на -7.
(3) Третій і четвертий рядки однакові, один з них видаляємо.

Ось така краса:

Базисні змінні сидять на сходах, тому базисні змінні.
Вільна змінна, якій не дісталося сходинки тут лише одна:

Зворотній хід:
Висловимо базисні змінні через вільну змінну:
Із третього рівняння:

Розглянемо друге рівняння і підставимо в нього знайдений вираз:


Розглянемо перше рівняння і підставимо в нього знайдені вирази:

Так, все-таки зручний калькулятор, який вважає прості дроби.

Таким чином, загальне рішення:

Ще раз, як воно вийшло? Вільна змінна самотньо сидить на своєму законному четвертому місці. Отримані висловлювання для базисних змінних теж зайняли свої порядкові місця.

Відразу здійснимо перевірку загального рішення. Робота для негрів, але вона у мене вже виконана, тому ловіть =)

Підставляємо трьох богатирів , у ліву частину кожного рівняння системи:

Отримано відповідні праві частини рівнянь, отже, загальне рішення знайдено правильно.

Тепер із знайденого загального рішення отримаємо два приватні рішення. Шеф-кухарем тут виступає єдина вільна змінна. Ламати голову не треба.

Нехай тоді - Приватне рішення.
Нехай тоді - Ще одне приватне рішення.

Відповідь: Загальне рішення: , приватні рішення: , .

Даремно я тут про негрів згадав... ...бо в голову полізли всілякі садистські мотиви і згадалася відома фотожаба, на якій ляльки-кланці в білих балахонах біжать полем за чорношкірим футболістом. Сиджу, тихо посміхаюсь. Знаєте, як відволікає….

Багато математики шкідливе, тому схожий заключний приклад самостійного рішення.

Приклад 6

Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь.

Перевірку загального рішення в мене вже зроблено, відповіді можна довіряти. Ваш хід рішення може відрізнятись від мого ходу рішення, головне, щоб збіглися загальні рішення.

Напевно, багато хто помітив неприємний момент у рішеннях: дуже часто при зворотному ході методу Гауса нам довелося возитися зі звичайними дробами. Насправді це справді так, випадки, коли дробів немає – зустрічаються значно рідше. Будьте готові морально і, найголовніше, технічно.

Зупинюся на деяких особливостях рішення, які не зустрілися у прикладах, які вирішують.

До загального рішення системи іноді може входити константа (або константи), наприклад: . Тут з базисних змінних дорівнює постійному числу: . У цьому немає нічого екзотичного, то буває. Очевидно, що в даному випадку будь-яке приватне рішення міститиме п'ятірку на першій позиції.

Рідко, але зустрічаються системи, у яких кількість рівнянь більша за кількість змінних. Метод Гауса працює в найсуворіших умовах, слід незворушно привести розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду за стандартним алгоритмом. Така система може бути несумісною, може мати безліч рішень, і, як не дивно, може мати єдине рішення.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

  • Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

  • Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
  • Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
  • Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
  • Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

  • Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
  • У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

На цьому уроці ми розглянемо способи розв'язання системи лінійних рівнянь. У курсі вищої математики системи лінійних рівнянь потрібно вирішувати як окремих завдань, наприклад, «Вирішити систему за формулами Крамера», і під час вирішення інших завдань. З системами лінійних рівнянь доводиться мати справу майже переважають у всіх розділах вищої математики.

Спочатку трохи теорії. Що в даному випадку означає математичне слово "лінійних"? Це означає, що у рівняння системи Усезмінні входять у першому ступені: без усяких химерних речей начебто і т.п., яких у захваті бувають лише учасники математичних олімпіад.

У вищій математиці для позначення змінних використовуються як знайомі з дитинства букви .
Досить популярний варіант – змінні з індексами: .
Або початкові літери латинського алфавіту, маленькі та великі:
Не так уже й рідко можна зустріти грецькі літери: – відомі багатьом «альфа, бета, гама». А також набір з індексами, скажімо, з буквою мю:

Використання тієї чи іншої набору букв залежить від розділу вищої математики, у якому стикаємося з системою лінійних рівнянь. Так, наприклад, у системах лінійних рівнянь, що зустрічаються при вирішенні інтегралів, диференціальних рівнянь традиційно прийнято використовувати позначення

Але як би не позначалися змінні, принципи, методи та способи розв'язання системи лінійних рівнянь від цього не змінюються. Таким чином, якщо Вам зустрінеться щось страшне типу, не поспішайте в страху закривати задачник, зрештою, замість можна намалювати сонце, замість – пташку, а замість – пику (викладача). І, як не смішно, систему лінійних рівнянь із цими позначеннями також можна вирішити.

Щось у мене є таке передчуття, що стаття вийде досить довгою, тому невеликий зміст. Отже, послідовний «розбір польотів» буде таким:

– Вирішення системи лінійних рівнянь методом підстановки («шкільний метод»);
– Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи;
– Рішення системи за формулами Крамера;
– Рішення системи за допомогою зворотної матриці;
– Рішення системи методом Гауса.

Із системами лінійних рівнянь усі знайомі зі шкільного курсу математики. По суті, починаємо з повторення.

Вирішення системи лінійних рівнянь методом підстановки

Цей метод можна назвати «шкільним методом» чи методом виключення невідомих. Образно кажучи, його можна назвати «недоробленим методом Гаусса».

Приклад 1


Тут у нас дана система із двох рівнянь із двома невідомими. Зверніть увагу, що вільні члени (числа 5 та 7) розташовані у лівій частині рівняння. Взагалі кажучи, все одно, де вони знаходяться, ліворуч або праворуч, просто в завданнях з вищої математики нерідко вони розташовані саме так. І такий запис не повинен бентежити, при необхідності систему завжди можна записати «як зазвичай»: . Не забуваймо, що при перенесенні доданку з частини в частину у нього необхідно змінити символ.

Що означає розв'язати систему лінійних рівнянь? Вирішити систему рівнянь – це знайти безліч її рішень. Рішення системи є набір значень всіх змінних, що входять до неї, який звертає КОЖНЕ рівняння системи у правильну рівність. Крім того, система може бути несумісний (не мати рішень).Не тушуйтесь, це загальне визначення =) А в нас буде лише одне значення «ікс» і одне значення «гравець», які задовольняють кожному рівнянню с-мы.

Існує графічний метод вирішення системи, з яким можна ознайомитись на уроці Найпростіші завдання з прямою. Там же я розповів про геометричному сенсісистеми двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Але тепер надворі ера алгебри, і числа-числа, дії-дії.

Вирішуємо: з першого рівняння висловимо:
Отримане вираз підставляємо на друге рівняння:

Розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки і знаходимо значення:

Далі згадуємо про те, від чого танцювали:
Значення нам уже відоме, залишилося знайти:

Відповідь:

Після того, як вирішена будь-яка система рівнянь будь-яким способом, настійно рекомендую виконати перевірку (Усно, на чернетці або калькуляторі). Добре, що робиться це легко і швидко.

1) Підставляємо знайдену відповідь у перше рівняння:

- Отримано правильну рівність.

2) Підставляємо знайдену відповідь у друге рівняння:

- Отримано правильну рівність.

Або, якщо говорити простіше, «все зійшлося»

Розглянутий спосіб рішення є єдиним, з першого рівняння можна було висловити , а чи не .
Можна навпаки – щось висловити з другого рівняння та підставити перше рівняння. До речі, зауважте, найневигідніший із чотирьох способів – висловити з другого рівняння:

Виходять дроби, а воно навіщо? Є раціональне рішення.

Тим не менш, у ряді випадків без дробів все-таки не обійтися. У зв'язку з цим звертаю Вашу увагу на те, ЯК я записав вираз. Не так: , і в жодному разі не так: .

Якщо у вищій математиці Ви маєте справу з дробовими числами, всі обчислення намагайтеся проводити у звичайних неправильних дробах .

Саме, а не чи!

Кому можна використовувати лише іноді, зокрема, якщо – це остаточна відповідь якогось завдання, і з цим числом більше не потрібно виконувати жодних дій.

Багато читачів, напевно, подумали «та навіщо таке докладне пояснення, як для класу корекції, і так все зрозуміло». Нічого подібного, начебто такий простий шкільний приклад, а скільки ДУЖЕ важливих висновків! Ось ще один:

Будь-яке завдання слід прагнути виконати найраціональнішим способом. Хоча б тому, що це економить час і нерви, а також знижує ймовірність припуститися помилки.

Якщо в задачі з вищої математики Вам зустрілася система двох лінійних рівнянь із двома невідомими, то завжди можна використовувати метод підстановки (якщо не вказано, що систему потрібно вирішити іншим методом) Жоден викладач не подумає, що ти лох знизить оцінку за використання «шкільного методу ».
Більше того, у ряді випадків метод підстановки доцільно використовувати і за більшої кількості змінних.

Приклад 2

Вирішити систему лінійних рівнянь із трьома невідомими

Схожа система рівнянь часто виникає при використанні так званого методу невизначених коефіцієнтів, коли ми знаходимо інтеграл від дробової раціональної функції. Ця система взята мною якраз звідти.

При знаходженні інтегралу – ціль швидковизначити значення коефіцієнтів , а чи не витончуватися формулами Крамера, шляхом зворотної матриці тощо. Тому в даному випадку доречний саме метод підстановки.

Коли дана будь-яка система рівнянь, насамперед бажано з'ясувати, а чи не можна її якось ВІДРАЗУ спростити? Аналізуючи рівняння системи, зауважуємо, що друге рівняння системи можна розділити на 2, що ми робимо:

Довідка:математичний знак означає «з цього випливає це», він часто використовується в ході вирішення завдань.

Тепер аналізуємо рівняння, нам потрібно висловити якусь змінну через решту. Яке рівняння вибрати? Напевно, Ви вже здогадалися, що найпростіше для цієї мети взяти перше рівняння системи:

Тут все одно, яку змінну висловлювати, можна було з таким самим успіхом висловити або .

Далі, вираз для підставляємо у друге та третє рівняння системи:

Розкриваємо дужки та наводимо подібні доданки:

Третє рівняння ділимо на 2:

З другого рівняння виразимо і підставимо у третій рівняння:

Практично все готово, з третього рівняння знаходимо:
З другого рівняння:
З першого рівняння:

Перевірка: Підставимо знайдені значення змінних у ліву частину кожного рівняння системи:

1)
2)
3)

Отримано відповідні праві частини рівнянь, таким чином, рішення знайдено правильно.

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь із 4 невідомими

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи

У результаті рішення систем лінійних рівнянь потрібно намагатися використовувати не «шкільний метод», а метод почленного складання (віднімання) рівнянь системи. Чому? Це заощаджує час і спрощує обчислення, проте зараз стане все зрозуміліше.

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Я взяв ту саму систему, що й на першому прикладі.
Аналізуючи систему рівнянь, зауважуємо, що коефіцієнти при змінній однакові за модулем і протилежні за знаком (–1 та 1). У такій ситуації рівняння можна скласти почленно:

Дії, обведені червоним кольором, виконуються ДУМКОВО.
Як бачите, в результаті почленного додавання у нас зникла змінна . У цьому, власне, і полягає суть методу – позбутися однієї зі змінних.

Дослідити систему лінійних агебраїчних рівнянь (СЛАУ) на спільність означає з'ясувати, чи є у цієї системи рішення, чи їх немає. Ну і якщо рішення є, то вказати скільки їх.

Нам знадобляться відомості з теми "Система лінійних рівнянь алгебри. Основні терміни. Матрична форма запису" . Зокрема, потрібні такі поняття, як матриця системи та розширена матриця системи, оскільки саме на них спирається формулювання теореми Кронекера-Капеллі. Як завжди, матрицю системи позначатимемо буквою $A$, а розширену матрицю системи - буквою $\widetilde(A)$.

Теорема Кронекера-Капеллі

Система лінійних рівнянь алгебри спільна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи, тобто. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Нагадаю, що система називається спільною, якщо вона має хоч одне рішення. Теорема Кронекера-Капеллі говорить ось про що: якщо $ Rang A = Rang Widetilde (A) $, то рішення є; якщо $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, то дана СЛАУ не має рішень (неспільна). Відповідь на питання про кількість цих рішень дає слідство з теореми Кронекер-Капеллі. У формулюванні слідства використано букву $n$, яка дорівнює кількості змінних заданої СЛАУ.

Слідство з теореми Кронекера-Капеллі

  1. Якщо $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, то СЛАУ несумісна (не має рішень).
  2. Якщо $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
  3. Якщо $rang A=rangwidetilde(A) = n$, то СЛАУ є певною (має рівно одне рішення).

Зауважте, що сформульована теорема та наслідок з неї не вказують, як знайти рішення СЛАУ. З їхньою допомогою можна лише з'ясувати, існують ці рішення чи ні, а якщо існують – то скільки.

Приклад №1

Дослідити СЛАУ $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ на спільність.

Щоб з'ясувати наявність рішень заданої СЛАУ, використовуємо теорему Кронекера-Капеллі. Нам знадобляться матриця системи $A$ і розширена матриця системи $\widetilde(A)$, запишемо їх:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array) \right). $$

Потрібно знайти $rang A$ і $rangwidetilde(A)$. Для цього є багато способів, деякі з яких перелічені у розділі "Ранг матриці". Зазвичай для дослідження таких систем застосовують два методи: "Обчислення рангу матриці за визначенням" або "Обчислення рангу матриці методом елементарних перетворень".

Спосіб №1. Обчислення рангів за визначенням.

Відповідно до визначення, ранг - це найвищий порядок мінорів матриці, серед яких є хоч один, відмінний від нуля. Зазвичай дослідження починають з мінорів першого порядку, але тут зручніше розпочати обчислення мінора третього порядку матриці $A$. Елементи мінора третього порядку знаходяться на перетині трьох рядків і трьох стовпців матриці. Оскільки матриця $A$ містить лише 3 рядки і 3 стовпця, то мінор третього порядку матриці $A$ - це визначник матриці $A$, тобто. $\Delta A$. Для обчислення визначника застосуємо формулу №2 з теми "Формули для обчислення визначників другого та третього порядків":

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Отже, є мінор третього порядку матриці $A$, який не дорівнює нулю. Мінор четвертого порядку скласти неможливо, тому що для нього потрібно 4 рядки та 4 стовпці, а в матриці $A$ всього 3 рядки та 3 стовпці. Отже, найвищий порядок мінорів матриці $A$, серед яких є хоча б один не рівний нулю, дорівнює 3. Отже, $ Rang A = 3 $.

Нам потрібно знайти і $rang\widetilde(A)$. Погляньмо на структуру матриці $\widetilde(A)$. До риси в матриці $\widetilde(A)$ знаходяться елементи матриці $A$, причому ми з'ясували, що $\Delta A\neq 0$. Отже, матриця $\widetilde(A)$ має мінор третього порядку, який не дорівнює нулю. Мінорів четвертого порядку матриці $\widetilde(A)$ скласти ми можемо, тому робимо висновок: $\rang\widetilde(A)=3$.

Оскільки $rang A=rangwidetilde(A)$, відповідно до теоремі Кронекера-Капелли система спільна, тобто. має рішення (хоча б одне). Щоб вказати кількість рішень, врахуємо, що наша СЛАУ містить 3 невідомі: $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Оскільки кількість невідомих $n=3$, то робимо висновок: $rang A=rangwidetilde(A)=n$, тому відповідно до слідства з теореми Кронекера-Капеллі, система є певною, тобто. має єдине рішення.

Завдання вирішено. Які недоліки та переваги має даний спосіб? Для початку поговоримо про плюси. По-перше, нам знадобилося знайти лише один визначник. Після цього ми одразу зробили висновок про кількість рішень. Зазвичай у стандартних типових розрахунках даються системи рівнянь, які містять три невідомі і мають єдине рішення. Для таких систем даний метод дуже зручний, бо ми заздалегідь знаємо, що рішення є (інакше прикладу не було б у типовому розрахунку). Тобто. нам залишається лише показати наявність рішення найшвидшим способом. По-друге, обчислене значення визначника матриці системи (тобто $\Delta A$) стане в нагоді після: коли вирішуватимемо задану систему методом Крамера або за допомогою зворотної матриці .

Однак метод обчислення рангу визначення небажано застосовувати, якщо матриця системи $A$ є прямокутною. У цьому випадку краще застосувати другий метод, про який йтиметься нижче. Крім того, якщо $ \ Delta A = 0 $, то ми нічого не зможемо сказати про кількість рішень заданої неоднорідної СЛАУ. Може, СЛАУ має нескінченну кількість рішень, а може – жодного. Якщо $\Delta A=0$, то потрібно додаткове дослідження, яке найчастіше є громіздким.

Підсумовуючи сказане, зазначу, що перший спосіб хороший для тих СЛАУ, у яких матриця системи квадратна. При цьому сама СЛАУ містить три або чотири невідомі та взята зі стандартних типових розрахунків або контрольних робіт.

Спосіб №2. Обчислення рангу шляхом елементарних перетворень.

Докладно цей метод описаний у відповідній темі. Ми обчислюватимемо ранг матриці $\widetilde(A)$. Чому саме матриці $\widetilde(A)$, а не $A$? Справа в тому, що матриця $A$ є частиною матриці $widetilde(A)$, тому обчислюючи ранг матриці $widetilde(A)$ ми одночасно знайдемо і ранг матриці $A$.

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(змінюємо місцями перший і другий рядки)\right| \rightarrow \\ &rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Ми привели матрицю $\widetilde(A)$ до трапецієподібної форми. На головній дагоналі отриманої матриці $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ розташовані три ненульові елементи: -1, 3 і -7. Висновок: ранг матриці $ widetilde (A) $ дорівнює 3, тобто. $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $. Роблячи перетворення з елементами матриці $\widetilde(A)$ ми одночасно перетворювали і елементи матриці $A$, розташовані до межі. Матриця $A$ також наведена до трапецієподібної форми: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Висновок: ранг матриці $A$ також дорівнює 3, тобто. $ Rang A = 3 $.

Оскільки $rang A=rangwidetilde(A)$, відповідно до теоремі Кронекера-Капелли система спільна, тобто. має рішення. Щоб вказати кількість рішень, врахуємо, що наша СЛАУ містить 3 невідомі: $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Оскільки кількість невідомих $n=3$, то робимо висновок: $rang A=rangwidetilde(A)=n$, тому відповідно до слідства з теореми Кронекера-Капеллі, система визначена, тобто. має єдине рішення.

Які переваги другого способу? Головна перевага – це його універсальність. Нам зовсім неважливо, чи є матриця системи квадратної чи ні. Крім того, ми фактично провели перетворення прямого ходу методу Гаусса. Залишилося лише кілька дій, і ми змогли отримати рішення цієї СЛАУ. Чесно кажучи, другий спосіб подобається мені більше за перший, але вибір - це справа смаку.

Відповідь: Задана СЛАУ спільна та визначена

Приклад №2

Дослідити СЛАУ $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end(aligned) \right.$ на спільність.

Знаходити ранги матриці системи та розширеної матриці системи будемо методом елементарних перетворень. Розширена матриця системи: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1 \ \ -1 & 2 & -3 & 3 \ & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Знайдемо необхідні ранги, перетворюючи розширену матрицю системи:

Розширена матриця системи наведена до ступінчастої форми. Якщо матриця приведена до ступінчастої форми, то ранг її дорівнює кількості ненульових рядків. Отже, $ Rang A = 3 $. Матриця $A$ (до межі) приведена до трапецієподібної форми і ранг її дорівнює 2, $ Rang A = 2 $.

Так як $ rang A neq rang widetilde (A) $, то відповідно до теореми Кронекера-Капеллі система несумісна (тобто не має рішень).

Відповідь: система несумісна.

Приклад №3

Дослідити СЛАУ $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5= ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$ на спільність.

Розширена матриця системи має вигляд: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2&0&7&-5&11&42\\1&-2&3&0&2 & 17 \ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$. Поміняємо місцями перший і другий рядки даної матриці, щоб першим елементом першого рядка стала одиниця: $ \ left ( \ begin (array) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \ & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Ми привели розширену матрицю системи і саму матрицю системи до трапецієподібної форми. Ранг розширеної матриці системи дорівнює трьом, ранг матриці системи також дорівнює трьом. Оскільки система містить $n=5$ невідомих, тобто. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Відповідь: система є невизначеною

У другій частині ми розберемо приклади, які нерідко включають до типових розрахунків або контрольних робіт з вищої математики: дослідження на спільність і рішення СЛАУ в залежності від значень параметрів, що входять до неї.

2024 adsby.ru - Загальноосвітній сайт