Рівняння площини через три точки. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

Щоб отримати загальне рівняння площини, розберемо площину через задану точку.

Нехай у просторі є три вже відомі нам осі координат - Ox, Ойі Oz. Потримаємо аркуш паперу так, щоб він залишався пласким. Площиною буде сам лист та його продовження у всіх напрямках.

Нехай Pдовільна площина у просторі. Кожен перпендикулярний їй вектор називається вектором нормалі до цієї поверхні. Звичайно, йдеться про ненульовий вектор.

Якщо відома якась точка площини Pі якийсь вектор нормалі до неї, то цими двома умовами площину у просторі цілком визначено(через задану точку можна провести єдину площину перпендикулярну даному вектору). Загальне рівняння площини матиме вигляд:

Отже, умови, якими задається рівняння площини, є. Щоб отримати саме рівняння площини, що має наведений вище вигляд, візьмемо на площині Pдовільну точку M зі змінними координатами x, y, z. Ця точка належить площині лише у тому випадку, коли вектор перпендикулярний вектор(Рис. 1). Для цього, згідно з умовою перпендикулярності векторів, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю, тобто

Вектор задано за умовою. Координати вектора знайдемо за формулою :

Тепер, використовуючи формулу скалярного твору векторів , Виразимо скалярне твір в координатній формі:

Бо точка M(x; y; z)обрана на площині довільно, то останньому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на площині P. Для точки N, що не лежить на заданій площині, тобто. рівність (1) порушується.

приклад 1.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна вектору .

Рішення. Використовуємо формулу (1), ще раз подивимося на неї:

У цій формулі числа A , Bі Cкоординати вектора , а числа x0 , y0 і z0 - координати точки.

Обчислення дуже прості: підставляємо ці числа у формулу та отримуємо

Множимо все, що потрібно помножити і складаємо просто числа (які без літер). Результат:

Необхідне рівняння площини у цьому прикладі виявилося загальним рівнянням першого ступеня щодо змінних координат x, y, zдовільної точки площини.

Отже, рівняння виду

називається загальним рівнянням площини .

приклад 2.Побудувати у прямокутній декартовій системі координат площину, задану рівнянням .

Рішення. Для побудови площини необхідно і достатньо знати якісь три її точки, що не лежать на одній прямій, наприклад, точки перетину площини з осями координат.

Як знайти ці точки? Щоб знайти точку перетину з віссю Oz, потрібно в рівняння, дане за умови завдання, замість ікс і грека підставити нулі: x = y= 0. Тому отримуємо z= 6 . Таким чином, задана площина перетинає вісь Ozу точці A(0; 0; 6) .

Так само знаходимо точку перетину площини з віссю Ой. При x = z= 0 отримуємо y= −3 , тобто точку B(0; −3; 0) .

І, нарешті, знаходимо точку перетину нашої площини з віссю Ox. При y = z= 0 отримаємо x= 2 , тобто точку C(2; 0; 0) . За трьома отриманими в нашому рішенні точками A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) та C(2; 0; 0) будуємо задану площину.

Розглянемо тепер окремі випадки загального рівняння площини. Це випадки, коли ті чи інші коефіцієнти рівняння (2) перетворюються на нуль.

1. При D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через початок координат, оскільки координати точки 0 (0; 0; 0) задовольняють цього рівняння.

2. При A = 0 рівняння визначає площину, паралельну осі Ox, оскільки вектор нормалі цієї площини перпендикулярний до осі. Ox(його проекція на вісь Oxдорівнює нулю). Аналогічно, при B = 0 площина паралельна осі Ой, а при C = 0 площина паралельна осі Oz.

3. При A = D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через вісь Oxоскільки вона паралельна осі Ox (A =D = 0). Аналогічно, площина проходить через вісь Ой, а площина через вісь Oz.

4. При A = B = 0 рівняння визначає площину, паралельну координатній площині xOyоскільки вона паралельна осям Ox (A= 0) та Ой (B= 0). Аналогічно, площина паралельна площині yOz, а площина - площині xOz.

5. При A = B = D = 0 рівняння (або z = 0) визначає координатну площину xOyоскільки вона паралельна площині xOy (A = B = 0) і проходить через початок координат ( D = 0). Аналогічно, рівняння y = 0 у просторі визначає координатну площину xOz, а рівняння x = 0 - координатну площину yOz.

приклад 3.Скласти рівняння площини P, що проходить через вісь Ойі точку.

Рішення. Отже, площина проходить через вісь Ой. Тому в її рівнянні y= 0 і це рівняння має вигляд. Для визначення коефіцієнтів Aі Cскористаємося тим, що точка належить площині P .

Тому серед її координат є такі, які можна підставити в рівнянні площини, що ми вже вивели (). Дивимося ще раз на координати точки:

M0 (2; −4; 3) .

Серед них x = 2 , z= 3 . Підставляємо їх у рівняння загального виду та отримуємо рівняння для нашого окремого випадку:

2A + 3C = 0 .

Залишаємо 2 Aу лівій частині рівняння, переносимо 3 Cу праву частину та отримуємо

A = −1,5C .

Підставивши знайдене значення Aв рівняння, отримаємо

або .

Це і є рівняння, необхідне за умови прикладу.

Вирішити завдання на рівняння площини самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 4.Визначити площину (або площини, якщо більше однієї) щодо координатних осей або координатних площин, якщо площина задана рівнянням .

Вирішення типових завдань, які бувають на контрольних роботах - у посібнику "Завдання на площину: паралельність, перпендикулярність, перетин трьох площин в одній точці".

Рівняння площини, що проходить через три точки

Як уже згадувалося, необхідною і достатньою умовою для побудови площини, крім однієї точки та вектора нормалі, є також три точки, що не лежать на одній прямій.

Нехай дані три різні точки , і , що не лежать на одній прямій. Так як зазначені три точки не лежать на одній прямій, вектори і не колінеарні, а тому будь-яка точка площини лежить в одній площині з точками , і тоді і тільки тоді, коли вектори , і компланарні, тобто. тоді і лише тоді, коли змішаний твір цих векторіводно нулю.

Використовуючи вираз змішаного твору в координатах, отримаємо рівняння площини

(3)

Після розкриття визначника це рівняння стає рівнянням виду (2), тобто. загальним рівнянням площини.

Приклад 5.Скласти рівняння площини, що проходить через три дані точки, що не лежать на одній прямій:

і визначити окремий випадок загального рівняння прямої, якщо така має місце.

Рішення. За формулою (3) маємо:

Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини

Нормальним рівнянням площини називається її рівняння, записане як

Можна задавати різними способами (одною точкою та вектором, двома точками та вектором, трьома точками та ін.). Саме з огляду на це рівняння площини може мати різні види. Також при дотриманні певних умов площини можуть бути паралельними, перпендикулярними, такими, що перетинаються і т.д. Про це і поговоримо у цій статті. Ми навчимося складати загальне рівняння площини і не лише.

Нормальний вид рівняння

Припустимо, є простір R 3 який має прямокутну координатну систему XYZ. Задамо вектор α, який буде випущений з початкової точки О. Через кінець вектора α проведемо площину П, яка буде перпендикулярна йому.

Позначимо на П довільну точку Q = (х, у, z). Радіус-вектор точки Q підпишемо літерою. При цьому довжина вектора дорівнює р=IαI і Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Це одиничний вектор, спрямований убік, як і вектор α. α, β і γ - це кути, які утворюються між вектором і позитивними напрямками осей простору х, у, z відповідно. Проекція будь-якої точки Q? на вектор ? є постійною величиною, яка дорівнює р: (р,?) = р(р?0).

Зазначене рівняння має сенс, коли р = 0. Єдине, площина П у цьому випадку перетинатиме точку О (α=0), яка є початком координат, і одиничний вектор Ʋ, випущений з точки О, буде перпендикулярний до П, незважаючи на його напрям, що означає, що вектор Ʋ визначається з точність до знака. Попереднє рівняння є рівнянням нашої поверхні П, вираженим у векторній формі. А ось у координатах його вигляд буде таким:

Р тут більше або дорівнює 0. Ми знайшли рівняння площини у просторі у нормальному вигляді.

Загальне рівняння

Якщо рівняння в координатах помножимо на будь-яке число, яке не дорівнює нулю, отримаємо рівняння, еквівалентне даному, що визначає ту саму площину. Воно матиме такий вигляд:

Тут А, В, С – це числа, одночасно відмінні від нуля. Це рівняння називається як рівняння поверхні загального виду.

Рівняння площин. Приватні випадки

Рівняння у вигляді може видозмінюватися за наявності додаткових умов. Розглянемо деякі з них.

Припустимо, що коефіцієнт А дорівнює 0. Це означає, що дана площина паралельна до заданої осі Ох. І тут вид рівняння зміниться: Ву+Cz+D=0.

Аналогічно вид рівняння змінюватиметься і за таких умов:

По-перше, якщо В=0, то рівняння зміниться на Ах+Cz+D=0, що свідчить про паралельність осі Оу.
По-друге, якщо С=0, то рівняння перетворюється на Ах+Ву+D=0, що говорити про паралельність заданої осі Oz.
По-третє, якщо D=0, рівняння буде виглядати як Ах+Ву+Cz=0, що означатиме, що площина перетинає О (початок координат).
По-четверте, якщо A=B=0, то рівняння зміниться на Cz+D=0, що доводитиме паралельність до Oxy.
По-п'яте, якщо B = C = 0, то рівняння стане Ах + D = 0, а це означає, що площина до Oyz паралельна.
По-шосте, якщо A=C=0, то рівняння набуде вигляду Ву+D=0, тобто повідомлятиме про паралельність до Oxz.

Вид рівняння у відрізках

У разі коли числа А, В, С, D відмінні від нуля, вид рівняння (0) може бути наступним:

х/а + у/b + z/с = 1,

у якому а = -D/А, b = -D/В, з = -D/С.

Отримуємо в результаті Варто відзначити, що дана поверхня буде перетинати вісь Ох в точці з координатами (а, 0,0), Оу - (0, b, 0), а Oz - (0,0, с).

З урахуванням рівняння х/а + у/b + z/с = 1 неважко візуально уявити розміщення площини щодо заданої координатної системи.

Координати нормального вектора

Нормальний вектор n до площини П має координати, що є коефіцієнтами загального рівняння даної площини, тобто n (А, В, С).

Щоб визначити координати нормалі n, досить знати загальне рівняння заданої площині.

При використанні рівняння у відрізках, яке має вигляд х/а + у/b + z/с = 1, як і при використанні загального рівняння, можна записати координати будь-якого нормального вектора заданої площини: (1/а + 1/b + 1/ с).

Варто зазначити, що нормальний вектор допомагає вирішити різноманітні завдання. До найпоширеніших відносяться задачі, що полягають у доказі перпендикулярності або паралельності площин, завдання знаходження кутів між площинами або кутів між площинами і прямими.

Вигляд рівняння площини згідно з координатами точки та нормального вектора

Ненульовий вектор n, перпендикулярний до заданої площини, називають нормальним (нормаллю) для заданої площини.

Припустимо, що у координатному просторі (прямокутній координатній системі) Oxyz задані:

точка Мₒ з координатами (хₒ, уₒ, zₒ);
нульовий вектор n = А * i + В * j + С * k.

Потрібно скласти рівняння площини, яка проходитиме через точку Мₒ перпендикулярно до нормалі n.

У просторі виберемо будь-яку довільну точку та позначимо її М (х у, z). Нехай радіус-вектор будь-якої точки М (х,у,z) буде r=х*i+у*j+z*k, а радіус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ *j+zₒ*k. Точка М належатиме заданій площині, якщо вектор МₒМ буде перпендикулярний вектору n. Запишемо умову ортогональності за допомогою скалярного твору:

[МₒМ, n] = 0.

Оскільки МₒМ = r-rₒ, векторне рівняння площини виглядатиме так:

Це рівняння може мати й іншу форму. І тому використовуються властивості скалярного твори, а перетворюється ліва сторона рівняння.

= -. Якщо позначити як с, то вийде таке рівняння: - с = 0 або = с, яке виражає сталість проекцій на нормальний вектор радіус-векторів заданих точок, що належать до площини.

Виходить, у нас утворюється рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до нормалі n:

А*(х-хₒ)+В*(у-уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид рівняння площини згідно з координатами двох точок та вектора, колінеарної площини

Задамо дві довільні точки М '(х',у',z') і М'(х',у',z'), а також вектор а (а',а',а').

Тепер ми зможемо скласти рівняння заданої площини, яка проходитиме через наявні точки М′ і М″, а також будь-яку точку М із координатами (х,у,z) паралельно заданому вектору а.

При цьому вектори М′М=(х-х′;у-у′;z-z′) та М″М=(х″-х′;у″-у′;z″-z′) повинні бути компланарними з вектором а=(а′,а″,а‴), а це означає, що (М′М, М″М, а)=0.

Отже, наше рівняння площини у просторі виглядатиме так:

Вигляд рівняння площини, що перетинає три точки

Припустимо, у нас є три точки: (х',у',z'), (х',у',z'), (х‴,у‴,z‴), які не належать до однієї прямої. Необхідно написати рівняння площини, яка проходить через три точки. Теорія геометрії стверджує, що така площина дійсно існує, ось тільки вона єдина і неповторна. Оскільки ця площина перетинає точку (х′,у′,z′), вид її рівняння буде наступним:

Тут А, В, З відмінні від нуля одночасно. Також задана площина перетинає ще дві точки: (х ", у", z ") і (х, у, z,). У зв'язку з цим мають виконуватися такі умови:

Зараз ми можемо скласти однорідну систему з невідомими u, v, w:

У разі х,у чи z виступає довільною точкою, яка задовольняє рівняння (1). Враховуючи рівняння (1) та систему з рівнянь (2) та (3), систему рівнянь, зазначеної на малюнку вище, задовольняє вектор N (А, В, С), який є нетривіальним. Саме тому визначник цієї системи дорівнює нулю.

Рівняння (1), яке у нас вийшло, це і є рівняння площини. Через три точки вона точно проходить, і це легко перевірити. Для цього потрібно розкласти наш визначник за елементами, що знаходяться у першому рядку. З існуючих властивостей визначника випливає, що наша площина одночасно перетинає три спочатку задані точки (х',у',z'), (х',у',z'), (х',у',z'). Тобто ми вирішили поставлене перед нами завдання.

Двогранний кут між площинами

Двогранний кут є просторовою геометричною фігурою, утвореною двома напівплощинами, які виходять з однієї прямої. Іншими словами, це частина простору, яка обмежується цими напівплощинами.

Допустимо, у нас є дві площини з наступними рівняннями:

Нам відомо, що вектори N=(А,В,С) та N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярні згідно з заданими площинами. У зв'язку з цим кут φ між векторами N і N¹ дорівнює куту (двогранному), який знаходиться між цими площинами. Скалярний твір має вигляд:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

саме тому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достатньо врахувати, що 0≤φ≤π.

Насправді дві площини, які перетинаються, утворюють два кути (двогранні): φ 1 і φ 2 . Сума їх дорівнює π (φ 1 + φ 2 = π). Що ж до їх косинусів, їх абсолютні величини рівні, але вони різняться знаками, тобто cos φ 1 =-cos φ 2 . Якщо в рівнянні (0) замінити А, В та С на числа -А, -В і -С відповідно, то рівняння, яке ми отримаємо, визначатиме цю саму площину, єдине, кут φ у рівнянні cos φ= NN 1 /| N||N 1 | буде замінено на π-φ.

Рівняння перпендикулярної площини

Перпендикулярними називаються площини, між якими кут дорівнює 90 градусів. Використовуючи матеріал, викладений вище, ми можемо знайти рівняння площини, перпендикулярної до іншої. Припустимо, у нас є дві площини: Ах + Ву + Cz + D = 0 і Ах + В¹у + С¹z + D = 0. Ми можемо стверджувати, що вони будуть перпендикулярними, якщо cosφ=0. Це означає, що NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Рівняння паралельної площини

Паралельними називаються дві площини, які містять загальних точок.

Умова (їх рівняння ті ж, що й у попередньому пункті) полягає в тому, що вектори N і N¹, які перпендикулярні до них, колінеарні. А це означає, що виконуються такі умови пропорційності:

А/А?=В/В?=С/С?.

Якщо умови пропорційності є розширеними - А/А?=В/В?=С/С?=DD?,

це свідчить у тому, що ці площини збігаються. А це означає, що рівняння Ах+Ву+Cz+D=0 і Ах+В¹у+С¹z+D¹=0 описують одну площину.

Відстань до площини від точки

Припустимо, ми маємо площину П, яка задана рівнянням (0). Необхідно знайти відстань від точки з координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Щоб це зробити, потрібно привести рівняння площини П до нормального вигляду:

(ρ,v)=р (р≥0).

У разі ρ (х,у,z) є радіус-вектором нашої точки Q, розташованої на П, р - це довжина перпендикуляра П, який був випущений з нульової точки, v - це одиничний вектор, який розташований у напрямку а.

Різниця ρ-ρº радіус-вектора якоїсь точки Q=(х,у,z), що належить П, а також радіус-вектора заданої точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) є таким вектором, абсолютна величина проекції якого на v дорівнює відстані d, яку потрібно знайти від Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, але

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) = р-(ρ 0 ,v).

Ось і виходить,

d=|(ρ0,v)-р|.

Таким чином, ми знайдемо абсолютне значення одержаного виразу, тобто шукане d.

Використовуючи мову параметрів, отримуємо очевидне:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Якщо задана точка Q 0 знаходиться з іншого боку від площини П, як і початок координат, між вектором ρ-ρ 0 і v знаходиться отже:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

У разі коли точка Q 0 спільно з початком координат розташовується по одну і ту ж сторону від П, то кут, що створюється, гострий, тобто:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

У результаті виходить, що у першому випадку (ρ 0 ,v)>р, у другому (ρ 0 ,v)<р.

Дотична площина та її рівняння

Що стосується площину до поверхні у точці дотику Мº - це площина, що містить всі можливі дотичні до кривих, проведених через цю точку на поверхні.

При такому вигляді рівняння поверхні F(х,у,z)=0 рівняння дотичної площини в дотичній точці М?(х?,??, z?) виглядатиме так:

F х (хº, уº, zº)(х-хº)+ F х (хº, уº, zº)(у-уº)+ F х (хº, уº, zº)(z-zº)=0.

Якщо задати поверхню у явній формі z=f (х,у), то дотична площина буде описана рівнянням:

z-zº =f(хº, уº)(х-хº)+f(хº, уº)(у-уº).

Перетин двох площин

Розташована система координат (прямокутна) Oxyz, дано дві площини П′ і П″, які перетинаються і не збігаються. Оскільки будь-яка площина, що знаходиться в прямокутній координатній системі, визначається загальним рівнянням, будемо вважати, що П′ і П″ задаються рівняннями А′х+В′у+С′z+D′=0 та А″х+В″у+ З z + D = 0. У такому разі маємо нормаль n' (А',В',С') площини П' і нормаль n''(А'',В''С') площини П'. Оскільки наші площини не паралельні і не збігаються, ці вектори є не колінеарними. Використовуючи мову математики, ми цю умову можемо записати так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Нехай пряма, що лежить на перетині П′ і П″, позначатиметься літерою а, у цьому випадку а = П′ ∩ П″.

а - це пряма, що складається з багатьох точок (загальних) площин П′ і П″. Це означає, що координати будь-якої точки, що належить прямій а, повинні одночасно задовольняти рівняння А'х+В'у+С'z+D'=0 і А'х+В'у+С'z+D'=0. Отже, координати точки будуть приватним рішенням наступної системи рівнянь:

У результаті виходить, що рішення (загальне) цієї системи рівнянь визначатиме координати кожної з точок прямої, яка виступатиме точкою перетину П′ і П″, і визначатиме пряму а в координатній системі Oxyz (прямокутної) у просторі.

У цій статті ми поговоримо про те, як складається рівняння площини, що проходить через задану точку тривимірного простору перпендикулярно до заданої прямої. Спочатку розберемо принцип знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, після чого докладно розберемо рішення характерних прикладів та завдань.

Навігація на сторінці.

Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору, перпендикулярно до заданої прямої.

Поставимо собі наступне завдання.

Нехай у тривимірному просторі зафіксована Oxyz, задана точка, пряма a і потрібно написати рівняння площини, що проходить через точку М1 перпендикулярно до прямої a.

Спочатку згадаємо один важливий факт.

На уроках геометрії в середній школі доводиться теорема: через задану точку тривимірного простору проходить єдина площина, перпендикулярна до цієї прямої (доказ цієї теореми Ви можете знайти в підручнику геометрії за 10-11 класи, вказаному у списку літератури наприкінці статті).

Тепер покажемо, як знаходиться рівняння цієї єдиної площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданій прямій.

За умови завдання нам дано координати x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , якою проходить площину . Тоді, якщо знайдемо координати нормального вектора площині , ми зможемо скласти необхідне рівняння площині, що проходить через задану точку перпендикулярно заданої прямої.

Приклади складання рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

Розглянемо рішення кількох прикладів, у яких перебуває рівняння площині, що проходить через задану точку простору перпендикулярно до заданої прямої.

приклад.

Напишіть рівняння площини, яка проходить через точку і перпендикулярна до координатної прямої Oz .

Рішення.

Напрямний вектор координатної прямої Oz , очевидно, є координатний вектор . Тоді нормальний вектор площини, рівняння якої потрібно скласти, має координати . Напишемо рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор з координатами:
.

Покажемо другий спосіб розв'язання цього завдання.

Площину, перпендикулярну до координатної прямої Oz задає неповне загальне рівнянням площини виду . Знайдемо значення З і D , у яких площина проходить через точку , підставивши координати цієї точки рівняння : . Таким чином, числа С та D пов'язані співвідношенням . Прийнявши C = 1, отримуємо D = -5. Підставляємо знайдені C=1 і D=-5 рівняння і отримуємо шукане рівняння площині, перпендикулярної до прямої Oz і проходить через точку . Воно має вигляд.

Відповідь:

приклад.

Напишіть рівняння площини, яка проходить через початок координат і перпендикулярна до прямої .

Рішення.

Так як площина, рівняння якої нам потрібно отримати, перпендикулярна до прямої то нормальним вектором площини можна прийняти напрямний вектор заданої прямої. Тоді . Залишилось написати рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор : . Це і шукане рівняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно до заданої прямої.

Відповідь:

приклад.

У прямокутній системі координат Oxyz у тривимірному просторі задані дві точки і . Площина проходить через точку А перпендикулярно до прямої АВ. Напишіть рівняння площини у відрізках.

Рішення.

Загальне рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор площини , запишеться як .

Залишилося перейти до необхідного рівняння площини у відрізках:

.

Відповідь:

У висновку зазначимо, що існують завдання, в яких потрібно написати рівняння площини, що проходить через задану точку і перпендикулярна до двох заданих площин, що перетинаються . По суті, рішення цього завдання зводиться до складання рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, так як дві площини, що перетинаються, задають пряму лінію. У цьому випадку основну складність представляє процес пошуку координат нормального вектора площини, рівняння якої потрібно скласти.

Отже, вектор є нормальним вектором площини, перпендикулярної до прямої a. Напишемо рівняння площини, яка проходить через точку та має нормальний вектор :
.

Це і шукане рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

Відповідь:

Список літератури.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7-9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх закладів.
Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Ця стаття дає уявлення про те, як скласти рівняння площини, що проходить через задану точку тривимірного простору перпендикулярно заданій прямій. Розберемо наведений алгоритм з прикладу рішення типових завдань.

Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору перпендикулярно до заданої прямої

Нехай задано тривимірний простір та прямокутна система координат O x y z у ньому. Задано також точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) , пряма a і площина α , що проходить через точку М 1 перпендикулярно до прямої a . Необхідно записати рівняння площини α.

Перш ніж приступити до вирішення цього завдання, згадаємо теорему геометрії з програми 10 – 11 класів, яка свідчить:

Визначення 1

Через задану точку тривимірного простору проходить єдина площина перпендикулярна до заданої прямої.

Тепер розглянемо, як знайти рівняння цієї єдиної площині, що проходить через вихідну точку і перпендикулярної даної прямої.

Можна записати загальне рівняння площини, якщо відомі координати точки, що належить цій площині, а також координати нормального вектора площини.

Умовою завдання нам задані координати x1, y1, z1 точки М1, через яку проходить площину α. Якщо ми визначимо координати нормального вектора площини α, то отримаємо можливість записати рівняння, що шукається.

Нормальним вектором площини α , оскільки він ненульовий і лежить на прямій a , перпендикулярній площині α буде будь-який напрямний вектор прямий a . Так, завдання знаходження координат нормального вектора площини α перетворюється на завдання визначення координат напрямного вектора прямої a .

Визначення координат напрямного вектора прямої a може здійснюватися різними методами: залежить від варіанту завдання прямої a у вихідних умовах. Наприклад, якщо пряма a за умови завдання задана канонічними рівняннями виду

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

або параметричними рівняннями виду:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то напрямний вектор прямий мати координати а x , а y і z . У разі, коли пряма a представлена двома точками М 2 (x 2 , y 2 , z 2) і М 3 (x 3 , y 3 , z 3) , то координати напрямного вектора визначатимуться як (x3 – x2, y3 – y2 , Z3 - Z2).

Визначення 2

Алгоритм для знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої:

Визначаємо координати напрямного вектора прямої a: a → = (а x, а y, а z) ;

Визначаємо координати нормального вектора площини як координати напрямного вектора прямої a:

n → = (A, B, C), де A = a x , B = a y , C = a z;

Записуємо рівняння площини, що проходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) і має нормальний вектор n → = (A, B, C) як A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . Це буде необхідним рівнянням площини, яка проходить через задану точку простору і перпендикулярна до даної прямої.

Отримане загальне рівняння площини: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 дає можливість отримати рівняння площини у відрізках або нормальне рівняння площини.

Розв'яжемо кілька прикладів, використовуючи отриманий вище алгоритм.

Приклад 1

Задана точка М 1 (3 , - 4 , 5) , через яку проходить площину, і ця площина перпендикулярна до координатної прямої Про z .

Рішення

напрямним вектором координатної прямої O z буде координатний вектор k ⇀ = (0, 0, 1). Отже, нормальний вектор площини має координати (0, 0, 1). Запишемо рівняння площини, що проходить через задану точку М 1 (3, - 4, 5), нормальний вектор якої має координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Відповідь: z - 5 = 0 .

Розглянемо ще один спосіб вирішити це завдання:

Приклад 2

Площина, яка перпендикулярна до прямої O z буде задана неповним загальним рівнянням площини виду З z + D = 0 , C ≠ 0 . Визначимо значення C та D: такі, при яких площина проходить через задану точку. Підставимо координати цієї точки в рівняння З + D = 0, отримаємо: З · 5 + D = 0 . Тобто. числа, C і D пов'язані співвідношенням - DC = 5 . Прийнявши З = 1, отримаємо D = -5.

Підставимо ці значення в рівняння З z + D = 0 і отримаємо необхідне рівняння площини, перпендикулярної до прямої O z і проходить через точку М 1 (3 - 4 5) .

Воно матиме вигляд: z – 5 = 0 .

Відповідь: z - 5 = 0 .

Приклад 3

Складіть рівняння площини, яка проходить через початок координат і перпендикулярна до прямої x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Рішення

Спираючись на умови завдання, можна стверджувати, що за нормальний вектор n → заданої площини можна прийняти напрямний вектор заданої прямої. Таким чином: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Запишемо рівняння площини, що проходить через точку О (0 , 0 , 0) і має нормальний вектор n → = (- 3 , - 7 , 2) :

3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ми отримали необхідне рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно заданій прямій.

Відповідь:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Приклад 4

Задано прямокутну систему координат O x y z у тривимірному просторі, в ній – дві точки А (2 , - 1 , - 2) і B (3 , - 2 , 4) . Площина проходить через точку A перпендикулярно до прямої А В. Необхідно скласти рівняння площини у відрізках.

Рішення

Площина α перпендикулярна до прямої АВ, тоді вектор АВ → буде нормальним вектором площини α . Координати цього вектора визначаються як різниці відповідних координат точок В (3, - 2, 4) і А (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Загальне рівняння площини буде записано у такому вигляді:

1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Тепер складемо шукане рівняння площини у відрізках:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Відповідь:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Також слід зазначити, що зустрічаються завдання, вимога яких – написати рівняння площини, яка проходить через задану точку і перпендикулярна до двох заданих площин. Загалом, розв'язання цієї задачі в тому, щоб скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, тому що. дві площини, що перетинаються, задають пряму лінію.

Приклад 5

Задано прямокутну систему координат O x y z , у ній – точка М 1 (2 , 0 , - 5) . Задано також рівняння двох площин 3 x + 2 y + 1 = 0 і x + 2 z – 1 = 0 , які перетинаються прямою a . Необхідно скласти рівняння площини, що проходить через точку М1 перпендикулярно до прямої a.

Рішення

Визначимо координати напрямного вектора прямої a. Він перпендикулярний як до нормального вектора n 1 → (3 , 2 , 0) площини n → (1 , 0 , 2) , так і до нормального вектора 3 x + 2 y + 1 = 0 площини x + 2 z - 1 = 0 .

Тоді напрямним вектором α → прямий a візьмемо векторний добуток векторів n 1 → n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Таким чином, вектор n → = (4 , - 6 , - 2) буде нормальним вектором площини перпендикулярної до прямої a . Запишемо шукане рівняння площини:

4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Відповідь: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) у загальній декартовій системі координат.

Для того щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1 , М 2 , М 3 необхідно, щоб вектори були компланарні.

(
) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини за двома точками та вектором, колінеарною площиною.

Нехай задані точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) і вектор
.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору .

Вектори
та вектор
мають бути компланарні, тобто.

(
) = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці та двох векторів,

колінеарні площині.

Нехай задані два вектори
і
, колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у,z), що належить площині, вектори
мають бути компланарними.

Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі .

Теорема. Якщо у просторі задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Доведення. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору
. Тоді скалярний твір

= 0

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D)

замінивши
, Отримаємо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно до осей х, у, z.

Рівняння плоскості у векторній формі.

де

- радіус- вектор поточної точки М(х, у, z),

Одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину початку координат.

,  та  - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p – Довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 дорівнює:

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) - основа перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) та

Q(1; -1; 3) перпендикулярно до площини 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у – z + 5 = 0
паралельний шуканій площині.

Отримуємо:

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, -1, 4) та

В(3, 2, -1) перпендикулярно до площини х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: A x+ B y+ C z+ D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна до шуканої має вектор нормалі. (1, 1, 2). Т.к. точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Т.к. точка А належить шуканої площині, її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площині, тобто. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Отже, отримуємо рівняння площини: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, -3, 12) - основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі
= (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:

16+9+144+D=0

Отже, отримуємо шукане рівняння: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

приклад.Дано координати вершин піраміди А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Знайти довжину ребра А1А2.

Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.

Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3 як векторний добуток векторів
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знайдемо кут між вектором нормалі та вектором
.

-4 – 4 = -8.

Шуканий кут  між вектором і площиною дорівнюватиме  = 90 0 - .

Знайти площу грані А 1 А 2 А 3 .

Знайти обсяг піраміди.

Знайти рівняння площини А1А2А3.

Скористаємося формулою рівняння площини, яка проходить через три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

При використанні комп'ютерної версії “ Курс вищої математики” можна запустити програму, яка вирішить розглянутий вище приклад для будь-яких координат вершин піраміди.

Для запуску програми двічі клацніть на значку:

У вікні програми, що відкрилося, введіть координати вершин піраміди і, натисніть Enter. Таким чином, по черзі можуть бути отримані усі пункти рішення.

Примітка: Для запуску програми необхідно, щоб на комп'ютері була встановлена програма Maple (Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.