В який циліндр можна вписати кулю. Комбінації кулі з многогранниками. Куля, вписана в призму. Комбінація кулі з усіченої пірамідою

Центр вписаного кулі - точка перетину биссекторной площин, побудованих для всіх наявних в піраміді двогранні кутів; якщо ці биссекторной площині не мають спільної точки, то куля вписати не можна.

Окремий випадок: бічні грані піраміди равнонаклонени до площини підстави. тоді:

куля вписати можна;

центр Про кулі лежить на висоті піраміди, конкретніше - це точка перетину висоти з бісектрисою кута між апофемой і проекцією цієї апофеми на площину підстави.

6.2. Куля і пряма призма

У пряму призму можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли:

в основу призми можна вписати коло,

діаметр цього кола дорівнює висоті призми.

Центром кулі служить середина відрізка, що з'єднує центри вписаних в підстави кіл.

де - радіус вписаного кулі; - радіус вписаного в основу кола; Н - висота призми.

6.3. Куля і циліндр

У циліндр можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли осьовий переріз циліндра - квадрат (такий циліндр іноді називають рівностороннім). Центром кулі служить центр симетрії осьового перерізу циліндра.

6.4. Куля і конус

У конус можна вписати кулю завжди. Центром кулі служить центр кола, вписаного в осьовий переріз конуса.

6.5. Куля і усічений конус

У усічений конус можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли

Або сферою. Будь відрізок, що з'єднує центр кулі з точкою кульової поверхні, називається радіусом. Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметру називаються діаметрально протилежними точками кулі.Будь-яке перетин куліплощиною є коло. Центр цього круга є підстави перпендикуляра, опущеного з центра на січну площину.Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральної площиною. Перетин кулі діаметральної площиною називається великим колом, А перетин сфери - великою окружністю. Будь-яка діаметральна площину кулі є його площиною симетрії. Центр кулі є його центром симетрії. Площина, що проходить через точку кульової поверхні і перпендикулярна радіусу, проведеного в цю точку, називається дотичній площиною. Дана точка називається точкою дотику. Дотична площину має з кулею тільки одну спільну точку - точку дотику.Пряма, що проходить через задану точку кульової поверхні перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичній. Через будь-яку точку кульової поверхні проходить нескінченно багато дотичних, причому всі вони лежать в дотичній площині кулі.Шаровим сегментомназивається частина кулі, відсікає від нього площиною.Шаровим шаромназивається частина кулі, розташована між двома паралельними площинами, що перетинають кулю.кульовий секторвиходить з кульового сегмента і конуса.Якщо кульової сегмент менше напівкулі, то кульовий сегмент доповнюється конусом, у якого вершина в центрі кулі, а підставою є підстава сегмента.Якщо ж сегмент більше напівкулі, то зазначений конус з нього віддаляється. Основні формули Куля (R = ОВ - радіус):S б = 4πR 2; V = 4πR 3/3.Кульовий сегмент (R = ОВ - радіус кулі, h = СК - висота сегмента, r = КВ - радіус підстави сегмента):V сегм = πh 2 (R - h / 3)або V сегм = πh (h 2 + 3r 2) / 6; S сегм = 2πRh.Кульовий сектор (R = ОВ - радіус кулі, h = СК - висота сегмента):V = V сегм ± V кін, «+»- якщо сегмент менше, «-» - якщо сегмент більше півсфери.або V = V сегм + V кін = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. Кульовий шар (R 1 і R 2 - радіуси підстав кульового шару; h = СК - висота кульового шару або відстань між основами):V ш / сл = πh 3/6 + πh (R 1 2 + R 2 2) / 2; S ш / сл = 2πRh.Приклад 1.Обсяг кулі дорівнює 288π см 3. Знайти діаметр кулі.РішенняV = πd 3/6288π = πd 3/6πd 3 = 1728πd 3 = 1728d = 12 см.Відповідь: 12.Приклад 2.Три рівних сфери радіусом r торкаються один одного і деякою площині. Визначити радіус четвертої сфери, що стосується трьох даних і цій площині.Рішення Нехай О 1, О 2, О 3 - центри даних сфер і Про - центр четвертої сфери, що стосується трьох даних і цій площині. Нехай А, В, С, Т - точки дотику сфер з даної площиною. Точки дотику двох сфер лежать на лінії центрів цих сфер, тому О 1 О 2 = О 2 О 3 = О 3 О 1 = 2r. Точки рівновіддалені від площини АВС, тому АВО 2 О 1, АВО 2 О 3, АВО 3 О 1- рівні прямокутники, отже, ΔАВС - рівносторонній зі стороною 2r.нехай х - шуканий радіус четвертої сфери. Тоді ВІД = х. Отже, Аналогічно Значить, Т - центр рівностороннього трикутника. Тому звідсиВідповідь: r / 3. Сфера, вписана в пірамідуУ кожну правильну піраміду можна вписати сферу. Центр сфери лежить на висоті піраміди в точці її перетину з бісектрисою лінійного кута при ребрі основи піраміди.Зауваження. Якщо в піраміду, необов'язково правильну, можна вписати сферу, то радіус r цієї сфери можна обчислити за формулою r = 3V / S пп, де V - об'єм піраміди, S пп - площа її повної поверхні.Приклад 3.Конічна воронка, радіус підстави якої R, а висота H, наповнена водою. У воронку опущений важку кулю. Яким повинен бути радіус кулі, щоб обсяг води, витіснений з воронки зануреної частиною кулі, був максимальним?РішенняПроведемо переріз через центр конуса. Дане перетин утворює трикутник. Якщо у воронці знаходиться куля, то максимальний розмір його радіуса буде дорівнює радіусу вписаного в отриманий трикутник окружності.Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює:r = S / p, де S - площа трикутника, p - його напівпериметр.Площа рівнобедреного трикутника дорівнює половині висоти (H = SO), помноженої на підставу. Але оскільки підстава - подвоєний радіус конуса, то S = RH.Напівпериметр дорівнює p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m - довжина кожної з рівних сторін рівнобедреного трикутника;R - радіус кола, складає основу конуса.Знайдемо m по теоремі Піфагора: , звідкиКоротко це виглядає наступним чином: відповідь: Приклад 4.У правильній трикутній піраміді з двогранним кутом при підставі, рівним α, розташовані дві кулі. Перша куля стосується всіх граней піраміди, а друга куля стосується всіх бічних граней піраміди і першої кулі. Знайти відношення радіуса першої кулі до радіусу другого кулі, якщо tgα = 24/7.Рішення
нехай РАВС - правильна піраміда і точка Н - центр її заснування АВС. Нехай М - середина ребра ВС. Тоді - лінійний кут двогранного кута, який за умовою дорівнює α, причому α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . нехай НН 1 - діаметр першої кулі і площина, що проходить через точку Н 1 перпендикулярно прямій РН, перетинає бічні ребра РА, РВ, РС відповідно в точках А 1, В 1, С 1. Тоді Н 1 буде центром правильного ΔА 1 В 1 С 1, а піраміда РА 1 В 1 С 1 буде подібна піраміді РАВС з коефіцієнтом подібності k = РН 1 / РН. Зауважимо, що друга куля, з центром в точці О 1, є вписаною в піраміду РА 1 В 1 С 1 і тому відношення радіусів вписаних куль дорівнює коефіцієнту подібності: ОН / ОН 1 = РН / РН 1. З рівності tgα = 24/7 знаходимо:нехай АВ = х. тодіЗвідси шукане відношення ОН / О 1 Н 1 = 16/9.Відповідь: 16/9. Сфера, вписана в призмуДіаметр D сфери, вписаною в призму, дорівнює висоті Н призми: D = 2R = H.радіус R сфери, вписаною в призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми.Якщо в пряму призму вписано сфера, то в основу цієї призми можна вписати коло.радіус R сфери, вписаною в пряму призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми.теорема 1Нехай в основу прямий призми можна вписати коло, і висота Н призми дорівнює діаметру D цієї окружності. Тоді в цю призму можна вписати сферу діаметром D. Центр цієї вписаної сфери збігається з серединою відрізка, що з'єднує центри кіл, вписаних в основи призми.Доведення Нехай АВС ... А 1 В 1 С 1 ... - пряма призма і О - центр кола, вписаного в її основу АВС. Тоді точка Про рівновіддалена від усіх сторін підстави АВС. Нехай О 1 - ортогональна проекція точки О на підставу А 1 В 1 С 1. Тоді О 1 рівновіддалена від усіх сторін підстави А 1 В 1 С 1, і ГО 1 || АА 1. Звідси випливає, що пряма ГО 1 паралельна кожній площині бічної грані призми, а довжина відрізка ГО 1 дорівнює висоті призми і, за умовою, діаметру кола, вписаного в основу призми. Значить, точки відрізка ГО 1 рівновіддалені від бічних граней призми, а середина F відрізка ГО 1, рівновіддалена від площин підстав призми, буде рівновіддалена від усіх граней призми. Тобто F - центр сфери, вписаною в призму, і діаметр цієї сфери дорівнює діаметру кола, вписаного в основу призми. Теорема доведена.теорема 2Нехай до перпендикулярного перетин похилій призми можна вписати коло, і висота призми дорівнює діаметру цієї окружності. Тоді в цю похилу призму можна вписати сферу. Центр цієї сфери ділить висоту, що проходить через центр кола, вписаного в перпендикулярний переріз, навпіл.Доведення
Нехай АВС ... А 1 В 1 С 1 ... - похила призма і F - центр окружності радіусом FK, вписаною в її перпендикулярний переріз. Оскільки перпендикулярний переріз призми перпендикулярно кожної площині її бічної грані, то радіуси кола, вписаного в перпендикулярний переріз, проведені до сторін цього перетину, є перпендикулярами до бічних граней призми. Отже, точка F рівновіддалена від усіх бічних граней.Проведемо через точку F пряму ГО 1, перпендикулярну площині підстав призми, що перетинає ці підстави в точках О і О1. Тоді ГО 1 - висота призми. Оскільки за умовою ГО 1 = 2FK, то F - середина відрізка ГО 1:FK = ОО 1/2 = FО = FО 1, тобто точка F рівновіддалена від площин всіх без винятку граней призми. Значить, в дану призму можна вписати сферу, центр якої збігається з точкою F - центром кола, вписаного в те перпендикулярний переріз призми, яке ділить висоту призми, що проходить через точку F, навпіл. Теорема доведена.Приклад 5.У прямокутний паралелепіпед вписано кулю радіуса 1. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.Рішення Намалюйте вид зверху. Або збоку. Або спереду. Ви побачите одне і те ж - коло, вписаний в прямокутник. Очевидно, цей прямокутник буде квадратом, а паралелепіпед буде кубом. Довжина, ширина і висота цього куба в два рази більше, ніж радіус кулі.АВ = 2, а отже, обсяг куба дорівнює 8.Відповідь: 8.Приклад 6.У правильній трикутній призмі зі стороною підстави, рівної, розташовані дві кулі. Перша куля вписана в призму, а друга куля стосується одного підстави призми, двох її бічних граней і першої кулі. Знайти радіус другої кулі.Рішення
Нехай АВСА 1 В 1 С 1 - правильна призма і точки Р і Р 1 - центри її підстав. Тоді центр кулі О, вписаного в цю призму, є серединою відрізка РР 1. Розглянемо площину РВВ 1. Оскільки призма правильна, то РВ лежить на відрізку BN, який є бісектрисою і висотою ΔАВС. Отже, площина і є биссекторной площиною двогранного кута при бічному ребрі ВВ 1. Тому будь-яка точка цієї площини рівновіддалена від бічних граней АА 1 ВВ 1 і СС 1 В 1 В. Зокрема, перпендикуляр ОК, опущений з точки О на грань АСС 1 А 1, лежить в площині РВВ 1 і дорівнює відрізку ОР.Зауважимо, що KNPO - квадрат, сторона якого дорівнює радіусу кулі, вписаного в дану призму.нехай О 1 - центр кулі, що стосується вписаного кулі з центром О і бічних граней АА 1 ВВ 1 і СС 1 В 1 В призми. Тоді точка О 1 лежить площині РВВ 1, а її проекція Р 2 на площину АВС лежить на відрізку РВ.За умовою сторона основи дорівнює

Куля називається вписаним в многогранік, а многогранік називається опіісанним близько кулі, якщо поверхня кулі стосується всіх граней многограніка.

Куля можна вписати в призму т і тт до призма пряма, а її висота дорівнює діаметру кола вписаною в основу призми.

Слідство 1. Центр кулі, вписаного в пряму призму, лежить в середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Слідство 2. Куля, зокрема, можна вписати в прямі: трикутну, правильну, чотирикутну (у якій суми протилежних сторін підстави рівні між собою) за умови Н = 2r, де Н - висота призми, r - радіус кола, вписаного в основу.

Комбінації кулі з многогранниками. Сфера, описане навколо призми.

Сфера називається описаної близько многограніка, якщо всі вершини многограніка лежать на сфері.

Призма називається вписаною в сферу, якщо всі її вершини лежать на поверхні сфери.

Сферу можна описати близько призми в тому і тільки в тому випадку, якщо призма пряма і близько її заснування можна описати коло.

Слідство 1. Центр сфери, описаної близько прямої призми, лежить на середині висоти призми, проведеної через центр кола, описаного навколо основи.

Слідство 2. Сферу, зокрема, можна описати: близько прямої трикутної призми, близько правильної призми, близько прямокутного паралелепіпеда, близько прямої чотирикутної призми, у якої сума протилежних кутів підстави дорівнює 180 градусів.

Комбінації циліндра, конуса і усіченого конуса з многогранниками.

Циліндр і призма

Вписаний і описаний циліндр: Призма називається вписаною в циліндр, якщо підстава її рівні багатокутники, вписані в основу циліндра, а бічні ребра є твірними циліндра.

Призма називається описаною навколо циліндра, якщо підстава її - це багатокутники описані навколо основи циліндра, а бічні грані стосуються циліндра.

Призму можна вписати в прямий круговий циліндр т і тт до вона пряма і навколо підстави призми можна описати коло.

Призму можна описати близько циліндра т і тт до вона пряма і в її підстави можна вписати коло.

Конус і піраміда

Пірамідою, вписаною в конус, є така піраміда, підставу якої

є багатокутник, вписаний в окружність підстави конуса, а вершиною

є вершина конуса. Бічні ребра такої піраміди є утворюють

Пірамідою, описаного навколо конуса, є така піраміда, підставу

якої є багатокутник, описаний близько підстави конуса, а вершина

збігається з вершиною конуса. Площині бічних граней такої піраміди

є дотичними площинами конуса.

Піраміду можна вписати в прямий круговий конус т і т т до існує коло опис близько основи піраміди і висота піраміди проектується в центр цієї окружності.

Піраміду можна описати навколо конуса т і т т до існує коло вписаного в підстави і висота піраміди проектується в центр цієї окружності.

Тема "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і кулю" є однією з найскладніших в курсі геометрії 11 класу. Перед тим, як вирішувати геометричні завдання, зазвичай вивчають відповідні розділи теорії, на які посилаються при вирішенні завдань. У підручнику С.Атанасяна і ін. По даній темі (стор. 138) можна знайти тільки визначення багатогранника, описаного близько сфери, багатогранника, вписаного в сферу, сфери, вписаною в багатогранник, і сфери, описаної близько багатогранника. У методичних рекомендаціях до цього підручника (див. Книгу "Вивчення геометрії в 10-11-х класах" С.М.Саакяна і В.Ф.Бутузова, стор.159) сказано, які комбінації тел розглядаються при вирішенні задач № 629-646 , і звертається увага на те, що "при вирішенні того чи іншого завдання перш за все потрібно домогтися того, щоб учні добре представляли взаємне розташування зазначених в умові тел". Далі наводиться рішення задач №638 (а) і №640.

З огляду на все вище сказане, і те, що найбільш важкими для учнів є завдання на комбінацію кулі з іншими тілами, необхідно систематизувати відповідні теоретичні положення і повідомити їх учням.

Визначення.

1. Куля називається вписаним в багатогранник, а багатогранник описаним близько кулі, якщо поверхня кулі стосується всіх граней багатогранника.

2. Куля називається описаним близько багатогранника, а багатогранник вписаним в кулю, якщо поверхня кулі проходить через усі вершини багатогранника.

3. Куля називається вписаним в циліндр, усічений конус (конус), а циліндр, усічений конус (конус) - описаним близько кулі, якщо поверхня кулі стосується підстав (підстави) і всіх твірних циліндра, усіченого конуса (конуса).

(З цього визначення випливає, що в будь-який осьовий переріз цих тіл може бути вписане коло великого кола кулі).

4. Куля називається описаним близько циліндра, усіченого конуса (конуса), якщо кола підстав (окружність підстави і вершина) належать поверхні кулі.

(З цього визначення випливає, що близько будь-якого осьового перерізу цих тіл може бути описана окружність більшого кола кулі).

Загальні зауваження про становище центру кулі.

1. Центр кулі, вписаного в багатогранник, лежить в точці перетину биссекторной площин всіх двогранні кутів багатогранника. Він розташований лише всередині багатогранника.

2. Центр кулі, описаного близько багатогранника, лежить в точці перетину площин, перпендикулярних до всіх ребрах многогранника і проходять через їх середини. Він може бути розташований всередині, на поверхні і поза багатогранника.

Комбінація кулі з призмою.

1. Куля, вписана в пряму призму.

Теорема 1. Куля можна вписати в пряму призму в тому і тільки в тому випадку, якщо в основу призми можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цієї окружності.

Слідство 1.Центр кулі, вписаного в пряму призму, лежить в середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Слідство 2.Куля, зокрема, можна вписати в прямі: трикутну, правильну, чотирикутну (у якій суми протилежних сторін підстави рівні між собою) за умови Н = 2r, де Н - висота призми, r - радіус кола, вписаного в основу.

2. Куля, описаний близько призми.

Теорема 2. Куля можна описати близько призми в тому і тільки в тому випадку, якщо призма пряма і близько її заснування можна описати коло.

слідство 1. Центр кулі, описаного близько прямої призми, лежить на середині висоти призми, проведеної через центр кола, описаного навколо основи.

Слідство 2.Куля, зокрема, можна описати: близько прямої трикутної призми, близько правильної призми, близько прямокутного паралелепіпеда, близько прямої чотирикутної призми, у якої сума протилежних кутів підстави дорівнює 180 градусів.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з призмою можна запропонувати завдання № 632, 633, 634, 637 (а), 639 (а, б).

Комбінація кулі з пірамідою.

1. Куля, описаний близько піраміди.

Теорема 3. Близько піраміди можна описати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо біля її основи можна описати коло.

Слідство 1.Центр кулі, описаного близько піраміди лежить в точці перетину прямої, перпендикулярної основи піраміди, що проходить через центр кола, описаного навколо цього підстави, і площині, перпендикулярній будь-якому бічного ребра, проведеної через сере дину цього ребра.

Слідство 2.Якщо бічні ребра піраміди рівні між собою (або дорівнює нахилені до площини основи), то близько такої піраміди можна описати шар.Центр цієї кулі в цьому випадку лежить в точці перетину висоти піраміди (або її продовження) з віссю симетрії бічного ребра, що лежить в площині бокового ребра і висоти.

Слідство 3.Куля, зокрема, можна описати: близько трикутної піраміди, близько правильної піраміди, близько чотирикутної піраміди, у якій сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

2. Куля, вписана в піраміду.

Теорема 4. Якщо бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то в таку піраміду можна вписати кулю.

Слідство 1.Центр кулі, вписаного в піраміду, у якій бічні грані однаково нахилені до основи, лежить в точці перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута будь-якого двогранного кута при основі піраміди, стороною якого є висота бічної грані, проведена з вершини піраміди.

Слідство 2.У правильну піраміду можна вписати кулю.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з пірамідою можна запропонувати завдання № 635, 637 (б), 638, 639 (в), 640, 641.

Комбінація кулі з усіченої пірамідою.

1. Куля, описаний близько правильної зрізаної піраміди.

Теорема 5. Близько будь правильної зрізаної піраміди можна описати кулю. (Ця умова є достатньою, але не є необхідним)

2. Куля, вписана в правильну усічену піраміду.

Теорема 6. У правильну усічену піраміду можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо апофема піраміди дорівнює сумі апофему підстав.

На комбінацію кулі з усіченої пірамідою в підручнику Л.С.Атанасяна є всього лише одна задача (№ 636).

Комбінація кулі з круглими тілами.

Теорема 7. Близько циліндра, усіченого конуса (прямих кругових), конуса можна описати кулю.

Теорема 8. У циліндр (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо циліндр рівносторонній.

Теорема 9. У будь-конус (прямий круговий) можна вписати кулю.

Теорема 10. У усічений конус (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо його твірна дорівнює сумі радіусів підстав.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з круглими тілами можна запропонувати завдання № 642, 643, 644, 645, 646.

Для більш успішного вивчення матеріалу даної теми необхідно включати в хід уроків усні завдання:

1. Ребро куба дорівнює а. Знайти радіуси куль: вписаного в куб і описаного біля нього. (R = a / 2, R = a3).

2. Чи можна описати сферу (кулю) близько: а) куба; б) прямокутного паралелепіпеда; в) похилого паралелепіпеда, в основі якого лежить прямокутник; г) прямого паралелепіпеда; д) похилого паралелепіпеда? (А) так; б) так; в) немає; г) немає; д) немає)

3. Чи справедливо твердження, що близько будь-трикутної піраміди можна описати сферу? (Так)

4. Чи можна описати сферу близько будь чотирикутної піраміди? (Ні, не близько будь чотирикутної піраміди)

5. Якими властивостями повинна володіти піраміда, щоб біля неї можна було описати сферу? (В її основі повинен лежати багатокутник, біля якого можна описати коло)

6. У сферу вписана піраміда, бічне ребро якої перпендикулярно основи. Як знайти центр сфери? (Центр сфери - точка перетину двох геометричних місць точок у просторі. Перше - перпендикуляр, проведений до площини основи піраміди, через центр кола, описаного навколо нього. Друге - площину перпендикулярна даній бічного ребра і проведена через його середину)

7. За яких умов можна описати сферу близько призми, в основі якої - трапеція? (По-перше, призма повинна бути прямою, і, по-друге, трапеція повинна бути рівнобедреної, щоб біля неї можна було описати окружність)

8. Яким умовам повинна задовольняти призма, щоб біля неї можна було описати сферу? (Призма повинна бути прямою, і її підставою повинен бути багатокутник, біля якого можна описати коло)

9. Близько трикутної призми описано сфера, центр якої лежить поза призмою. Який трикутник є підставою призми? (Тупоугольного трикутник)

10. Чи можна описати сферу близько похилій призми? (Ні, не можна)

11. За якої умови центр сфери, описаної близько прямої трикутної призми, буде знаходиться на одній з бічних граней призми? (В основі лежить прямокутний трикутник)

12. Підстава піраміди - рівнобедрена трапеція.Ортогональная проекція вершини піраміди на площину підстави - точка, розташована поза трапеції. Чи можна близько такої трапеції описати сферу? (Так, можна. Те що ортогональна проекція вершини піраміди розташована поза її заснування, не має значення. Важливо, що в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція - багатокутник, біля якого можна описати коло)

13. Близько правильної піраміди описана сфера. Як розташований її центр щодо елементів піраміди? (Центр сфери знаходиться на перпендикуляре, проведеному до площини підстави через його центр)

14. За якої умови центр сфери, описаної близько прямої трикутної призми, лежить: а) всередині призми; б) поза призмою? (В основі призми: а) гострокутний трикутник; б) тупоугольние трикутник)

15. Близько прямокутного паралелепіпеда, ребра якого рівні 1 дм, 2 дм і 2 дм, описана сфера. Обчисліть радіус сфери. (1,5 дм)

16. В якій усічений конус можна вписати сферу? (В усічений конус, в осьовий переріз якого можна вписати коло. Осьовим перетином конуса є рівнобедрена трапеція, сума її підстав повинна дорівнювати сумі її бічних сторін. Іншими словами, у конуса сума радіусів підстав повинна дорівнювати утворює)

17. У усічений конус вписано сфера. Під яким кутом утворює конуса видно з центру сфери? (90 градусів)

18. Яким властивістю повинна володіти пряма призма, щоб в неї можна було вписати сферу? (По-перше, в основі прямої призми повинен лежати багатокутник, в який можна вписати коло, і, по-друге, висота призми повинна дорівнювати діаметру вписаною в основу кола)

19. Наведіть приклад піраміди, в яку не можна вписати сферу? (Наприклад, чотирикутна піраміда, в основі якої лежить прямокутник або паралелограм)

20. В основі прямої призми лежить ромб. Чи можна в цю призму вписати сферу? (Ні, не можна, так як близько ромба в загальному випадку не можна описати коло)

21. За якої умови в пряму трикутну призму можна вписати сферу? (Якщо висота призми в два рази більший за радіус кола, вписаного в основу)

22. За якої умови в правильну чотирикутну усічену піраміду можна вписати сферу? (Якщо перетином даної піраміди площиною, що проходить через середину сторони підстави перпендикулярно їй, є рівнобедрена трапеція, в яку можна вписати коло)

23. У трикутну усічену піраміду вписана сфера. Яка точка піраміди є центром сфери? (Центр вписаною в цю піраміду сфери знаходиться на перетині трьох біссектральних площин кутів, утворених бічними гранями піраміди з підставою)

24. Чи можна описати сферу близько циліндра (прямого кругового)? (Так можна)

25. Чи можна описати сферу близько конуса, зрізаного конуса (прямих кругових)? (Так, можна, в обох випадках)

26. Під всякий циліндр можна вписати сферу? Якими властивостями повинна володіти циліндр, щоб в нього можна було вписати сферу? (Ні, не у всякий: осьовий переріз циліндра має бути квадратом)

27. Під всякий конус можна вписати сферу? Як визначити положення центра сфери, вписаною в конус? (Так, у всякий. Центр вписаної сфери знаходиться на перетині висоти конуса і бісектриси кута нахилу твірної до площини підстави)

Автор вважає, що з трьох уроків, які відводяться з планування на тему "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і кулю", два уроки доцільно відвести на рішення задач на комбінацію кулі з іншими тілами. Теореми, наведені вище, через недостатню кількість часу на уроках доводити не рекомендується. Можна запропонувати учням, які володіють достатніми для цього навичками, довести їх, вказавши (по усморенію вчителя) хід або план докази.

Щоб легко впоратися з вирішенням завдань на кулю, вписаний в піраміду, корисно розібрати невеликий теоретичний матеріал.

Куля вписаний в піраміду (або сфера вписана в піраміду) - значить, куля (сфера) стосуються кожної грані піраміди. Площині, що містять грані піраміди, є дотичними площинами кулі. Відрізки, що з'єднують центр кулі з точками дотику, перпендикуляри до дотичним площинах. Їх довжини рівні радіусу кулі. Центр вписаного в піраміду кулі - точка перетину бісекторних площин двогранних кутів при підставі (тобто площин, що поділяють ці кути навпіл).

Найчастіше в задачах мова йде про кулі, вписанном в правильну піраміду. Куля можна вписати в будь-яку правильну піраміду. Центр кулі в цьому випадку лежить на висоті піраміди. При вирішенні задачі зручно провести розтин піраміди і кулі площиною, що проходить через апофему і висоту піраміди.

Якщо піраміда чотирикутна або шестикутна, перетин являє собою трикутник, бічні сторони якого - апофеми, а підстава - діаметр вписаного в основу кола.

Якщо піраміда трикутна або п'ятикутна, досить розглянути лише частину цього перетину - прямокутний трикутник, катети якого - висота піраміди і радіус вписаного в основу піраміди кола, а гіпотенуза - апофема.

У будь-якому випадку, в результаті приходимо до розгляду відповідного прямокутного трикутника і інших пов'язаних з ним трикутників.

Отже, в прямокутному трикутнику SOF катет SO = H - висота піраміди, катет OF = r - радіус вписаного в основу піраміди кола, гіпотенуза SF = l - апофема піраміди. O1- центр кулі і, відповідно, кола, вписаного в трикутник, отриманий в перерізі (ми розглядаємо його частина). Кут SFO - лінійний кут двогранного кута між площиною основи і площиною бічної грані SBC. Точки K і O - точки дотику, отже, O1K перпендикулярний SF. OO1 = O1K = R - радіусу кулі.

Прямокутні трикутники OO1F і KO1F рівні (по катетам і гіпотенузі). Звідси KF = OF = r.

Прямокутні трикутники SKO1 і SOF подібні (по гострому куті S), звідки випливає, що

У трикутнику SOF застосуємо властивість бісектриси трикутника:

З прямокутного трикутника OO1F

При вирішенні завдань на кулю, вписаний в правильну піраміду, буде корисним ще одне міркування.

Тепер знайдемо відношення обсягу піраміди до площі її поверхні.