Виведення формули амплітуди стоячої хвилі. Стоячі хвилі та резонанс. Вузли стоячої хвилі
Стоячі хвилі
Хвилі, що утворюються при накладенні двох хвиль, що біжать, поширюються назустріч один одному з однаковими частотами і амплітудами.
Рівняння стоячої хвилі
Складаємо хвилі
(врахували, що k = 2π/λ)- рівняння стоячої хвилі.
Пучності стоячої хвилі
Точки, в яких амплітуда максимальна (A ст = 2Аcos(2πx/λ)) .Це точки середовища, для яких
2πx/λ= (m=0,1,2,….)
Координати пучностей
(m = 0,1, 2,:..).
Вузли стоячої хвилі
Точки, в яких амплітуда коливань дорівнює нулю (A ст = 0). Це точки середовища, для яких
(m = 0,1, 2,:..).
Координати вузлів
(m = 0,1, 2,...).
Відстань пучність-пучність і вузол-вузол рівні λ/2, а відстань пучність-вузол дорівнює λ /4.
Утворення стоячих хвиль спостерігають при
інтерференції біжить і відбитої хвиль. Наприклад, якщо кінець мотузки закріпити нерухомо, то відбита в місці закріплення мотузки хвиля інтерферуватиме з хвилею, що біжить, і утворює стоячу хвилю. На кордоні, де відбувається відображення хвилі, у цьому випадку виходить вузол. Чи буде на межі відображення вузол або пучність, залежить від співвідношення густин середовищ. Якщо середовище, від якого походить віддзеркалення, менш щільне, то в місці відображення виходить пучність, якщо більш щільне - вузол. Утворення вузла пов'язані з тим, що хвиля, відбиваючись від щільнішого середовища, змінює фазу на протилежну і в кордону відбувається складання коливань протилежних напрямів, у результаті виходить вузол. Якщо хвиля відбивається від менш щільного середовища, то зміни фази немає, і в межі коливання складаються з однаковими фазами - виходить пучность.
Рівняння стоячої хвилі та його аналіз
Окремим випадком інтерференції хвиль є стоячі хвилі.
Стоячою хвилею називається хвиля, що утворюється в результаті накладання двох синусоїдальних хвиль, що біжать, які поширюються назустріч один одному і мають однакові частоти і амплітуди, а в разі поперечних хвиль ще й однакову поляризацію.
Поперечна стояча хвиля утворюється, наприклад, на натягнутій пружній нитці, один кінець якої закріплений, а інший приводиться в коливальний рух.
При накладенні двох когерентних плоских хвиль, що біжать, виду
І де α-різниця фаз хвиль у точках площині x=0, утворюється плоска синусоїдальна стояча хвиля, що описується рівнянням
Амплітуда стоячої хвилі на відміну від амплітуди хвиль, що біжать, є періодичною функцією координати x.
Аст. = 2А
Точки, у яких амплітуда стоячої хвилі дорівнює 0, називаються вузлами, а точки де амплітуда подвійна – пучності.
Положення вузлів та пучностей перебуває з умов
k*x+α/2=(2m+1)π/2 (вузли)
k*x+α/2=m*n (пучності) ,де m=0,1,2…
Відстані між двома сусідніми вузлами і між двома сусідніми пучностями однакові і рівні половині довжини хвилі λ хвиль, що біжать.
У хвилі, що біжить, фаза коливань залежить від координати x розглянутої точки. У стоячій хвилі всі крапки між двома вузлами коливаються з різними амплітудами, але з однаковими фазами (синфазно), оскільки аргумент синуса в рівнянні стоячої хвилі не залежить від координати x. При переході через вузол фаза коливань змінюється стрибком на π,оскільки у своїй cos(k*x+α/2) змінює свій знак протилежний.
Розглянемо результат інтерференції двох синусоїдальних плоских хвиль однакової амплітуди та частоти, що поширюються у протилежних напрямках. Для простоти міркувань припустимо, що рівняння цих хвиль мають вигляд:
Це означає, що на початку координат обидві хвилі викликають коливання однаковою фазою. У точці А з координатою х сумарне значення величини, що коливається, згідно з принципом суперпозиції (див. § 19), дорівнює
Дане рівняння показує, що в результаті інтерференції прямої та зворотної хвиль у кожній точці середовища (з фіксованою координатою відбувається гармонійне коливання з тією самою частотою, але з амплітудою
залежить від значення координати х. У точках середовища, у яких коливання відсутні зовсім: ці точки називаються вузлами коливань.
У точках, де амплітуда коливань має найбільше значення, рівні ці точки називаються пучностями коливань. Легко показати, що відстань між сусідніми вузлами або сусідніми пучностями дорівнює відстань між пучністю і найближчим вузлом дорівнює. - частинки середовища відхилилися в один бік, то в межах сусідньої півхвилі частинки середовища будуть відхилені у протилежний бік.
Хвильовий процес у середовищі, що описується формулою (5.16), називається стоячою хвилею. Графічно стояча хвиля може бути зображена так, як показано на рис. 1.61. Припустимо, що є зміщення точок середовища від стану рівноваги; тоді формула (5.16) описує «стоячу хвилю усунення». У певний момент часу, коли всі точки середовища мають максимальні усунення, напрямок яких залежно від величини координати х визначається знаком Ці усунення показані на рис. 1.61 суцільними стрілками. Через чверть періоду, коли усунення всіх точок середовища дорівнюють нулю; частинки середовища проходять через лінію із різними швидкостями. Ще через чверть періоду, коли частинки середовища знову матимуть максимальні зміщення, але протилежного напрямку; ці зміщення показані на
Мал. 1.61 пунктирними стрілками. Крапки суть пучності стоячої хвилі зміщення; точки вузли цієї хвилі.
Характерні особливості стоячої хвилі на відміну від звичайної хвилі, що поширюється, або біжить, такі (маються на увазі плоскі хвилі за відсутності згасання):
1) у стоячій хвилі амплітуди коливань різні у різних місцях системи; у системі є вузли та пучності коливань. У «біжить» хвилі ці амплітуди скрізь однакові;
2) у межах ділянки системи від одного вузла до сусіднього всі точки середовища коливаються в однаковій фазі; при переході до сусідньої ділянки фази коливань змінюються зворотні. У хвилі, що біжить, фази коливань, згідно з формулою (5.2), залежать від координат точок;
3) у стоячій хвилі немає одностороннього перенесення енергії, як це має місце в хвилі, що біжить.
При описі коливальних процесів в пружних системах за величину, що коливається, можна прийняти не тільки зміщення або швидкості частинок системи, але і величину відносної деформації або величину напруги на стиск, розтягування або зсув і т. д. При цьому в стоячій хвилі, в місцях, де утворюються пучності швидкостей частинок, розташовуються вузли деформацій і, навпаки, вузли швидкостей збігаються з деформацій. Перетворення енергії з кінетичної форми на потенційну і назад відбувається в межах ділянки системи від пучності до сусіднього вузла. Можна вважати, що кожна така ділянка не обмінюється енергією із сусідніми ділянками. Зауважимо, що перетворення кінетичної енергії частинок, що рухаються, в потенційну енергію деформованих ділянок середовища за один період відбувається двічі.
Вище, розглядаючи інтерференцію прямої та зворотної хвиль (див. вирази (5.16)), ми цікавилися походженням цих хвиль. Допустимо тепер, що середовище, в якому відбувається поширення коливань, має обмежені розміри, наприклад коливання викликаються в якомусь суцільному тілі - у стрижні або струні, в стовпі рідини або газу і т. д. Хвиля, що поширюється в такому середовищі (тілі) , відбивається від кордонів, у межах обсягу цього тіла безперервно відбувається інтерференція хвиль, викликаних зовнішнім джерелом і відбитих від кордонів.
Розглянемо найпростіший приклад; припустимо, у точці (рис. 1.62) стрижня або струни за допомогою зовнішнього синусоїдального джерела збуджується коливальний рух із частотою; початок відліку часу виберемо так, щоб у цій точці усунення виражалося формулою
де амплітуда коливань у точці Викликана у стрижні хвиля відобразиться від другого кінця стрижня 0% і піде у зворотному
напрямі. Знайдемо результат інтерференції прямої і відбитої хвиль у певній точці стрижня, що має координату х. Для простоти міркувань припустимо, що у стрижні немає поглинання енергії коливань і тому амплітуди прямої і відбитої хвиль рівні.
У деякий момент часу коли зміщення коливань частинок у точці дорівнює у, в іншій точці стрижня зміщення викликане прямою хвилею буде, згідно з формулою хвилі, дорівнює
Через цю точку А проходить також і відбита хвиля. Щоб знайти зміщення викликане в точці А відображеною хвилею (у той самий момент часу необхідно розрахувати час протягом якого хвиля пройде шлях від до і назад до точки Так як зміщення, викликане в точці відбитої хвилею, буде рівно
При цьому передбачається, що на кінці стрижня, що відображає, в процесі відображення не відбувається стрибкоподібної зміни фази коливання; у деяких випадках така зміна фази (звана втратою фази) має місце і має бути враховано.
Склад коливань, викликаних у різних точках стрижня прямий і відбитої хвилями, дає стоячу хвилю; дійсно,
де деяка постійна фаза, яка залежить від координати х, а величина
є амплітудою коливань у точці вона залежить від координати х, тобто різна у різних місцях стрижня.
Знайдемо координати тих точок стрижня, у яких утворюються вузли та пучності стоячої хвилі. Звернення косинуса в нуль або одиницю відбувається при значеннях аргументу, кратних
де ціле число. При непарному значенні цього числа косинус перетворюється на нуль і формула (5.19) дає координати вузлів стоячої хвилі; за парних ми отримаємо координати пучностей.
Вище було зроблено складання лише двох хвиль: прямої, що йде від і відбитої, поширюється від Однак слід врахувати, що відбита хвиля на межі стрижня знову позначиться і піде у напрямі прямої хвилі. Таких віддзеркалень
від кінців стрижня буде багато, і тому необхідно знайти результат інтерференції не двох, а всіх хвиль, що одночасно існують у стрижні.
Припустимо, що зовнішнє джерело коливань викликало у стрижні хвилі протягом деякого часу після чого надходження енергії коливань ззовні припинилося. За цей час у стрижні відбулося відображення, де час, протягом якого хвиля пройшла від одного кінця стрижня до іншого. Отже, в стрижні одночасно існуватиме хвиль, що йдуть у прямому, і хвиль, що йдуть у зворотному напрямках.
Припустимо, що в результаті інтерференції однієї пари хвиль (прямої та відбитої) зміщення в точі А виявилося рівним у. Знайдемо умову, за якої всі зсуви, що викликаються кожною парою хвиль, мають у точці А стрижня однакові напрямки і тому складаються. Для цього фази коливань, викликаних кожною парою хвиль у точці повинні відрізнятися від фази коливань, викликаних наступною парою хвиль. Але кожна хвиля знову повертається в точку А з тим же напрямом поширення лише через час тобто відстає по фазі на зірівнюючи це відставання де ціле число, отримуємо
т. е. вздовж довжини стрижня має вміститися ціле число напівхвиль. Зауважимо, що цій умові фази всіх хвиль, що йдуть від у прямому напрямку, відрізняються один від одного на де ціле число; точно так само фази всіх хвиль, що йдуть у зворотному напрямку, відрізняються один від одного на тому, якщо одна пара хвиль (пряма і зворотна) дає вздовж стрижня розподіл зсувів, що визначається формулою (5.17), то при інтерференції пар таких хвиль розподіл зсувів не зміниться; збільшаться лише амплітуди коливань. Якщо максимальна амплітуда коливань при інтерференції двох хвиль, згідно з формулою (5.18), дорівнює то при інтерференції багатьох хвиль вона буде більшою. Позначимо її через розподіл амплітуди коливань уздовж стрижня замість виразу (5.18) визначиться за формулою
З виразів (5.19) та (5.20) визначаються точки, в яких косинус має значення або 1:
де ціле число Координати вузлів стоячої хвилі вийдуть із цієї формули при непарних значеннях тоді залежно від довжини стрижня, тобто величини
координати пучностей вийдуть при парних значеннях
На рис. 1.63 схематично показана стояча хвиля в стрижні, довжина якого; точки суть пучності, точки вузли цієї стоячої хвилі.
У гол. було показано, що за відсутності періодичних зовнішніх впливів характер кодебальних рухів у системі і насамперед основна величина – частота коливань – визначаються розмірами та фізичними властивостями системи. Кожна коливальна система має власний, їй властивий коливальний рух; це коливання можна спостерігати, якщо вивести систему зі стану рівноваги і потім усунути зовнішні дії.
У гол. 4 год. I розглядалися переважно коливальні системи із зосередженими параметрами, у яких інертної масою мали одні тіла (точкові), а пружними властивостями - інші тіла (пружини). На відміну від них коливальні системи, в яких маса та пружність притаманні кожному елементарному об'єму, називаються системами з розподіленими параметрами. До них відносяться розглянуті вище стрижні, струни, а також стовпи рідини або газу (у духових музичних інструментах) тощо. основна характеристика цих хвиль - довжина хвилі або розподіл вузлів та пучностей, а також частота коливань - визначається лише розмірами та властивостями системи. Стоячі хвилі можуть існувати і за відсутності зовнішнього (періодичного) на систему; цей вплив необхідно тільки для того, щоб викликати або підтримати в системі стоячі хвилі або змінити амплітуди коливань. Зокрема, якщо зовнішній вплив на систему з розподіленими параметрами відбувається з частотою, що дорівнює частоті її власних коливань, тобто частоті стоячої хвилі, має місце явище резонансу, розглянуте в гол. 5.
Для різних частот однакова.
Таким чином, у систем із розподіленими параметрами власні коливання – стоячі хвилі – характеризуються цілим спектром частот, кратних між собою. Найменша з цих частот, що відповідає найбільшій довжині хвилі, називається основною частотою; інші) - обертонами або гармоніками.
Кожна система характеризується як наявністю такого спектра коливань, а й певним розподілом енергії між коливаннями різних частот. Для музичних інструментів цей розподіл надає звуку своєрідну особливість, так званий тембр звуку, різний для різних інструментів.
Викладені вище розрахунки відносяться до вільного стрижня, що коливається" довжиною Однак зазвичай ми маємо стрижні, закріплені на одному або обох кінцях (наприклад, струни, що коливаються), або ж вздовж стрижня є одна або кілька точок закріплення. Місця закріплення, де частинки системи не можуть здійснювати коливального рухи, є вимушеними вузлами усунення.
якщо в стрижні необхідно отримати стоячі хвилі при одній, двох, трьох точках закріплення і т. д., то ці точки не можуть бути обрані довільно, а повинні розташовуватися вздовж стрижня так, щоб вони опинилися у вузлах стоячої хвилі, що утворилася. Це показано, наприклад, на рис. 1.64. На цьому ж малюнку пунктиром показано усунення точок стрижня при коливаннях; на вільних кінцях завжди утворюються пучності усунення, на закріплених - вузли усунення. Для повітряних стовпів, що коливаються, в трубах вузли зміщення (і швидкості) виходять у відбивають твердих стінок; на відкритих кінцях трубок утворюються пучності зсувів та швидкостей.
Будь-яка хвиля є коливанням. Вагатися може рідина, електромагнітне поле або будь-яке інше середовище. У повсякденному житті кожна людина щодня стикається з тим чи іншим проявом вагань. Але що таке стояча хвиля?
Уявіть собі містку ємність, в яку налита вода - це може бути тазик, цебро або ванна. Якщо тепер по рідині поплескати долонею, то від центру зіткнення на всі боки побіжать хвилеподібні гребені. До речі, вони так і називаються - хвилі, що біжать. Їхня характерна ознака - перенесення енергії. Однак, змінюючи частоту бавовни, можна досягти практично повного видимого їх зникнення. Виникає враження, що маса води стає желеподібною, а рух відбувається лише вниз та вгору. Стояча хвиля – це і є дане усунення. Дане явище виникає тому, що кожна пішла від центру удару хвиля досягає стінок ємності і відбивається назад, де перетинається (інтерферує) з основними хвилями, що йдуть у протилежному напрямку. Стояча хвиля утворюється лише тому випадку, якщо відбиті і прямі збігаються по фазі, але різні за амплітудою. В іншому випадку вищевказаної інтерференції не відбувається, так як одна з властивостей хвильових збурень з різними характеристиками - це здатність співіснувати в тому самому обсязі простору, не спотворюючи один одного. Можна стверджувати, що стояча хвиля є сумою двох зустрічно спрямованих тікаючих, що призводить до падіння їх швидкостей до нуля.
Чому ж у наведеному прикладі вода продовжує коливатися у вертикальному напрямку? Дуже просто! При накладенні хвиль з однаковими параметрами у певні моменти часу коливання досягають свого максимального значення, звані пучностями, а інші повністю гасяться (вузли). Змінюючи частоту бавовни, можна повністю погасити горизонтальні хвилі, так і посилити вертикальні зміщення.
Стоячі хвилі становлять інтерес як для практиків, але й теоретиків. Зокрема, одна з моделей свідчить, що будь-яка матеріальна частка характеризується певною (вібрацією): електрон коливається (тремтить), нейтрино коливається і т.д. Далі, в рамках гіпотези, припустили, що згадана вібрація - наслідок інтерференції якихось поки що не відкритих обурень середовища. Іншими словами, автори стверджують, що там, де ті дивовижні хвилі формують стоячу, виникає матерія.
Не менш цікавим є явище Резонансу Шумана. Воно полягає в тому, що за деяких умов (жоден із запропонованих гіпотез поки не прийнятий за єдино вірну) у просторі між земною поверхнею та нижньою межею іоносфери виникають стоячі електромагнітні хвилі, частоти яких лежать у низькому та наднизькому діапазонах (від 7 до 32 герц ). Якщо хвиля, що утворилася в проміжку «поверхня - іоносфера», обігне планету і потрапить у резонанс (збіг фаз), то зможе існувати тривалий час без загасання, самопідтримуючись. Резонанс Шумана становить особливий інтерес тому, що частота хвиль практично збігається з природними альфа-ритмами людського мозку. Наприклад, дослідженнями цього явища у Росії займаються як фізики, а й така велика організація, як «Інститут мозку людини».
На стоячі звернув увагу ще геніальний винахідник Нікола Тесла. Вважається, що він міг використати це явище в деяких своїх пристроях. Одним із джерел їх появи в атмосфері прийнято вважати грози. Електричні розряди збуджують електромагнітне поле та генерують хвилі.
Якщо середовищі поширюється одночасно кілька хвиль, то коливання частинок середовища виявляються геометричної сумою коливань, які здійснювали б частки під час поширення кожної з хвиль окремо. Це твердження, що випливає з досвіду, називається принципом суперпозиції (накладання) хвиль.
У разі коли коливання, обумовлені окремими хвилями в кожній з точок середовища, мають постійну різницю фаз, хвилі називаються когерентними.При додаванні когерентних хвиль виникає явище інтерференції, що полягає в тому, що коливання в одних точках посилюють, а в інших точках послаблюють один одного. Дуже важливий випадок інтерференції спостерігається під час накладання двох зустрічних плоских хвиль з однаковою амплітудою. Коливальний процес, що виникає в результаті, називається стоячою хвилею.
Стояча хвиля- це хвиля, що утворюється при накладенні двох хвиль з однаковою амплітудою та частотою, коли хвилі рухаються назустріч один одному.
Майже стоячі хвилі з'являються при відображенні хвиль від перешкод. Падаюча на перешкоду хвиля і відбита хвиля, що біжить їй назустріч, накладаючись один на одного, дають стоячу хвилю.
Напишемо рівняння двох плоских хвиль, що розповсюджуються вздовж осі xу протилежних напрямках:
Склавши ці рівняння і перетворивши результат за формулою для суми косінусів, отримаємо:
Щоб спростити це рівняння, оберемо початок відліку xтак, щоб різниця 
стала рівною нулю, а початок відліку t- так, щоб дорівнювала нулю сума 
. Тоді
- рівняння стоячої хвилі.
Замінивши хвильове число дойого значенням 
, отримаємо рівняння стоячої хвилі, зручне для аналізу коливань частинок стоячої хвилі:
.
З цього рівняння видно, що у кожній точці стоячої хвилі відбуваються коливання тієї ж частоти, що й у зустрічних хвиль, причому амплітуда коливань залежить від x:
.
У точках, координати яких задовольняють умову
,
амплітуда коливань досягає максимального значення. Ці точки називаються пучностямистоячої хвилі. Значення координат пучностей рівні:
.
У точках, координати яких задовольняють умову:
,
амплітуда коливань перетворюється на нуль. Ці точки називаються вузламистоячої хвилі. Точки середовища, що у вузлах, коливань не здійснюють. Координати вузлів мають значення:
.
З цих формул випливає, що відстань між сусідніми пучностями, як і відстань між сусідніми вузлами, дорівнює . Пучності та вузли зрушені один щодо одного на чверть довжини хвилі.
(Пунктирна крива). Як видно з малюнку точки, що лежать по різні боки від вузла, коливаються у протифазі. Усі точки, укладені між двома сусідніми вузлами, коливаються синфазно (тобто однаковій фазі).Стояча хвиля не переносить енергію. Двічі за період відбувається перетворення енергії стоячої хвилі то повністю на потенційну, зосереджену в основному поблизу вузлів хвилі, то повністю на кінетичну, зосереджену в основному поблизу пучностей хвилі. В результаті відбувається перехід енергії від кожного вузла до сусідніх пучностей і назад. Середній за часом потік енергії у будь-якому перерізі хвилі дорівнює нулю.
Стоячі хвилі утворюються в результаті інтерференції двох зустрічних плоских хвиль однакової частоти і амплітуди А.
Уявімо, що в точці S (рис.7.4) знаходиться вібратор, від якого вздовж променя SO поширюється плоска хвиля. Досягнувши перепони у точці Про, хвиля позначиться і піде у напрямі, тобто. вздовж променя поширюються дві плоскі хвилі, що біжать: пряма і зворотна. Ці дві хвилі когерентні, оскільки народжені одним і тим самим джерелом і, накладаючись один на одного, інтерферуватимуть між собою.
Коливальний стан середовища, що виникає в результаті інтерференції, і називається стоячою хвилею.
Запишемо рівняння прямої і зворотної хвилі, що біжить:
пряма - 
; зворотна - 
де S 1 і S 2 - усунення довільної точки на промені SO. З урахуванням формули для синуса суми результуюче зміщення одно
Таким чином, рівняння стоячої хвилі має вигляд
(7.17)
Множник cosωt показує, що всі точки середовища на промені SО здійснюють прості гармонійні коливання із частотою 
. Вираз 
називається амплітудою стоячої хвилі. Як видно, амплітуда визначається положенням точки на промені SO(х).
Максимальне значенняамплітуди матимуть точки, для яких
або 
(n = 0, 1, 2, ....)
звідки 
, або 
(7.18)
пучностями стоячої хвилі .
Мінімальне значення, що дорівнює нулю, матимуть ті точки для яких
або 
(n = 0, 1, 2, ....)
звідки 
або 
(7.19)
Крапки, що мають такі координати, називають вузлами стоячої хвилі . Зіставляючи вирази (7.18) і (7.19), бачимо, що відстань між сусідніми пучностями та сусідніми вузлами дорівнює λ/2.
Н 
а малюнку суцільною лінією зображено зміщення точок середовища, що коливаються, в деякий момент часу, пунктирною кривою - положення цих же точок через Т/2. Кожна точка робить коливання з амплітудою, що визначається її відстанню від вібратора (х).
На відміну від хвилі, що біжить, у стоячій хвилі не відбувається перенесення енергії. Енергія просто переходить з потенційної (при максимальному зміщенні точок середовища від положення рівноваги) в кінетичну (при проходженні точками положення рівноваги) у межах між вузлами, що залишаються нерухомими.
Всі точки стоячої хвилі в межах між вузлами коливаються в однаковій фазі, а по різні боки від вузла – у протифазі.
Стоячі хвилі виникають, наприклад, у закріпленій з обох кінців натягнутій струні при збудженні в ній поперечних коливань. Причому у місцях закріплень розташовуються вузли стоячої хвилі.
Якщо стояча хвиля встановлюється повітряному стовпі, відкритому з кінця (звукова хвиля), то відкритому кінці утворюється пучность, але в протилежному – вузол.
Приклади розв'язання задач
приклад . Визначте швидкість поширення звуку у воді, якщо довжина хвилі дорівнює 2м, а частота коливань джерела = 725Гц. Визначте також найменшу відстань між точками середовища, що коливаються в однаковій фазі.
Дано : λ=2м; ν=725Гц.
Знайти : υ; х.
Рішення . Довжина хвилі дорівнює відстані, яким поширюється певна фаза хвилі у період Т, тобто.
,
де - швидкість хвилі; ν - частота коливань.
Тоді шукана швидкість
Довжина хвилі – відстань між найближчими частинками середовища, що коливаються в однаковій фазі. Отже, шукане найменшу відстань між точками середовища, що коливаються однаковою фази, дорівнює довжині хвилі, тобто.
Відповідь: υ=1450 м/с; х = 2м.
приклад . Визначте, у скільки разів зміниться довжина ультразвукової хвилі при переході її з міді в сталь, якщо швидкість розповсюдження ультразвуку в міді стали відповідно рівні υ 1 =3,6км/с і υ 2 =5,5 км/с.
Дано : υ 1 = 3,6 км / с = 3,6 ∙ 10 3 м / с. і ? 2 = 5,5 км / с = 5,5 ∙ 10 3 м / с.
Знайти
:
.
Рішення . При поширенні хвиль частота коливань не змінюється під час переходу їх однієї середовища на іншу (вона залежить від властивостей джерела хвиль), тобто. ν 1 = ν 2 = ν.
Зв'язок довжини хвилі із частотою ν:
,
(1)
де - швидкість хвилі.
Шукане ставлення, згідно (1),
.
Обчислюючи, отримуємо 
(збільшиться у 1.53 рази).
Відповідь
:
приклад
.
Один кінець пружного стрижня з'єднаний з джерелом гармонійних коливань, що підкоряються закону 
а інший кінець жорстко закріплений. З огляду на те, що відображення в місці закріплення стрижня походить від більш щільного середовища, визначте: 1) рівняння стоячої хвилі; 2) координати вузлів; 3) координати пучностей.
Дано
:
.
Знайти : 1) ξ (x, t); 2) х у; 3) х n.
Рішення . Рівняння падаючої хвилі
,
(1)
де А – амплітуда хвилі; ω – циклічна частота; υ – швидкість хвилі.
Відповідно до умови завдання, відображення в місці закріплення стрижня походить від більш щільного середовища, тому хвиля змінює фазу на протилежну, і рівняння відбитої хвилі
Склавши рівняння (1) і (2), отримаємо рівняння стоячої хвилі
(врахуй 
; λ=υТ).
У точках середовища, де
(m=0, 1, 2,….) (3)
Амплітуда коливань звертається в нуль (спостерігаються вузли), у точках середовища, де
(m=0, 1, 2,….) (4)
Амплітуда коливань досягає максимального значення, що дорівнює 2А (спостерігаються пучності). Шукані координати вузлів і пучностей знаходимо з виразів (3) та (4):
координати вузлів 
(m = 0, 1, 2, ....);
координати пучностей 
(M = 0, 1, 2, ....).
Відповідь
:
1)
;
(m = 0, 1, 2, ....); 
(M = 0, 1, 2, ....).
приклад . Відстань між сусідніми вузлами стоячої хвилі, що створюється камертоном у повітрі ℓ = 42см. Приймаючи швидкість звуку в повітрі υ=332 м/с, визначте частоту коливань камери ν.
Дано : ℓ =42см=0,42м; υ=332 м/с.
Знайти : ν.
Рішення
. У хвилі, що стоїть, відстань між двома сусідніми вузлами дорівнює 
. Отже, ℓ= 
, звідки довжина хвилі, що біжить
Зв'язок між довжиною хвилі та частотою 
. Підставивши в цю формулу значення (1), отримаємо частоту коливань камертону, що шукається.
.
Відповідь : ν=395 Гц.
приклад . Труба завдовжки ℓ = 50см заповнена повітрям та відкрита з одного кінця. Приймаючи швидкість υ звуку, що дорівнює 340 м/с, визначте, за якої найменшої частоти в трубі виникатиме стояча звукова хвиля. Приймаючи швидкість звуку в повітрі υ=332 м/с, визначте частоту коливань камери ν.
Дано : ℓ =50см=0,5м; υ=340 м/с.
Знайти : ν 0 .
Рішення. Частота буде мінімальною за умови, що довжина хвилі стоячої максимальна.
У відкритій з одного кінця трубі на відкритій частині буде пучність (відображення від менш щільного середовища), а на закритій частині - вузол (відображення від щільнішого середовища). Тому в трубі вкладеться чверть довжини хвилі:
Враховуючи, що довжина хвилі 
можемо записати
,
Звідки шукана найменша частота
.
Відповідь : ν 0 = 170 Гц.
приклад . Два електропоїзди рухаються назустріч один одному зі швидкостями? 1 = 20 м/с і ? 2 = 10 м/с. Перший поїзд дає свисток, висота тону якого відповідає частоті 0 = 600 Гц. Визначте частоту, сприйману пасажиром другого перед зустріччю поїздів та після їх зустрічі. Швидкість звуку прийняти рівною = 332 м/с.
Дано : υ 1 = 20 м / с; υ 2 = 10 м/с; ν 0 = 600 Гц; υ=332 м/с.
Знайти: ν ; ν".
Рішення. Відповідно до загальної формули, що описує ефект Доплера в акустиці, частота звуку, що сприймається рухомим приймачем,
,
(1)
де 0 - частота звуку, що посилається джерелом; пр - швидкість руху приймача; υ іст – швидкість руху джерела. Якщо джерело та приймач наближаються один до одного, то береться верхній знак, якщо видаляються – нижній знак.
Відповідно до позначень, даних у задачі (υ пр = 2 і υ іст = 1) і наведених вище поясненнями, з формули (1) шукані частоти, сприймані пасажиром другого поїзда:
Перед зустріччю поїздів (електропоїзди зближуються):
;
Після зустрічі поїздів (поїзди віддаляються один від одного):
Відповідь: =658 Гц; ν" = 549 Гц.