Закон розподілу Вейбулла має. Логарифмічно нормальний розподіл. Послідовний план випробувань

Експлуатація виробів по ресурсу доцільна тільки в тому випадку, якщо надійність виробу залежить від його напрацювання. Такі вироби складають всього 5% від всіх встановлених на літаку. Тому, оскільки аналіз MSG-3 дозволяє визначити, ЯКІ роботи по ТО повинні бути включені в початковий перелік важливих об'єктів MSI, і ЯК вони повинні виконуватися, необхідний інструмент, який допоможе відповісти на ці питання.

Після того як буде накопичено достатній досвід, початкові інтервали можуть бути змінені як для конкретного оператора, так і для всіх експлуатантів через ревізію звіту MRB. Для того щоб обгрунтувати зміну інтервалу, необхідні інструменти.

Таким інструментом є аналіз надійності. Найбільш ефективний і широко використовуваний метод - аналіз надійності за розподілом Вейбулла.

Розподіл Вейбулла, назване на честь шведського інженера Валодді Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887-1979 рр.), Який ввів цей розподіл в практику аналізу результатів втомних випробувань, широко використовується для дослідження надійності елементів технічних систем. У Росії цей розподіл пов'язують з ім'ям відомого російського математика Бориса Володимировича Гнеденко (1912-1995 рр.), Який отримав його в якості граничного при вивченні максимального з результатів випробувань. технічний обслуговування авіаційний ремонт

Досвід експлуатації технічних систем і їх елементів показує, що для них характерні три види залежностей інтенсивності відмов л від часу t, що відповідають трьом періодам життєвого циклу цих пристроїв (рис. 18.).

Мал. 18.

Зазначені три види залежностей інтенсивності відмов від часу можна отримати, використовуючи для імовірнісного опису випадкової напрацювання до відмови розподіл Вейбулла - Гнеденко. Згідно з цим розподілом залежність для щільності ймовірності моменту відмови f (t) має вигляд:

де c - параметр форми розподілу, з> 0;

b - параметр масштабу розподілу, b> 0;

і - параметр положення розподілу, і< t.

Інтенсивність відмов л (t), що підкоряються розподілу Вейбулла - Гнеденко, визначається виразом:

При параметрі форми розподілу c< 1 интенсивность отказов л(t) монотонно убывает (период приработки), при с = 1 интенсивность отказов постоянна: л(t) = const (период нормальной работы), а при с >1 - монотонно зростає (період зносу). Отже, шляхом підбору параметра з на кожному з трьох періодів життєвого циклу можна отримати таку теоретичну залежність л (t), яка досить близько співпаде з експериментальною. У цьому випадку розрахунок показників надійності можна виробляти на основі теоретичної залежності л (t).

Функція розподілу Вейбулла - Гнеденко F (t), що показує наскільки ймовірним є настання випадкової події (відмови) при випадковому часу

Функція надійності, зазвичай позначається як R (t), визначається рівністю R (t) = 1 - F (t). Іноді функція R (t) називається функцією виживання, тому що описує ймовірність того, що відмова відбудеться після певного моменту часу t.

На рис. 19. показаний вид функцій надійності при різних значенняхпараметра форми с. Якщо параметр форми розподілу з менше 1, то функція надійності R (t) різко зменшується на початку часу життя, потім, зі зростанням часу t, зменшення відбувається більш повільно. Якщо параметр форми з більше 1, то спочатку спостерігається невелике зменшення надійності, а потім, починаючи з деякого значення часу t, вона знижується досить швидко.

Мал. 19.

Точка, де все криві перетинаються, називається характеристичним часом життя і визначає момент часу, коли відмовило 63,2% вибірки: R (t) = 1 - 0,632 = 0,368.

В авіації розподіл Вейбулла використовується для розрахунку об'єктів:

• - диски двигуна, з обмеженим ресурсом;
• - модулі двигуна і компоненти (з межею експлуатації);
• - елементи планера, схильні до втомного руйнування;
• - надійність компонентів.

Розподіл описує всі три основних розподілу відмов:

• - відмови підробітки;
• - випадкові відмови;
• - відмови, залежні від напрацювання.

Тут необхідна обмовка. Припустимо, що по MGS-3 аналізу відмова не була віднесена ні до категорії 5 (небезпечний), ні до 8 (прихований, небезпечний), а об'єкт має випадковий розподіл відмов або відмови періоду підробітки. Тоді ми маємо всі підстави стверджувати, що роботи по ТО в даному випадку не потрібні, більше того, об'єкт можна викреслити зі списку важливих об'єктів для ТО.

У разі якщо відмови залежать від напрацювання, аналіз по Вейбулль допоможе визначити найбільш підходящий інтервал.

З цієї причини необхідно дуже уважно підійти до визначення залежності відмов виробів від напрацювання.

Таки чином, програма ТО B737 може постійно удосконалюватися на основі аналітичних і емпіричних даних, що надаються засобами збору і аналізу даних про надійність.

Існує велика кількість законів розподілу випадкових ве-личин, описуваних в спеціальній літературі. Ми розглянемо найбільш часто зустрічаються в інженерних розрахунках надійності - показовий розподіл і розподіл Вейбулла.

Експонентний (показовий) закон

Цей закон досить часто використовується для опису ВБР НЕ віднов-встановлюються виробів. Це однопараметричними закон. Якщо відмови дослі-дуємо вироби підкоряються цим законом, то для даного вироби в дан-них умовах експлуатації λ має постійне значення (λ = const), тобто в рівні проміжки напрацювання число відмовили виробів не залежить від того, скільки часу пропрацював виріб до розглянутого моменту часу. Як правило, цим законом описуються раптові відмови виробів.

Експоненціальне розподіл описує напрацювання до відмови об'єктів, у яких в результаті здавальних випробувань (вихідного контролю) відсутній період підробітки, а призначений ресурс встановлений до закінчення періоду нормальної експлуатації.

Ці об'єкти можна віднести до «не старіючим», оскільки вони працюють тільки на ділянці з (T) == const. Коло таких об'єктів широкий: складні технічні системи з безліччю компонентів, засоби обчислювальної техніки і системи автоматичного регулювання і т. П. Експоненціальне розподіл широко застосовується для оцінки надійності енергетичних об'єктів.

Вважається, що випадкова величина напрацювання об'єкта до відмови підпорядкована експоненціальним розподілом, якщо ПРО описується виразом:

гдеλ- параметр розподілу, який за результатами випробувань приймається рівним

λ1 / 0 ,

де 0 - оцінка середнього напрацювання до відмови.

ВБР визначається згідно виразу: Р (t) = e – λ t

Частота відмов α (t) = λ e- λ t

Середнє напрацювання до першої відмови t ср = 1 / λ

Інтенсивність відмов (середнє число подій в одиницю часу) λ = const

Графіки зміни показників безвідмовності при експоненційному розподілі наведені на рис. 1.

Слід зазначити, що при t< < 1 , Т. Е. При напрацюванні tбагато меншою, ніж середнє напрацювання T 0 , вираження (1) - (4) можна спростити, замінивши e -tдвома першими членами розкладання e -tв статечної ряд.

Наприклад, вираз для ВБР набуде вигляду:

Р (t) = 1-λt + (λt) 2/2! - (λt) 3/3! + ... ≈1- λt

при цьому похибка обчислення P (t) не перевищує 0,5 (t) 2 .

закон Вейбулла

Цей розподіл найчастіше використовується для дослідження інтенсивності відмов для періодів підробітки і старіння. На прикладі розподілу термінів служби ізоляції деяких елементів електричної мережі детально розглянуті фізичніпроцеси, що призводять до старіння і відмови ізоляції і описувані розподілом Вейбулла.

Надійність найбільш поширених елементів електричних мереж, таких, як силові трансформатори, кабельні лінії, в значній мірі визначається надійністю роботи ізоляції, «міцність» якої змінюється протягом експлуатації. Основною характеристикою ізоляції електромеханічних виробів є її електрична міцність, яка в залежності від умов експлуатації і виду виробу визначається механічною міцністю, еластичністю, що виключає можливість утворення залишкових деформацій, тріщин, розшарувань під впливом механічних навантажень, тобто неоднорідностей.

Серед перерахованих факторів, що визначають термін служби ізоляції зазначених елементів електричних мереж, одним з основних факторів, найбільш вивчених теоретично і перевірених експериментально, є теплове старіння. На підставі експериментальних досліджень було отримано відоме «восьмиградусного» правило, згідно з яким підвищення температури ізоляції, виконаної на органічній основі, на кожні вісім градусів в середньому вдвічі скорочується термін служби ізоляції.

В даний час в залежності від класу застосовуваної ізоляції використовуються шести-, восьми-, десяти- і двенадцатіградусное правила. Термін служби ізоляції в залежності від температури нагрівання

Т І = Ае - γθ,

де А -термін служби ізоляції при θ = 0 - деяка умовна величина; γ - коефіцієнт, що характеризує ступінь старіння ізоляції в залежності від класу; θ - температура перегріву ізоляції.

Якщо випадкова величина розподілена за закономВейбулла, то

ВБР Р (t) = e ^ - λ 0 t k

Частота відмов α (t) = λ 0 kt k -1 e ^ - λ 0 t k

Інтенсивність відмов λ = λ 0 kt k -1

Середнє напрацювання до першої відмови t cp = Г (1 / k + 1) / λ 0 1 / k

де Г (х) - гамма функція «х», значення якої табульовані.

Параметр «К» впливає на форму кривих і називається параметром форми.

Параметр λ 0 - параметр маштаба, який характеризує розтягнутість кривих уздовж осі абсцис. При К = 1, має місце показовий закон. При λ 0 = 2.5 3.5 розподіл Вейбулла наближається до нормального. Цим пояснюється гнучкість закону Вейбулла і широке його застосування. Цим законом описуються процес виникнення раптових відмов, коли параметр «К» близький до одиниці, і поступових (ізносовие) відмов, коли розподіл стає близько до нормального, а також тоді, коли спільно діють причини, що викликають обидва цих відмови.

Розподіл Вейбулла (модель слабкої ланки)

Практична необхідність врахування мінливості інтенсивності відмов дозволяє зробити висновок, що умови, що призводять до основних розподілів теорії надійності (експоненціального, нормальному, логарифмічно-нормальному і т.п.), вказують на необґрунтованість їх використання для аналізу надійності потужних генераторних ламп, клистронов, магнетронів, ламп біжучої хвилі і інших елементів систем управління, які в загальному випадку характеризуються старінням з непостійною швидкістю зносу, неоднорідні по початковому якості.

У 1939 р шведський математик і інженер В. Вейбулль (1887-1979), аналізуючи відмови, обумовлені зносом шарикопідшипників, запропонував функцію розподілу, зручну для опису довговічності матеріалів, зазначивши: «Звісно ж, що єдиним практичним шляхом досягнення успіху є вибір простий функції, емпірична її перевірка і потім її остаточний вибір, якщо немає нічого кращого ».

Не зупиняючись на оцінці справедливості цих слів в даний час, зауважимо, що в якості простої функції Вейбулла вибрав двопараметричну функцію розподілу ймовірностей:

де Т, s- відповідно параметри масштабу і форми.

З середини 1950-х рр. інтерес до розподілу Вейбулла зростає, оскільки воно виявляється хорошою моделлю для опису надійності складних пристроїв. Цей закон виявляється найбільш придатним для аналізу тривалості безвідмовної роботи потужних електровакуумних приладів НВЧ.

Б.В. Гнеденко встановив, що розподіл Вейбулла є асимптотическим розподілом третього типу для мінімальних значень послідовності незалежних величин. Доведено характеристичне властивість вейбулловского закону: якщо т | = min (X v Х 2, Х п)підпорядковується вейбулловскому розподілу, а випадкові величини Х (, Х 2,..., хп незалежні і однаково розподілені, то вони також підкоряються цьому закону. Багато пристроїв містять значну кількість однорідних елементів, що знаходяться в однакових умовах експлуатації. Якщо повторювані елементи є визначальними по відношенню до часу безвідмовної роботи приладу, то утворюється схема, яка веде до розподілу Вейбулла. Відмова приладу розглядається як вихід будь-якого одного з параметрів за межі встановленого допуску. Можна вважати, що зміни цих параметрів є слабо пов'язані випадкові процеси. Тоді, якщо т. - довговічність за / -му параметру, то ресурс в цілому визначається як т = min (т р т 2, ..., т л).

Функція надійності при розподілі Вейбулла в загальному випадку визначається трьома параметрами і має вигляд:

де -, / 0 - параметри масштабу, форми, зсуву (параметр зсуву

називається ще «порогом чутливості») }