Елементарна геометрія - Шоластер М.М. Ознаки паралельності двох прямих. Властивості паралельних прямих Кути, вписані в коло

Кути.

Основні поняття.

кут- це фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки.

вершина кута- це точка, з якої виходять два промені, які складають цей кут.

бісектриса- це промінь, який виходить з вершини кута і ділить кут навпіл.

розгорнутий кут- це кут, сторони якого лежать на одній площині; дорівнює 180? і є прямою.

Прямий кут- це кут, рівний половині розгорнутого кута; дорівнює 90 ?.

Гострий кут- це кут, який менше прямого.

Тупий кут- це кут, який більше прямого, але менше розгорнутого.

Кут розбиває площину на дві частини. Кожна з частин називається плоским кутом.

Плоскі кути із загальними сторонами називаються додатковими.

Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими ж сторонами.

Якщо плоский кут містить напівплощина, то його градусна міра дорівнює 360 º - α, де α - градусна міра додаткового плоского кута.

Рівні кути.

Це кути, які збігаються при накладанні.

Суміжні кути.

Два кута називаються суміжними, Якщо у них одна сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими променями.

На малюнку кути (ad)і (cd)суміжні. У них сторона dзагальна, а сторони aі c- додаткові промені.

теорема:

Сума суміжних кутів дорівнює 180 º.

З теореми випливає:

Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути рівні.

Якщо кут не розгорнутий, то його градусна міра менше 180 º.

Кут, суміжний з прямим кутом, є прямий кут.

Вертикальні кути.

Два кута називаються вертикальними, Якщо сторони одного кута є додатковими променями сторін іншого. Вони створені перетином двох прямих і не є прилеглими, мають загальну вершину і однакову градусну міру.

На малюнку кути (A 1 B 1) і (A 2 B 2) вертикальні. Сторони A 2 і B 2 другого кута є додатковими променями сторін A 1 і B 1 першого кута.

теорема:

Вертикальні кути рівні.

Центральний кут.

центральним кутомв окружності називається плоский кут з вершиною в її центрі (рис.1).

Частина окружності, розташована всередині плоского кута, називається дугою кола, Відповідної цьому центральному углу (на рис.1 дуга AB є дугою кола).

градусної міроюдуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута.

Кути, вписані в коло.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним в коло(Рис.2).

властивості:

Кути при перетині двох прямих третьою.

При перетині прямих aі bсічною cутворюється вісім кутів, які на малюнку позначені цифрами. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:
відповідні кути: 1 і 5, 4 і 8, 2 і 6, 3 і 7;

навхрест лежачі кути: 3 і 5, 4 і 6;
односторонні кути: 4 і 5, 3 і 6.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 профільного ЄДІпо математиці. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класу, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) і завдання 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтися ні стобалльніку, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки і секрети ЄДІ. Розібрані всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПІ. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тим, за 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання і теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми вирішення задач. Геометрія. теорія, довідковий матеріал, Розбір всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня і логарифми, функція і похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Питання 1.Які кути називаються суміжними?
Відповідь.Два кута називаються суміжними, якщо у них одна сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими променями.
На малюнку 31 кути (a 1 b) і (a 2 b) суміжні. У них сторона b загальна, а сторони a 1 і a 2 є додатковими променями.

Питання 2.Доведіть, що сума суміжних кутів дорівнює 180 °.
Відповідь. Теорема 2.1.Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.
Доведення.Нехай кут (a 1 b) і кут (a 2 b) - дані суміжні кути (див. Рис.31). Луч b проходить між сторонами a 1 і a 2 розгорнутого кута. Тому сума кутів (a 1 b) і (a 2 b) дорівнює розгорнутому куті, т. Е. 180 °. Що і потрібно було довести.

Питання 3.Доведіть, що якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.
Відповідь.

з теореми 2.1 випливає, що якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути рівні.
Припустимо, кути (a 1 b) і (c 1 d) рівні. Нам потрібно довести, що кути (a 2 b) і (c 2 d) теж рівні.
Сума суміжних кутів дорівнює 180 °. З цього випливає, що a 1 b + a 2 b = 180 ° і c 1 d + c 2 d = 180 °. Звідси, a 2 b = 180 ° - a 1 b і c 2 d = 180 ° - c 1 d. Так як кути (a 1 b) і (c 1 d) рівні, то ми отримуємо, що a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. По властивості транзитивності знака рівності слід, що a 2 b = c 2 d. Що і потрібно було довести.

Питання 4.Який кут називається прямим (гострим, тупим)?
Відповідь.Кут, що дорівнює 90 °, називається прямим кутом.
Кут, менший 90 °, називається гострим кутом.
Кут, більший 90 ° і менший 180 °, називається тупим.

Питання 5.Доведіть, що кут, суміжний з прямим, є прямий кут.
Відповідь.З теореми про суму суміжних кутів слід, що кут, суміжний з прямим кутом, є прямий кут: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Питання 6.Які кути називаються вертикальними?
Відповідь.Два кута називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими променями сторін іншого.

Питання 7.Доведіть, що вертикальні кути рівні.
Відповідь. Теорема 2.2. Вертикальні кути рівні.
Доведення.Нехай (a 1 b 1) і (a 2 b 2) - дані вертикальні кути (рис. 34). Кут (a 1 b 2) є суміжним з кутом (a 1 b 1) і з кутом (a 2 b 2). Звідси по теоремі про суму суміжних кутів робимо висновок, що кожен з кутів (a 1 b 1) і (a 2 b 2) доповнює кут (a 1 b 2) до 180 °, тобто кути (a 1 b 1) і (a 2 b 2) рівні. Що і потрібно було довести.

Питання 8.Доведіть, що якщо при перетині двох прямих один з кутів прямий, то інші три кути теж прямі.
Відповідь.Припустимо, що прямі AB і CD перетинають один одного в точці O. Припустимо, що кут AOD дорівнює 90 °. Так як сума суміжних кутів дорівнює 180 °, то отримуємо, що AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. Кут COB вертикальний кутку AOD, тому вони рівні. Тобто кут COB = 90 °. Кут COA вертикальний кутку BOD, тому вони рівні. Тобто кут BOD = 90 °. Таким чином, всі кути рівні 90 °, тобто вони всі - прямі. Що і потрібно було довести.

Питання 9.Які прямі називаються перпендикулярними? Який знак використовується для позначення перпендикулярності прямих?
Відповідь.Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Перпендикулярність прямих позначається знаком \ (\ perp \). Запис \ (a \ perp b \) читається: «Пряма a перпендикулярна прямий b».

Питання 10.Доведіть, що через будь-яку точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму, і тільки одну.
Відповідь. Теорема 2.3.Через кожну пряму можна провести перпендикулярну їй пряму, і тільки одну.
Доведення.Нехай a - дана пряма і A - дана точка на ній. Позначимо через a 1 одну з променів прямий a з початковою точкою A (рис. 38). Відкладемо від променя a 1 кут (a 1 b 1), рівний 90 °. Тоді пряма, яка містить промінь b 1, буде перпендикулярна прямий a.

Припустимо, що існує інша пряма, теж проходить через точку A і перпендикулярна прямий a. Позначимо через c 1 полупрямую цієї прямої, що лежить в одній півплощині з променем b 1.
Кути (a 1 b 1) і (a 1 c 1), рівні кожен 90 °, відкладені в одну напівплощина від променя a 1. Але від променя a 1 в дану полуплоскость можна відкласти тільки один кут, рівний 90 °. Тому не бути інший прямий, що проходить через точку A і перпендикулярної прямої a. Теорема доведена.

Питання 11.Що таке перпендикуляр до прямої?
Відповідь.Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної даній, який має одним зі своїх кінців їх точку перетину. Цей кінець відрізка називається підставоюперпендикуляра.

Питання 12.Поясніть, в чому полягає доказ від протилежного.
Відповідь.Спосіб докази, який ми застосували в теоремі 2.3, називається доказом від противного. Цей спосіб докази полягає в тому, що ми cначала робимо припущення, протилежне тому, що затверджується теоремою. Потім шляхом міркувань, спираючись на аксіоми і доведені теореми, приходимо до висновку, що суперечить або умові теореми, або однією з аксіом, або доведеною раніше теоремі. На цій підставі робимо висновок, що наше припущення було невірним, а значить, вірне твердження теореми.

Питання 13.Що називається бісектрисою кута?
Відповідь.Биссектрисой кута називається промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл.

Ознаки паралельності двох прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січною:

навхрест лежачі кути рівні, або

відповідні кути рівні, або

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то

прямі паралельні(Рис.1).

Доведення. Обмежимося доказом випадку 1.

Нехай при перетині прямих а і b січною АВ навхрест лежачі кути рівні. Наприклад, ∠ 4 = ∠ 6. Доведемо, що а || b.

Припустимо, що прямі а і b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один з кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠ 4 - зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠ 6 - внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠ 4 більше ∠ 6, а це суперечить умові, значить, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.

Слідство 1. Дві різні прямі на площині, перпендикулярні одній і тій же прямій, паралельні(Рис.2).

Зауваження. Спосіб, яким ми тільки що довели випадок 1 теореми 1, називається методом докази від протилежного або приведенням до безглуздості. Перша назва цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, противне (протилежне) тому, що потрібно було довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (до абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку допущення і прийняти те, що було потрібно довести.

Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.

Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно прямий а (рис. 3).

Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно прямий р. Пряма b паралельна прямій а згідно слідству з теореми 1.

З розглянутої задачі випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.

Основна властивість паралельних прямих полягає в наступному.

Аксіома паралельних прямих. Через дану точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній.

Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають з цієї аксіоми.

1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і іншу (рис.4).

2) Якщо дві різні прямі паралельні третьої прямий, то вони паралельні (рис.5).

Справедлива і наступна теорема.

Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі пересічені січною, то:

навхрест лежачі кути рівні;

відповідні кути рівні;

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.

Слідство 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до іншої(Див. Рис.2).

Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теоремі 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є висновком теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, т. Е. Якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.

Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальних кутах. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотній їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звичайно, не так. Два рівних кутазовсім не зобов'язані бути вертикальними.

Приклад 1.Дві паралельні прямі пересічені третьої. Відомо, що різниця двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.

Рішення. Нехай умові відповідає малюнок 6.

Під редакцією Иваницкой В.П. - М .: Державне навчально-педагогічне видавництво міністерства освіти РРФСР, 1959. - 272 c.
завантажити(Пряме посилання) : egnnsholaster1959.djvu Попередня 1 .. 11> .. >> Наступна

Якщо суміжні кути рівні, то кожен з них називається прямим кутом. Їх загальна сторона називається перпендикуляром до прямої, утвореної двома іншими сторонами. Можна також сказати, що бісектриса розгорнутого кута є перпендикуляром до прямої, утвореної його сторонами.

Теорема. Якщо кути рівні, то рівні і суміжні з ними кути.

Нехай (h, k) = ^. (I, т) і нехай ^ (h !, k) і ^ (/ ", т) - відповідні їм суміжні кути (рис. 20). Нехай, далі, / - рух, при якому ^ (h, k) відображається в (I, tri). При цьому русі розгорнутий ^ (h, К) відобразиться в розгорнутий (I, / "). Звідси випливає, що ^ (h ", k) відобразиться в ^ (V, т), т. Е. ^ (H !, k) = ^ (V, т).

Теорема. Існує бісектриса будь-якого кута і до того ж єдина.

Нехай ^ (A, k) відмінний від розгорнутого і внутрішня його область опукла. Відкладемо на його сторонах від вершини Про рівні відрізки OA і OB (рис. 21, а) і з'єднаємо точки А і В. В трикутник AOB А = ^ B (§ 8). Поєднуючи середину С відрізка AB з точкою О, отримаємо рівні за першою ознакою трикутники Л ОС і BOC Отже, AOC = ВОС, і тому промінь ОС - бісектриса (h, k).

Якщо (h, k) не є опуклим (на кресленні внутрішня область його НЕ заштрихована), то за попередньою

6}
t ^

теоремі його бісектрисою є промінь т, додатковий до променю /.

З рівності трикутників ACO і BCO слід також ^ що ^ ACO = BCO1 т. Е. Промінь СО є бісектрисою розгорнутого кута зі сторонами CA і СВ.

Нехай тепер дано раз-повернути ^ (р,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB відображається в

(Р, q). Луч СО відображається при цьому в промінь t. Так як ^ (р, t) = ^ lBCO, ^ BCO = ^ ACO і ^ ACO = = (q, t), то (р, t) = = ^ (q, t), т. Е. T -біссектріса (р, q).

Нехай / - бісектриса

(A, A), а Г - довільний промінь, що виходить з вершини кута і лежить у внутрішній області його. Якщо Г лежить у внутрішній області ^ (А, /), то ^ (А, / ")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (А, /). Отже, ^ (А, Г)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Слідство 1. Існує один і тільки один перпендикуляр до цієї прямий, виходяіщй з заданою на ній точки і лежить в заданій півплощини, що обмежена цією прямою.

Слідство 2. Половини рівних кутів рівні між собою.

Дійсно, якщо ^ (А, А) = ^ (A ", А"), то існує рух /, при якому один з них відображається в інший. За доведеною теоремою їх бісектриси / і Г при цьому русі також повинні відобразитися одна в іншу. Тому ^ (A, /) = ^ (A ", Г).

Так як всі розгорнуті кути рівні, то окремим випадком слідства 2 є пропозиція: всі прямі кути рівні між собою.

Прямі а і А, що утворюють при перетині прямі кути, називаються перпендикулярними (а ± Ь).

Відображення від прямої. Нехай пряма а лежить в площині а. Освічені при цьому півплощини позначимо через X і р. (Рис. 22). Візьмемо на прямій промінь А

виходить з точки О. По властивості 6 рухів (§ 7) існує єдине рух, що відображає промінь h сам в себе і напівплощина X в напівплощина jx. Всі точки цього променя по властивості 5 рухів відображаються самі в себе. Всі точки променя k, що доповнює до прямої промінь h, теж відображаються самі в себе.

Отже, при даному русі всі крапки прямій а відображаються самі в себе. Легко, далі, бачити, що по-

Візьмемо тепер точку поза прямою а.

Теорема. Через будь-яку точку, що не лежить на прямій, проходить єдина пряма, перпендикулярна даній прямій.

Доведення. Нехай M - точка, що лежить поза прямою а (рис. 23). Пряма а ділить площину, яка визначається цією прямою і

точкою М, на дві півплощини: напівплощина X, що містить точку М, і напівплощина jx. При відображенні від прямої а точка M відображається в точку M "полуплоскости jx. Так як точки M і M" лежать в різних полуплоско-

стях, то прямі MM "і а Чорт 23

перетинаються в деякій

точці M0, яка при відображенні відображається сама в себе. Звідси випливає, що пряма MM "відображається сама в себе, і тому кути / і 2, утворені нею з прямою а (див. Рис. 23), відображаються один в інший.

луплоскость jx відображається при цьому в напівплощина X.

Розглядається рух називається відображенням від прямої а.

З існування бісектриси розгорнутого кута слід, що через будь-яку точку, що лежить на прямій а, завжди можна провести пряму видання, перпендикулярну до прямої а.

Значить, ці кути рівні, а так як вони, крім того, суміжні, то MM "± а. Нехай тепер через M проведена інша пряхмая, яка перетинає пряму а в деякій точці Af0. Вона відобразиться в пряму M" N0, a ^ MN0M0 відобразиться в M "N0M0. Отже, ^ 3 = ^ i4. Але в силу аксіоми 1 (§ 2) чки M1 N0 і M» не лежать на одній прямій, і тому сума кутів 3 і 4, т. е. ^ MN0M ", не є розгорнутим кутом. звідси випливає, що кути 3 і 4 відмінні від прямого і пряма MN0 НЕ буде перпендикулярна прямий а. пряма MM "є, таким чином, єдиною прямою, перпендикулярної а й проходить через точку М.