Побудувати трикутник за основою бічній стороні. Завдання про трикутник
VIII . Групи завдань на побудову.
Рішення груп завдань з використанням допоміжного трикутника.
Суть методу - побудова допоміжних трикутників і використання їх властивостей і знову отриманих елементів для остаточного вирішення завдання.
Аналіз побудови складається з наступних етапів:
Шукай при аналізі допоміжний трикутник.
Якщо з'являться нові елементи, за допомогою яких можна вже побудувати трикутник АВС, то мета досягнута.
Якщо цього не відбудеться, то, може бути, можна побудувати ще один допоміжний трикутник, який дасть відсутні елементи.
Розберемо суть методу на прикладах.
Завдання 1.Построіть трикутник АВС ( b= c) по a, h b .
Шукаємо допоміжний трикутник. Очевидно, що таким трикутником зручно вважати трикутник CDB.
Це дасть кут С, отже, і кут АВС. Отже, є а, кут В, кут С, значить можна побудувати трикутник АВС. Схематично це будемо записувати так:
(А, h b) → Δ CDB →< C.
(A,< B, < C) → Δ ABC.
завдання для самостійного рішення:
Використовуючи міркування, аналогічні наведеним, рекомендуємо побудувати трикутник (b = c) за наступними даними:
а)< А, h b ;
б)< В, h с;
г)< В, h b ;
е)< С, h b .
Завдання 2.Построіть трикутник по радіусу r вписаного кола, розі А і розі В.
Нехай I - центр кола, вписаного в трикутник АВС.
(R; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(R; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(| AD | + | ВD | = | АВ |) → (с,< А, < В) → Δ ABC.
Завдання для самостійного рішення:
Побудувати трикутник за такими елементами:
а) a, h c, h b; б) a, h а, h b; в) a, m a, m b;
г)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
ж) b, h b, m b (де m - медіани, l - бісектриси, h - висоти).
самостійно:
Рішення груп завдань з опорою на основну.
Основне завдання:
побудувати ромб ABCD по діагоналі BD і висоті BM. (Δ BHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
побудувати трапецію, з чотирьох сторін.
Побудувати трикутник за двома сторонами і куту, укладеним між ними.
Основне завдання:
Побудувати прямокутний трикутник за двома катетам.
Побудувати ромб по двох діагоналях.
Побудувати прямокутник по двох нерівних сторонам.
Побудувати паралелограм по двох діагоналях і куті між ними.
Побудувати прямокутник по діагоналях і куті між ними.
Побудувати трикутник за стороною і двома прилеглими кутах.
Завдання для самостійного рішення:
Основне завдання:
Побудувати трикутник за основою і прилеглому куту.
Побудувати прямокутний трикутник по катету і прилеглому гострого кута.
Побудувати ромб за кутом і діагоналі, що проходить через вершину цього кута.
Побудувати трикутник за висотою і кутом при вершині.
Побудувати квадрат по даній діагоналі.
Побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі і гострому куту.
Завдання для самостійного рішення:
Основне завдання:
Побудувати трикутник по бічній стороні і розі при підставі.
Побудувати трикутник по бічній стороні і розі при вершині.
Побудувати трикутник за трьома сторонам.
Завдання для самостійного рішення:
Основне завдання:
Побудувати трикутник за основою і бічній стороні.
Побудувати ромб по стороні і діагоналі.
Побудувати паралелограм по двох нерівних сторонам і діагоналі.
Побудувати паралелограм по стороні і двом діагоналях.
Побудувати прямокутний трикутник по катету і гіпотенузі.
Завдання для самостійного рішення:
Побудувати трикутник за висотою і бічній стороні.
Побудувати трикутник за основою і перпендикуляру, опущеного з кінця підстави на бічну сторону.
Побудувати паралелограм по підставі, висоті і діагоналі.
Побудувати ромб по висоті і діагоналі.
Побудувати трикутник по бічній стороні і висоті, опущеною з неї.
Побудувати трикутник за основою, висоті і бічній стороні.
література:
Б. І. Аргунов, М. Б. Балк "Геометричні побудови на площині", М, "Просвещение" 1955р.
Глейзер Г. І. "Історія математики в школі" IV - VI кл., М, "Просвещение", 1981 г.
І. Гольденблант "Досвід вирішення геометричних задач на побудову" "Математика в школі" № 3, 1946 р
І. А. Кушнір "Про один спосіб вирішення завдань на побудову" "Математика в школі" № 2, 1984 р
А. І. Мостовий "Застосовувати різні способи вирішення завдань на побудову" "Математика в школі" № 5, 1983 г.
А. А. Попова "Математика" Навчальний посібник. "Челябінський державний педагогічний університет", 2005 р
Е. М. Селезньова, М. Н. Серебрякова "Геометричні побудови в I - V класах середньої школи"Методичні розробки. Свердловськ, 1974 г.
рівнобедренимє такий трикутник, У якого довжини двох його сторін рівні між собою.
При вирішенні завдань по темі "Рівнобедрений трикутник"необхідно користуватися наступними відомими властивостями:
1.
Кути, що лежать навпроти рівних сторінрівні між собою.
2.
Бісектриси, медіани і висоти, проведені з рівних кутів, Рівні між собою.
3.
Бісектриса, медіана і висота, проведені до основи рівнобедреного трикутника, між собою збігаються.
4.
Центр вписаною і центр описаного кіл лежать на висоті, а значить і на медіані і бісектрисі, проведеної до основи.
5.
Кути, які є рівними в трикутник завжди гострі.
Трикутник є рівнобедреним, якщо у нього присутні наступні ознаки:
1.
Два кута у трикутника рівні.
2.
Висота збігається з медіаною.
3.
Бісектриса збігається з медіаною.
4.
Висота збігається з бісектрисою.
5.
Дві висоти трикутника рівні.
6.
Дві бісектриси трикутника рівні.
7.
Дві медіани трикутника рівні.
Розглянемо кілька задач по темі "Рівнобедрений трикутник"і наведемо докладний їх рішення.
Завдання 1.
У трикутник висота, проведена до основи, дорівнює 8, а заснування відноситься до бічної сторони як 6: 5. Знайти, на якій відстані від вершини трикутника знаходиться точка перетину його биссектрис.
Рішення.
Нехай дано трикутник АВС (Рис. 1).
1) Так як АС: ВС = 6: 5, то АС = 6х і ВС = 5х. ВН - висота, проведена до основи АС трикутника АВС.
Так як точка Н - середина АС (по властивості рівнобедреного трикутника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
ВС 2 = ВН 2 + НС 2;
(5х) 2 = 8 2 + (3х) 2;
х = 2, тоді
АС = 6х = 6 · 2 = 12 і
ВС = 5х = 5 · 2 = 10.
3) Так як точка перетину биссектрис трикутника є центром вписаного в нього кола, то
ВІН = r. Радіус вписаного в трикутник АВС окружності знайдемо за формулою
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 · (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, тоді ВІН = r = 48/16 = 3.
Звідси ВО = ВН - ОН; ВО = 8 - 3 = 5.
Відповідь: 5.
Завдання 2.
У трикутник АВС проведена бісектриса АD. Площі трикутників ABD і ADC рівні 10 і 12. Знайти збільшену в три рази площа квадрата, побудованого на висоті цього трикутника, проведеної до основи АС.
Рішення.
Розглянемо трикутник АВС - рівнобедрений, АD - бісектриса кута А (Рис. 2).
1) Розпишемо площі трикутників ВАD і DAC:
S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Знайдемо відношення площ:
S BAD / S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB / AC.
Так як S BAD = 10, S DAC = 12, то 10/12 = АВ / АС;
АВ / АС = 5/6, тоді нехай АВ = 5х і АС = 6х.
АН = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
3) З трикутника АВН - прямокутного по теоремі Піфагора АВ 2 = АН 2 + ВН 2;
25х 2 = ВН 2 + 9х 2;
4) S A ВС = 1/2 · AС · ВН; S A В C = 1/2 · 6х · 4х = 12х 2.
Так як S A ВС = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, тоді 22 = 12х 2;
х 2 = 11/6; ВН 2 = 16х 2 = 16 · 11/6 = 1/3 · 8 · 11 = 88/3.
5) Площа квадрата дорівнює ВН 2 = 88/3; 3 · 88/3 = 88.
Відповідь: 88.
Завдання 3.
У трикутник основа дорівнює 4, а бічна сторона дорівнює 8. Знайти квадрат висоти, опущеної на бічну сторону.
Рішення.
У трикутнику АВС - равнобедренном ВС = 8, АС = 4 (Рис. 3).
1) ВН - висота, проведена до основи АС трикутника АВС.
Так як точка Н - середина АС (по властивості рівнобедреного трикутника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 4 = 2.
2) З трикутника ВНС - прямокутного по теоремі Піфагора ВС 2 = ВН 2 + НС 2;
64 = ВН 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), а так само S ABC = 1/2 · (АМ · ВС), тоді прирівняємо праві частини формул, отримаємо
1/2 · AC · BH = 1/2 · АМ · ВС;
АМ = (AC · BH) / ВС;
АМ = (√60 · 4) / 8 = (2√15 · 4) / 8 = √15.
Відповідь: 15.
Завдання 4.
У трикутник підставу і опущена на нього висота, рівні 16. Знайти радіус описаного навколо цього трикутника окружності.
Рішення.
У трикутнику АВС - равнобедренном підставуАС = 16, ВН = 16 - висота, проведена до основи АС (Рис. 4).
1) АН = НС = 8 (по властивості рівнобедреного трикутника).
2) З трикутника ВНС - прямокутного по теоремі Піфагора
ВС 2 = ВН 2 + НС 2;
ВС 2 = 8 2 + 16 2 = (8 · 2) 2 + 8 2 = 8 2 · 4 + 8 2 = 8 2 · 5;
3) Розглянемо трикутник АВС: по теоремі синусів 2R = AB / sin C, де R - радіус описаного навколо трикутника АВС окружності.
sin C = BH / BC (з трикутника ВНС за визначенням синуса).
sin C = 16 / (8√5) = 2 / √5, тоді 2R = 8√5 / (2 / √5);
2R = (8√5 · √5) / 2; R = 10.
Відповідь: 10.
Завдання 5.
Довжина висоти, проведеної до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 36, а радіус вписаного кола дорівнює 10. Знайти площу трикутника.
Рішення.
Нехай дано трикутник АВС.
1) Так як центр вписаною в трикутник кола є точкою перетину його бісектрис, то Про ϵ ВН і АТ є бісектрисою кута А, а струм ж ВІН = r = 10 (Рис. 5).
2) ВО = ВН - ОН; ВО = 36 - 10 = 26.
3) Розглянемо трикутник АВН. По теоремі про бісектрисі кута трикутника
АВ / АН = ВО / ОН;
АВ / АН = 26/10 = 13/5, тоді нехай АВ = 13х і АН = 5х.
По теоремі Піфагора АВ 2 = АН 2 + ВН 2;
(13х) 2 = 36 2 + (5х) 2;
169х 2 = 25х 2 + 36 2;
144х 2 = (12 · 3) 2;
144х 2 = 144 · 9;
х = 3, тоді АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Відповідь: 540.
Завдання 6.
У трикутник дві сторони рівні 5 і 20. Знайти бісектрису кута при основі трикутника.
Рішення.
1) Припустимо, що бічні сторони трикутника рівні 5, а підстава - 20.
Тоді 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Рис. 6).
2) Нехай LC = x, тоді BL = 20 - x. По теоремі про бісектрисі кута трикутника
АВ / АС = ВL / LC;
20/5 = (20 - x) / x,
тоді 4х = 20 - x;
Таким чином, LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.
3) Скористаємося формулою бісектриси кута трикутника:
AL 2 = AB · AC - BL · LC,
тоді AL 2 = 20 · 5 - 4 · 16 = 36;
Відповідь: 6.
Залишилися питання? Не знаєте, як вирішувати геометричні завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Як побудувати трикутник? Це легко зробити за допомогою лінійки, олівця і клітинок зошита.
Побудова рівнобедреного трикутника починаємо з підстави. Щоб малюнок вийшов рівним, кількість клітинок в підставі має бути парним числом.
Ділимо відрізок - підстава трикутника - навпіл.
Вершину трикутника можна вибрати на будь-якій висоті від основи, але обов'язково рівно над серединою.
Як побудувати гострокутий трикутник?
Кути при основі рівнобедреного трикутника можуть бути тільки гострими. Щоб трикутник вийшов гострокутним, кут при вершині теж повинен бути гострим.
Для цього вершину трикутника вибираємо вище, подалі від підстави.
Чим вище вершина, тим менше кут при вершині. Кути при основі при цьому, відповідно, збільшуються.
Як побудувати тупоугольние трикутник?
З наближенням вершини рівнобедреного трикутника до основи градусна міра кута при вершині збільшується.
Значить, щоб побудувати рівнобедрений тупоугольние трикутник, вершину вибираємо нижче.
Як побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник?
Щоб побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник, треба вершину вибрати на відстані, рівному половині підстави (це обумовлено властивостями рівнобедреного прямокутного трикутника).
Наприклад, якщо довжина підстави - 6 клітинок, то вершину трикутника маємо на висоті 3 клітинок над серединою підстави. Зверніть увагу: при цьому кожна клітинка у кутів при підставі ділиться по діагоналі.
Побудова рівнобедреного прямокутного трикутника можна почати з вершини.
Вибираємо вершину, від неї під прямим кутом відкладаємо рівні відрізки вгору і вправо. Це - бічні сторони трикутника.
З'єднаємо їх і отримаємо рівнобедрений прямокутний трикутник.
Побудова рівнобедреного трикутника за допомогою циркуля і лінійки без поділів розглянемо в іншій темі.