Трикутники рівні за трьома сторонами. Третя ознака рівності трикутників. Повні уроки - Гипермаркет знаний. Завдання на побудову трикутників

Ознаки рівності трикутників

Рівними називають трикутники, у яких відповідні сторони рівні.

Теорема (перша ознака рівності трикутників).
Якщо дві сторони і кут, укладений між ними, одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту, укладеним між ними, іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема (друга ознака рівності трикутників).
Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема (третя ознака рівності трикутників).
Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Ознаки подібності трикутників

Подібними називаються трикутники, у яких кути рівні, а подібні боку пропорційні:, , Де - коефіцієнт подібності.

I ознака подібності трикутників.Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то ці трикутники подібні.

II ознака подібності трикутників.Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

III ознака подібності трикутників.Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника, а кути, укладені між цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

З далеких часів і донині пошук ознак рівності фігур вважається базовим завданням, яка є основою основ геометрії; сотні теорем доводяться з використанням ознак рівності. Уміння доводити рівність і подібність фігур - важливе завдання в усіх сферах будівництва.

Вконтакте

Застосування навички на практиці

Припустимо, що у нас є фігура, накреслена на аркуші паперу. При цьому у нас є лінійка і транспортир, за допомогою яких ми можемо заміряти довжини відрізків і кути між ними. Як перенести на другий аркуш паперу фігуру таких же розмірів або збільшити її масштаб у два рази.

Ми знаємо, що трикутник - це фігура, що складається з трьох відрізків, які називаються сторонами, утворюють кути. Таким чином, існує шість параметрів - три сторони і три кути, які визначають цю фігуру.

Однак, заміривши величину всіх трьох сторін і кутів, перенести цю фігуру на іншу поверхню виявиться непростим завданням. Крім того, є сенс поставити запитання: а хіба мало буде знання параметрів двох сторін і одного кута, або всього лише трьох сторін.

Заміривши довжину двох сторін і між ними, потім відкладемо цей кут на новому листку паперу, так ми зможемо повністю відтворити трикутник. Давайте розберемося, як це зробити, навчимося доводити ознаки, за якими їх можна вважати однаковими, і визначимося з тим, яку мінімальну кількість параметрів досить знати, щоб отримати впевненість у тому, що трикутники однакові.

Важливо!Фігури називаються однаковими, якщо відрізки, що утворюють їх боку, і кути рівні між собою. Подібними називаються ті фігури, у яких сторони і кути пропорційні. Таким чином, рівність - це подібність з коефіцієнтом пропорційності 1.

Які існують ознаки рівності трикутників, дамо їх визначення:

перша ознака рівності: два трикутника можна вважати однаковими, якщо рівні дві їх боку, а також кут між ними.
друга ознака рівності трикутників: два трикутника будуть однаковими, якщо однакові два кута, а також відповідна сторона між ними.
третя ознака рівності трикутників : трикутники можна вважати однаковими, коли всі їхні сторони мають рівну довжину.

Як довести, що трикутники рівні. Наведемо доказ рівності трикутників.

Доказ 1 ознаки

Довгий час серед перших математиків дана ознака вважався аксіомою, проте, як виявилося, його можна геометрично довести, спираючись на більш базові аксіоми.

Розглянемо два трикутника - KMN і K 1 M 1 N 1. Сторона КМ має таку ж довжину як і K 1 M 1, а KN = K 1 N 1. А кут MKN дорівнює кутах KMN і M 1 K 1 N 1.

Якщо розглядати KM і K 1 M 1, KN і K 1 N 1 як два промені, які виходять з однієї точки, то можна сказати, що між цими парами променів однакові кути (це задано умовою теореми). Зробимо паралельний перенесення променів K 1 M 1 і K 1 N 1 з точки K 1 в точку К. Внаслідок цього перенесення промені K 1 M 1 і K 1 N 1 повністю співпадуть. Відкладемо на промені K 1 M 1 відрізок довжиною КМ, що бере свій початок в точці К. Оскільки за умовою отриманий відрізок і буде дорівнює відрізку K 1 M 1 то точки М і M 1 збігаються. Аналогічно і з відрізками KN і K 1 N 1. Таким чином, переносячи K 1 M 1 N 1 так, що точки K 1 і К збігаються, а дві сторони накладаються, отримуємо повний збіг і самих фігур.

Важливо!В інтернеті зустрічаються докази рівності трикутників за двома сторонами і куту за допомогою алгебраїчних і тригонометричних тотожностей з чисельними значеннями сторін і кутів. Однак історично і математично дана теорема була сформульована задовго до алгебри і раніше, ніж тригонометрія. Для доказу цієї ознаки теореми використовувати що-небудь, крім базових аксіом, некоректно.

Доказ 2 ознаки

Доведемо друга ознака рівності по двох кутах і стороні, грунтуючись на першому.

Доказ 2 ознаки

Розглянемо KMN і PRS. До дорівнює Р, N дорівнює S. Сторона КN має таку ж довжину, як і РS. Необхідно довести, що KMN і PRS - однакові.

Відобразимо точку М щодо променя КN. Отриману точку назвемо L. При цьому довжина сторони КМ = КL. NKL дорівнює PRS. KNL дорівнює RSP.

Оскільки сума кутів дорівнює 180 градусів, то KLN дорівнює PRS, а значить PRS і KLN- однакові (подібні) по обидва боки і розі, згідно з першим ознакою.

Але, так як KNL дорівнює KMN, то KMN і PRS - дві однакові фігури.

Доказ 3 ознаки

Як встановити, що трикутники рівні. Це прямо випливає з докази другої ознаки.

Довжина KN = PS. Оскільки К = Р, N = S, KL = KM, при цьому КN = KS, MN = ML, то:

Це означає, що обидві фігури є подібними один одному. Але так як їх боку однакові, то і вони є рівними.

З ознак рівності і подібності випливає безліч наслідків. Одне з них полягає в тому, що для того, щоб визначити, рівні два трикутника чи ні, необхідно знати їх властивості, однакові чи:

всі три сторони;
обидві сторони і кут між ними;
обидва кута і сторона між ними.

Використання ознаки рівності трикутників для вирішення завдань

Наслідки першої ознаки

В ході докази можна прийти до ряду цікавих і корисних наслідків.

. Той факт, що точка перетину діагоналей паралелограма ділить їх на дві однакові частини - наслідок ознак рівності і цілком піддається доказательству.Сторони додаткового трикутника (при дзеркальному побудові, як в доказах, які ми виконували) - сторонам головного (сторони паралелограма).
Якщо є два прямокутних трикутника, у яких однакові гострі кути, то вони подібні. Якщо при цьому катет першого дорівнює катету другого, то вони рівні. Зрозуміти це досить легко - у будь-яких прямокутних трикутниківє прямий кут. Тому ознаки рівності для них більш прості.
Два трикутника з прямими кутами, у яких два катета мають однакову довжину, можна вважати однаковими. Це пов'язано з тим, що між двома катетами кут завжди дорівнює 90 градусів. Тому за першою ознакою (по двох сторонах і куту між ними) все трикутники з прямими кутами і однаковими катетами - рівні.
Якщо є два прямокутних трикутника, і у них один катет і гіпотенуза рівні, значить і трикутники однакові.

Доведемо цю просту теорему.

Є два прямокутних трикутника. У одного боку a, b, c, де с - гіпотенуза; a, b - катети. У другого боку n, m, l, де l - гіпотенуза; m, n - катети.

По теоремі Піфагора один з катетів дорівнює:

;

Таким чином, якщо n = a, l = з (рівність катетів і гіпотенуз), відповідно і другі катети будуть рівні. Фігури, відповідно, будуть рівні за третьою ознакою (за трьома сторонами).

Відзначимо ще один важливий наслідок. Якщо є два рівних трикутника, і вони подібні з коефіцієнтом подібності k, тобто попарні відносини всіх їх сторін рівні k, то ставлення їх площ дорівнює k2.

Перша ознака рівності трикутників. Відеоурок по геометрії 7 клас

Геометрія 7 Перша ознака рівності трикутників

висновок

Розглянута нами тема допоможе будь-якому учневі краще розібратися в базових геометричних поняттях і підвищити свої навички в найцікавішому світіматематики.

Підгорний Максим

матеріал дослідницької роботиможе використовуватися для гуртків з геометрії в 7 класі

Завантажити:

Попередній перегляд:

МБУ ДО міста Ростова-на-Дону «Палац творчості дітей та молоді»

Донська академія наук юних дослідників ім. Ю. А. Жданова

Математика

Тема: «Нестандартні теореми про рівність трикутників»

Підгорний Максим, 7 кл.,

МБОУ ЗОШ № 3,

керівник:

Олейникова Людмила Олександрівна,

учитель математики,

МБОУ ЗОШ № 3,

м Сальск, Ростовська область

м Ростов-на-Дону

2017 рік

Введення ................................................................... .................. 3

Основна частина

Ознаки рівності трикутників ................................................... 4

Нестандартні ознаки рівності трикутників .............................. .7

Висновок .............................................................................. 10

Список літератури ..................................................................... 11

додаток

Вступ.

актуальність:

Трикутник одна з основних фігур в планіметрії. Я багато чув від старшокласників, що при підготовці до ЄДІ їм часто доводиться доводити рівність трикутників. І виявляється недостатнім знання основних ознак. Мені захотілося дізнатися, а чи можна довести рівність трикутників за іншими параметрами. У підручнику геометрії, за яким навчаються учні нашої школи (автори Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов і ін. Геометрія 7-9) розглядаються лише 3 ознаки рівності трикутників. Я переглянув навчально-методичні комплекти інших авторів. Але і в них для вивчення пропонуються тільки три відомі теореми.

гіпотеза:

Можливо, чи сформулювати, крім трьох відомих, інші ознаки рівності трикутників?

Щоб переконатися в тому, що відповідь на це питання хвилює не тільки мене, я провів соціологічне опитування серед учнів 7-11 класів див. Додаток 1).

Мої припущення підтвердилися. Большенство учнів знають тільки три ознаки рівності трикутників.

Таким чином, метою мого дослідження стало віднайдення нових ознак рівності трикутників.

завдання:

ΘІзучіть літературу з досліджуваної теми.

ΘУточніть кількість ознак рівності трикутників.

ΘПродемонстріровать своїм однокласникам і учням нашої школи існування інших ознак рівності трикутників і можливості їх докази.

Об'єкт дослідження:

Вивчення ознак рівності трикутників.

Предмет дослідження. Трикутник, як одна з основних фігур в планіметрії.

Метод дослідження:Теоретичний (вивчення, аналіз і синтез), системно-пошуковий, практичний (доведення теорем).

Історична довідка

Трикутник є однією з центральних фігур всієї геометрії.

При вирішенні завдань використовують його найрізноманітніші властивості.

Властивості трикутника широко застосовують на практиці: в архітектурі; при розробці креслення будівлі, при плануванні майбутніх квартир; в промисловості, при проектуванні різних деталей, при виготовленні будматеріалів, при будівництві морських і авіа судів; в навігації для прокладання правильного і максимально точного маршруту; в астрології й астрономії трикутник є дуже значимою фігурою; трикутники роблять надійними конструкції високовольтних ліній електропередач і залізничних мостів.

Крім того, багато інших сфер, де застосовуються різні властивості трикутника: починаючи гру в більярд, необхідно розташувати кулі у вигляді трикутника, для цього використовують спеціальне пристосування; розстановка кеглів в грі Боулінг теж у вигляді рівностороннього трикутника; для складання красивих паркету використовуються трикутники; пристрій трикутника Паскаля: кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел (обвести трикутником три числа). Все елементарно, але скільки в цьому таїться чудес! Трикутник Паскаля комп'ютер переклав на мову кольору.

Тему трикутника можна продовжувати необмежено.

Яких тільки трикутників немає на світі!

Існують також переносні значення даної фігури: наприклад, правило «золотого трикутника» засноване на психології покупця - знайшовши потрібний йому товар, покупець спрямовується в касу. Завдання продавців - змусити його затриматися в магазині довше, розташувавши потрібний покупцеві товар в вершинах уявного трикутника, тобто «заякорити» покупця. Чим більше площа трикутника, тим вдалішим можна назвати планування магазина. У продуктовому магазині цими товарами-якорями є гастрономія, молочна продукція, хліб. Задня торцева стіна торгового залу є другим місцем за значимістю і саме там найдоцільніше розташовувати товари-якоря - саме для того, що б змусити покупця пройти весь периметр магазину.

Широко відомий Бермудський трикутник - це район в Атлантичному океані, В якому відбуваються нібито таємничі зникнення морських і повітряних суден. Район обмежений лініями від Флориди до Бермудських островів, далі до Пуерто-Ріко і назад до Флориди через Багами.

Тому вивчення трикутника і всіх його властивостей - дуже актуальна тема.

Мета даної роботи - розповісти про ознаки рівності трикутників, що є одним з найважливіших їх властивостей.

Ознаки рівності трикутників - це теореми, на підставі яких можна довести, що деякітрикутники рівні.

В геометрії використовуються три ознаки рівності трикутників.

Дана тема практично вивчена, так як на сьогоднішній день існують три ознаки рівності трикутників, доказуваних за допомогою відповідних теорем.

У далекій давнині разом з астрономією з'явилася наука - тригонометрія. Слово «тригонометрія» вироблено від грецьких «трикутник» і «міряю». Буквальне значення - «наука про вимірювання трикутників».

За допомогою натягнутих мотузок довжиною 3, 4 і 5 одиниць єгипетські жерці отримували прямі кути при зведенні храмів і т.п.

Мистецтво зображати предмети на площині з Древніх часів привертає до себе увагу людини, люди малювали на скелях, стінах, судинах і інших предметах побуту, різні орнаменти, рослини, тварин. Люди прагнули до того, щоб зображення правильно відображало природну форму предмета.

Вчення про подібність фігур на основі теорії відносин і пропорцій було створено в Древній Греції в 5-4 століттях до нашої ери і існує і розвивається до сих пір. Наприклад, дуже багато дитячих іграшок таким предметам дорослого світу, взуття та одяг одного фасону випускається різних розмірів. Ці приклади можна продовжувати і далі. Зрештою, все люди подібні один одному і як стверджує Біблія, створив їх бог за своїм образом і подобою.

Ознаки рівності трикутників мали здавна найважливіше значення в геометрії, так як докази численних теорем зводилося до доказу рівності тих чи інших трикутників. Доказом ознак рівності трикутників займалися ще піфагорійці. За словами Прокла, Евдем Родоський приписує Фалесу Мілетському доказ про рівність двох трикутників, що мають рівними сторону і два прилеглих до неї кута (друга ознака рівності трикутників).

Цю теорему Фалес використовував для визначення відстані від берега до морських кораблів.Яким способом користувався при цьому Фалес, точно не відомо.

Ознаки рівності трикутників.

Почнемо з визначення. Трикутники АВС і А1У1С1 називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням.

Трикутник складається з шести елементів: трьох кутів і трьох сторін.

При цьому виникає питання: "Яку найменшу кількість елементів трикутника потрібно взяти для встановлення рівності двох трикутників?"

Ми не зможемо встановити рівність двох трикутників по одному елементу, тому що невідомо: "Чи будуть рівні інші елементи?"

Так само неможливо встановити рівність двох трикутників, використовуючи два елементи через брак інформації для встановлення рівності.

Можливо встановлення рівності двох трикутників, використовуючи три елементи. Але при цьому виникає питання: "Які саме три елементи потрібно назвати, для встановлення рівності трикутників?"

При вивченні цього питання, я переглянув шкільні підручники геометрії різних авторів, а також словники та довідники. У підручниках за сьомий клас запропоновані до вивчення тільки три ознаки рівності трикутників.

Θ1 Ознака : Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні. рис.1

Доведення. Розглянемо трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 , (Рис. 1) у яких АВ = A 1 B 1, АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 . Доведемо, що ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1.

Так як ∠А = ∠А 1 , То трикутник ABC можна накласти на трикутник А 1 В 1 С 1 так, що вершина А суміститься з вершиною А 1 , А сторони АВ і АС накладуться відповідно на промені А 1 В 1 і A 1 C 1. Оскільки АВ = A 1 B 1, АС = А 1 С 1 , То сторона АВ суміститься зі стороною А 1 В 1 а сторона АС - зі стороною А 1 C 1 ; зокрема, сполучаться точки В і В 1, С і C 1 . Отже, сполучаться боку ВС і В 1 З 1 . Отже, трикутники ABC і А 1 В 1 С 1 повністю сполучаться, значить, вони рівні.

А ось як в Стародавньому Єгиптізастосували перша ознака рівності трикутників (по двох сторонах і куту між ними), творцем його також вважається Фалес, для вимірювання висоти піраміди: уявімо, що ми стоїмо перед величезною пірамідою, Як же виміряти її висоту? Адже до неї не додаси вимірювальні прилади! І тут на допомогу Фалесу Мілетському приходить перша ознака рівності трикутників: він почекав поки тінь його точно співпаде з його зростанням, застосував теорему, вийшло, що висота піраміди дорівнює її тіні (рис. 2).

Мал. 2

Θ2 Ознака: Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доказ: Якщо в △ АВС і △ А 1 В 1 С 1 матимуть місце такі рівності AB = А 1 В 1, ∠BAC = ∠B 1 A 1 C 1, ∠АВС = ∠А 1 В 1 С 1 . Накладемо один на одного трикутники А 1 В 1 С 1 і АВС таким чином, щоб збіглися рівні сторони AB і А 1 В 1 і кути, які до них прилягають. Як і в уже розглянутому попередньому прикладі, якщо це необхідно, трикутник А 1 В 1 С 1 можна "перевернути і докласти зворотною стороною". Трикутники співпадуть, отже, вони можуть вважатися рівними.

Θ3 Ознака : Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні. Доказ: Нехай для △ ABC і △ A 1 B 1 C 1 справедливі рівності А 1 В 1 = АВ, В 1 С 1 = ВС, С 1 А 1 = СА. Перемістимо трикутник А 1 В 1 С 1 таким чином, що сторона А 1 В 1 співпаде зі стороною АВ, і вершини B 1 і B, A 1 і A, співпадуть. Візьмемо коло з центром в A і радіусом AC, і другу окружність з центром B і радіусом BC. Ці кола перетнуться в двох симетричних відносно відрізка AB точках: точкою C і точкою C 2 . Значить, C1 після перенесення трикутника A1B1C1 повинна збігтися або з точками C, або з C2. Будь-якому випадку, це буде означати рівність △ ABC = △ A 1 B 1 C 1 , Так як трикутники △ ABC = △ ABC 2 рівні (адже ці трикутники є симетричними відносно відрізка AB.

Це властивість - жорсткість трикутника - широко використовується на практиці. Так, щоб закріпити стовп у вертикальному положенні, до нього ставлять підпірку; такий же принцип використовується при установці кронштейна.

Властивість жорсткості трикутника широко використовують в практиці при будівництві залізних конструкцій.

З третьої ознаки рівності трикутників випливає, що трикутник - жорстка фігура. Тому, що: можна уявімо собі дві рейки, у яких два кінця скріплені цвяхом. Така конструкція не є жорсткою, однак, зрушуючи або розсовуючи вільні кінці рейок, ми можемо змінювати кут між ними. Тепер візьмемо ще одну рейку і скріпимо її кінці з вільними кінцями перших двох рейок. Отримана конструкція - трикутник - буде вже жорсткою. У ній не можна зрушити або розсунути ніякі дві сторони, т. Е. Не можна змінити ні один кут. Дійсно, якби це вдалося, то ми отримали б новий трикутник, що не рівний вихідному. Але це неможливо, так як новий трикутник має дорівнювати вихідному по третьому

У довіднику з елементарної математики М. Я. Вигодський я знайшов ще одну ознаку.

Θ4 Ознака: Якщо дві сторони і кут, що лежить проти більшої з них одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту, який лежить проти більшої з них іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведу ця ознака.

дано : ΔABC, ΔA1B1C1, AB = A1B1, AC = A1C1,∠ B = ∠ B1

Довести: ΔABC = A1B1C1.

Розташуємо трикутники так, як на малюнку 1. З'єднаємо B і B1, тоді ΔАВВ1

Рівнобедрений, отже∠ 1= ∠ 2. ∠ 3= ∠ 4 як залишки рівних кутів.

Отримаємо ΔВСВ1- рівнобедрений, звідси ВС = В1С1. ΔАВС = ΔА1В1С1 за трьома сторонами.

Також в шкільному курсі розглядаються 4 ознаки рівності прямокутних трикутників:

Θ1 . Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно рівні катетам іншого, то такі трикутники рівні.

Θ2 . Якщо катет і прилеглий до нього гострий кутодного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і прилеглому до нього гострого кута іншого, то такі трикутники рівні.

Θ3 . Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і гострому куту іншого, то такі трикутники рівні.

Θ4 . Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і катету іншого, то такі трикутники рівні.

Я вирішив теоретичну базу за ознаками рівності трикутників, довавіть до сторонам і кутках, використовуваним в класичних ознаках рівності трикутників, інші компоненти: бісектрису, медіану і висоту.

Нестандартні ознаки равества трикутників.

1) По двом сторонам і висоті проведеної до однієї з них.

Дано: AB = A1B1, BC = B1C1, AK = A1K1,

Довести: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказ: ΔABK = ΔA1B1K1 по гіпотенузі і катету, тоді∠ B = ∠ B1 і отримаємо ΔABC = ΔA1B1C1 за першою ознакою.

2) По двох сторонах і медіані, проведеної до однієї з них

Дано: AB = A1B1, BC = B1C1, AK = A1K1, AK і A1K1 - медіани.

Довести: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказ: ΔABK = ΔA1B1K1 за трьома сторонами, значить∠ B = ∠ B1 і ΔABC = ΔA1B1C1 за першою ознакою.

3) По двом сторонам і висоті, проведеної з третього кута.

Дано: ∠ B = ∠ B1, ∠ C = ∠ C1, AK = A1K1.

Довести: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказ: ΔABK = ΔA1B1K1 по катету і гострому куту, значить BK = B1K1,

ΔACK = ΔA1C1K1 по катету і гострому куту, значить KC = K1C1, а отже BC = B1C1, а ΔABC = ΔA1B1C1 за другою ознакою.

4) За стороні і двом висот, проведеним з кутів, прилеглих до цієї сторони.

Дано: АС = А1С1, СМ = С1М1, АК = А1К1.

Довести: ΔСC = ΔA1B1C1.

Доказ: ΔAМC = ΔA1М1C1 по катету і гіпотенузі, значить∠ А = ∠ А1, а ΔAКC = ΔA1К1C1 по катету і гіпотенузі, значить∠ С = ∠ С1.

Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за другою ознакою.

5) По двох сторонах і висоті, проведеннойк третій стороні.

дано: АВ = А1В1, ВС = В1С1, ВК = В1К1.

Довести: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доведення: ΔABK = ΔA1B1K1 по гіпотенузі і катету, значить AK = A1K1,

ΔBКC = ΔB1К1C1 по катету і гіпотенузі, значить KC = K1C1.

Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за трьома сторонами.

6) По стороні, одному з кутів, прілежайщіх до цієї сторони і бісектрисі з цього кута.

Дано: АС = А1С1, АК = А1К1,∠ А ∠ А1.

Довести: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказ: ΔКАС = ΔК1А1С1 за першою ознакою, значить∠ С = ∠ С1,

ΔABC = ΔA1B1C1 за другою ознакою.

7) По двом висот і розі, з якого провдена одна з висот.

Дано: СМ = С1М1, АК = А1К1, ∠ А ∠ А1.

Довести: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказ: ΔAМC = ΔA1М1C1 по катету і гострому куту, ΔКАС = ΔК1А1С1 по катету і гіпотенузі, ΔABC = ΔA1B1C1 за другою ознакою.

Висновок.

В ході дослідження я з'ясував, що крім трьох основних ознак рівності трикутників можливо вказати чимало інших. Я сформулював і довів рівність трикутників по медіані, висоті, бісектрисі трикутника в поєднанні зі сторонами і кутами трикутника, дотримуючись наявності трьох елементів. Тепер я можу розповісти учням нашої школи, що існують інші ознаки рівності трикутників. Це дозволить випускникам школи застосувати результати моїх досліджень при підготовці до ОГЕ і ЄДІ і легко вирішувати геометричні завдання на застосування цих ознак.

Результат мого дослідження: Доведені кілька ознак рівності трикутників, що не вивчаються в шкільному курсі геометрії.

Список літератури

Вигодський М.Я. Довідник з елементарної математики.
Геометрія. 7-9 класи: навч. Для загальноосвіт. установ / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев і ін. - 19-е изд. - М.: Просвещение 2009.
Погорєлов А. В. Геометрія: Учеб. Для 7-9 кл. загальноосвіт. Установ. - 3-е видання. - М .: Просвещение, 2002.
. Енциклопедія «Аванта» з математики, Москва, 2004 р
2. «Вікіпедія» - вільна енциклопедія.
3. Глейзер Г.І. «Історія математики в школі», Москва, Просвещение, 1982 р
4. Гусєва Т.М. Ознаки подібності треугольніков.- Москва, Перше вересня, додаток «Математика», 1999 р, №28
5. Погорєлов А.В. «Геометрія 7-9 класи»,Москва, Просвещение, 2003 р

Додаток 1

1.Як ви вважаєте, скільки існує ознак рівності трикутників?

А) 3 Б) більше трьох В) менше трьох

2. Чи хотіли б ви дізнатися нові ознаки рівності трикутників?

А) так Б) немає

Інструкція

Якщо у трикутників ABCі DEF сторона AB дорівнює стороні DE, а кути, прилеглі до сторони AB, рівні кутах, прилеглим до сторони DE, то ці трикутники вважаються рівними.

Якщо у трикутників ABC боку AB, BC і CD рівні відповідним їм сторонам трикутника DEF, то дані трикутники рівні.

Зверніть увагу

Якщо потрібно довести рівність між собою двох прямокутних трикутників, то це можна зробити за допомогою таких ознак рівності прямокутних трикутників:

По одному з катетів і гіпотенузи;
- по двом відомим катетам;
- по одному з катетів і прилеглому до нього гострого кута;
- по гіпотенузі і одному з гострих кутів.

Трикутники бувають гострокутними (якщо всі кути його менше 90 градусів), тупоугольного (якщо один з його кутів більше 90 градусів), рівносторонніми і рівнобокими (якщо дві сторони його рівні).

Корисна порада

Крім рівності трикутників між собою, ці ж трикутники є подібними. Подібними трикутниками вважаються ті, у яких кути рівні між собою, а сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого. Варто відзначити, що якщо два трикутники подібні між собою, то це не гарантує їх рівність. При розподілі подібних сторін трикутників один на одного розраховується так званий коефіцієнт подібності. Також цей коефіцієнт можна отримати шляхом ділення площ подібних трикутників.

джерела:

довести рівність площ трикутників

Два трикутника рівні, якщо всі елементи одного рівні елементам іншого. Але необов'язково знати всі розміри трикутників, щоб зробити висновок про їх рівність. Досить мати певні набори параметрів заданих фігур.

Інструкція

Якщо відомо, що дві сторони одного трикутника рівні іншого і рівні кути між цими сторонами, то розглядаються трикутники рівні. Для доказу вирівняйте вершини рівних кутів двох фігур. Продовжуйте накладення. З отриманої загальної для двох трикутників точки направте одну сторону кута накладеного трикутника по відповідній стороні нижньої фігури. За умовою, ці сторони в двох рівні. Значить, кінці відрізків співпадуть. Отже, поєдналася ще одна пара вершин в заданих трикутниках. Напрямки друге сторін кута, з якого розпочато, співпадуть внаслідок рівності цих кутів. А оскільки ці сторони рівні, відбудеться накладення останньої вершини. Між двома точками можливе проведення єдиною прямою. Отже, треті сторони в двох трикутниках співпадуть. Ви отримали дві повністю збіглися фігури і доведений перша ознака рівності трикутників.

Якщо сторона і прилеглі до неї два кута в одному трикутнику рівні відповідним в іншому трикутнику, то два ці трикутника рівні. Для доведення правильності цього твердження накладіть дві фігури, поєднавши вершини рівних кутів при рівних сторонах. Внаслідок рівності кутів співпаде напрямок другої і третьої сторін і однозначно визначиться місце їх перетину, т. Е. Третя вершина першого з трикутників обов'язково сполучиться з аналогічною точкою другого. Друга ознака рівності трикутників доведений.

Серед величезної кількості багатокутників, які по суті є замкнутої непересічною ламаною лінією, трикутник - це фігура з найменшою кількістю кутів. Іншими словами, це найпростіший багатокутник. Але, незважаючи на всю свою простоту, ця фігура таїть в собі багато загадок і цікавих відкриттів, які висвітлюються особливим розділом математики - геометрією. Цю дисципліну в школах починають викладати з сьомого класу, і темі «Трикутник» тут приділяється особлива увага. Діти не тільки дізнаються правила про самої постаті, а й порівнюють їх, вивчаючи 1, 2 і 3 ознака рівності трикутників.

Перше знайомство

Один з перших правил, з яким знайомляться школярі, звучить приблизно так: сума величин всіх кутів трикутника дорівнює 180 градусам. Щоб це підтвердити, досить за допомогою транспортира виміряти кожну з вершин і скласти всі отримані значення. Виходячи з цього, при двох відомих величинах легко визначити третю. наприклад: У трикутнику один з кутів дорівнює 70 °, а інший - 85 °, як і величина третього кута?

180 - 85 - 70 = 25.

Відповідь: 25 °.

Завдання можуть бути і більш складними, якщо вказано лише одне значення кута, а про другу величину сказано лише, на скільки або в скільки разів вона більше або менше.

У трикутнику для визначення тих чи інших його особливостей можуть бути проведені особливі лінії, кожна з яких має свою назву:

висота - перпендикулярна пряма, проведена з вершини до протилежної сторони;
всі три висоти, проведені одночасно, в центрі фігури перетинаються, утворюючи Ортоцентр, який в залежності від виду трикутника може перебувати як усередині, так і зовні;
медіана - лінія, що з'єднує вершину з серединою протилежної сторони;
перетин медіан є точкою його тяжкості, знаходиться всередині фігури;
бісектриса - лінія, що проходить від вершини до точки перетину з протилежною стороною, точка перетину трьох биссектрис є центром вписаного кола.

Прості істини про трикутниках

Трикутники, як, власне, і всі фігури, мають свої особливості і властивості. Як вже говорилося, ця фігура є найпростішим багатокутником, але зі своїми характерними ознаками:

проти найдовшою боку завжди лежить кут з більшою величиною, і навпаки;
проти рівних сторін лежать рівні кути, Приклад тому - трикутник;
сума внутрішніх кутів завжди дорівнює 180 °, що вже було продемонстровано на прикладі;
при продовженні одного боку трикутника за його межі утворюється зовнішній кут, який завжди буде дорівнює сумікутів, з ним не суміжних;
будь-яка зі сторін завжди менше суми двох інших сторін, але більше їх різниці.

види трикутників

Наступний етап знайомства полягає у визначенні групи, до якої відноситься представлений трикутник. Належність до того чи іншого виду залежить від величин кутів трикутника.

Рівнобедрений - з двома рівними сторонами, які називають бічними, третя в цьому випадку виступає підставою фігури. Кути біля основи такого трикутника однакові, а медіана, проведена з вершини, є бісектрисою і висотою.
Правильний, або рівносторонній трикутник, - це той, у якого все його сторони рівні.
Прямокутний: один з його кутів дорівнює 90 °. У цьому випадку сторона, протилежна цьому кутку, називається гіпотенузою, а дві інші - катетами.
Гострокутний трикутник - всі кути менше 90 °.
Тупоугольние - один з кутів більше 90 °.

Рівність і подібність трикутників

У процесі навчання не тільки розглядають окремо взяту фігуру, але і порівнюють два трикутника. І ця, здавалося б, проста темамає масу правил і теорем, за якими можна довести що розглядаються фігури - рівні трикутники. Ознаки рівності трикутників мають таке визначення: трикутники рівні, якщо їх відповідні сторони і кути однакові. При такому рівність, якщо накласти ці дві фігури один на одного, всі їхні лінії зійдуться. Також фігури можуть бути подібними, зокрема, це стосується практично однакових фігур, що відрізняються лише величиною. Для того щоб зробити такий висновок про представлених трикутниках, необхідне дотримання однієї з таких умов:

два кута однієї фігури рівні двом кутам іншого;
дві сторони одного пропорційні двом сторонам другого трикутника, а величини кутів, утворених сторонами, рівні;
три сторони другої фігури такі ж, як і у першій.

Звичайно, для безперечного рівності, яке не викличе жодного сумніву, необхідно мати однакові значення всіх елементів обох фігур, однак з використанням теорем завдання значно спрощується, і для доказу рівності трикутників допускається наявність лише декількох умов.

Перша ознака рівності трикутників

Завдання по цій темі вирішуються на основі доведення теореми, яка звучить так: "Якщо дві сторони трикутника і кут, який вони утворюють, дорівнюють двом сторонам і куту другого трикутника, то і фігури теж рівні між собою".

Як же звучить доказ теореми про перша ознака рівності трикутників? Всім відомо, що два відрізки рівні, якщо вони однієї довжини, або окружності рівні, якщо мають однаковий радіус. А у випадку з трикутниками є кілька ознак, маючи які, можна припустити, що фігури ідентичні, що дуже зручно використовувати при вирішенні різних геометричних задач.

Як звучить теорема «Перша ознака рівності трикутників», описано вище, а ось її доказ:

Припустимо, трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 мають однакові сторони АВ і А 1 В 1 і, відповідно, ВС і В 1 С 1, а кути, які утворюються цими сторонами, мають одну і ту ж величину, тобто рівні. Тоді, наклавши △ ABC на △ А 1 В 1 С 1, отримаємо збіг всіх ліній і вершин. Звідси випливає, що ці трикутники абсолютно ідентичні, а значить, рівні між собою.

Теорему «Перша ознака рівності трикутників» називають ще «По двох сторонах і куту». Власне, в цьому і полягає її суть.

Теорема про другому ознаці

Друга ознака рівності доводиться аналогічно, доказ грунтується на тому, що при накладенні фігур один на одного вони повністю збігаються за всіма вершин і сторонам. А звучить теорема так: "Якщо одна сторона і два кути, в утворенні яких вона бере участь, відповідають стороні і двом кутам другого трикутника, то ці фігури ідентичні, тобто рівні".

Третя ознака і доказ

Якщо як 2, так і 1 ознака рівності трикутників стосувався як сторін, так і кутів фігури, то 3-й відноситься лише до сторін. Отже, теорема має наступне формулювання: "Якщо всі сторони одного трикутника рівні трьом сторонам другого трикутника, то фігури ідентичні".

Щоб довести цю теорему, потрібно більш детально заглибитись в саме визначення рівності. По суті, що означає вираз «трикутники рівні»? Ідентичність говорить про те, що якщо накласти одну фігуру на іншу, всі їхні елементи співпадуть, це може бути тільки в тому випадку, коли їх боку і кути будуть рівні. У той же час кут, протилежний одній зі сторін, яка така ж, як у іншого трикутника, буде дорівнює відповідній вершині другої фігури. Слід зазначити, що в цьому місці доказ легко перевести на 1 ознака рівності трикутників. У разі якщо така послідовність не спостерігається, рівність трикутників просто неможливо, за винятком тих випадків, коли фігура є дзеркальним відображенням першої.

прямокутні трикутники

У будові таких трикутників завжди є вершини з величиною кута 90 °. Тому справедливі наступні твердження:

трикутники з прямим кутом рівні, якщо катети одного ідентичні катетам другого;
фігури рівні, якщо рівні їх гіпотенузи і один з катетів;
такі трикутники рівні, якщо їх катети і гострий кут ідентичні.

Ця ознака відноситься до Для доведення теореми застосовують додаток фігур один до одного, в результаті якого трикутники складають катетами так, щоб з двох прямих вийшов зі сторонами СА і СА 1.

Практичне застосування

У більшості випадків на практиці застосовується перша ознака рівності трикутників. Насправді така, здавалося б, проста тема 7 класу з геометрії і планіметрії використовується і для обчислення довжини, наприклад, телефонного кабелю без замірів місцевості, по якій він буде проходити. За допомогою цієї теореми легко зробити необхідні розрахункидля визначення довжини острова, що знаходиться посеред річки, що не перепливаючи на нього. Або зміцнити паркан, розташувавши планку в прольоті так, щоб вона ділила його на два рівних трикутника, або ж розрахувати складні елементи роботи в столярній справі, або при розрахунку кроквяної системи даху під час будівництва.

Перша ознака рівності трикутників має широке застосування в реальному «дорослого» життя. хоча в шкільні рокисаме ця тема для багатьох здається нудною і зовсім непотрібної.