Параболоїд обертання. Параболоїд обертання Розташування вільної поверхні в посудині
На навколо своєї осі можна отримати звичайний еліптичний . Він являє собою порожнє ізометричне тіло, перерізами якого є еліпси та параболи. Еліптичний параболоїд задається виду:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Усі головні перерізи параболоїда є параболами. При перерізі площини XOZ та YOZ виходять лише параболи. Якщо провести перпендикулярний переріз щодо площини Xoy, можна отримати еліпс. Причому перерізи, що є параболами, задаються рівняннями виду:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Перерізи еліпса задаються іншими рівняннями:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Еліптичний параболоїд при a=b перетворюється на параболоїд обертання. Побудова параболоїда має низку деяких особливостей, які потрібно враховувати. Операцію почніть з підготовки основи – креслення графіка функції.
Щоб почати будувати параболоїд, потрібно спочатку побудувати параболу. Накресліть параболу в площині Oxz, як показано на малюнку. Задайте майбутньому параболоїду певну висоту. Для цього проведіть пряму таким чином, щоб вона торкалася верхніх точок параболи і була паралельна осі Ox. Потім накресліть параболу у площині Yoz та проведіть пряму. Ви отримаєте дві параболоїдні площини, перпендикулярні одна одній. Після цього в площині Xoy побудуйте паралелограм, який допоможе накреслити еліпс. У цей паралелограм впишіть еліпс таким чином, щоб він торкався всіх сторін. Після цих перетворень зітріть паралелограм і залишиться об'ємне зображення параболоїда.
Існує також гіперболічний параболоїд, який має увігнутішу форму, ніж еліптичний. Його перерізи також мають вид параболи, а в деяких випадках – гіперболи. Головні перерізи Oxz і Oyz, як і у еліптичного параболоїда, являють собою параболи. Вони задаються рівняннями виду:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Якщо провести переріз щодо осі Oxy, можна отримати гіперболу. При побудові гіперболічного параболоїда керуйтеся наступним рівнянням:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - рівняння гіперболічного параболоїда
Спочатку збудуйте нерухому параболу в площині Oxz. У площині Oyz накресліть рухому параболу. Після цього встановіть висоту параболоїда h. Для цього позначте на нерухомій параболі дві точки, які будуть вершинами ще двох рухомих парабол. Потім зобразіть ще одну систему координат O"x"y", щоб нанести гіперболи. Центр цієї системи координат повинен збігатися з висотою параболоїда. Після всіх побудов зобразіть дві рухомі параболи, про які згадувалося вище, так щоб вони стосувалися крайніх точокгіпербол. В результаті вийде гіперболічний параболоїд.
Висота параболоїда може бути визначена за формулою
Об'єм параболоїда, що стосується дна, дорівнює половині об'єму циліндра з радіусом основи R і висотою Н, такий же об'єм займає простір W' під параболоїдом (рис.4.5а)
Рис.4.5. Співвідношення обсягів у параболоїді, що стосується дна.
Wп-об'єм параболоїда, W' - об'єм під параболоїдом, Hп - висота параболоїда
Рис.4.6. Співвідношення об'ємів у параболоїді, що стосується країв циліндра Hп - висота параболоїда., R - радіус судини, Wж-об'єм під висотою рідини в посудині до початку обертання, z 0 - положення вершини параболоїда, Н - висота рідини в посудині до початку обертання.
На рис.4.6а рівень рідини в циліндрі до початку обертання Н. Об'єм рідини Wж до і після обертання зберігається і дорівнює суміоб'єму Wц циліндра з висотою z 0 плюс об'єм рідини під параболоїдом, який дорівнює об'єму параболоїдаWп з висотою Нп
Якщо параболоїд стосується верхнього краю циліндра, висота рідини в циліндрі до початку обертання Н ділить висоту параболоїда Нп на дві рівні частини, нижня точка (вершина) параболоїда розташована по відношенню до основи (рис.4.6в)
Крім того, висота Н ділить параболоїд на дві частини (рис.4.6в), обсяги яких дорівнюють W 2 = W 1 . З рівності обсягів параболічного кільця W 2 і параболічної чашки W 1 , рис.4.6в
При перетині поверхнею параболоїда днища судини (рис.4.7) W 1 = W 2 = 0,5 W кільця
Рис.4.7 Об'єми та висоти при перетині поверхнею параболоїда днища циліндра
Висоти на рис.4.6
обсяги на рис.4.6.
Розташування вільної поверхні в посудині
Рис.4.8. Три випадки відносного спокою при обертанні
1. Якщо посудина відкрита, Po=Ратм (рис.4.8а). Вершина параболоїда при обертанні опускається нижче за початковий рівень-Н, а краї піднімаються над початковим рівнем, положення вершини
2. Якщо посудина заповнена повністю, прикрита кришкою, немає вільної поверхні, перебуває під надлишковим тиском Ро>Ратм, до обертання поверхню (П.П.), де Ро=Ратм перебуватиме над рівнем кришки на висоті h 0и =М/ ρg , H 1 =Н+ М/ρg.
3. Якщо посудина заповнена повністю, знаходиться під вакуумом Ро<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,
4.7. Обертання з великою кутовою швидкістю (рис.4.9)
При обертанні судини з рідиною з великою кутовою швидкістю силою тяжіння можна знехтувати порівняно з відцентровими силами. Закон зміни тиску в рідині можна отримати з формули
(4.22),
Поверхні рівня утворюють циліндри із загальною віссю, навколо якої обертається судина. Якщо посудина перед початком обертання не повністю заповнена, тиск Р 0 діятиме за радіусом r = r 0 замість виразу (4.22) будемо мати
в якому приймаємо g(z 0 - z) = 0,
Мал. 4.9 Розташування поверхонь обертання за відсутності сили тяжіння.
Радіус внутрішньої поверхні при відомих H і h 
Еліпсоїд- Поверхня в тривимірному просторі, отримана деформацією сфери вздовж трьох взаємно перпендикулярних осей. Канонічне рівняння еліпсоїда в декартових координатах, що збігаються з осями деформації еліпсоїда: .
Величини a, b, c називають півосями еліпсоїда. Також еліпсоїдом називають тіло, обмежене поверхнею еліпсоїда. Еліпсоїд є однією з можливих форм поверхонь другого порядку.
Якщо пара півосей має однакову довжину, еліпсоїд може бути отриманий обертанням еліпса навколо однієї з його осей. Такий еліпсоїд називають еліпсоїдом обертання або сфероїдом.
Еліпсоід точніше, ніж сфера, відображає ідеалізовану поверхню Землі.
Об'єм еліпсоїда:.
Площа поверхні еліпсоїда обертання:
Гіперболоїд- це вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в декартових координатах рівнянням - (однопорожнинний гіперболоїд), де a і b - дійсні півосі, а c - уявна піввісь; або - (двопорожнинний гіперболоїд), де a і b - уявні півосі, а c - дійсна піввісь.
Якщо a = b, то така поверхня називається гіперболоїдом обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання може бути отриманий обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двопорожнинний - навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок A і B постійний: | AP − BP | = Const. У цьому випадку A та B називаються фокусами гіперболоїда.
Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійною поверхнею; якщо він є гіперболоїдом обертання, то він може бути отриманий обертанням прямої навколо іншої прямої, що схрещується з нею.
Параболоїд― тип поверхні другого порядку. Параболоїд може бути охарактеризований як незамкнута нецентральна поверхня другого порядку (тобто не має центру симетрії).
Канонічні рівняння параболоїда в декартових координатах:
· якщо a та b одного знака, то параболоїд називається еліптичним.
· якщо a і b різного знака, параболоїд називається гіперболічним.
· якщо один із коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд називається параболічним циліндром.
ü - еліптичний параболоїд, де a та b одного знака. Поверхня описується сімейством паралельних парабол з гілками, спрямованими нагору, вершини яких описують параболу, з гілками, також спрямованими нагору. Якщо a = b то еліптичний параболоїд є поверхнею обертання, утворену обертанням параболи навколо вертикальної осі, що проходить через вершину даної параболи.
ü – гіперболічний параболоїд.
Еліптичний параболоїд
Еліптичний параболоїд при a=b=1
Еліптичний параболоїд- Поверхня, що описується функцією виду
,де aі bодин знак. Поверхня описується сімейством паралельних парабол з гілками, спрямованими нагору, вершини яких описують параболу, з гілками, також спрямованими нагору.
Якщо a = bто еліптичний параболоїд є поверхнею обертання , утворену обертанням параболи навколо вертикальної осі, що проходить через вершину даної параболи.
Гіперболічний параболоїд
Гіперболічний параболоїд при a=b=1
Гіперболічний параболоїд(називається в будівництві «гіпар») - сідлоподібна поверхня, що описується в прямокутній системі координат рівнянням виду
.З другого уявлення видно, що гіперболічний параболоїд є лінійною поверхнею.
Поверхня може бути утворена рухом параболи, гілки якої спрямовані вниз, параболою, гілки якої спрямовані вгору, за умови, що перша парабола стикається з другою своєю вершиною.
Параболоїди у світі
У техніці
У мистецтві
У літературі
Пристрій, описаний у Гіперболоїд інженера Гаріна мав бути параболоїдом.
Wikimedia Foundation. 2010 .
- Елон Менахем
- Елтанг
Дивитись що таке "Еліптичний параболоїд" в інших словниках:
ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД Великий Енциклопедичний словник
еліптичний параболоїд- один із двох типів параболоїдів. * * * ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД, один із двох типів параболоїдів (див. ПАРАБОЛОЇДИ) … Енциклопедичний словник
Еліптичний параболоїд- один з двох видів параболоїдів. Велика Радянська Енциклопедія
ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД- Незамкнута поверхня другого порядку. Канонич. рівняння Е. п. має вигляд Е. п. розташований по одну сторону від площини Оху (див. рис.). Перерізи Е. п. площинами, паралельними площині Оху, є еліпсами з рівним ексцентриситетом (якщо р... Математична енциклопедія
ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД- один із двох типів параболоїдів. Природознавство. Енциклопедичний словник
ПАРАБОЛОЇД- (грец., від parabole парабола, і eidos подібність). Тіло, що утворюється параболою, що обертається. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ПАРАБОЛОЇД геометричне тіло, що утворилося від обертання параболи, так… Словник іноземних слів російської мови
ПАРАБОЛОЇД- ПАРАБОЛОЇД, параболоїда, чоловік. (Див. парабола) (мат.). Поверхня другого порядку не має центру. Параболоїд обертання (утворюється обертанням параболи навколо її осі). Еліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд. Тлумачний словник Ушакова. Тлумачний словник Ушакова
ПАРАБОЛОЇД- ПАРАБОЛОЇД, поверхня, що отримується при русі параболи, вершина якої ковзає по іншій, нерухомій параболі (з віссю симетрії, паралельної осі параболи, що рухається), тоді як її площина, зміщуючись паралельно самій собі, залишається ... Сучасна енциклопедія
Параболоїд- ― тип поверхні другого порядку. Параболоїд може бути охарактеризований як незамкнута нецентральна поверхня другого порядку (тобто не має центру симетрії). Канонічні рівняння параболоїда в декартових координатах: якщо і одного… … Вікіпедія
ПАРАБОЛОЇД- Незамкнена нецентральна поверхня другого порядку. Канонич. рівняння П.: еліптичний параболоїд (при р = q називається П. обертання) та гіперболічний параболоїд. А. Б. Іванов … Математична енциклопедія