Розробка уроку зворотна функція графік оберненої функції. Взаємно обернені функції. Примітка по запису
Ми вже стикалися з завданням, коли по заданій функції f і заданому значенню її аргументу необхідно було обчислити значення функції в цій точці. Але іноді доводиться стикатися зі зворотним завданням: знайти за відомою функції f і її деякому значенню y значення аргументу, в якому функція приймає дане значення y.
Функція, яка, приймає кожне своє значення в єдиній точці своєї області визначення, називається оборотною функцією. Наприклад, лінійна функція буде оборотної функцією. А квадратична функція або функція синус нічого очікувати бути оборотними функціями. Так як одне і те ж значення функція може приймати при різних аргументах.
зворотна функція
Покладемо, що f є деяка довільна оборотна функція. Кожному числу з області її значень y0, відповідає лише одне число з області визначення x0, таке що f (x0) = y0.
Якщо тепер ми кожному значенню х0 поставимо у відповідність значення y0, то отримаємо вже нову функцію. Наприклад, для лінійної функції f (x) = k * x + b функція g (x) = (x - b) / k буде зворотною.
Якщо деяка функція gв кожній точці хобласті значень оборотної функції f приймає значення у таке, що f (y) = x, то кажуть, що функція g- є зворотна функція до f.
Якщо у нас буде поставлено графік деякої оборотної функції f, то для того щоб побудувати графік оберненої функції, можна користуватися таким твердженням: графік функції f і зворотного до неї функції g будуть симетричні відносно прямої, заданої рівнянням y = x.
Якщо функція g є зворотною до функції f, то функція g буде оборотною функцією. А функція f буде зворотним до функції g. Зазвичай кажуть, що дві функції f і g взаємно зворотні один до одного.
На наступному малюнку представлені графіки функцій f і g взаємно зворотних один до одного.
Виведемо наступну теорему: якщо функція f зростає (або убуває) на деякому проміжку A, то вона оборотна. Зворотній до а функція g, певна в області значень функції f, також є зростаючою (або відповідно зменшенням) функцією. Дана теорема називається теоремою про обернену функцію.
Мета уроку:
освітня:
- формувати знання з нової темивідповідно до програмним матеріалом;
- вивчити властивість оборотності функції і навчити знаходити функцію, зворотну даної;
розвиваюча:
- розвивати навички самоконтролю, предметну мова;
- опанувати поняттям зворотна функція і засвоїти методи знаходження оберненої функції;
Виховна: формувати комунікативну компетентність.
устаткування:комп'ютер, проектор, екран, інтерактивна дошка SMART Board, роздатковий матеріал ( самостійна робота) Для роботи в групі.
Хід уроку.
1. Організаційний момент.
мета – підготовка учнів до роботи на уроці:
Визначення відсутніх,
Настрій учнів на роботу, організація уваги;
Повідомлення теми і мети уроку.
2. Актуалізація опорних знань учнів.Фронтальне опитування.
мета - встановити правильність і усвідомленість вивченого теоретичного матеріалу, повторення пройденого матеріалу.<Приложение 1 >
Для учнів на інтерактивній дошці демонструється графік функції. Учителем формулюється завдання - розглянути графік функції і перерахувати вивчені властивості функції. Учні перераховують властивості функції у відповідності зі схемою дослідження. Учитель праворуч від графіка функції маркером на інтерактивній дошці записує названі властивості.
Властивості функції:
Після закінчення дослідження учитель повідомляє, що сьогодні на уроці вони познайомляться ще з одним властивістю функції - оборотністю. Для осмисленого вивчення нового матеріалу вчитель пропонує хлопцям познайомитися з основними питаннями, на які учні повинні дати відповідь після закінчення уроку. Питання записані на звичайній дошці і в вигляді роздаткового матеріалу є у кожного учня (лунає до уроку)
- Яка функція називається оборотною?
- Будь-яка функція оборотна?
- Яка функція називається зворотної даної?
- Як пов'язані область визначення і множину значень функції і зворотного їй функції?
- Якщо функція задана аналітично, як задати формулою зворотну функцію?
- Якщо функція задана графічно, як побудувати графік зворотного їй функції?
3. Пояснення нового матеріалу.
мета - формувати знання за новою темою відповідно до програмним матеріалом; вивчити властивість оборотності функції і навчити знаходити функцію, зворотну даної; розвивати предметну мова.
Учитель проводить виклад матеріалу відповідно до матеріалу параграфа. На інтерактивній дошці вчитель проводить порівняння графіків двох функцій, у яких області визначення і множини значень однакові, але одна з функцій монотонна, а інша ні, тим самим підводить учнів під поняття оборотної функції.
Потім учитель формулює визначення оборотної функції і проводить доказ теореми про оборотної функції, використовуючи графік монотонної функції на інтерактивній дошці.
Визначення 1: Функцію y = f (x), x X називають оборотної, Якщо будь-яке своє значення вона приймає тільки в одній точці безлічі X.
Теорема: Якщо функція y = f (x) монотонна на безлічі X, то вона оборотна.
Доведення:
- нехай функція y = f (x)зростає на Хі нехай х 1 ≠ х 2- дві точки безлічі Х.
- Для визначеності хай х 1<
х 2.
Тоді з того, що х 1< х 2випливає, що f (х 1) < f (х 2). - Таким чином, різним значенням аргументу відповідають різні значення функції, тобто функція оборотна.
(По ходу доведення теореми вчитель маркером робить всі необхідні пояснення на кресленні)
Перед тим як сформулювати визначення зворотної функції вчитель просить учнів визначити, яка із запропонованих функцій оборотна? На інтерактивній дошці показані графіки функцій і записані кілька аналітично заданих функцій:
Б) 
Г) y = 2x + 5
Д) y = -x 2 + 7
Учитель вводить визначення зворотної функції.
Визначення 2: Нехай оборотна функція y = f (x)визначена на безлічі Хі Е (f) = Y. Поставимо у відповідність кожному yз Yто єдине значення х, за якого f (x) = y.Тоді отримаємо функцію, яка визначена на Y, а Х- область значень
Цю функцію позначають x = f -1 (y)і називають зворотним по відношенню до функції y = f (x).
Учням пропонується зробити висновок про зв'язок між областю визначення і безліччю значень обернених функцій.
Для розгляду питання про способи знаходження функції зворотного даної, учитель привернув двох учнів. Хлопці напередодні отримали завдання у вчителя самостійно розібрати аналітичний і графічний способи знаходження функції зворотного даної. Учитель виступив в ролі консультанта при підготовці учнів до уроку.
Повідомлення першого учня.
Зауваження: монотонність функції, є достатнімумовою існування оберненої функції. але воно не єнеобхідною умовою.
Учень навів приклади різних ситуацій, коли функція не є монотонною, але оборотна, коли функція не є монотонною і не оборотна, коли монотонна і оборотна
Потім учень знайомить учнів зі способом знаходження оберненої функції, заданої аналітично.
алгоритм знаходження
- Переконатися, що функція монотонна.
- Висловити змінну х через у.
- Переобозначив змінні. Замість х = f -1 (y) пишуть y = f -1 (x)
Потім вирішує два приклади на знаходження функції зворотного даної.
Приклад 1:Показати, що для функції y = 5x-3 існує зворотна функція, і знайти її аналітичний вираз.
Рішення. Лінійна функція y = 5x-3 визначена на R, зростає на R і область її значень є R. Значить, зворотна функція існує на R. Щоб знайти її аналітичний вираз, вирішимо рівняння y = 5x-3 щодо х; отримаємо Це і є шукана зворотна функція. Вона визначена і зростає на R.
Приклад 2:Показати, що для функції y = x 2, х≤0 існує зворотна функція, і знайти її аналітичний вираз.
Функція неперервна, монотонна в своїй області визначення, отже, вона оборотна. Проаналізувавши області визначення і множини значень функції, робиться відповідний висновок про аналітичному вираженні для зворотної функції.
Другий учень виступає з повідомленням про графічномуспособі знаходження оберненої функції. В ході свого пояснення учень використовує можливості інтерактивної дошки.
Щоб отримати графік функції y = f -1 (x), зворотного по відношенню до функції y = f (x), треба графік функції y = f (x) перетворити симетрично відносно прямої y = x.
Під час пояснення на інтерактивній дошці виконується наступне завдання:
Побудувати в одній системі координат графік функції і графік зворотного їй функції. Запишіть аналітичний вираз оберненої функції.
4. Первинне закріплення нового матеріалу.
мета - встановити правильність і усвідомленість розуміння вивченого матеріалу, виявити прогалини первинного осмислення матеріалу, провести їх корекцію.
Учні діляться на пари. Їм лунають листи із завданнями, в яких вони і виконують роботу в парах. Час на виконання роботи обмежена (5-7 хв). Одна пара учнів працює на комп'ютері, проектор на цей час вимикається і іншим хлопцям не видно, як працюють учні на комп'ютері.
Після закінчення часу (передбачається, що з роботою впоралося більшість учнів) на інтерактивній дошці (знову включається проектор) показується робота учнів, де і з'ясовується в ході перевірки правильність виконання завдання в парі. При необхідності учителем проводиться корекційна, що роз'яснює робота.
Самостійна робота в парах<Додаток 2 >
5. Підсумок уроку.З питань, які були задані перед початком лекції. Оголошення оцінок за урок.
Домашнє завдання §10. №№ 10.6 (а, в) 10.8-10.9 (б) 10.12 (б)
Алгебра і початки аналізу. 10 клас В 2-х частинах для загальноосвітніх установ (профільний рівень) /А.Г.Мордковіч, Л.О.Деніщева, Т.А.Корешкова і ін .; під ред. А.Г.Мордковіча, М: Мнемозина, 2007 рік
Що таке зворотна функція? Як знайти функцію, зворотну даної?
Визначення.
Нехай функція y = f (x) визначена на множині D, а E - безліч її значень. Зворотна функція по відношенню дофункції y = f (x) - це функція x = g (y), яка визначена на множині E і кожному y∈E ставить у відповідність таке значення x∈D, що f (x) = y.
Таким чином, область визначення функції y = f (x) є областю значень зворотної до неї функції, а область значень y = f (x) - областю визначення оберненої функції.
Щоб знайти функцію, зворотну даної функції y = f (x), треба :
1) У формулу функції замість y підставити x, замість x - y:
2) З отриманого рівності висловити y через x:
Знайти функцію, зворотну функції y = 2x-6.
Функції y = 2x-6 і y = 0,5x + 3 є взаємно зворотними.
Графіки прямої і зворотної функцій симетричні відносно прямої y = x(Бісектриси I і III координатних чвертей).
y = 2x-6 і y = 0,5x + 3 -. Графіком лінійної функції є. Для побудови прямої беремо дві точки.
Однозначно висловити y через x можна в тому випадку, коли рівняння x = f (y) має єдине рішення. Це можна зробити в тому випадку, якщо кожне своє значення функція y = f (x) приймає в єдиній точці її області визначення (така функція називається оборотної).
Теорема (необхідна і достатня умова оборотності функції)
Якщо функція y = f (x) визначена і неперервна на числовому проміжку, то для оборотності функції необхідно і достатньо, щоб f (x) була строго монотонна.
Причому, якщо y = f (x) зростає на проміжку, то і обернена до неї функція також зростає на цьому проміжку; якщо y = f (x) убуває, то і зворотна функція спадає.
Якщо умова оборотності не виконана на всій області визначення, можна виділити проміжок, де функція тільки зростає або тільки убуває, і на цьому проміжку знайти функцію, зворотну даної.
Класичний приклад -. На проміжку)