adsby.ru → Росія

Рішення рівнянь н ступеня. Рішення рівнянь вищих ступенів. Винесення спільного множника за дужки

При вирішенні алгебраїчних рівнянь часто доводиться розкладати многочлен на множники. Розкласти многочлен на множники - це значить представити його у вигляді добутку двох або декількох многочленів. Деякі методи розкладання многочленів ми вживаємо досить часто: винесення загального множника, застосування формул скороченого множення, виділення повного квадрата, угруповання. Розглянемо ще деякі методи.

Іноді при розкладанні многочлена на множники бувають корисними наступні твердження:

1) якщо многочлен, з цілими коефіцієнтами має раціональний корінь (де - нескоротний дріб, то -делітель вільного члена а дільник старшого коефіцієнта:

2) Якщо будь-яким чином підібрати корінь многочлена ступеня, то многочлен можна представити у вигляді де многочлен ступеня

Многочлен можна знайти або розподілом многочлена на двочлен «стовпчиком», або відповідної угруповання доданків многочлена і виділенням з них множника або методом невизначених коефіцієнтів.

Приклад. Розкласти на множники многочлен

Рішення. Оскільки коефіцієнт при х4 дорівнює 1, то раціональні коріння даного многочлена, існують, є дільниками числа 6, т. Е. Можуть бути цілими числами ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Позначимо даний многочлен через Р4 (х). Так як Р Р4 (1) = 4 і Р4 (-4) = 23, то числа 1 і -1 не є корінням багаточлена РА (х). Оскільки Р4 (2) = 0, то х = 2 є коренем многочлена Р4 (х), і, отже, даний многочлен ділиться на двочлен х - 2. Тому х4 -5х3 + 7х2 -5х +6 х-2 х4 -2х3 х3 -3х2 + х-3

3х3 + 7х2 -5х +6

3х3 + 6х2 х2 - 5х + 6 Х2 2х

Отже, Р4 (х) = (х - 2) (х3 - Зх2 + х3). Так як xz - Зх2 + х - 3 = х2 (х - 3) + (х - 3) = (х - 3) (х2 + 1), то х4 - 5х3 + 7х2 - 5х + 6 = (х2) (х - 3) (х2 + 1).

Метод введення параметра

Іноді при розкладанні многочлена на множники допомагає метод введення параметра. Суть цього методу пояснимо на такому прикладі.

Приклад. х3 - (√3 + 1) х2 + 3.

Рішення. Розглянемо многочлен з параметром а: х3 - (а + 1) х2 + а2, який при а = √3 перетворюється в заданий многочлен. Запишемо цей многочлен як квадратний тричлен щодо а: аг - ах2 + (х3 - х2).

Так як коріння цього квадратного щодо а трехчлена є а1 = х і а 2 = х2 - х, то справедливо рівність А2 - ах2 + (xs - х2) = (а - х) (ах2 + х). Отже, многочлен х3 - (√3 + 1) х2 + 3 розкладається на множники √3 - х і √3 - х2 + х, т. Е.

х3 - (√3 + 1) х2 + 3 = (х-√3) (х2-х-√3).

Метод введення нової невідомої

У деяких випадках шляхом заміни вираження f (x), що входить в многочлен Рп (х), через у можна отримати многочлен щодо у, який вже легко розкласти на множники. Потім після заміни у на f (x) отримуємо розкладання на множники многочлена Рп (х).

Приклад. Розкласти на множники многочлен х (х + 1) (х + 2) (х + 3) -15.

Рішення. Перетворимо даний многочлен наступним чином: х (х + 1) (х + 2) (х + 3) -15 = [х (х + 3)] [(х + 1) (х + 2)] - 15 = (х2 +3 х) (х2 + 3х + 2) - 15.

Позначимо х2 + 3х через у. Тоді маємо у (у + 2) - 15 = у2 + 2у - 15 = у2 + 2у + 1 - 16 = (у + 1) 2 - 16 = (у + 1 + 4) (у + 1 - 4) = ( у + 5) (у - 3).

Тому х (х + 1) (х + 2) (х + 3) - 15 = (х2 + 3х + 5) (х2 + 3х - 3).

Приклад. Розкласти на множники многочлен (х-4) 4+ (х + 2) 4

Рішення. Позначимо х- 4 + х + 2 = х - 1 через у.

(Х - 4) 4 + (х + 2) 2 = (у - 3) 4 + (у + 3) 4 = у4 - 12у3 + 54у3 - 108у + 81 + у4 + 12у3 + 54у2 + 108у + 81 =

2у4 + 108у2 + 162 = 2 (у4 + 54у2 + 81) = 2 [(уг + 27) 2 - 648] = 2 (у2 + 27 - √б48) (у2 + 27 + √б48) =

2 ((х-1) 2 + 27-√б48) ((х-1) 2 + 27 + √б48) = 2 (х2-2х + 28- 18√ 2) (x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Комбінування різних методів

Часто при розкладанні многочлена на множники доводиться застосовувати послідовно кілька з розглянутих вище методів.

Приклад. Розкласти на множники многочлен х4 - 3х2 + 4х-3.

Рішення. Застосовуючи угруповання, перепишемо многочлен у вигляді x4 - 3х2 + 4х - 3 = (х4 - 2х2) - (х2 -4х + 3).

Застосовуючи до першої дужки метод виділення повного квадрата, маємо х4 - 3х3 + 4х - 3 = (х4 - 2 · 1 · х2 + 12) - (х2 -4х + 4).

Застосовуючи формулу повного квадрата, можна тепер записати, що х4 - 3х2 + 4x - 3 = (х2 -1) 2 - (х2) 2.

Нарешті, застосовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо, що х4 - 3х2 + 4x - 3 = (х2 - 1 + х2) (х2 - 1 - х + 2) = (х2 + х-3) (х2 -x + 1 ).

§ 2. Симетричні рівняння

1. Симетричні рівняння третього ступеня

Рівняння виду ах3 + bх2 + b х + а = 0, а ≠ 0 (1) називаються симетричними рівняннями третього ступеня. Оскільки ах3 + bх2 + b х + а = а (х3 + 1) + b х (х + 1) = (х + 1) (ах2 + (b-а) х + а), то рівняння (1) рівносильне сукупності рівнянь х + 1 = 0 і ах2 + (b-а) х + а = 0, вирішити яку не становить труднощів.

Приклад 1. Вирішити рівняння

3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 0. (2)

Рішення. Рівняння (2) є симетричним рівнянням третього ступеня.

Оскільки 3х3 + 4хг +4 х + 3 = 3 (х3 + 1) + 4х (х + 1) = (х + 1) (3х2 - Зх + 3 + 4х) = (х + 1) (3х2 + х + 3) , то рівняння (2) рівносильне сукупності рівнянь х + 1 = 0 і 3х3 + х + 3 = 0.

Рішення першого з цих рівнянь є х = -1, друге рівняння рішень не має.

Відповідь: х = -1.

2. Симетричні рівняння четвертого ступеня

рівняння виду

(3) називається симетричним рівнянням четвертого ступеня.

Оскільки х = 0 не є коренем рівняння (3), то, розділивши обидві частини рівняння (3) на х2, отримаємо рівняння, рівносильне вихідному (3):

Перепишемо рівняння (4) у вигляді:

У цьому рівняння зробимо заміну, тоді отримаємо квадратне рівняння

Якщо рівняння (5) має 2 кореня в1 і в2, то вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь

Якщо ж рівняння (5) має один корінь у0, то вихідне рівняння рівносильне рівнянню

Нарешті, якщо рівняння (5) не має коренів, то і вихідне рівняння також не має коренів.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення. Дане рівняння є симетричним рівнянням четвертого ступеня. Так як х = 0 не є його коренем, то, розділивши рівняння (6) на х2, одержимо рівносильне йому рівняння:

Згрупувавши доданки, перепишемо рівняння (7) у вигляді або у вигляді

Поклавши, отримаємо рівняння має два кореня в1 = 2 і у2 = 3. Отже, вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь

Рішення першого рівняння цієї сукупності є х1 = 1, а рішення другого є і.

Отже, вихідне рівняння має три корені: х1, х2 і х3.

Відповідь: х1 = 1 ,.

§3. алгебраїчні рівняння

1. Зниження ступеня рівняння

Деякі алгебраїчні рівняння заміною в них деякого многочлена однією літерою можуть бути зведені до алгебраїчних рівнянь, ступінь яких менше ступеня вихідного рівняння і вирішення яких простіше.

Приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення. Позначимо через, тоді рівняння (1) можна переписати у вигляді Останнє рівняння має коріння і Отже, рівняння (1) рівносильне сукупності рівнянь і. Рішення першого рівняння цієї сукупності є і Рішення другого рівняння є

Рішеннями рівняння (1) є

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення. Помноживши обидві частини рівняння на 12 і позначивши через,

Отримаємо рівняння Перепишемо це рівняння у вигляді

(3) і позначивши через перепишемо рівняння (3) у вигляді Останнє рівняння має коріння і Тому отримуємо, що рівняння (3) рівносильне сукупності двох рівнянь і Рішення цієї сукупності рівнянь є і т. Е. Рівняння (2) рівносильне сукупності рівнянь і ( 4)

Рішеннями сукупності (4) є і, вони і є рішеннями рівняння (2).

2. Рівняння виду

рівняння

(5) де -Дані числа, можна звести до біквадратних рівняння за допомогою заміни невідомої т. Е. Заміни

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Рішення. Позначимо через, т. е. зробимо заміну змінних або Тоді рівняння (6) можна переписати у вигляді або, застосовуючи формулу, у вигляді

Оскільки коріння квадратного рівняння є і те рішення рівняння (7) є рішення сукупності рівнянь і. Це сукупність рівнянь має два рішення і Отже, рішення рівняння (6) є і

3. Рівняння виду

рівняння

(8) де числа α, β, γ, δ, і Α такі, що α

Приклад 4. Вирішити рівняння

Рішення. Зробимо заміну невідомих т. Е. Y = x + 3 або x = y - 3. Тоді рівняння (9) можна переписати у вигляді

(Y-2) (y-1) (y + 1) (y + 2) = 10, т. Е. У вигляді

(Y2- 4) (y2-1) = 10 (10)

Біквадратне рівняння (10) має два корені. Отже, рівняння (9) так само має два кореня:

4. Рівняння виду

Рівняння, (11)

Де, не має кореня x = 0, тому, розділивши рівняння (11) на x2, одержимо рівносильне йому рівняння

Яке після заміни невідомої перепишеться у вигляді квадратного рівняння, рішення якого не становить труднощів.

Приклад 5. Розв'язати рівняння

Рішення. Так як ч = 0 не є коренем рівняння (12), то, розділивши його на x2, одержимо рівносильне йому рівняння

Роблячи заміну невідомою, отримаємо рівняння (y + 1) (y + 2) = 2, яке має два кореня: y1 = 0 і y1 = -3. Отже, вихідне рівняння (12) рівносильно сукупності рівнянь

Ця сукупність має два кореня: x1 = -1 і x2 = -2.

Відповідь: x1 = -1, x2 = -2.

Зауваження. Рівняння виду,

У якого, завжди можна привести до виду (11) і, більш того, вважаючи α> 0 і λ> 0 до виду.

5. Рівняння виду

рівняння

, (13) де числа, α, β, γ, δ, і Α такі, що αβ = γδ ≠ 0, можна переписати, перемноживши першу дужку з другої, а третю з четвертою, у вигляді т. Е. Рівняння (13) тепер записано в вигляді (11), і його рішення можна проводити так само, як і рішення рівняння (11).

Приклад 6. Розв'язати рівняння

Рішення. Рівняння (14) має вигляд (13), тому перепишемо його у вигляді

Так як х = 0 не їсти рішення цього рівняння, то, розділивши його обидві частини на х2, одержимо рівносильне вихідне рівняння. Роблячи заміну змінних, отримуємо квадратне рівняння, рішення якого є і. Отже, вихідне рівняння (14) рівносильно сукупності рівнянь і.

Рішення першого рівняння цієї сукупності є

Друге рівняння цієї сукупності рішень не має. Отже, вихідне рівняння має коріння х1 і х2.

6. Рівняння виду

рівняння

(15) де числа a, b, c, q, A такі, що, не має кореня х = 0, тому, розділивши рівняння (15) на х2. одержимо рівносильне йому рівняння, яке після заміни невідомої перепишеться у вигляді квадратного рівняння, рішення якого не становить труднощів.

Приклад 7. Рішення рівняння

Рішення. Так як х = 0 не є коренем рівняння (16), то, розділивши обидві його частини на х2, отримаємо рівняння

, (17) рівносильне рівнянню (16). Зробивши заміну невідомою, рівняння (17) перепишемо у вигляді

Квадратне рівняння (18) має 2 корені: у1 = 1 і у2 = -1. Тому рівняння (17) рівносильно сукупності рівнянь і (19)

Сукупність рівнянь (19) має 4 кореня:,.

Вони будуть корінням рівняння (16).

§4. раціональні рівняння

Рівняння виду = 0, де Н (х) і Q (x) - многочлени, називаються раціональними.

Знайшовши коріння рівняння Н (х) = 0, потім треба перевірити, які з них не є корінням рівняння Q (x) = 0. Це коріння і тільки вони будуть рішеннями рівняння.

Розглянемо деякі методи рішення рівняння виду = 0.

1. Рівняння виду

рівняння

(1) при деяких умовах на числа може бути вирішено в такий спосіб. Групуючи члени рівняння (1) по два і підсумовуючи кожну пару, треба отримати в чисельнику многочлени першої або нульовий ступеня, що відрізняються тільки числовими множниками, а в знаменниках - Трехчлен з однаковими двома членами, що містять х, тоді після заміни змінних отримання рівняння буде або мати також вид (1), але з меншим числом доданків, або буде рівносильно сукупності двох рівнянь, одне з яких буде першого ступеня, а друге буде рівнянням виду (1), але з меншим числом доданків.

Приклад. Розв'язати рівняння

Рішення. Згрупувавши в лівій частині рівняння (2) перший член з останнім, а другий з передостаннім, перепишемо рівняння (2) у вигляді

Підсумовуючи в кожної дужки складові, перепишемо рівняння (3) у вигляді

Бо ж не є рішення рівняння (4), то, розділивши це рівняння на, одержимо рівняння

, (5) рівносильне рівнянню (4). Зробимо заміну невідомого, тоді рівняння (5) перепишеться у вигляді

Таким чином, рішення рівняння (2) з п'ятьма складовими в лівій частині зведено до вирішення рівняння (6) того ж виду, але з трьома складовими в лівій частині. Підсумовуючи всі члени в лівій частині рівняння (6), перепишемо його у вигляді

Рішення рівняння є і. Жодне з цих чисел не звертає в нуль знаменник раціональної функції в лівій частині рівняння (7). Отже, рівняння (7) має ці два кореня, і тому вихідне рівняння (2) рівносильне сукупності рівнянь

Рішення першого рівняння цієї сукупності є

Рішення другого рівняння з цієї сукупності є

Тому вихідне рівняння має коріння

2. Рівняння виду

рівняння

(8) при деяких умовах на числа можна вирішити так: треба виділити цілу частину в кожній з дробів рівняння, т. Е. Замінити рівняння (8) рівнянням

Звести його до виду (1) і потім вирішити його способом, описаним в попередньому пункті.

Приклад. Розв'язати рівняння

Рішення. Запишемо рівняння (9) у вигляді або у вигляді

Підсумовуючи складові в дужках, перепишемо рівняння (10) у вигляді

Роблячи заміну невідомого, перепишемо рівняння (11) у вигляді

Підсумовуючи члени в лівій частині рівняння (12), перепишемо його у вигляді

Легко бачити, що рівняння (13) має два корені: і. Отже, вихідне рівняння (9) має чотири кореня:

3) Рівняння виду.

Рівняння виду (14) при деяких умовах на числа можна вирішувати так: розклавши (якщо це, звичайно, можливо) кожну з дробів в лівій частині рівняння (14) в суму найпростіших дробів

Звести рівняння (14) до виду (1), потім, провівши зручну перегрупування членів отриманого рівняння, вирішувати його методом, викладеному в пункті 1).

Приклад. Розв'язати рівняння

Рішення. Оскільки і, то, помноживши чисельник кожного дробу в рівнянні (15) на 2 і помітивши, що рівняння (15) можна записати у вигляді

Рівняння (16) має вигляд (7). Перегрупувавши складові в цьому рівнянні, перепишемо його у вигляді або у вигляді

Рівняння (17) рівносильно сукупності рівнянь і

Для вирішення другого рівняння сукупності (18) зробимо заміну невідомого Тоді воно перепишеться у вигляді або у вигляді

Підсумовуючи всі члени в лівій частині рівняння (19), перепишіть його у вигляді

Так як рівняння не має коренів, то рівняння (20) їх також не має.

Перше рівняння сукупності (18) має єдиний корінь Оскільки цей корінь входить в ОДЗ другого рівняння сукупності (18), то він є єдиним коренем (18), а значить, і вихідного рівняння.

4. Рівняння виду

рівняння

(21) при деяких умовах на числа і A після подання кожного доданка в лівій частині у вигляді може бути зведене до вигляду (1).

Приклад. Розв'язати рівняння

Рішення. Перепишемо рівняння (22) у вигляді або у вигляді

Таким чином, рівняння (23) зведено до виду (1). Тепер, групуючи перший член з останнім, а другий з третім, перепишемо рівняння (23) у вигляді

Це рівняння рівносильне сукупності рівнянь і. (24)

Останнє рівняння сукупності (24) можна переписати у вигляді

Рішення цього рівняння є і, так як входить в ОДЗ другого рівняння сукупності (30), то сукупність (24) має три кореня :. Всі вони є рішення вихідного рівняння.

5. Рівняння виду.

Рівняння виду (25)

При деяких умовах на числа заміною невідомого можна звести до рівняння виду

Приклад. Розв'язати рівняння

Рішення. Так як не є рішенням рівняння (26), то розділивши чисельник і знаменник кожного дробу в лівій частині на, перепишемо його у вигляді

Зробивши заміну змінних перепишемо рівняння (27) у вигляді

Вирішуючи рівняння (28) є і. Тому рівняння (27) рівносильно сукупності рівнянь і. (29)

Схема Горнера

У ВИРІШЕННІ РІВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ
З ГРУПИ «С» ПІД ЧАС ПІДГОТОВКИ ДО ЗНО

Казанцева Людмила Вікторівна

учитель математики МБОУ «Уярская ЗОШ № 3»

На факультативних заняттях необхідно розширити коло наявних знань за рахунок вирішення завдань підвищеної складності групи «С».

Даная робота висвітлює частина питань, що розглядаються на додаткових заняттях.

Доцільно ввести схему Горнера після вивчення теми «Ділення многочлена на многочлен». Цей матеріал дозволяє розв'язувати рівняння вищих порядків способом угруповання многочленів, а більш раціональним шляхом, Що економить час.

План занять.

Заняття 1.

1. Пояснення теоретичного матеріалу.

2. Рішення прикладів а Б В Г).

Заняття 2.

1. Рішення рівнянь а Б В Г).

2. Знаходження раціональних коренів многочлена

Застосування схеми Горнера при вирішенні рівнянь з параметрами.

Заняття 3.

завдання а Б В).

Заняття 4.

1. Завдання г), д), е), ж), з).

рішення рівнянь вищих ступенів.

Схема Горнера.

теорема : Нехай нескоротний дріб є коренем рівняння

a o x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x 1 + a n = 0

c цілими коефіцієнтами. тоді число рє дільником старшого коефіцієнта а про .

слідство: Будь-який цілий корінь рівняння з цілими коефіцієнтами є дільником його вільного члена.

слідство: Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1 , То всі раціональні корені, якщо вони існують - цілі.

приклад 1. 2х 3 - 7х 2 + 5х - 1 = 0

Нехай нескоротний дріб є коренем рівняння, тодір є дільником числа1: ± 1

q є дільником старшого члена: ± 1; ± 2

Раціональні корені рівняння треба шукати серед чисел:± 1; ±.

f (1) = 2 - 7 + 5 - 1 = - 1 ≠ 0

f (-1) = -2 - 7 - 5 - 1 ≠ 0

f () = – + – 1 = – + – = 0

Коренем є число .

розподіл многочлена Р (х) = а про х п + a 1 x n -1 + … + a n на двочлен ( х - £)зручно виконувати за схемою Горнера.

Позначимо неповну частку Р (х)на ( х - £)через Q (x ) = b o x n -1 + b 1 x n -2 + … b n -1 ,

а залишок через b n

Р (х) =Q (x ) (x – £) + b n , То має місце тотожність

а про х п + a 1 x n-1 + ... + a n = (B o x n-1 + … + b n-1 ) (х - £) +b n

Q (x ) - многочлен, ступінь якого на 1 нижче ступеня вихідного многочлена. коефіцієнти многочлена Q (x ) визначаються за схемою Горнера.

а про

a 1

a 2

a n-1

a n

b o = a про

b 1 = a 1 + £· b o

b 2 = a 2 + £· b 1

b n-1 = a n-1 + £· b n-2

b n = a n + £· b n-1

У першому рядку цієї таблиці записують коефіцієнти многочлена Р (х).

Якщо якась ступінь змінної відсутній, то у відповідній клітині таблиці пишеться 0.

Старший коефіцієнт приватного дорівнює старшому коефіцієнту діленого ( а про = b o ). якщо £ є коренем многочлена, то в останньої клітці виходить 0.

приклад 2. Розкласти на множники з цілими коефіцієнтами

Р (х) = 2х 4 - 7х 3 - 3х 2 + 5х - 1

± 1.

підходить - 1.

ділимо Р (х)на (Х + 1)

– 7

– 3

– 1

– 9

– 1

2х 4 - 7х 3 - 3х 2 + 5х - 1 = (х + 1) (2х 3 - 9х 2 + 6х - 1)

Шукаємо цілі корені серед вільного члена: ± 1

Так як старший член дорівнює 1, то корінням можуть бути дробові числа: - ; .

підходить .

– 9

– 1

– 8

2х 3 - 9х 2 + 6х - 1 = (х -) (2х 2 - 8х + 2) = (2х - 1) (х 2 - 4х + 1)

Трехчлен х 2 - 4х + 1на множники з цілими коефіцієнтами НЕ розкладається.

завдання:

1. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами:

а) х 3 - 2х 2 - 5х + 6

q: ± 1;

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

Знаходимо раціональні корені многочлена f (1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

х = 1

– 2

– 5

– 1

– 6

х 3 - 2х 2 - 5х + 6 = (х - 1) (х 2х - 6) = (х - 1) (х - 3) (х + 2)

Визначимо корені квадратного рівняння

х 2 - х - 6 = 0

х = 3; х = - 2

б) 2х 3 + 5х 2 + Х - 2

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

Знайдемо коріння многочлена третього ступеня

f (1) = 2 + 5 + 1 - 2 ≠ 0

f (-1) = - 2 + 5 - 1 - 2 = 0

Один з коренів рівняння х = - 1

– 2

– 1

– 2

2х 3 + 5х 2 + х - 2 = (х + 1) (2х 2 + 3х - 2) = (х + 1) (х + 2) (2х - 1)

Розкладемо квадратний тричлен 2х 2 +3 х - 2на множники

2х 2 +3 х - 2 = 2 (х + 2) (х -)

D = 9 + 16 = 25

х 1 = - 2; х 2 =

в) х 3 - 3х 2 + Х + 1

р: ± 1

q: ± 1

: ± 1

f (1) = 1 - 3 + 1 - 1 = 0

Одним з коренів многочлена третього ступеня є х = 1

– 3

– 2

– 1

х 3 - 3х 2 + х + 1 = (х - 1) (х 2 - 2х - 1)

Знайдемо коріння рівняння х 2 - 2х - 1 = 0

D = 4 + 4 = 8

х 1 = 1 –

х 2 = 1 +

х 3 - 3х 2 + Х + 1 = (х - 1) (х - 1 +
) (Х - 1 -
)

г) х 3 - 2х - 1

р: ± 1

q: ± 1

: ± 1

Визначимо корені многочлена

f (1) = 1 - 2 - 1 = - 2

f (-1) = - 1 + 2 - 1 = 0

перший корінь х = - 1

– 2

– 1

х 3 - 2х - 1 = (х + 1) (х 2х - 1)

х 2 - х - 1 = 0

D = 1 + 4 = 5

х 1,2 =

х 3 - 2х - 1 = (х + 1) (х -
) (Х -
)

2. Вирішити рівняння:

а) х 3 - 5х + 4 = 0

Визначимо корені многочлена третього ступеня

: ± 1; ± 2; ± 4

f (1) = 1 - 5 + 4 = 0

Одним з коренів є х = 1

– 5

– 4

х 3 - 5х + 4 = 0

(Х - 1) (х 2 + х - 4) = 0

х 2 + Х - 4 = 0

D = 1 + 16 = 17

х 1 =
; х 2 =

відповідь: 1;
;

б) х 3 - 8х 2 + 40 = 0

Визначимо корені многочлена третього ступеня.

: ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 8; ± 10; ± 20; ± 40

f (1) ≠ 0

f (-1) ≠ 0

f (-2) = - 8 - 32 + 40 = 0

Одним з коренів є х = - 2

– 8

– 2

– 10

Розкладемо многочлен третього ступеня на множники.

х 3 - 8х 2 + 40 = (х + 2) (х 2 - 10х + 20)

Знайдемо коріння квадратного рівняння х 2 - 10х + 20 = 0

D = 100 - 80 = 20

х 1 = 5 –
; х 2 = 5 +

Відповідь: - 2; 5 –
; 5 +

в) х 3 - 5х 2 +3 х + 1 = 0

Шукаємо цілі корені серед дільників вільного члена: ± 1

f (-1) = - 1 - 5 - 3 + 1 ≠ 0

f (1) = 1 - 5 + 3 + 1 = 0

підходить х = 1

– 5

– 4

– 1

х 3 - 5х 2 + 3х + 1 = 0

(Х - 1) (х 2 - 4х - 1) = 0

Визначаємо коріння квадратного рівняння х 2 - 4х - 1 = 0

D = 20

х = 2 +
; х = 2 -

відповідь: 2 –
; 1; 2 +

г) 2х 4 - 5х 3 + 5х 2 – 2 = 0

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

f (1) = 2 - 5 + 5 - 2 = 0

Один з коренів рівняння х = 1

– 5

– 2

– 3

2х 4 - 5х 3 + 5х 2 - 2 = 0

(Х - 1) (2х 3 - 3х 2 + 2х + 2) = 0

Знаходимо за такою ж схемою коріння рівняння третього ступеня.

2х 3 - 3х 2 + 2х + 2 = 0

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

f (1) = 2 - 3 + 2 + 2 ≠ 0

f (-1) = - 2 - 3 - 2 + 2 ≠ 0

f (2) = 16 - 12 + 4 + 2 ≠ 0

f (-2) = - 16 - 12 - 4 + 2 ≠ 0

f() = – + 1 + 2 ≠ 0

f(–) = – – – 1 + 2 ≠ 0

Наступний корінь рівняннях = -

– 3

– 4

2х 3 - 3х 2 + 2х + 2 = 0

(Х +) (2х 2 - 4х + 4) = 0

Визначимо корені квадратного рівняння 2х 2 - 4х + 4 = 0

х 2 - 2х + 2 = 0

D = - 4< 0

Отже, корінням вихідного рівняння четвертого ступеня є

1 і –

відповідь: –; 1

3. Знайдіть раціональні корені многочлена

а) х 4 - 2х 3 - 8х 2 + 13х - 24

q: ± 1

: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

Підберемо один з коренів многочлена четвертого ступеня:

f (1) = 1 - 2 - 8 + 13 - 24 ≠ 0

f (-1) = 1 + 2 - 8 - 13 - 24 ≠ 0

f (2) = 16 - 16 - 32 + 26 - 24 ≠ 0

f (-2) = 16 + 16 - 72 - 24 ≠ 0

f (-3) = 81 + 54 - 72 - 39 - 24 = 0

Один з коренів многочлена х 0= – 3.

х 4 - 2х 3 - 8х 2 + 13х - 24 = (х + 3) (х 3 - 5х 2 + 7х + 8)

Знайдемо раціональні корені многочлена

х 3 - 5х 2 + 7х + 8

р: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8

q: ± 1

f (1) = 1 - 5 + 7 + 8 ≠ 0

f (-1) = - 1 - 5 - 7 - 8 ≠ 0

f (2) = 8 - 20 + 14 + 8 ≠ 0

f (-2) = - 8 - 20 - 14 + 8 ≠ 0

f (-4) = 64 - 90 - 28 + 8 ≠ 0

f (4) ≠ 0

f (-8) ≠ 0

f (8) ≠ 0

Крім числа x 0 = – 3 інших раціональних коренів немає.

б) х 4 - 2х 3 - 13х 2 - 38х - 24

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f (1) = 1 + 2 - 13 - 38 - 24 ≠ 0

f (–1) = 1 – 2 – 13 + 38 – 24 = 39 – 39 = 0, тобто х = - 1корінь многочлена

– 13

– 38

– 24

– 1

– 14

– 24

х 4 - 2х 3 - 13х 2 - 38х - 24 = (х + 1) (х 3 - х 2 - 14х - 24)

Визначимо корені многочлена третього ступеня х 3 - х 2 - 14х - 24

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f (1) = - 1 + 1 + 14 - 24 ≠ 0

f (-1) = 1 + 1 - 14 - 24 ≠ 0

f (2) = 8 + 4 - 28 - 24 ≠ 0

f (-2) = - 8 + 4 + 28 - 24 ≠ 0

Значить, другий корінь многочлена х = - 2

– 14

– 24

– 2

– 1

– 12

х 4 - 2х 3 - 13х 2 - 38х - 24 = (х + 1) (х 2 + 2) (х 2х - 12) =

= (Х + 1) (х + 2) (х + 3) (х - 4)

відповідь: – 3; – 2; – 1; 4

Застосування схеми Горнера при вирішенні рівнянь з параметром.

Знайдіть найбільше ціле значення параметра а,при якому рівняння f (Х) = 0має три різні корені, один з яких х 0 .

а) f (Х) = х 3 + 8х 2 + Ах +b , х 0 = – 3

Так один з коренів х 0 = – 3 , То за схемою Горнера маємо:

– 3

– 15 + а

0 = - 3 (- 15 + а) + b

0 = 45 - 3а + b

b = 3а - 45

х 3 + 8х 2 + ах + b = (х + 3) (х 2 + 5х + (а - 15))

рівняння х 2 + 5х + (а - 15) = 0 D > 0

а = 1; b = 5; з = (а - 15),

D = b 2 - 4ac = 25 - 4 (a - 15) = 25 + 60 - 4a> 0,

85 - 4a> 0;

4a< 85;

a< 21

Найбільше ціле значення параметра а,при якому рівняння

f (Х) = 0має три кореня, а = 21

відповідь: 21.

б) f (x) = x 3 - 2x 2 + Ax + b, x 0 = – 1

Так як один з коренів х 0= – 1, то за схемою Горнера маємо

– 2

– 1

– 3

3 + а

x 3 - 2x 2 + ax + b = (x + 1) (x 2 - 3x + (3 + a))

рівняння x 2 – 3 x + (3 + a ) = 0 повинно мати два кореня. Це виконується тільки в тому випадку, коли D > 0

a = 1; b = - 3; c = (3 + a),

D = b 2 - 4ac = 9 - 4 (3 + a) = 9 - 12 - 4a = - 3 - 4a> 0,

– 3 - 4a> 0;

– 4a< 3;

a < –

найбільше значення а = - 1 а = 40

відповідь: а = 40

г) f (x) = x 3 - 11x 2 + Ax + b, x 0 = 4

Так як один з коренів х 0 = 4 , То за схемою Горнера маємо

– 11

– 7

– 28 + а

x 3 - 11x 2 + ax + b = (x - 4) (x 2 - 7x + (a - 28))

f (x ) = 0, якщо х = 4або x 2 – 7 x + (a – 28) = 0

D > 0, тобто

D = b 2 - 4ac = 49 - 4 (a - 28) = 49 + 112 - 4a = 161 - 4a> 0,

161 - 4a> 0;

– 4a< – 161; f x 0 = – 5 , То за схемою Горнера маємо

– 5

– 40 + а

x 3 + 13x 2 + ax + b = (x + 5) (x 2 + 8x + (a - 40))

f (x ) = 0, якщо х = - 5або x 2 + 8 x + (a – 40) = 0

Рівняння має два корені, якщо D > 0

D = b 2 - 4ac = 64 - 4 (a - 40) = 64 + 1 60 - 4a = 224 - 4a> 0,

224- 4a> 0;

a< 56

рівняння f (x ) має три кореня при найбільшому значенні а = 55

відповідь: а = 55

ж) f (x ) = x 3 + 19 x 2 + ax + b , x 0 = – 6

Так як один з коренів – 6 , То за схемою Горнера маємо

– 6

а - 78

x 3 + 19x 2 + ax + b = (x +6) (x 2 + 13x + (a - 78)) = 0

f (x ) = 0, якщо х = - 6або x 2 + 13 x + (a – 78) = 0

Друге рівняння має два кореня, якщо

Застосування рівнянь широко поширене в нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд і навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і з тих пір їх застосування тільки зростає. У математиці досить часто зустрічаються рівняння вищих ступенів з цілими коефіцієнтами. Щоб вирішити даного роду рівняння необхідно:

Визначити раціональні коріння рівняння;

Розкласти на множники многочлен, який знаходиться в лівій частині рівняння;

Знайти корені рівняння.

Припустимо, нам дано рівняння такого вигляду:

Знайдемо всі дійсні його коріння. Помножимо ліву і праву частини рівняння на \

Виконаємо заміну змінних \

Таким чином, у нас вийшло наведене рівняння четвертого ступеня, яке вирішується за стандартним алгоритмом: перевіряємо подільники, проводимо розподіл і в результаті з'ясовуємо, що рівняння має два дійсних кореня \ і два комплексних. Отримаємо таку відповідь нашого рівняння четвертого ступеня:

Де можна вирішити рівняння вищих ступенів онлайн вирішувачів?

Вирішити рівняння ви можете на нашому сайті https: // сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити - це просто ввести свої дані в вирішувача. Так само ви можете подивитися відео інструкцію і дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, то ви можете задати їх в нашій групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу групу, ми завжди раді допомогти вам.

Розглянемо рішення рівнянь з однією змінною мірою вище другий.

Ступенем рівняння Р (х) = 0 називається ступінь многочлена Р (х), тобто найбільша з ступенів його членів з коефіцієнтом, не рівним нулю.

Так, наприклад, рівняння (х 3 - 1) 2 + х 5 = х 6 - 2 має п'яту ступінь, тому що після операцій розкриття дужок і приведення подібних одержимо рівносильне рівняння х 5 - 2х 3 + 3 = 0 п'ятого ступеня.

Згадаймо правила, які знадобляться для вирішення рівнянь ступеня вище другий.

Твердження про коріння многочлена і його делителях:

1. многочлен n-го ступенямає число коренів що не перевищує число n, причому коріння кратності m зустрічаються рівно m раз.

2. Многочлен непарного степеня має хоча б один дійсний корінь.

3. Якщо α - корінь Р (х), то Р n (х) = (х - α) · Q n - 1 (x), де Q n - 1 (x) - многочлен ступеня (n - 1).

5. Наведений многочлен з цілими коефіцієнтами не може мати дробових раціональних коренів.

6. Для многочлена третього ступеня

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d можливо одне з двох: або він розкладається в добуток трьох Двочленні

Р 3 (x) = а (х - α) (х - β) (х - γ), або розкладається в добуток двочлена і квадратного тричлена Р 3 (x) = а (х - α) (х 2 + βх + γ ).

7. Будь многочлен четвертого ступеня розкладається в добуток двох квадратних тричленів.

8. Многочлен f (x) ділиться на многочлен g (х) без залишку, якщо існує многочлен q (x), що f (x) = g (x) · q (x). Для поділу многочленів застосовується правило «поділу куточком».

9. Для подільності багаточлена P (x) на двочлен (x - c) необхідно і достатньо, щоб число з було коренем P (x) (Слідство теореми Безу).

10. Теорема Вієта: Якщо х 1, х 2, ..., х n - дійсні корені многочлена

Р (х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + ... + а n, то мають місце такі рівності:

х 1 + х 2 + ... + х n = -а 1 / а 0,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + ... + х n - 1 · х n = a 2 / а 0,

х 1 · х 2 · х 3 + ... + х n - 2 · х n - 1 · х n = -a 3 / а 0,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0.

рішення прикладів

Приклад 1.

Знайти залишок від ділення Р (х) = х 3 + 2/3 x 2 - 1/9 на (х - 1/3).

Рішення.

За слідству з теореми Безу: «Залишок від ділення многочлена на двочлен (х - с) дорівнює значенню многочлена від с». Знайдемо Р (1/3) = 0. Отже, залишок дорівнює 0 і число 1/3 - корінь многочлена.

Відповідь: R = 0.

Приклад 2.

Розділити «куточком» 2х 3 + 3x 2 - 2х + 3 на (х + 2). Знайти залишок і неповну частку.

Рішення:

2х 3 + 3x 2 - 2х + 3 | х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2x

X 2 - 2 x

Відповідь: R = 3; частное: 2х 2х.

Основні методи вирішення рівнянь вищих ступенів

1. Введення нової змінної

Метод введення нової змінної вже знаком на прикладі біквадратних рівнянь. Він полягає в тому, що для вирішення рівняння f (x) = 0 вводять нову змінну (підстановку) t = x n або t = g (х) і висловлюють f (x) через t, отримуючи нове рівняння r (t). Вирішуючи потім рівняння r (t), знаходять коріння:

(T 1, t 2, ..., t n). Після цього отримують сукупність n рівнянь q (x) = t 1, q (x) = t 2, ..., q (x) = t n, з яких знаходять коріння вихідного рівняння.

Приклад 1.

(Х 2 + х + 1) 2 - 3х 2 - 3x - 1 = 0.

Рішення:

(Х 2 + х + 1) 2 - 3 (х 2 + x) - 1 = 0.

(Х 2 + х + 1) 2 - 3 (х 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Заміна (х 2 + х + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Зворотній заміна:

х 2 + х + 1 = 2 або х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х - 1 = 0 або х 2 + х = 0;

Відповідь: З першого рівняння: х 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, з другого: 0 і -1.

2. Розкладання на множники методом угруповання і формул скороченого множення

Основа даного методу також не нова і полягає в угрупованні доданків таким чином, щоб кожна група містила загальний множник. Для цього іноді доводиться застосовувати деякі штучні прийоми.

Приклад 1.

х 4 - 3x 2 + 4х - 3 = 0.

Рішення.

Уявімо - 3x 2 = -2x 2 - x 2 і згрупуємо:

(Х 4 - 2x 2) - (x 2 - 4х + 3) = 0.

(Х 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4х + 3 + 1 - 1) = 0.

(Х 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(Х 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.

(Х 2 - 1 - х + 2) (х 2 - 1 + х - 2) = 0.

(Х 2 - х + 1) (х 2 + х - 3) = 0.

х 2 - х + 1 = 0 або х 2 + х - 3 = 0.

Відповідь: В першому рівнянні немає коренів, з другого: х 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Розкладання на множник методом невизначених коефіцієнтів

Суть методу полягає в тому, що вихідний многочлен розкладається на множники з невідомими коефіцієнтами. Використовуючи властивість, що многочлени рівні, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях, знаходять невідомі коефіцієнти розкладання.

Приклад 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Рішення.

Многочлен 3-го ступеня можна розкласти в добуток лінійного і квадратного множників.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х - а) (x 2 + b х + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + bx 2 + cх - ax 2 - abх - ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b - a) x 2 + (cх - ab) х - ac.

Вирішивши систему:

(B - a = 4,
(C - ab = 5,
(-Ac = 2,

(A = -1,
(B = 3,
(C = 2, тобто

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1) (x 2 + 3х + 2).

Коріння рівняння (х + 1) (x 2 + 3х + 2) = 0 знаходяться легко.

Відповідь: -1; -2.

4. Метод підбору кореня по старшому і вільному коефіцієнту

Метод спирається на застосування теорем:

1) Всякий цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена.

2) Для того, щоб нескоротний дріб p / q (p - ціле, q - натуральне) була коренем рівняння з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб число p було цілим дільником вільного члена а 0, а q - натуральним дільником старшого коефіцієнта.

Приклад 1.

6х 3 + 7x 2 - 9х + 2 = 0.

Рішення:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Отже, p / q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Знайшовши один корінь, наприклад - 2, інші корені знайдемо, використовуючи розподіл куточком, метод невизначених коефіцієнтів або схему Горнера.

Відповідь: -2; 1/2; 1/3.

Залишилися питання? Не знаєте, як вирішувати рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора -.
Перший урок - безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У загальному випадку рівняння, що має ступінь вище 4, не можна дозволити в радикалах. Але іноді ми все ж можемо знайти коріння многочлена, що стоїть зліва в рівнянні надзвичайно, якщо подамо його у вигляді добутку многочленів в ступеня не більше 4-х. Рішення таких рівнянь базується на розкладанні многочлена на множники, тому радимо вам повторити цю тему перед вивченням даної статті.

Найчастіше доводиться мати справу з рівняннями вищих ступенів з цілими коефіцієнтами. У цих випадках ми можемо спробувати знайти раціональні коріння, а потім розкласти многочлен на множники, щоб потім перетворити його в рівняння більш низького ступеня, яке буде просто вирішити. В рамках цього матеріалу ми розглянемо саме такі приклади.

Рівняння надзвичайно з цілими коефіцієнтами

Всі рівняння, що мають вигляд a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0 = 0, ми можемо привести до рівняння тій же мірі за допомогою множення обох частин на a n n - 1 і здійснивши заміну змінної виду y = a n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0 = 0 ann · xn + an - 1 · ann - 1 · xn - 1 + ... + a 1 · (an) n - 1 · x + a 0 · (an) n - 1 = 0 y = anx ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 + ... + b 1 y + b 0 = 0

Ті коефіцієнти, що вийшли в результаті, також будуть цілими. Таким чином, нам потрібно буде вирішити наведене рівняння n-ного ступеня з цілими коефіцієнтами, що має вигляд x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Обчислюємо цілі корені рівняння. Якщо рівняння має цілі корені, потрібно шукати їх серед дільників вільного члена a 0. Випишемо їх і будемо підставляти в вихідне рівність по черзі, перевіряючи результат. Як тільки ми отримали тотожність і знайшли один з коренів рівняння, то можемо записати його у вигляді x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Тут x 1 є коренем рівняння, а P n - 1 (x) являє собою частка від ділення x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 на x - x 1.

Підставляємо інші виписані подільники в P n - 1 (x) = 0, почавши з x 1, оскільки коріння можуть повторюватися. Після отримання тотожності корінь x 2 вважається знайденим, а рівняння може бути записано у вигляді (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0 .Тут P n - 2 (x) буде приватним від ділення P n - 1 (x) на x - x 2.

Продовжуємо і далі перебирати подільники. Знайдемо всі цілі коріння і позначимо їх кількість як m. Після цього вихідне рівняння можна представити як x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · P n - m (x) = 0. Тут P n - m (x) є многочленом n - m -ної ступеня. Для підрахунку зручно використовувати схему Горнера.

Якщо у нас вихідне рівняння має цілі коефіцієнти, ми не можемо отримати в результаті дробові корені.

У нас в підсумку вийшло рівняння P n - m (x) = 0, коріння якого можуть бути знайдені будь-яким зручним способом. Вони можуть бути ірраціональними або комплексними.

Покажемо на конкретному прикладі, як застосовується така схема рішення.

приклад 1

Умова:знайдіть рішення рівняння x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Рішення

Почнемо з знаходжень цілих коренів.

У нас є вільний член, рівний мінус трьох. У нього є подільники, рівні 1, - 1, 3 і - 3. Підставами їх у вихідне рівняння і подивимося, які з них дадуть в результаті тотожності.

При x, що дорівнює одиниці, ми отримаємо 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, значить, одиниця буде коренем даного рівняння.

Тепер виконаємо ділення многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 на (х - 1) в стовпчик:

Значить, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 = 0

У нас вийшло тотожність, значить, ми знайшли ще один корінь рівняння, рівний - 1.

Ділимо многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в стовпчик:

Отримуємо, що

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Підставляємо черговий дільник в рівність x 2 + x + 3 = 0, починаючи з - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Рівності, отримані в результаті, будуть невірними, отже, у рівняння більше немає цілих коренів.

Решта коріння будуть корінням вираження x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 · 1 · 3 = - 11< 0

З цього випливає, що у даного квадратного тричлена немає дійсних коренів, але є комплексно зв'язані: x = - 1 | 2 ± i 11 2.

Уточнимо, що замість поділу в стовпчик можна застосовувати схему Горнера. Це робиться так: після того, як ми визначили перший корінь рівняння, заповнюємо таблицю.

У таблиці коефіцієнтів ми відразу можемо побачити коефіцієнти приватного від ділення многочленів, значить, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Після знаходження наступного кореня, рівного - 1, ми отримуємо наступне:

відповідь:х = - 1, х = 1, x = - 1 | 2 ± i 11 2.

приклад 2

Умова:вирішите рівняння x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Рішення

У вільного члена є подільники 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Перевіряємо їх по порядку:

1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 = 0

Значить, x = 2 буде коренем рівняння. Розділимо x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 на х - 2, скориставшись схемою Горнера:

У підсумку ми отримаємо x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 = 0

Значить, 2 знову буде коренем. Розділимо x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 на x - 2:

В результаті отримаємо (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Перевірка решти подільників сенсу не має, оскільки рівність x 2 + 3 x + 3 = 0 швидше і зручніше вирішити за допомогою дискримінанту.

Вирішимо квадратне рівняння:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 3 = - 3< 0

Отримуємо комплексно сполучену пару коренів: x = - 3 2 ± i 3 2.

відповідь: X = - 3 2 ± i 3 2.

приклад 3

Умова:знайдіть для рівняння x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 дійсні корені.

Рішення

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Виконуємо домноженіе 2 3 обох частин рівняння:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0

Замінюємо змінні y = 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

В результаті у нас вийшло стандартне рівняння 4-го ступеня, яке можна вирішити за стандартною схемою. Перевіримо подільники, розділимо і отримаємо в підсумку, що воно має 2 дійсних кореня y = - 2, y = 3 і два комплексних. Рішення цілком тут ми не будемо наводити. В силу заміни дійсними коренями даного рівняння будуть x = y 2 = - 2 2 = - 1 і x = y 2 = 3 2.

відповідь: x 1 = - 1, x 2 = 3 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter