Teorija funkcij ene spremembe. Matematična analiza. Teorija funkcij ene spremembe Matanova teorija 1 semester

A.V. Glasko

PREDAVANJE iz matematične analize

"OSNOVNE FUNKCIJE V NOTRANJOSTI"

Moskva, MSTU im. Ne. Bauman

§1. Logična simbolika.

Pri pisanju matematičnih virasov bomo uporabili naslednje logične simbole:

	vrednost		vrednost
			Za podobno, za podobno, za vse (glej
			Snu, veš, je (obstaja)
			Tyagne, zdrsnil (ven)
			Enakovredno, todi in tilki todi,
			potrebno in zadostno
Torej, če sta A in B zelo ljubeča, potem

			vrednost
			A chi B (abo A abo B, abo і A і B)
			Za podoben x maê mísce A
			Isnuê x, za vsako ma mísce A
			Z A drsnik B (če je res A, potem je res B)
(Amplíkatsіya)
			A je enakovredno B, A maê miši todi in samo todí, če maê mísce B,
			za V nujno in zadostno A
	Spoštovanje. "A B" pomeni, da mora B dokončati A, za A pa je potrebno B.

Rit. (X = 1) => (x2 -3x + 2 = 0) => ((x = 1) (x = 2)).

V nekaterih primerih bomo uporabili en poseben simbol: A = df B.

Vin pomeni, scho A = B za vrednost.

§2. Brez lichija. Elementi in deli brez življenja.

Razumevanje veliko je prvo, kar morate razumeti, saj ne izvira iz preprostih stvari. Besede: sukupnist, družina, tip - jogo sopomenke.

Dodajte še veliko: brez učencev v razredu, brez študentov na oddelku, brez avtomobilov na parkirišču in notri.

Prve priče so tudi priče brez elementovі vídnosini

mízh elementi brez líchі.

Rit. N - brez naravnih števil, kjer so elementi ¹ številke 1,2,3, ... Če sta x in y elementa N, potem smrad najdemo v enem od naslednjih korakov: x = y, x ob.

Nesmiselne poznamo po velikih črkah: A, B, C, X, Y, ..., elementi pa so malimi: a, b, c, x, y, ...

Vídnosini mízh elementi ali množine so predstavljeni s simboli, vstavljenimi s črkami. Naprej. Nekhai A je deyakiy bezl_ch. Todi vídnoshennya a In pomeni, kdo a - element brez A.

Brez lich lahko vprašate na različne načine... 1. Pererahuvannyam jogo elementi.

Na primer, A = (a, b, c, d), B = (1, 7, 10)

2. Vkaz_vkoyu moč elementov. Nekhai A - brezlich elementi a, ki bodo napajali r. Cena je lahko napisana pri gledalcu: A = (a: p) ali A = (ap).

Na primer, zapis A = (x: (x R) (x2 -1> 0)) pomeni, da je A brez veljavnih števil, kar je zadovoljno z nepravilnostmi x2 -1> 0.

Vnesite številne pomembne vrednosti.

Def. Bezlich se imenuje Kintsev, saj je edinstveno število elementov. Najprej se ne imenuje neskončen.

Na primer, pomanjkanje študentov v avditoriju je ekstravagantno, pomanjkanje naravnih števil ali nesmiselnih točk na sredini pa je neskončno.

Def. Bezlich, kako se ne maščevati želenemu elementu, biti imenovan prazen in biti znan.

Def. Dva obupana se imenujeta pryvnyi, saj je smrad shranjen iz enega in istega

To pomeni, da razumevanje nemočnih ne more spoštovati vrstnega reda prehoda elementov. Def. Bezlich X se imenuje podmnožica Y, kot če bi bil element nemočnega X je element množice Y

element Y je element X). Ko tsyom vikoristovutsya pomeni: X Y.

Na primer, brez pomaranč O je z množico plodov F: O F in brez naravnih števil N je z množico števil R: N R.

Simbol "" i "" se imenuje vključitveni simbol. Vvazhayut, scho brez kože je sam sebi. Veliko praznega je veliko.

Def. Be-yak ni prazen pidmzhina V brez A, ki ni enak A, pokličite

Umaknimo se s poti.

§ 3. Diagrami Euler-Venna. Osnovne operacije na večkratnike.

Grafično si ga ni mogoče vizualizirati ročno ob pogledu na površine na kvadratu. Hkrati se zanašamo na spoštovanje, tako da točke v regiji ustrezajo elementom mnogih. Takšne grafične izjave imenujemo Euler-Vennov diagram.

Rit. A - brez študentov na Moskovski državni tehnični univerzi, B - brez študentov v razredu. Majhna. 1, ki namerno dokazuje A B.

Euler-Vennovi diagrami ročno vikoristovuvati za znanstveno podobo elementarnega delovanje na večkratnike... Pred glavnimi operacijami so to naslednje.

Majhna. 1. Zadnjica Euler-Vennovih diagramov.

1. Preklic A B kompleta A in B se imenuje niz C, ki ga je mogoče shraniti iz vseh elementov, vendar se ena ura prekriva z nizi A in B:

C = A B = df (z: (z A) (z B))

(Na sliki 2 ni zastopanega območja C zasenčenega območja).

Majhna. 2. Peretin mnogozhin.

2. O A B setu A in B imenujemo niz C, ki je shranjen iz vseh elementov, zato obstaja želja po enem nizu A in B.

C = A B = df (z: (z A) (z B))

(Na sliki 3 noben C ni zasenčen).

Majhna. 3. Ob'dnannya množine.

Majhna. 4. Riznitsya množina.

3. Razlika A \ B množice A in B se imenuje množica C, ki jo lahko zložimo z nekaj elementi, ki so lahko brez A ali ne brez B:

A \ B = (z: (z A) (z B))

(Na sliki 4 je bezel_ch C predstavljen z regijo, napolnjeno z barvo zhovty).

§ 4. Niz veljavnih števil.

Naj se zbudim brez besednih besed (dejanj) številk R. brez naravnih števil, Yake je pomemben žaljiv čin. Pri kakovosti prvega elementa je možno število n = 1. Element za napad kože bo obrezan pred številom enot:

N = (1, 1 + 1, (1 + 1) +1, ...) = (1, 2, 3, ..., n, ...).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ...).

Brez celih števil Z Pomembno je, da obstajajo trije večkratniki: N, -N in brez, kamor je treba shraniti iz enega elementa - nič:

Brez kakršnih koli rasnih števil je pomembno kot brez poljubnega števila različnih številk:

Q = (xx = m / n; m, n Z, n 0).

Očitno je N Z Q.

Zdi se, da je koža-racionalno število mogoče zabeležiti glede na neskončno dejanje ali neprekinjen periodični ulomek. Koliko racionalnih števil obstaja za opredelitev vseh vrednot, ki jih je mogoče ustvariti, ko smo prebujeni? Že v stari Grčiji se je pokazalo, da je neumno pravokotni tricikel Z nogami si zaradi hipotenuze ne moremo predstavljati rasne številke. S takšnim rangom ne moremo biti zadržani brez racionalnih števil. Razširiti je treba razumevanje števil. Razširitev na doseg vhodov brez naključnih števil J, kot najpreprostejši miskozni jak brez vseh ponavljajočih se neprekinjenih desetin ulomkov.

Dodajanje niza racionalnih in racionalnih števil se imenuje

brez kakršnih koli dejanj (govora) R: R = Q Y.

V nekaterih primerih je možno pogledati širši razpon neomejenih številk R, ki so bolj razumne

Številke ročno prikažite s pikami na številčni osi.

Def. Numerični pogled se imenuje naravnost, na katerem je označeno uho, lestvica je neposredno prikazana.

Med številkami in točkami numerične osi je odgovor nedvoumen: ali je prikazana katera koli materialna številka, ena sama točka numerične osi in navpaki.

Aksiom neprekinjenih števil Če želite biti pristranski, vmesni prostori niso prazni brez A = (a) R í B = (b) R, zato za vsaka a in b vidite nezmožnost a ≤ b, veste, da obstaja število cR je tudi kjer je a ≤ c ≤ b (slika 5).

Slika 5. Ilustracija aksioma uporabe nesmiselnih števil.

§5. Več številk. Približno.

Def. številčno brez imenovan be-yak pídnіlіchі R. Nayvazhіvіnіnіі ne bo vseboval: N, Z, Q, J, pa tudi

prenos: (x R | a x b),

interval: (a, b) (x R | a x b), (,) = R

interval: (x R | a x b),

(X R | x b).

Imel bom vlogo pri matematični analizi očesnega očesa točke numerične osi.

Def. -soseska točke x 0 se imenuje interval do 2 s središčem v točki x 0 (slika 6):

u (x 0) (x 0, x 0).

Majhna. 6. Blizu točke.

Def. Prebodena soseska točke se imenuje soseska središča točke,

je omogočena sama točka x 0 (slika 7):

u (x 0) u (x 0) \ (x 0) (x 0, x 0) (x 0, x 0).

Majhna. 7. Punkcija blizu točke.

Def. Desničar -soseska točke x0 imenujemo napivinterval

u (x 0), obseg vrednosti: E = [-π / 2, π / 2].

Majhna. 11. Graf funkcij y arcsin x.

Predstavljeno zdaj razumeti zložljiva funkcija (kompozicija slike). Naj bodo podane tri proste slike D, E, M in f: D → E, g: E → M. Očitno je mogoče ustvariti novo podobo h: D → M, imenovano kompozicija slike f in g ali zložljivo funkcijo (slika 12).

Zložljiva funkcija se imenuje žaljiva vrsta: z = h (x) = g (f (x)) ali h = f o g.

Majhna. 12. Ilustracija za razumevanje funkcije zlaganja.

Kliče se funkcija f (x) notranja funkcija, In funkcija g (y) je nove funkcije.

1. Notranja funkcija f (x) = x², vrednost g (y) sin y. Zložljiva funkcija z = g (f (x)) = sin (x²)

2. Zdaj navpaki. Notranja funkcija f (x) = sinx, vrednost g (y) y 2.u = f (g (x)) = sin² (x)

Naj se vrednost spremeni x n sprejmejo nedoločeno trajno vrednost

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

in zakaj zakon spreminjanja sprememb x n, Tobto za naravno število kože n je mogoče določiti x n... V takem položaju za prenos, x n je funkcija od n:

x n = F (n)

Mimogrede, eden od tistih, ki je želel razumeti matematično analizo, je meja med zadnjo ali no, isto, med različnimi velikostmi x n, Poskusite zadnji x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Viznachennya. poljubno število a poklicati mejno x 1 , x 2 , ..., x n , ... . za mejno zimo x n, Za jaka za ustrezno majhno pozitivno število e obstaja tudi naravno število N(Tobto številka N), x n, popravilo x N, gledano iz a naprej absolutna vrednost manj, nižje za e. dano vrednost na kratko napiši takole:

| x n - a |< (2)

nasploh n  N, Abo, kaj sta enaka,

Viznachennya med po Koshi... Številka A se imenuje meja funkcije f (x) v točki a, saj je funkcija dodeljena točki blizu točke a za vinjeto, po možnosti točki a sama, і za kožo ε> 0 інує δ> 0 tudi , za vse x, no, prosim, upoštevajte | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Viznachennya med Heinejem... Število A se imenuje meja funkcije f (x) v točki a, saj je funkcija označena v dejanju blizu točke a za vinjeto, morda točka a sama, in za to, ali je konvergira na število a, je verjetno, da se vrednost funkcije konvergira na številko A.

Ker se funkcija f (x) nahaja v točki a, je črta med.

Število A 1 se imenuje mejna funkcija f (x) zlo v točki a, če je za kožo ε> 0 ісує δ>

Število A 2 se imenuje mejna funkcija f (x) na desni v točki a, če tudi za kožo ε> 0 іsnuє δ> 0, za vse obstaja netočnost

Med zlo je mišljeno med desničarjem-celo število označuje obnašanje funkcije zla in desničarja od točke a. Їх pogosto imenujemo enostranske črte. V označenem enostranskem med x → 0 želite spustiti prvo ničlo: i. Torej za funkcijo

Tudi za kožo ε> 0 je takšna δ-okíl točka a, vendar za vse x, ki so zadovoljni | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, potem se zdi, da ima funkcija f (x) neomejeno mejo v točki a:

Torej je funkcija v točki x = 0 z neomejeno mejo. Torej,

Tudi za kožo ε> 0 іsny je tudi δ> 0, vendar za vsako x> δ videti nepravilnost | f (x) - A |< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorem o natančni zgornji meji

vrednost:АR mR, m - zgornja (spodnja) ploskev A, ko je аА аm (аm).

vrednost: Bezlich A je obdan z zgoraj (spodaj), tako kot isnu take m, scho аА, vikonutsya аm (аm).

vrednost: SupA = m, kjer je 1) m nadprem A

2)'m ': m' m "ni zgornja meja A

InfA = n, kjer je 1) n spodnji rob A

2) n ': n'> n => n "ni spodnja meja točke A

vrednost: SupA = m je naslednje število: 1)  aA am

2) > 0 a  A, tudi a  a-

InfA = n je naslednje število: 1) 1)  aA an

2) > 0 a  A tudi A E a + 

izrek: Be-yake, neporozhnê, obdan z vrha brez lich R, ima natančen zgornji rob, samo z enim.

Dostavljeno:

Premaknimo se na numerično ravno črto številko m in zgornjo mejo A.

[M] = max ([a]: aA) [[m], [m] +1] A => [m] +1 je zgornji rob A

Vrzízok [[m], [m] +1] - razdeljen na 10 delov

m 1 = max: aA)]

m 2 = max, m 1: aA)]

m k = max, m 1 ... m K-1: aA)]

[[M], m 1 ... m K, [m], m 1 ... m K + 1/10 K] A => [m], m 1 ... m K + 1 / 10 K - zgornji rob A

Verjetno je m = [m], m 1 ... m K natančna zgornja meja in wow din:

:)K :)