Елементарна геометрия - Sholaster M.M. Признаци на паралелизъм са две прави линии. Силата на паралелните прави линии на Кути, вписани в колоната

Кути.

Основно разбиране.

kut- тази цифра, създадена от две разменни точки, които отиват от една точка.

топ кута- въпросът е, че има две алеи, в които се съхранява креватчето.

бисектриса- краят, който върви от върха на kut и удължава kut navpil.

rozgornuty kut- це кут, чиито страни лежат на една и съща площ; врата 180? и направо.

Прав кут- це кут, половината от отворения кът; врата 90 ?.

Гострий кут- це кут, което е по -малко от директно.

Глупав кут- це кут, който е по -директен, ейл по -малко изгорен.

Кутът разделя района на две части. Кожата на части се нарича плоско изрязване.

Плоските кути от задната страна се наричат допълнитековым.

Тъй като плоският кут е част от квадрата, тогава светът на градусите се нарича степен на света на zvychayny kut с тези страни.

Ако плосък кут разкрива плосък кут, тогава първата степен на света е 360 º - α, de α е степен на света на предварително плосък кут.

Ривни кути.

Tse kuti, които се губят при прилагане.

Сумижни кути.

Наричат ​​се две кути sumyТе имат една страна, която е лъскава, а другите страни на tsikh kutiv се състоят от допълнителни места за размяна.

За малки кути (реклама)і (cd) sum_zhny. Те имат страна дзагална и страни аі ° С- допълнителни промени.

теорема:

Сума от суми кутив пътища 180 º.

3 теореми за дестилация:

Ако има два кути ривни, тогава сумата от тях е кути ривни.

Ако кутът не се разраства, тогава степента на света е по -малка от 180 º.

Kut, sum_zhny с прав кут, е прав кут.

Вертикални кути.

Наричат ​​се две кути вертикална, Yakshho страни на един kut е с добавяне на размяна на страни. Вонята на стъблата с перетин две прави и не е притиснат надолу, върха назад и същата степен на света.

На малко кучи (A 1 B 1) и (A 2 B 2) вертикално. Странички A 2 и B 2 на другия kut е с допълнителни размени на страни A 1 и B 1 на първия kut.

теорема:

Вертикален кути пивн.

Централен кут.

централен разрезв кръг се нарича плосък кут с връх в центъра (фиг. 1).

Част от кръг, разтасована в средата на плосък разрез, т.нар дъгова кола, Vidpovidnoy централен ъгъл (на фиг. 1 дъга AB е дъгова колона).

света на степентадъгата на залога се нарича света на градусите на централната кута.

Кути, вписан в колоната.

Кут, чийто връх лежи върху числото, а страните пресичат линията, се наричат ще се впишем в коло(Фиг. 2).

мощност:

Кути с кросоувър две направо към третия.

При преливане направо аі бсичною ° СПотвърдете, за да видите кутив, тъй като малкият е номериран в цифри. Deyaki pari tsikh kutiv mayut специално име:
видподни кути: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

навхрест лежи кути: 3 и 5, 4 и 6;
едностранно кути: 4 и 5, 3 и 6.

Видео курс „Вземете пятирку“ включва всички необходими за успеха на EDI по математика за 60-65 точки. Ще увелича целия персонал с 1-13 професионален DIпо математика. Обърнете се и към проблема за Basic EDI в математиката. Ако искате да изградите DI за 90-100 точки, имате нужда от част 1 за 30 khvili и без извинения!

Подготвителен курс до EDI за 10-11 клас, както и за Vikladachiv. Всичко, от което се нуждаете, е да проверите част 1 ЕDI от математиката (първите 12 фабрични) и фабрична 13 (тригонометрия). А цената е 70 точки за ADI и без тях не можете без сто точки или човечност.

Необходима е цялата теория. Shvidki методи за virishennya, пасти и тайни на ADI. Роза на всички съответни части на част 1 до Банката на FIPI. Курсът ще увеличи скоростта на промяна до vimogaм ЄDI-2018.

Курсът е да отмъсти на 5 страхотни отбора, за 2,5 години кожа. Темата за кожата е дадена от нулата, просто и разбираемо.

Стотици сгради ЄDI. Текстове за произхода и теорията на образа. Лесно и лесно се запомня чрез алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, предварителен материал, Росебир всички видове сгради ЄDI. Стереометрия. Хитри решения на прийоми, кафяви шпаргалки, разработка на просторен uyav. Тригонометрия от нула - до края на 13. Разумно заместване на бизони. От друга страна, обяснението е ясно. Алгебра. Корен, стъпки и логаритми, функция и наследяване. База за ревизия на сгъваеми сгради от 2 части DI.

Храна 1.Яки кути се наричат ​​sumy?
Изглед.Две кути се наричат ​​суми, тъй като имат едната страна на спалнята, а другите страни на цих кутис са предварително разделящи се размени.
Има 31 кути на бебе (a 1 b) и (a 2 b) сума. Страната им b е обърната назад, а страните a 1 и a 2 е са добавени.

Храна 2.Доведете, че сумата от летните кутивни пътища 180 °.
Изглед. Теорема 2.1.Сума от летни кутивни пътища 180 °.
Доставено. Nekhai kut (a 1 b) и kut (a 2 b) - danі sumіzhny kuti (div. Fig. 31). Лъч b преминава между страни a 1 и 2 на разгънатия кут. Към сумата от kutiv (a 1 b) i (a 2 b) към разгънатия кути, т.е. 180 °. Необходимо е да го повдигнете.

Храна 3.Да се ​​каже, че ако има две кути ривни, тогава сумата от тях кути също е равна на нея.
Изглед.

теоремите 2.1 viplya, ако има две кути ривни, тогава сумата от тях кути ривни.
Предполага се, че kuti (a 1 b) и (c 1 d) нива. Ще трябва да ви информираме дали kuti (a 2 b) и (c 2 d) също са равни.
Сума от летни кутивни пътища 180 °. A 1 b + a 2 b = 180 ° и c 1 d + c 2 d = 180 °. Zvidsi, a 2 b = 180 ° - a 1 b і c 2 d = 180 ° - c 1 d. Така че yak kuti (a 1 b) і (c 1 d) нива, тогава няма да го приемем, а a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. Според силата на транзитивност на знака за равенство на следите, scho a 2 b = c 2 d. Необходимо е да го повдигнете.

Храна 4.Какъв kut се нарича директен (gostry, глупав)?
Изглед. Kut, scho dorіvnyuê 90 °, се нарича прав кут.
Кут, по -малък от 90 °, се нарича Гостим кут.
Лицето, по -голямо от 90 ° и по -малко от 180 °, се нарича глупаво.

Храна 5.Донесете, че kut, sumy с директно, е прав kut.
Изглед.От теоремите за сумата от обобщения с прав разрез, е прав разрез: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Храна 6.Яки кути се наричат ​​вертикални?
Изглед.Две кути се наричат ​​вертикални, подобно на страните на един кут е допълнителна размяна на страните.

Храна 7.Уверете се, че сте вертикален кути ривн.
Изглед. Теорема 2.2. Вертикален кути пивн.
Доставено. Nekhai (a 1 b 1) і (a 2 b 2) - дани вертикални кути (фиг. 34). Изрязването (a 1 b 2) е сумирано с изрязване (a 1 b 1) и с изрязване (a 2 b 2). Звучи според теоремата за сумата от летен кутив робимо висновок, който козен з кутив (a 1 b 1) i (a 2 b 2) добавя кут (a 1 b 2) към 180 °, така че кути (a 1 b 1) i (a 2 b 2) нива. Необходимо е да го повдигнете.

Храна 8.За да се подчертае, че когато има две прави, една от правите пътеки, тогава трите прави пътеки също са прави.
Изглед.Допустимо е прави AB и CD да преплитат една в точка O. Да предположим, че изрязаната AOD е 90 °. Така че, тъй като сумата от sumy kutiv пътища е 180 °, тогава можем да разпознаем, че AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. Kut COB вертикално kutku AOD, към това смърди. Тобто кут COB = 90 °. Kut COA е вертикален Kutku BOD, така че вонята на ривни. Тобто кут BOD = 90 °. В такъв ранг всички кути са равни на 90 °, така че вонята на всички е права. Необходимо е да го повдигнете.

Храна 9.Перпендикулярни ли се наричат ​​прави линии? Какъв е знакът на vikoristovu за отбелязване на перпендикулярността направо?
Изглед.Двете прави линии се наричат ​​перпендикулярни, тъй като вонята прелива под прав разрез.
Перпендикулярността на правите линии се обозначава с \ (\ perp \). Записът \ (a \ perp b \) гласи: "Линията a е перпендикулярна на права b".

Храна 10.За да стане ясно, че е възможно да се направи права точка през права линия, перпендикулярна на права линия, или само една.
Изглед. Теорема 2.3.Чрез дермалната линия е възможно да се начертае перпендикулярна линия и само една.
Доставено.Нека a - дадена права и A - дадена точка върху тях. Значително през a 1 една от правите линии a с кочана точка A (фиг. 38). Приблизително от размяната 1 разрез (a 1 b 1), пивни 90 °. Тоди е прав, като отмъщение b 1, ако е перпендикулярен на прав a.

Допустимо е линията да е права, да може да премине през точка А и да е перпендикулярна на правата а. По отношение на c 1, полулинията на правата линия, която лежи в същата полуправа с обмена b 1.
Изрежете (a 1 b 1) і (a 1 c 1), равен на кожата 90 °, в един участък от областта от обмена a 1. От размяната a 1 в дадената полуравнина е възможно да удължете само единия ръб, равен на 90 °. Няма да е права линия, която да премине през точка А и перпендикулярна на права а. Теоремата е попълнена.

Храна 11.Значи и перпендикулярът на права линия?
Изглед.Перпендикуляр на права линия се нарича права линия, перпендикулярна на права, която може да бъде една от нейните точки за пресичане. Tsey kinets vidrizka да се нарича предиперпендикулярно.

Храна 12.Обяснете защо стълбът е доказателство за protylezhny.
Изглед.Начин на доказване, както посочихме в теорема 2.3, се нарича доказателство за обратното. Tsey е начин за доказване на полярността в това, което е стабилно в началото, за разлика от факта, че е втвърдено от теоремата. По пътя на света, въртейки се по аксиоми и довеждайки теореми, стигаме до точката да контролираме или теории за ума, или такива с аксиоми, или теоремата, представена по -рано. По време на представянето ние сме силно visnovok, но нашето представяне не е вярно и това означава, че са верни теореми.

Храна 13.Кой се нарича бисектрисна кута?
Изглед.Бисектрисата на кут се нарича промин, който върви от върха на кута, минава между страните и удължава кут навипл.

Признаци на паралелизъм на две прави линии

Теорема 1. Дори да има две прави линии,

навхрест легнал кути пивни, або

vídpovídní kuti rívní, abo

сума от едностранни разрези на прага на 180 °, тогава

прав успореден(Фиг. 1).

Доставено. Сменяема с доказателство за падането 1.

Не тръгвайте, ако пресичате правите a и b със синя АВ от противоположната страна на легналия кути ривн. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Доказано, scho a || б.

Допустимо е правите a и b да не са успоредни. Тази воня се променя в точка deyak_y M и, от една и съща, една от разфасовките 4 или 6 ще се нарича маншет на триколка AVM. Не отивайте за стойността на ∠ 4 - името на триколка AVM, и ∠ 6 - вътрешно. С теоремите за извикването на триколката на vipliv, 4 е повече от ∠ 6, но да не прекалявате, това означава, че е прав и и 6 не може да се промени, защото вонята е паралелна.

Слидство 1. Две различни прави линии в областта, перпендикулярни на една и съща права, успоредна(Фиг. 2).

Уважение. Начинът, както са довели Vipadok 1 по теорема 1, се нарича метод за доказване на вида на древността или сведен до не-сръчност. Първото име е начин за отримав към онова, което по света трябва да се страхува да не се задуши, отвратително е (противопоставено) на това, което трябва да се донесе. Тези, които са били доведени до слепота, са призовани в резултат на факта, че растат в края на натрошена яхния, стигаме до слепота (до абсурд). Otrimannya такава visnovka zmushuє ни vidkinuti otroblenaya от избора на прием и да приемем тези, които ще трябва да бъдат доведени.

Завданя 1.Докато оставате прави, преминете през дадената точка М и успоредно на точката на правата линия а, но не преминете през точката М.

Решение. Проведено през точка М до права линия p перпендикулярно на права а (фиг. 3).

След това тя се изтегля през точка М до права линия b, перпендикулярна на права линия p. Правата линия b е успоредна на правата, както следва от теореми 1.

Показани са най -важните задачи на посетителите:
през точка, но не и да лежите на права линия, винаги можете да начертаете права успоредна линия.

Основната сила на паралелните прави линии е в настъпление.

Аксиома на успоредни прави линии. През дадена точка, да не лежи на дадена права линия, да премине само една права линия, успоредна на дадената.

Видими са действията на силата на паралелни прави линии, които са извлечени от аксиомите.

1) Ако една права линия прелива една от двете успоредни прави линии, тя прелива и иншу (фиг. 4).

2) Ако има две прави линии, успоредни на третата права, то вонята е успоредна (фиг. 5).

Теоремата е валидна и бърза.

Теорема 2. Ако две паралелни линии се пресичат с другата, тогава:

навихрест легнал кути ривни;

vіdpovіdnі kuti rіvnі;

сума от едностранни врати 180 °.

Слидство 2. Ако тя е права перпендикулярна на една от двете успоредни прави линии, то тя е перпендикулярна на една(Div. Fig. 2).

Уважение. Теорема 2 се нарича вихрова теорема 1. Теореми на Визновок 1 е теории на визновски 2. Но теореми на визнов 1 и теории на визновски 2. Не всяка теорема ще е визоротну, т.е.

Обяснимо при прилагането на теоремите за вертикалните кути. Теоремата qiu може да бъде формулирана по следния начин: ако две кути са вертикални, тогава вонята е равна. Теоремата за zvorotniy ihi беше използвана, както следва: ако има две кути ривни, тогава вонята е вертикална. И tse, zychayno, не е така. Две пивни кутане гушите са плетени, но са вертикални.

Приклад 1.Две успоредни прави линии, преобразуващи третата. Очевидно има разлика между два вътрешни едностранни пътя 30 °. Знай ци кути.

Решение. Нямате нищо против да видите бебета 6.

Под редакцията на В. П. Иваницкая - М.: Държавна образователна институция на Министерството на образованието на Руската федерация, 1959. - 272 стр.
изнудване(Директно) : egnnsholaster1959.djvu Предна 1 .. 11> .. >> Стъпка

Ако sum_zhnі kuti е ривни, тогава козен от тях се нарича директен кут. Задната страна се нарича перпендикулярна на права линия, одобрена от двете страни. Можете също така да кажете, че бисектрисата на отворената кута е перпендикулярна на права линия, одобрена от страните.

Теорема. Якшо кути са ривни, после ривни и суми с тях кути.

Хайде (h, k) = ^. (I, t) і най ^ (h !, K) і ^ (/ ", t) - привидно сходни кути (фиг. 20). В (I, три). С пълна русия, ракетите ^ (h, K) се появяват като изгорени (I, / "). Очевидно е, че ^ (h ", k) се появява в ^ (V, m), тоест ^ (H !, K) = ^ (V, m).

Теорема. Isnu bisectrix е подобна на kuta и преди същата.

Оставете ^ (A, k) видимо от разгънатата и вътрешна област на опуклеуса. Очевидно от двете страни на върха За ръбовете на ОА и ОВ (фиг. 21, а) и от същата точка А и Б. трикотник AOB A = ^ B (§ 8). Редувайки средата на C от AB до точка O, можем да разпознаем трицитите L OS и BOC Otzhe, AOC = VOC, а също и promin OS - бисектриса (h, k).

Ако (h, k) не е opucl (на фотьойлите, вътрешната област НЕ е засенчена), тогава зад предната част

6}
t ^

теорема yogo bisectrix е promin t, преди размяната /.

По отношение на триколките ACO и BCO, има също едно и също ^ scho ^ ACO = BCO1 T. E.

Хайде сега с едно завъртане ^ (p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB дисплей в

(P, q). CO лъчът се визуализира, когато tsom е наблизо. Така че hk ^ (p, t) = ^ lBCO, ^ BCO = ^ ACO і ^ ACO = = (q, t), след това (p, t) = ^ (q, t), т.е. (p, q).

Нехай / - бисектриса

(A, A) и G е добър знак, който върви от върха на кута и се намира във вътрешната му част. Ако G лежи близо до вътрешната област ^ (A, /), тогава ^ (A, / ")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Отже, ^ (А, Г)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Слайд 1. Има една или само една перпендикулярна към множеството прави линии, които излизат от дадената точка и лежат в множеството на квадрата, който е заобиколен от права линия.

Слидство 2. Половината от старите кутиви са равни на себе си.

Разбира се, ако ^ (A, A) = ^ (A ", A"), тогава isnyê rukh /, за което един от тях се показва в инший. За представената теорема техните бисектриси / и Г, с цял рус, човек също е виновен за това. Към това ^ (A, /) = ^ (A ", Γ).

Така че, тъй като всички разгорнути кути са ривни, тогава ще го заобиколим със следните две предложения: всички прави кути са равни на нас самите.

Правите a и A, които са зададени при надредени прави линии, се наричат ​​перпендикулярни (a ± b).

Изображение направо напред. Нека да лежим право, но лежим в района. Сравнението с целия pivploshini е значително чрез X и р. (Фиг. 22). Визмемо по права линия А

отидете от точка О. Според силата на 6 рухив (§ 7), има една единствена руша, която изглежда сама по себе си е h, а в образа на X под формата на jx. Всички точки от цялата борса във властта на 5 рухива се появяват в себе си. Всички точки на обмен k, които се добавят към правата линия h, могат да се появят сами.

Отже, предвид Русия, всички петна са прави и се появяват сами по себе си. Лесно, dal, bachiti, scho po

Vzzmemo сега насочете позата направо a.

Теорема. През точка, да не лежи на права линия, да премине една права линия, перпендикулярна на дадената права линия.

Доставено. Нека M - точка да лежи в права поза a (фиг. 23). Изправете и опънете областта, тъй като тя започва да върви направо и

точка M, в две области: върху областта X, до ave точката M, и върху областта jx. Когато се изобразява от права линия, точка M се нанася в точка M "на полуравнината jx. Така че точките M и M" лежат в другата половина-

stah, след това направо MM "и Chort 23

промяна в действие

точка М0, както при изобразяването, тя се появява сама по себе си. Изглежда, че права линия MM "се появява сама по себе си и че kuti / i 2, зададена от нея с права линия (раздел. Фиг. 23), се появява сама в тази.

равнината на контура jx се показва на същото място в областта X.

Да се ​​погледне сривът да се нарича изгледи от права линия.

От отвора на бисектрисата на отворената кута преминете през точка, лежаща на права а, винаги можете да начертаете права линия, перпендикулярна на права линия.

Това означава, че има и воня, както и воня, в допълнение към сумата на парите, след това MM "± a. Сега през M се чертае права линия, която преминава към права линия и в деяк точка Af0. се появяват в M "N0M0. Otz, ^ 3 = ^ i4. Но по силата на аксиома 1 (§ 2) точките M1 N0 и M" не лежат на една и съща права линия, тъй като сумата от изрезите е 3 и 4, тоест ^ MN0M ", а не е разкопчан кут. Изгледът от права линия MN0 НЯМА да бъде перпендикулярен на права а. права линия MM "е, в такъв ранг, в една права линия, перпендикулярна на a и преминаваща през точка M.