Характеристики положення і розсіювання. Характеристики розсіювання Дисперсія і її властивості Нерівність Чебишева. Суперфінішування, сутність процесу, область застосування. Вибір розмірів, способу кріплення брусків і їх редагування в процесах суперфінішування
характеристики розсіювання
Заходи розкиду вибірки.
Мінімум і максимум вибірки - це відповідно найменше і найбільше значення досліджуваної змінної. Різниця між максимумом і мінімумом називається розмахомвибірки. Всі дані вибірки розташовані в проміжку між мінімумом і максимумом. Ці показники як би окреслюють межі вибірки.
R№1 = 15,6-10 = 5,6
R №2 = 0,85-0,6 = 0,25
дисперсія вибірки(Англ. variance) і середньоквадратичне відхиленнявибірки (англ. standard deviation) Являють собою міру коливання змінної і характеризують ступінь розкиду даних навколо центру. При цьому середньоквадратичне відхилення є більш зручним показником в силу того, що має ту ж розмірність, що і власне досліджувані дані. Тому показник середнього квадратичного відхилення використовується поряд зі значенням середнього арифметичного вибірки для короткого опису результатів аналізу даних.
Вибіркову дисперсію при доцільніше вважати за формулою:
Стандартне відхилення обчислюється за формулою:
Коефіцієнт варіації є відносною мірою розсіювання ознаки.
Коефіцієнт варіації використовується і як показник однорідності вибіркових спостережень. Вважається, що якщо коефіцієнт варіації не перевищує 10%, то вибірку можна вважати однорідною, т. Е. Отриманої з однієї генеральної сукупності.
Т. к. Коефіцієнт варіації в обох вибірках, то вони є однорідними.
Вибірку можна уявити аналітично у вигляді функції розподілу, а так само у вигляді таблиці частот, що складається з двох рядків. У верхній строке- елементи вибірки (варіанти), розташовані в порядку зростання; в нижньому рядку записуються частоти варіант.
Частота варіанти - число, що дорівнює кількості повторень даної варіанти у вибірці.
Вибірка №1 «Матері»
Вид кривої розподілу
асиметріяабо коефіцієнт асиметрії (термін був вперше введений Пирсоном, 1895) є мірою несиметричності розподілу. Якщо асиметрія чітко відрізняється від 0, розподіл асиметричне, щільність нормального розподілусиметрична відносно середнього.
показник асиметрії(Англ. skewness) Використовується для того, щоб охарактеризувати ступінь симетричності розподілу даних навколо центру. Асиметрія може приймати як негативні, так і позитивні значення. Позитивне значення даного параметра вказує на те, що дані зміщені вліво від центру, негативне - вправо. Таким чином, знак показника асиметрії вказує на напрямок зміщення даних, тоді як величина - на ступінь цього зсуву. Асиметрія рівна нулю говорить про те, що дані симетрично сконцентровані навколо центру.
Оскільки асиметрія позитивна, отже, вершина кривої зміщується вліво від центру.
коефіцієнт ексцесу(Англ. kurtosis) Є характеристикою того, наскільки купчасто основна маса даних групується біля центру.
При позитивному ексцес - крива загострюється, при негативному - згладжується.
Крива згладжується;
Крива загострюється.
В описовій статистикою центральне місце займає оцінювання параметрів вибірки.
Точкове оцінювання параметрів розподілу
точкова оцінка- кількісна характеристика генеральної сукупності, функція від спостережуваних випадкових величин. Далі мова піде про точковому оцінюванні параметрів розподілу.
Розглянемо властивості точкових оцінок.
А) незміщеної оцінкоюпараметра θ називається статистична оцінка θ* , Математичне очікування якої дорівнює θ : М(θ* )= θ .
якщо М(θ* ) > θ (або М(θ* ) < θ ), То виникає систематична помилка(Невипадкова помилка, що спотворює результати вимірювань в одну сторону). Незміщеність оцінки є гарантією захисту від систематичних помилок.
Б) Однак несмещенная оцінка не завжди дає хороше наближення оцінюваного параметра. Дійсно, можливі значення θ* можуть бути сильно розпорошені навколо свого середнього значення (дисперсія D(θ* ) Може бути велика). Тоді знайдена по даній вибірці оцінка, наприклад θ* 1, може виявитися віддаленої від М(θ* ), А значить і від θ . Тому природним слідом за незміщеної, є вимога малості дисперсії.
ефективноюназивають оцінку, яка при даному обсязі вибірки має найменшу дисперсію.
В) При розгляді вибірок великого обсягу до статистичних оцінок ставиться вимога спроможності. заможноїназивають оцінку, яка при n → ∞за ймовірністю прагнути до оцінюваного параметру:
Наприклад, якщо дисперсія несмещенной оцінки прагнути до нуля при n → ∞,то така оцінка виявляється і заможної.
Перейдемо до оцінювання параметрів розподілу.
параметри розподілу- це його числові характеристики. Вони вказують, де в середньому розташовуються значення ознаки ( міра положення ), Наскільки значення мінливі ( міра розсіювання), іхарактерізуют відхилення розподілу від нормального (Міра форми) . В реальних умовахдослідження ми оперуємо НЕ параметрами, а їх наближеними значеннями - оцінками параметрів, які є функціями від спостережуваних величин. Зауважимо, що чим більше вибірка, тим ближче може бути оцінка параметра до його істинного значення.
нехай x 1, x 2, ... x доваріаційний ряд і n 1, n 2, ... n до- частоти відповідних варіант, n- обсяг вибірки.
показники стану
Якщо дано інтервальний статистичний розподіл, то вибіркова середня визначається для відповідних інтервалів.
Де - середина інтервалу.
Вибіркова середня є несмещенной і заможної оцінкою.
медіана- значення ознаки, що припадає на середину впорядкованого за зростанням варіаційного ряду. Якщо ряд складається їх (2 N+1) варіант, то медіаною є ( N+1) -е значення варіанти, якщо ряд складається з 2 Nваріант, то медіана дорівнює напівсумі N- го і ( N+1) - ого значень варіант.
Мода -варіант з найбільшою частотою. Якщо таких варіант кілька (у них одна і та ж частота), то розподіл називають полімодальний .
показники варіації
розмах -різниця між найбільшим і найменшим значеннями варіант.
вибіркова дисперсія(Оцінка дисперсії) - характеристика розсіяння спостережуваних значень кількісної ознаки вибірки навколо свого середнього значення. Позначимо D в - вибіркову дисперсію
Можна показати, що М (D в) = (n / (n-1)) D в. Тому виправлена (несмещенная) дисперсія, яку будемо позначати через, дорівнює
Крім вибіркової дисперсії для характеристики розсіювання користуються зведеної характеристикою - середнім квадратичним відхиленням (стандартом) σ
вибіркова асиметрія - характеристика симетричності розподілу. Позначається. Для симетричних розподілів (в тому числі для нормального розподілу) асиметрія дорівнює нулю. Якщо, то «довга частина» кривої розподілу розташована праворуч від математичного очікування, якщо, то зліва від математичного очікування (рис.2.).
Вибірковий ексцес -характеристика «підйому, крутості» кривої розподілу. Позначається. Для нормального розподілу ексцес дорівнює нулю. При, то крива має більш високу і гостру вершину, якщо, то крива має нижчу вершину, ніж нормальна крива (рис.1).
варіаційний ряд
У генеральній сукупності досліджується деякий кількісний ознака. З неї випадковим чином витягується вибірка обсягу n, Тобто число елементів вибірки дорівнює n. На першому етапі статистичної обробки виробляють ранжуваннявибірки, тобто упорядкування чисел x1, x2, ..., xnза зростанням. Кожне бачимо значення xiназивається варіант. частота mi- це число спостережень значення xiу вибірці. Відносна частота (частость) wi- це відношення частоти miдо обсягу вибірки n: wi = mi / n.
При вивченні варіаційного ряду також використовують поняття накопиченої частоти і накопиченої частости. нехай xдеяке число. Тоді кількість варіантів ,
значення яких менше x, Називається накопиченої частотою: miнак = mi для xi
Ознака називається дискретно варійованим, якщо його окремі значення (варіанти) відрізняються один від одного на деяку кінцеву величину (зазвичай ціле число). Варіаційний ряд такої ознаки називається дискретним варіаційним рядом.
Числові характеристики варіаційного ряду
Числові характеристики варіаційних рядів обчислюють за даними, отриманими в результаті спостережень (статистичних даних), тому їх називають також статистичними характеристиками або оцінками. На практиці часто виявляється достатнім знання зведених показників варіаційних рядів: середніх або характеристик положення (центральної тенденції); характеристик розсіювання або варіації (мінливості); характеристик форми (асиметрії і крутості розподілу).
Середня арифметична характеризує значення ознаки, навколо якого концентруються спостереження, тобто центральну тенденцію розподілу.
гідність медіанияк заходи центральної тенденції полягає в тому, що на неї не впливає зміна крайніх членів варіаційного ряду, якщо будь-який з них, менший медіани, залишається менше її, а будь-який, більший медіани, продовжує бути більше її. Медіана краще середньої арифметичної для ряду, у якого крайні варіанти в порівнянні з іншими виявилися надмірно великими або малими. особливість модияк заходи центральної тенденції полягає в тому, що вона також не змінюється при зміні крайніх членів ряду, тобто має певну
характеристики поло
Середнє арифметичне (вибіркове середнє)
xв = i = 1nmixin
Мода
Mo = xj,якщо mj = mmax
Me = xk + 1,якщо n = 2k + 1;
Me = (xk + xk + 1) / 2,якщо n = 2k
характеристики розсіювання
вибіркова дисперсія
Dв = i = 1nmixixв2n
Вибіркове середнє квадратичне відхилення
σв = Dв
виправлена дисперсія
S2 = nn1Dв
Виправлене середнє квадратичне відхилення
Коефіцієнт варіації
V = σвxв ∙ 100%
середнє абсолютне
відхилення
θ= i = 1nmixixвn
варіаційний розмах
R = xmax xmin
квартильное розмах
Rкв = Qв - Qн
характеристики форми
коефіцієнт асиметрії
As = i = 1nmixixв3nσв3
коефіцієнт ексцесу
Ek = i = 1nmixixв4nσв43
стійкістю до варіації ознаки.Але найбільший інтерес представляють заходи варіації (розсіювання) спостережень навколо середніх величин, зокрема, навколо середньої арифметичної. До таких оцінок відносяться вибіркова дисперсіяі середнє квадратичне відхилення. Вибіркова дисперсія має один суттєвий недолік: якщо середнє арифметичне виражається в тих же одиницях, що і значення випадкової величини, То, згідно з визначенням, дисперсія виражається вже в квадратних одиницях. Цього недоліку можна уникнути, якщо використовувати в якості запобіжного варіації ознаки середнє квадратичне відхилення. При малих обсягах вибірки дисперсія є зміщеною оцінкою, тому при обсягах n≤30 використовують виправлену дисперсіюі виправлене середнє квадратичне відхилення. Інший часто використовуваною характеристикою міри розсіювання ознаки є коефіцієнт варіації. Перевагою коефіцієнта варіації є те, що це безрозмірна характеристика, що дозволяє порівнювати варіювання несумірних
варіаційних рядів. Крім того, чим менше значення коефіцієнта варіації, тим однорідніше сукупність по досліджуваному ознакою і типовіше середня. Сукупності з коефіцієнтом варіації V> 3035% прийнято вважати неоднорідними.
Поряд з дисперсією використовують і середнє абсолютне відхилення. Перевагою середнього лінійного відхилення є його розмірність, тому що виражається в тих же одиницях, що і значення випадкової величини. Додатковим і простим показником розсіювання значень ознаки є квартильное розмах.Квартильное розмах включає в себе медіану і 50% спостережень, що відображають центральну тенденцію ознаки, виключаючи найменші і найбільші значення.
До характеристик форми відносять коефіцієнт асиметрії і ексцес. якщо коефіцієнт асиметріїдорівнює нулю, то розподіл має симетричну форму. Якщо розподіл асиметрично, одна з гілок полігону частот має більш пологий спуск, ніж інша. Якщо асиметрія правостороння, то справедливо нерівність: xв> Me> Mo,що означає переважне поява в розподілі більш високих значень ознаки .
Якщо асиметрія лівостороння, то виконується нерівність:xв
ексцесє показником крутості (гостровершинності) варіаційного ряду в порівнянні з нормальним розподілом. Якщо ексцес позитивний, то полігон варіаційного ряду має більш крутий шпиль. Це говорить про скупчення значень ознаки в центральній зоні ряду розподілу, тобто про переважне появі в даних значень, близьких до середньої величини. Якщо ексцес від'ємний то полігон має більш пологу вершину в порівнянні з нормальною кривою. Це означає, що значення ознаки не концентруються в центральній частині ряду, а досить рівномірно розсіяні по всьому діапазону від мінімального до максимального значення. Чим більше абсолютна величина ексцесу, тим істотніше розподіл відрізняється від нормального.
У нас найбільша інформаційна база в рунеті, тому Ви завжди можете знайти походіть запити
Ця тема належить розділу:
Поверхневе пластичне деформування (ППД)
Шпаргалки на іспит. Деталі машин, методи поверхневого пластичного деформування (ППД). відповіді
До цього матеріалу відносяться розділи:
Явища, що відбуваються в поверхневому шарі деталі при обробці ППД, механізм зміцнення
Якість поверхні, що отримується при обкатуванні роликовим інструментом. Схема процесу, величина тиску, кратність застосування деформуючий сили, технологічне оснащення в процесах обкатування кульовим інструментом.
Якість поверхні, що отримується при обкатуванні кульовим інструментом. Схема процесу, величина тиску, кратність застосування деформуючий сили, технологічне оснащення в процесах обкатування кульовим інструментом.
Формоутворення мікропрофілю поверхні при обробці ковзаючим індентором, його призначення, технологічне оснащення в процесах вібрацііонной зміцнюючої обробки, область застосування.
Формоутворення мікропрофілю поверхні при обробці обертовим індентором, його призначення, технологічне оснащення в процесах вібраційної зміцнюючої обробки, область застосування.
Який вплив робить кут сітки рисок абразивних зерен бруска на продуктивність процесу і якість оброблюваної поверхні при суперфінішуванні? Як налаштувати технологічне оснащення на отримання певного кута сітки рисок?
Як забезпечити отримання системи паралельних каналів і правильну сітку каналів при обробці ковзаючим індентором в процесах ППД? Порівняльна характеристика цих сіток каналів і їх вплив на експлуатаційні властивості поверхонь деталей машин.
Якими технологічними методами забезпечується якість поверхневого шару деталі на обробному етапі обробки? Наведіть їх порівняльну характеристику. Критерії вибору певного методу для вирішення конкретної технічної задачі.
Виброударной обробка, сутність процесу, область застосування, технологічне оснащення.
Суперфінішування, сутність процесу, область застосування. Вибір розмірів, способу кріплення брусків і їх редагування в процесах суперфінішування.
Класифікація методів поверхневого пластичного деформування (ППД), порівняльна характеристика і особливості їх застосування. Технологічне оснащення процесів ППД.
Поясніть терміни: опорна довжина профілю, опорна крива профілю поверхні, наведіть приклади мікрогеометрії поверхонь, отримані різними технологічними методами і методику оцінки їх несучої здатності.
Жорсткий і пружний контакт в процесах ППД, і його технологічне забезпечення. Вплив виду контакту на якість поверхневого шару.
Чому для підвищення експлуатаційних параметрів деталей застосовують вібраційне пластичне деформування? Порівняйте його з традиційними методами обкатування і вигладжування без вібрацій. Характеристика технологічного оснащення цих порівнюваних методів
Явища, що відбуваються в поверхневому шарі деталі при обробці ППД, механізм формування залишкових напружень.
Поверхневе і об'ємне дорнованіє отворів, сутність процесу, область застосування, технологічне забезпечення дорнування.
Порівняльна характеристика методів шліфування: швидкісне; силове; поєднане; інтегральне; зміцнюючі.
Поняття експерименту. Помилки вимірів: промахи, систематичні, випадкові. Схожі матеріали: Особливості вивчення теми «Алгоритми» в початковій школі з застосування комп'ютерних навчальних програм
Курсова робота напрям підготовки Педагогічна освіта. Мета даної роботи полягає в тому, щоб виявити і довести необхідність і ефективність вивчення алгоритмізації в початковій школі із застосуванням комп'ютерних навчальних програм.
Топографічні карти універсального призначення
Реферат. Топографічні фотокарт суші та акваторії. Зарубіжні Топографічні карти
Естетика (Аристотель і Платон)
Аристотель, теорії мимезиса, принцип пропорційності людини і прекрасного. Музична естетика, пифагорейская естетика, Музично-математична гармонія. Ідеалістична естетика Платона
Система застосування добрива в сівозміні
Курсовий проект агрономічного факультету. Кафедра агрохімії і ґрунтознавства
Енергоефективність в будівництві. теплова сушка
Частина курсового проекту. Теплова економічність сушильних установок. Повітряні завіси.
Для вибірки можна визначити ряд числових характеристик, які аналогічні основним числовим характеристикам випадкових величин в теорії ймовірностей (математичне очікування, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, мода, медіана) і є в певному сенсі (який буде ясний далі) їх наближеним значенням.
Нехай дано статистичний розподіл вибірки обсягу nдля частот і відносних частот:
|
x i |
x 1 |
x 2 |
x k |
|
|
n i |
n 1 |
n 2 |
n k |
|
x i |
x 1 |
x 2 |
x k |
|
|
w i |
w 1 |
w 2 |
w k |
Якщо внести множник під знак суми, то отримаємо формулу для вибіркового середнього через відносні частоти:
.
Відзначимо, що в разі інтервального ряду вибіркове середнє обчислюється за тими ж формулами, якщо в якості чисел х 1
, ..., х kвзяти середини інтервалів: 
,
… ,
.
вибіркової дисперсієюназивається середнє арифметичне квадратів відхилень значень вибірки від їх вибіркового середнього:
Знову вносячи множник під знак суми, отримаємо формулу для вибіркової дисперсії через відносні частоти:
Нескладні перетворення приводять до більш зручною формулою для обчислення вибіркової дисперсії
,
де є вибіркове середнє квадрата досліджуваної випадкової величини, тобто
Якщо вибірка представлена інтервальним статистичним рядом, то формули для вибіркової дисперсії залишаються ті мі ж, де, як правило, в якості чисел х 1
, ..., х kберуться середини інтервалів: 
,
… ,
.
Вибірковим середнім квадратичним відхиленнямназивається квадратний корінь з вибіркової дисперсії
.
розмахом варіації Rназивається різниця між максимальним і мінімальним значенням у вибірці. Якщо варіанти у вибірці ранжовані (розміщені в порядку зростання), то
.
Коефіцієнт варіаціївизначається за формулою
.
модою М проваріаційного ряду називається варіант, який має найбільшу частоту (або відносну частоту).
медианой М еваріаційного ряду називається число, яке є його серединою. Для дискретного ряду з непарним числом варіант медіана дорівнює його серединному варіанту. Якщо ж число варіант парне, то Медіна дорівнює середньому (тобто напівсумі) двох серединних варіант.
До основних статистичних характеристик ряду вимірювань (варіаційного ряду) відносяться характеристики положення (середні показники, або центральна тенденція вибірки); характеристики розсіювання (варіації, або коливання) і характеристики формираспределенія.
До характеристикам положеннявідносяться середнє арифметичне значення (середнє значення), мода і медіана.
До характеристик розсіювання(Варіації, або коливання) відносяться: розмах варіації, дисперсія, середньоквадратичне (стандартне) відхилення, помилка середньої арифметичної (помилка середньої), коефіцієнт варіації і ін.
До характеристик формивідносяться коефіцієнт асиметрії, міра скошеності і ексцес.
51. Оцінка параметрів генеральної сукупності. Точкова і інтервальна оцінка. Довірчий інтервал. рівень значущості
Оцінка параметрів генеральної сукупності
Існують точкові і інтервальні оцінки генеральних параметрів.
точкової одним числом. До таких оцінок відносяться, наприклад,
Для того щоб статистичні оцінки давали «хороші» наближення оцінюваних параметрів, вони повинні бути:
незміщеними;
ефективними;
заможними.
Оцінка називається несмещенной, якщо математичне сподівання її вибіркового розподілу збігається зі значенням генерального параметра.
точкова оцінканазивається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію вибіркового розподілу в порівнянні з іншими аналогічними оцінками, тобто виявляє найменшу випадкову варіацію.
Точкова оцінка називається спроможною, якщо при збільшенні обсягу вибіркової сукупності вона прагнути до величини генерального параметра.
наприклад,вибіркова середня є заможна, Незміщена Оцінка генеральної середньої. Для вибірки з нормальною генеральної сукупності ця оцінка є також і ефективною.
При вибірці малого обсягу точкова оцінка може значно відрізнятися від оцінюваного параметра, тобто приводити до грубих помилок. З цієї причини при невеликому обсязі вибірки слід користуватися інтервальними оцінками.
інтервальногоназивають оцінку, яка визначається двома числами– кінцями інтервалу– довірчого інтервалу.
Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.
Для оцінки генерального параметра за допомогою довірчого інтервалу необхідні три величини:
Наприклад, довірчий інтервал для генеральної середньої знаходиться за формулою: при рівні значущості 
.
Довірчий інтервал- термін, який використовується в математичній статистиці при інтервального оцінкою статистичних параметрів, більш кращою при невеликому обсязі вибірки, ніж точкова.
рівень значущості - це ймовірність того, що ми вважали відмінності істотними, а вони насправді випадкові.
Коли ми вказуємо, що відмінності достовірні на 5% -му рівні значущості, або при р< 0,05 , То ми маємо увазі, що ймовірність того, що вони все-таки недостовірні, становить 0,05.
Коли ми вказуємо, що відмінності достовірні на 1% -му рівні значущості, або при р< 0,01 , То ми маємо на увазі, що ймовірність того, що вони все-таки недостовірні, становить 0,01.
Якщо перевести все це на більш формалізована мова, то рівень значимості - це ймовірність відхилення нульової гіпотези, в той час як вона вірна.
Помилка, що складається в тій, що ми відхилили нульову гіпотезу, в той час як вона вірна, називається помилкою 1 роду. (Див. Табл. 1)
Табл. 1. Нульова і альтернативні гіпотези і можливі стани перевірки.
Імовірність такої помилки зазвичай позначається як α. По суті, ми повинні були б вказувати в дужках не р < 0,05 або р < 0,01, а α < 0,05 або α < 0,01.
Якщо ймовірність помилки - це α , То ймовірність правильного рішення: 1-α. Чим менше α, тим більша ймовірність правильного рішення.
Історично склалося так, що в психології прийнято вважати нижчим рівнем статистичної значимості 5% -ий рівень (р ≤ 0,05): достатнім - 1% -ий рівень (р ≤ 0,01) і вищим 0,1% -ий рівень ( р≤0,001), тому в таблицях критичних значень зазвичай наводяться значення критеріїв, що відповідають рівням статистичної значущості р ≤ 0,05 і р ≤ 0,01, іноді - р≤0,001. Для деяких критеріїв в таблицях вказано точну рівень значущості їх різних емпіричних значень. Наприклад, для φ * = 1,56 р = О, 06.
До тих пір, однак, поки рівень статистичної значущості не досягне р = 0,05, ми ще не маємо права відхилити нульову гіпотезу. Ми будемо дотримуватися наступного правила відхилення гіпотези про відсутність відмінностей (Але) і прийняття гіпотези про статистичну достовірність відмінностей (Н 1).
Характеристики положення дають усереднене уявлення про характерні значеннях, прийнятих випадковими величинами. Інформації в цих характеристиках тим більше, чим менші відхилення від них можуть спостерігатися в реальному експерименті. Показники, що описують можливі відхилення значень випадкової величини від «середніх», називаються характеристиками розсіювання. До них відносяться дисперсія, середньоквадратичне відхилення, серединне відхилення, коефіцієнт варіації і деякі інші. 2.1. Дисперсія і її властивості Найважливішою з них є дисперсія. Дисперсією випадкової величини £ (позначення # [£]) називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини (від свого середнього Відзначимо деякі властивості дисперсії. Використовуючи властивості математичного сподівання, отримуємо Відзначимо, що якщо випадкові величини - незалежні, то з властивості 3 математичного очікування стала помітно меншою, що і вказане властивість виглядає так: 6. якщо д ^ (х) - узагальнена щільність розподілу випадкової величини f, то £> [£] може бути обчислена з співвідношення Характеристики розсіювання Дисперсія і її властивості Нерівність Чебишева зокрема, якщо £ - безперервна випадкова величина з щільністю ж), то якщо ж £ - дискретна випадкова величина з рядом розподілу Приклад t (дисперсія бернулліевой випадкової величини). Нехай (- беонулліева випадкова величина,. У відповідність із співвідношенням (4), отримуємо (М = р) Приклад 2 (дисперсія біноміальної випадкової величини). Якщо £ - Біноміальна з параметрами (п, р), то, як було зазначено вище, (подана в вигляді де - незалежні однаково розподілені бернулліеви з параметром р випадкові величини. Тому (властивість дисперсії 5) Одночасно доведено комбинаторное тотожність Приклад 3 (дисперсія рівномірної на (і, випадкової величини). Пусто Маємо Характеристикою розсіювання, тісно пов'язаної з дисперсією, є середньоквадратичне відхилення випадкової величини ". Володіючи тим же якісним наповненням (утримуючи в собі ту ж інформацію), що і дисперсія, середньоквадратичне відхилення має ту перевагу, що вимірюється в тих же одиницях, що і розглянута випадкова величина. Відзначимо, що з властивостей дисперсії з очевидністю випливає: якщо тільки - незалежні. На закінчення зазначимо, що якщо у випадкової величини £ існують то можна побудувати випад йную величину £, що володіє тими ж властивостями, що і £, але має стандартні числові характеристики: М = 0 і D = 1. Досить покласти Перехід від (до £ - т носить назву центрування випадкової величини а перехід від- нормування. Таким чином, співвідношення (6) описує процедуру нормування і центрування випадкової величини Очевидно, що центрування) не змінює дисперсії, в той час як нормування, що носить характер масштабного перетворення, змінює математичне очікування в про раз. 2.2. Нерівність Чебишева З визначення дисперсії (1) ясно, що вона покликана якісно описувати розсіювання значень випадкової величини щодо математичного очікування. Точний імовірнісний сенс цього опису дається нерівністю Чебишева, яке ми тут розглянемо. Теорема. Нехай випадкова величина £ володіє математичним очікуванням А / (£ | = т і дисперсією /? (£) = А2. Тоді яке б не було е> Про Розглянемо допоміжну випадкову величину г /, задану співвідношенням Зауважимо, що і тому За теоремою про математичне очікуванні функції від випадкової величини отримуємо звідки або чим і завершується доказ. Відзначимо, що нерівність (7) часто використовується в еквівалентній формі получающейся з (7) застосуванням очевидного співвідношення нерівність Чебишева показує, що чим менше дисперсія, тим рідше значення випадкової величини £ «сильно »(більше ніж на е) відхиляються від середнього т. При фіксованій дисперсії ймовірності відхилень на величину, більшу, ніж ті, тим менше, чим більше е. Нерівність (7) універсально. Воно не пред'являє ніяких вимог до характеру розподілу випадкової величини f - досить існування т і а. В силу своєї універсальності воно малоинформативно кількісно - для розумних значень е оцінки ймовірностей вкрай фуби. Пр имер. Для нормальної випадкової величини з параметрами (0, 1) маємо Характеристики розсіювання Дисперсія і її властивості Нерівність Чебишева в той час як нерівність Чебишева дає що вірно, але тривіально. Для цієї ж випадкової величини при е = 3 точне значення ймовірності, а співвідношення (8) призводить до оцінки яка вже значно кращою за попередню. Незважаючи на досить грубий характер оцінок (7) - (8), без додаткових припущень про характер розподілу випадкової величини нерівність Чебишева, як показує наступний приклад, поліпшити не можна - воно точное1 *. Приклад. Нехай (-діскретная випадкова величина, що приймає значення можливостями відповідно. Легко бачити, що. Покладемо е = I і знайдемо значення ймовірності Маємо Нерівність (7) в цій ситуації дає оцінку яка збігається з точним значенням оцінюваної ймовірності. 2.3. Інші характеристики розсіювання З інших характеристик розсіювання, часто використовуваних в додатках, відзначимо коефіцієнт варіації і серединне відхилення (середнє арифметичне відхилення). Нехай у випадкової величини £ існує А / [£) = m і = О2. Коефіцієнтом варіації випадкової величини £ називається величина З (9) легко побачити, що описує розсіювання випадкової величини £ в частках по відношенню до середнього. Як абсолютний показник розсіювання коефіцієнт варіації не дуже зручний, проте для спільно зосереджених випадкових величин (тобто мають однакові математичні очікування) він дозволяє ефективно порівнювати діапазони зміни. Нехай у випадкової величини £ існує Серединний відхиленням Серединне відхилення (/ [£] якісно має таке ж значення, що і среднеква-дратіческос відхилення - чим більше серединне відхилення, тим більше розсіювання, чим менше серединне відхилення - тим менше розсіювання. В тому сенсі, що існує випадкова величина для якої в нерівностях (7) - (8) при деякому е досягається знак рівності. для конкретних класів розподілів зв'язок між цими показниками може бути встановлена, проте в загальному випадку зручних для використання на практиці співвідношень між U і а немає. приклад 1. Нехай (- нормально розподілена випадкова величина. Тоді В цьому випадку приклад 2. Нехай (= Л [-о, про | - рівномірно розподілена випадкова величина. Тоді U = а / 2. Характеристики розсіювання Дисперсія і її властивості Нерівність Чебишева Відзначимо , що і в цьому випадку Помічене властивість U невипадково-воно має місце для будь-яких випадкових величин (звичайно, що володіють дисперсією). Теорема. Якщо у випадкової велич іни £ існує D £ = А2, то М У нерівності Коші-Буняковського (властивість 6 математичного очікування) покладемо Ь Тоді звідки