Geometri Dasar - Sholaster M.M. Tanda paralelisme adalah dua garis lurus. Kekuatan garis lurus sejajar Kuti, tertulis pada warna

kuti.

Pemahaman dasar.

kut- Angka ini, diatur oleh dua simpang susun, scho pergi dari satu titik.

kuta atas- intinya ada dua promenade, yang menyimpan cot.

bisektris- ujung, yang memanjang dari atas kut dan memanjangkan kut navpil.

rozgornuty kut- tse kut, sisi-sisinya terletak di area yang sama; pintu 180? dan lurus.

Kut lurus- tse kut, setengah dari kut terbuka; pintu 90?.

Gostriy Kut- tse kut, yang kurang dari langsung.

kut bodoh- tse kut, yang lebih langsung, ale kurang berkobar.

Kut membagi area menjadi dua bagian. Kulit bagian-bagiannya disebut potongan datar.

Kuti datar dari sisi belakang disebut dodatkovym.

Karena kut datar adalah bagian dari bujur sangkar, maka dunia derajat disebut dunia derajat kut zvychayny dengan sisi-sisi ini.

Jika kut datar mengungkapkan kut datar, maka derajat pertama dunia adalah 360 - , de adalah derajat dunia kut pra-datar.

Rivni kuti.

Tse kuti, yang hilang saat diterapkan.

Sumіzhny kuti.

Dua kuta disebut sumy, Karena mereka memiliki satu sisi sedang tidur, dan sisi lain dari kutiv tsikh terdiri dari simpang susun dodatkovy.

Untuk kuti kecil (iklan)і (CD) sum_zhny. Mereka punya sisi D zagalnaya, dan sisi Aі C- perubahan tambahan.

dalil:

Jumlah jalan sumy kutiv 180 .

3 teorema distilasiє:

Jika ada dua kuti rivni, maka jumlah keduanya adalah kuti rivni.

Jika kut tidak berkobar, maka derajat dunia kurang dari 180 .

Kut, sum_zhny dengan kut lurus, kut lurus.

Kuti vertikal.

Dua kuta disebut vertikal, Yakshho sisi satu kut dengan simpang susun dodatkovy dari sisi. Bau busuk batang dengan peretin dua lurus dan tidak meringkuk, bagian belakang atas dan derajat yang sama dunia.

Pada sedikit kuchi (A 1 B 1) dan (A 2 B 2) vertikal. Sisi A 2 dan B 2 dari kut lainnya dengan tambahan simpang siur dari sisi A 1 dan B 1 dari kut pertama.

dalil:

Kuti pivni vertikal.

Kut tengah.

potongan tengah dalam lingkaran disebut kut datar dengan bagian atas di tengah (Gbr. 1).

Bagian dari lingkaran, roztasovana di tengah potongan datar, disebut arc cola, sudut tengah Vidpovidnoy (pada Gambar. 1 busur AB tiang busur).

dunia gelar busur pancang disebut dunia derajat kuta pusat.

Kuti, tertulis di colo.

Kut, yang bagian atasnya terletak pada angka, dan sisi-sisinya melintasi garis, disebut kita akan masuk ke dalam colo(Gbr. 2).

kekuasaan:

Kuti dengan crossover dua langsung ke yang ketiga.

Saat meluap lurus Aі B sichnoyu C Konfirmasi untuk melihat kutiv, karena si kecil diberi nomor. Deyaki pari tsikh kutiv mayut nama khusus:
vіdpovіdnі kuti: 1 5, 4 8, 2 6, 3 7;

navkhrest berbohong kuti: 3 5, 4 6;
kuti satu sisi: 4 5, 3 6.

Kursus video "Ambil p'yatirku" mencakup semua yang diperlukan untuk keberhasilan EDI dalam matematika untuk 60-65 poin. Saya akan menambah semua staf 1-13 profesional DI oleh matematika. Pergi juga untuk masalah EDI Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin membangun DI untuk 90-100 poin, Anda memerlukan bagian 1 untuk 30 khvili dan tanpa pengampunan!

Kursus persiapan hingga EDI untuk kelas 10-11, serta untuk Vikladachiv. Yang Anda butuhkan hanyalah memeriksa bagian 1 DI dari matematika (12 pabrik pertama) dan pabrik 13 (trigonometri). Dan harganya adalah 70 poin untuk ADI, dan tanpa mereka Anda tidak dapat melakukannya tanpa seratus poin, atau kemanusiaan.

Semua teori diperlukan. Metode Shvidki virishennya, pasta dan rahasia ADI. Mawar dari semua bagian yang relevan dari Bagian 1 ke Bank FIPI. Kursus ini akan meningkatkan tingkat perubahan ke vimogam DI-2018.

Kursusnya adalah untuk membalas dendam pada 5 tim hebat, dalam 2,5 tahun untuk kulit. Tema kulit diberikan dari awal, cukup zrazumіlo.

Ratusan bangunan DI. Teks asal dan teori imperialitas. Mudah dan mudah diingat oleh algoritma pemecahan masalah. Geometri. teori, materi sebelumnya, Rosebir semua jenis bangunan DI. Stereometri. Solusi priyomi yang rumit, lembar contekan cokelat, pengembangan uyav yang luas. Trigonometri dari nol - hingga akhir 13. Substitusi bison yang masuk akal. Di sisi lain, lipatan penjelas harus dipahami. Aljabar. Root, langkah dan logaritma, fungsi dan warisan. Dasar untuk revisi bangunan lipat 2 bagian DI.

Makanan 1. Yaki kuti disebut sumy?
Melihat. Dua kuta disebut summous, karena mereka memiliki satu sisi kamar tidur, dan sisi lain dari tsikh kutis adalah simpang susun dodatkovy.
Ada 31 kuti per bayi (a 1 b) dan (a 2 b) jumlah. Sisi b mereka mundur, dan sisi a 1 dan a 2 sudah jadi.

Makanan 2. Bawa, bahwa jumlah jalan kutiv musim panas 180 °.
Melihat. Teorema 2.1. Jumlah jalan kutiv musim panas 180 °.
Terkirim. Nekhai kut (a 1 b) kut (a 2 b) - danі sumіzhny kuti (div. Gbr. 31). Balok b melewati antara sisi a 1 dan a 2 dari kut yang tidak dilipat. Jumlah total kutiv (a 1 b) (a 2 b) ke kuti tangan terbuka, yaitu 180 °. Itu perlu untuk mengangkatnya.

Makanan 3. Untuk mengatakan bahwa jika ada dua kuti rivni, maka jumlah dari mereka kuti juga sama dengan itu.
Melihat.

teorema 2.1 viplya, jika ada dua kuti rivni, maka jumlah keduanya adalah kuti rivni.
Seharusnya, kuti (a 1 b) (c 1 d) . Kami perlu memberi tahu Anda jika kuti (a 2 b) dan (c 2 d) juga sama.
Jumlah jalan kutiv musim panas 180 °. A 1 b + a 2 b = 180 ° c 1 d + c 2 d = 180 °. Zvidsi, a 2 b = 180 ° - a 1 b c 2 d = 180 ° - c 1 d. Jadi yak kuti (a 1 b) (c 1 d) , maka kita tidak akan menerimanya, melainkan a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. Menurut kekuatan transitivitas tanda persamaan jejak, scho a 2 b = c 2 d. Penting untuk mengangkatnya.

Makanan 4. Apa kut yang disebut langsung (gostry, bodoh)?
Melihat. Kut, scho dorіvnyuє 90 °, disebut kut lurus.
Kut, kurang dari 90 °, disebut Gostim Kut.
Coot, lebih besar dari 90 ° dan kurang dari 180 °, disebut bodoh.

Makanan 5. Bawa, kut itu, sumy dengan langsung, kut lurus.
Melihat. Dari teorema tentang jumlah ringkasan dengan potongan lurus, potongan lurus: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Makanan 6. Yaki kuti disebut vertikal?
Melihat. Dua kuta disebut vertikal, seperti sisi satu kuta tambahan simpang susun sisi.

Makanan 7. Pastikan bahwa Anda adalah kuti rivn vertikal.
Melihat. Teorema 2.2. Kuti pivni vertikal.
Terkirim. Nekhai (a 1 b 1) (a 2 b 2) - dany vertikal kuti (gbr. 34). Potongan (a 1 b 2) dijumlahkan dengan potongan (a 1 b 1) dengan potongan (a 2 b 2). Kedengarannya sesuai dengan teorema tentang jumlah musim panas kutiv robimo visnovok, yang kozen z kutiv (a 1 b 1) i (a 2 b 2) menambahkan kut (a 1 b 2) ke 180 °, sehingga kuti (a 1 b 1) saya (a 2 b 2) . Penting untuk mengangkatnya.

Makanan 8. Untuk mengemukakan bahwa ketika ada dua garis lurus, salah satu jalan lurus, maka tiga jalan lurus juga lurus.
Melihat. Diperbolehkan AB dan CD lurus saling berpotongan di titik O. Misalkan AOD yang dipotong adalah 90°. Jadi, karena jumlah sumy kutiv jalan raya adalah 180 °, maka dapat dibayangkan bahwa AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. COB COB vertikal COB AOD Tobto kut COB = 90 °. Kut COA adalah BOD Kutku vertikal, dan bau rіvn. Tobto kut BOD = 90 °. Dalam peringkat seperti itu, semua kuti sama dengan 90 °, sehingga bau busuk semua lurus. Itu perlu untuk mengangkatnya.

Makanan 9. Apakah garis lurus disebut tegak lurus? Apa tanda vikoristovu untuk menandai tegak lurus?
Melihat. Dua garis lurus disebut tegak lurus, karena bau busuk meluap dengan potongan lurus.
Tegak lurus dari garis lurus dilambangkan dengan \ (\ perp \). Entri \ (a \ perp b \) berbunyi: "Garis a tegak lurus dengan garis lurus b".

Makanan 10. Untuk memperjelas bahwa adalah mungkin untuk menggambar titik lurus melalui garis lurus yang tegak lurus terhadap garis lurus, atau hanya satu.
Melihat. Teorema 2.3. Melalui garis dermal, dimungkinkan untuk menggambar garis tegak lurus, dan hanya satu.
Terkirim. Biarkan a - diberi garis lurus A - diberi titik pada mereka. Secara signifikan melalui a 1 salah satu garis lurus a dengan tongkol titik A (Gbr. 38). Kira-kira dari pertukaran 1 potong (a 1 b 1), pivny 90 °. Todi lurus, seperti membalas b 1, jika tegak lurus dengan lurus a.

Dapat diterima bahwa garis itu lurus, dapat melewati titik A dan tegak lurus dengan garis lurus a. Dalam hal c 1, setengah garis dari garis lurus, yang terletak pada setengah garis yang sama dengan pertukaran b 1.
Potong (a 1 b 1) (a 1 c 1), sama dengan kulit 90 °, di satu bagian area dari pertukaran a 1. Dari pertukaran a 1 ke setengah bidang yang diberikan, dimungkinkan untuk memperpanjang hanya satu tepi, sama dengan 90 °. Tidak akan menjadi garis lurus yang melalui titik A tegak lurus terhadap garis lurus a. Teorema telah selesai.

Makanan 11. Jadi juga tegak lurus terhadap garis lurus?
Melihat. Garis yang tegak lurus terhadap suatu garis disebut garis lurus, tegak lurus terhadap suatu garis, yang dapat menjadi salah satu titik persilangannya. Tsey kinet vidrizka dipanggil sebelum tegak lurus.

Makanan 12. Jelaskan mengapa tiang adalah bukti protylezhny.
Melihat. Cara pembuktian, seperti yang telah kita nyatakan dalam Teorema 2.3, disebut pembuktian kebalikannya. Tsey adalah cara untuk membuktikan polaritas di mana yang kuat pada awalnya, yang bertentangan dengan fakta bahwa itu dipadatkan oleh teorema. Ngomong-ngomong, berputar pada aksioma dan membawa teorema, kita sampai pada titik mengawasi teorema pikiran, atau satu dengan aksioma, atau teorema yang dibawa sebelumnya. Pada saat presentasi, kami kuat, tetapi presentasi kami tidak benar, yang berarti bahwa itu adalah teorema yang benar.

Makanan 13. Siapa yang disebut bisectrix kuta?
Melihat. Garis bagi kut disebut promin, yang membentang dari atas kut, melewati antara sisi dan memanjang kut navpil.

Tanda-tanda paralelisme dua garis lurus

Teorema 1. Bahkan jika ada dua garis lurus,

navkhrest telentang kuti pivni, abo

vіdpovіdnі kuti rіvnі, abo

jumlah potongan satu sisi di ambang pintu 180 °, maka

sejajar lurus(Gbr. 1).

Terkirim. Dipertukarkan dengan bukti jatuh 1.

Jangan pergi jika Anda melintasi lurus a dan b dengan AB biru di sisi berlawanan dari kuti rivn telentang. Misal, 4 = 6. Terbukti, scho a || B.

Diperbolehkan bahwa garis a dan b tidak sejajar. Bau busuk itu berubah menjadi titik deyak_y M , dari yang sama, salah satu potongan 4 atau 6 akan disebut manset roda tiga AVM. Jangan pergi untuk nilai 4 adalah nama dari roda tiga AVM, dan 6 adalah yang internal. Dengan teorema tentang pemanggilan becak vipliv, 4 lebih dari 6, tetapi tidak berlebihan, artinya lurus dan 6 tidak bisa berubah, karena baunya sejajar.

Slidestvo 1. Dua garis lurus yang berbeda di area, tegak lurus terhadap satu dan lurus yang sama, sejajar(Gbr. 2).

Menghormati. Cara, seperti yang mereka bawakan Vipadok 1 oleh Teorema 1, disebut metode pembuktian jenis protivootnyh atau direduksi menjadi non-ketangkasan. Nama pertama adalah cara otrimav untuk itu, yang di dunia takut direbus, itu menjijikkan (berlawanan) dengan apa yang perlu dibawa. Mereka yang telah dibawa ke kebutaan disebut sebagai akibat dari fakta bahwa mereka tumbuh di ujung rebusan yang dihancurkan, kita sampai pada kebutaan (sampai pada titik absurditas). Otryannya seperti visnovka zmushuє us vіdkinuti otroblenaya dari koleksi masuk dan menerima orang-orang yang perlu dibawa.

Zavdannya 1. Sambil tetap lurus, melalui titik M yang diberikan dan sejajar dengan titik garis lurus a, tetapi tidak melalui titik M.

Keputusan. Ditarik melalui titik M ke garis lurus p tegak lurus terhadap garis lurus a (Gbr. 3).

Kemudian ditarik melalui titik M ke garis lurus b tegak lurus terhadap garis lurus p. Garis lurus b sejajar dengan garis lurus sebagai berikut dari Teorema 1.

Tugas pengunjung yang paling penting ditampilkan:
melalui suatu titik, tetapi tidak terletak pada garis lurus, Anda selalu dapat menggambar garis lurus yang sejajar dengan garis.

Kekuatan utama garis lurus paralel adalah dalam ofensif.

Aksioma garis lurus sejajar. Melalui titik tertentu, tidak terletak pada garis lurus tertentu, hanya melewati satu garis lurus, sejajar dengan yang diberikan.

Tindakan kekuatan garis lurus paralel terlihat, karena ditarik dari aksioma.

1) Jika ada garis lurus yang memenuhi salah satu dari dua garis lurus sejajar, maka garis tersebut meluap nshu (Gbr. 4).

2) Jika ada dua garis lurus yang sejajar dengan garis lurus ketiga, maka baunya sejajar (Gbr. 5).

Teorema ini valid dan cepat.

Teorema 2. Jika dua garis sejajar disilangkan, maka:

navkhrest berbaring kuti rivni;

vіdpovіdnі kuti rіvnі;

jumlah pintu satu sisi 180 °.

Slidestvo 2. Jika lurus tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis lurus sejajar, maka itu tegak lurus terhadap satu(Div. Gambar 2).

Menghormati. Teorema 2 disebut teorema pusaran 1. Teorema Viznovok 1 teorema viznovsky 2. Tapi teorema viznov 1 dan teorema viznovsky 2. Tidak setiap teorema akan vizorotnu, yaitu.

Dapat dijelaskan dalam penerapan teorema tentang kutas vertikal. Teorema qiu dapat dirumuskan sebagai berikut: jika dua kuti tegak lurus, maka bau busuknya menyebar. Teorema zvorotniy i digunakan sebagai berikut: jika ada dua kuti rіvn, maka baunya vertikal. Dan tse, zychayno, tidak begitu. Dua pivnih kuta bukan tanaman yang dirajut, tetapi vertikal.

pantat 1. Dua garis lurus sejajar memotong garis ketiga. Tampaknya, ada perbedaan antara dua jalan satu sisi internal 30°. Tahu tsi kuti.

Keputusan. Tidak keberatan melihat bayi 6.

Diedit oleh V.P. Ivanitskaya - M.: Lembaga pendidikan negara Kementerian Pendidikan Federasi Rusia, 1959. - 272 hal.
pemerasan(Secara langsung) : egnnsholaster1959.djvu Depan 1 .. 11> .. >> Langkah

Jika sum_zhnі kuti adalah rіvn, maka kozen dari mereka disebut kut langsung. Sisi belakang disebut tegak lurus terhadap garis lurus, disetujui oleh kedua sisi. Anda juga dapat mengatakan bahwa garis bagi kuta terbuka tegak lurus terhadap garis lurus, disetujui oleh sisi-sisinya.

Dalil. Yaksho kuti adalah rivni, lalu rivni dan sumy dengan mereka kuti.

Ayo (h, k) = ^. (I, t) nay ^ (h!, K) ^ (/ ", t) - tampaknya kuti sumimous (Gbr. 20). di (I, tri) .Dengan rusі lengkap, flare-up ^ ( h, K) muncul di flare-up (I, / "). Jelas bahwa ^ (h ", k) muncul di ^ (V, m), yaitu, ^ (H!, K) = ^ (V, m).

Dalil. Isnu bisectrix menjadi seperti kuta sebelum yang sama.

Biarkan ^ (A, k) terlihat dari bagian dalam opukleus yang terbuka dan bagian dalam. Rupanya di sisi th puncak Tentang tepi OA dan OB (Gbr. 21, a) dan dari titik yang sama A dan B. B trikotnik AOB A = ^ B (§ 8). Bergantian tengah C dari AB ke titik O, kita dapat mengenali trisit L OS BOC Otzhe, AOC = VOC, dan juga promin OS - bisectrix (h, k).

Jika (h, k) bukan opucl (di kursi berlengan, area bagian dalam TIDAK diarsir), lalu di belakang bagian depan

6}
t ^

teorema yogo bisectrix promin t, sebelum pertukaran /.

Sehubungan dengan becak ACO dan BCO, ada juga ^ scho ^ ACO = BCO1 T. E. yang sama.

Ayo sekarang dikasih satu putaran ^ (hal,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

Tampilan ACB di

(P, q). Sinar CO divisualisasikan ketika tsom di promin t. Jadi yk ^ (p, t) = ^ lBCO, ^ BCO = ^ ACO ^ ACO = = (q, t), maka (p, t) = ^ (q, t), yaitu (p, q).

Nekhai / - bisektrix

(A, A), dan G adalah tanda yang bagus, yang dimulai dari atas kut dan terletak di bagian dalamnya. Jika G terletak di dekat daerah dalam ^ (A, /), maka ^ (A, / ")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Otzhe, ^ (A, D)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Slide 1. Ada satu atau hanya satu yang tegak lurus terhadap himpunan garis lurus yang berangkat dari titik tertentu dan terletak pada himpunan bujur sangkar, yang dikelilingi oleh garis lurus.

Slidestvo 2. Setengah dari kutiv lama sama dengan diri mereka sendiri.

Tentunya, jika ^ (A, A) = ^ (A ", A"), maka snyє rukh /, yang salah satunya muncul di nshiy. Untuk teorema yang dibawa bisectrix / , dengan seluruh rus, seseorang juga bersalah karenanya. Untuk itu ^ (A, /) = ^ (A ", ).

Jadi, karena semua kuti razgornuty adalah rivni, maka kita akan mengelilinginya dengan dua proposisi berikut: semua kuti lurus sama dengan diri kita sendiri.

Lurus a dan A yang tegak pada saat potongan lurus dibalik, disebut tegak lurus (a ± b).

Pencitraan lurus ke depan. Mari kita berbaring lurus tetapi berbaring di area tersebut. Perbandingan dengan seluruh pivploshini signifikan melalui X . (Gbr. 22). Vizmemo di garis lurus A

pergi dari titik O. Menurut kekuatan 6 rukhiv (§ 7), ada satu ruch, yang tampaknya adalah h dalam dirinya sendiri, dan pada gambar X dalam bentuk jx. Semua poin dari seluruh pertukaran kekuatan 5 rukhiv muncul dengan sendirinya. Semua titik pertukaran k, yang menambah garis lurus h, dapat muncul dengan sendirinya.

Otzhe, mengingat Rus, semua bintik lurus dan muncul dengan sendirinya. Mudah, dal, bachiti, scho po

Vіzmemo sekarang menunjukkan pose lurus a.

Dalil. Melalui suatu titik, tidak terletak pada garis lurus, melewati satu garis lurus, tegak lurus terhadap garis lurus.

Terkirim. Biarkan M menjadi titik di mana Anda berbaring dalam postur lurus a (gbr. 23). Luruskan dan regangkan area tersebut, saat mulai lurus dan

titik M, pada dua bidang: pada bidang X, ke ave titik M, dan pada bidang jx. Ketika dicitrakan dari garis lurus sebuah titik M dipetakan ke titik M "dari setengah bidang jx. Jadi titik M dan M" terletak di setengah lainnya-

stah, lalu lurus MM "dan Chort 23

berubah menjadi tindakan

titik M0, seperti ketika dicitrakan, itu muncul dengan sendirinya. Sepertinya garis lurus MM "muncul dengan sendirinya, dan kuti / i 2 itu, yang ditetapkan olehnya dengan garis lurus (div. Gbr. 23), muncul sendirian di dalamnya.

Bidang loop jx ditampilkan pada titik yang sama di area X.

Untuk melihat keruntuhan disebut pemandangan dari garis lurus.

Dari pembukaan bisektriks kuta yang tidak dilipat, melewati suatu titik, tetapi berbaring pada garis lurus a, Anda selalu dapat menggambar garis pandang lurus, tegak lurus terhadap garis lurus.

Artinya ada bau busuk, juga bau busuk, selain jumlah uang, maka MM "± a. Sekarang, melalui M, ditarik garis lurus, karena melintasi ke garis lurus dan ke a titik Af0. muncul di M "N0M0. Otz, ^ 3 = ^ i4. Tetapi, berdasarkan aksiomi 1 (§ 2), titik-titik M1 N0 dan M " tidak terletak pada garis lurus yang sama, karena jumlah dari guntingan adalah 3 dan 4, yaitu, ^ MN0M " , bukan kut yang tidak dikancingkan. Pandangan dari garis lurus MN0 TIDAK tegak lurus terhadap garis lurus a. garis lurus MM "є, dalam pangkat seperti itu, dalam satu garis lurus, tegak lurus a dan melalui titik M.